Содержание к диссертации
Введение
1 Основные уравнения 9
1.1 Квазиклассическая теория сверхпроводимости 9
1.2 Поверхностные состояния 16
2 Низкотемпературная аномалия в эффекте Мейсснера 19
2.1 Отклик Андреевских поверхностных состояний на магнитное поле 23
2.2 Связь низкотемпературной глубины проникновения с числом состояний в сверхпроводнике 27
2.3 Эффект Мейсснера 28
2.3.1 Борновские примеси 30
2.3.2 Унитарные примеси 32
2.4 Спонтанный ток 33
2.5 Заключительные замечания 35
3 Нелинейный эффект Мейсснера при низких температурах 37
3.1 Нелинейный отклик андреевских состояний 38
3.2 Нелинейный эффект Мейсснера в нелокальном режиме . 44
3.2.1 Влияние примесей и поверхностных уровней 49
3.3 Заключительные замечания 50
4 Влияние беспорядка у поверхности на транспортные свойства сверхпроводников 52
4.1 Примесные состояния 54
4.1.1 Точечная примесь вблизи (ПО) поверхности 55
4.1.2 Волновая функция примесного уровня в рамках квазиклассической теории сверхпроводимости 60
4.1.3 Волновая функция примесного состояния в рамках уравнений Горькова 65
4.2 Модель приповерхностного грязного слоя 69
4.2.1 Влияние поверхностных дефектов на нулевой уровень . 72
4.2.2 Случай малой поверхностной концентрации дефектов . 74
4.2.3 Припороговая концентрация дефектов 81
4.2.4 Грязный слой произвольной толщины 92
4.2.5 Большая концентрация примесей 94
4.3 Заключительные замечания 100
Заключение 103
- Квазиклассическая теория сверхпроводимости
- Связь низкотемпературной глубины проникновения с числом состояний в сверхпроводнике
- Нелинейный эффект Мейсснера в нелокальном режиме
- Волновая функция примесного уровня в рамках квазиклассической теории сверхпроводимости
Введение к работе
Теоретические и экспериментальные исследования транспортных и термодинамических свойств сверхпроводящих соединений являются важными для понимания природы сверхпроводящего состояния в этих веществах. Многие экспериментальные факты, в том числе и фазочувствительные исследования, свидетельствуют в пользу того, что параметр порядка в купратных высокотемпературных сверхпроводниках, сверхпроводниках с тяжёлыми фермиона-ми и в соединении Sr2Ru04 является сильно анизотропным, принимая различные значения в зависимости от направления распространения квазичастицы [1,2,3,4] (а также литература указанная в этих обзорах). Наличие в сверхпроводнике параметра порядка с анизотропным спариванием может существенно повлиять на их физические свойства, по сравнению с аналогичными свойствами изотропных s-волновых сверхпроводников. В частности, анизотропный параметр порядка подавляется в окрестностях примесей, границ разделов, поверхностей и других неоднородностей, тогда как в s сверхпроводниках параметр порядка нечувствителен к примесям и границе с вакуумом или диэлектриком. Также, теорема Андерсона о нечувствительности критической температуры к немагнитным примесям оказывается неприменимой к сверхпроводникам с анизотропным спариванием.
Те сверхпроводящие фазы, для которых параметр порядка обращается в ноль вдоль некоторых направлений импульса на поверхности Ферми обладают степенной зависимостью плотности состояний при малых энергиях. Показатель степени зависит от закона обращения в ноль параметра порядка. В случае линий нулей показатель степени равен единице. При низких температурах такое поведение плотности состояний приводит к степенной зависимости объёмных значений глубины проникновения магнитного поля,
теплоёмкости, теплопроводности от температуры, в отличие от экспоненциальной зависимости соответствующих величин в сверхпроводниках без нулей параметра порядка [1,2,3,4].
Примеси, границы раздела, поверхности и другие неоднородности могут приводить к формированию специфических для сверхпроводящего состояния энергетических уровней, называемых андреевскими связанными состояниями. Важную роль в их формировании играет андреевское отражение от неоднородностей амплитуды параметра порядка или его фазы. Эти состояния существуют только при наличии сверхпроводящего параметра порядка и отсутствуют выше критической температуры. Критерии формирования таких состояний существенно отличаются в случае изотропных s-волновых сверхпроводников и сверхпроводников с анизотропным спариванием. Связанное состояние на примеси в s сверхпроводнике образуется только на магнитных примесях [5,6], тогда как в сверхпроводнике с dxi^.yi спариванием на изолированной примеси с достаточно сильным потенциалом рассеяния образуется виртуальное связанное состояние с малой энергией [7,8]. Аналогичные состояния формируются в сверхтекучем 3Не [9], который является представителем сверхтекучей Ферми системы с р-волновым типом спаривания.
Аналогично примесному рассеянию, зеркальное отражение квазичастиц от непроницаемой отражающей стенки или границы раздела подавляет параметр порядка в сверхпроводниках с анизотропным спариванием в прилегающей области. Кроме того, вблизи таких границ на масштабе длины когерентности образуются связанные андреевские состояния [10,11,12,13,14,15,16,17]. Их энергия определяется анизотропной структурой параметра порядка и его пространственной зависимостью около поверхности, а также в случае контакта двух сверхпроводников - разностью фаз параметра порядка по разные стороны границы. Одними из наиболее обсуждаемых в литературе связанных состояний в ^г.^г-волновом сверхпроводнике являются андреевские связанные состояния на непроницаемой границе с нулевой энергией [10,11,12,13,14,15,16,17]. Они возникают благодаря андреевскому отражению квазичастиц от изменения фазы параметра порядка на 7Г вдоль траектории квазичастиц. Формирование таких состояний можно описывать, в частности, в модели несамосогласованного пространственно однородного рас-
пределения параметра порядка. Учёт андреевских состояний с малой энергией важен при вычислении различных физических величин при низких температурах. В частности, предполагается, что эти состояния ответственны за формирование пика в дифференциальном кондактансе при нулевом напряжении [11,12,15], аномальное поведение критического джозефсоновского тока [18] и за появление минимума в температурной зависимости глубины проникновения магнитного поля [19,20,94,21].
Связанные поверхностные состояния чувствительны к различным случайным неоднородностям, в том числе и к шероховатости самой поверхности. При низких температурах основной вклад в амплитуду рассеяния квазичастиц дают статические дефекты, такие как примеси, дефекты структуры и случайная неровность поверхности. Существует несколько теоретических методов описания шероховатых поверхностей. Один из подходов основан на представлении шероховатой поверхности в виде непроницаемой стенки со случайным профилем. В работах [23,22] сделан обзор этой модели в приближении слабой вариации профиля в применении к нормальным металлам. Обобщение этой модели на сверхпроводящее состояние проделано в работах [24,25,26,27]. Некоторые возможные обобщения модели случайно взволнованной поверхности на случай шероховатости произвольной силы изложены в работах [28,29]. Одной из разновидностей этой модели, учитывающей только крупномасштабные неоднородности поверхности является, так называемая, „модель случайно ориентированных зеркал" [30,15]. Другой подход к рассмотрению беспорядка в сверхпроводнике состоит в моделировании его потенциалом хаотично распределённых примесей. Шероховатость поверхности в этом случае описывается введением тонкого приповерхностного слоя примесей. Большей поверхностной концентрации рассеивателей соответствует большая шероховатость поверхности. Так как вблизи поверхности неупорядоченности обычно больше, чем в объёме, то поверхностный примесный слой может также рассматриваться как реально существующий беспорядок в сверхпроводнике, а не модель шероховатой поверхности. Широко также используются микроскопические подходы, пытающиеся описать шероховатость поверхности в рамках решёточных моделей со случайным потенциалом на узле (см. например [31]). Существует множество экспериментов, которые указывают на необычный
характер спаривания в таких высокотемпературных сверхпроводниках, как УВагСіїзОт-г, ВігБггСаСіїгОв и Sr2Ru04 [1,2,3,4] . Часть этих экспериментов основана на исследовании объёмных свойств сверхпроводников. Сюда можно отнести измерения теплоёмкости, теплопроводности и глубины проникновения магнитного поля при ориентациях не допускающих формирование поверхностных андреевских уровней. В экстра чистых образцах УВа^Сщ07-5 при низких температурах наблюдается линейная зависимость глубины проникновения от температуры [32, 33, 34], что согласуется с моделью dxi-y2 параметра порядка. Квадратичную зависимость, измеренную в некоторых экспериментах, связывают с влиянием резонансных объёмных примесей [35]. При низких температурах и некоторых ориентациях dxi_y2 вклад андреевских поверхностных состояний в глубину проникновения может быть существенным [19,94,21]. В отличие от диамагнитного отклика массива сверхпроводника, отклик поверхностных состояний на внешнее магнитное поле является парамагнитным, а в случае нулевых поверхностных уровней усиливается с понижением температуры. Это приводит к появлению минимума в температурной зависимости глубины проникновения магнитного поля.
Другой особенностью магнитного отклика сверхпроводников с нулями параметра порядка, является нелокальность воздействия магнитного поля на квазичастицы с импульсами вблизи нулей параметра порядка, даже в сверхпроводниках сильно второго рода [36]. Это обстоятельство особенно важно при низких температурах, когда возбуждены только эти квазичастицы. Такое проявление нелокальности существенно, в частности, при вычислении низкотемпературного поведения глубины проникновения [36, 37, 95] и геометрии вихревой решётки [38,39].
Изложение материала построено следующим образом. В главе 1 выписаны уравнения квазиклассической теории сверхпроводимости, использующиеся в аналитических и численных расчётах данной работы. Глава 2 посвящена нахождению линейного отклика андреевских связанных поверхностных состояний в сверхпроводниках с анизотропным параметром порядка. Найдено выражение для глубины проникновения магнитного поля в зависимости от температуры, учитывающее как вклад объёма, так и поверхностных состояний. Найдены ограничения на длину свободного пробега квазичастиц при
которых существует низкотемпературная аномалия глубины проникновения и спонтанный поверхностный ток. В главе 3 исследовалась зависимость глубины проникновения от магнитного поля (нелинейный эффект Мейсснера). Выведены формулы для нелинейной поправки появляющейся при наличии андреевских поверхностных уровней с малой энергией. Также получено аналитическое выражение для нелинейной поправки к глубине проникновения в нелокальном пределе при ориентациях не допускающих формирование поверхностных уровней. Глава 4 посвящена исследованию влияния приповерхностной неупорядоченности на андреевские поверхностные уровни и транспорт квазичастиц через них. Получено выражение для энергии примесного уровня в случае примеси лежащей вблизи поверхности. Найдена значительная пороговая поверхностная концентрация примесей разделяющая два режима влияния примесей на андреевский поверхностный уровень с нулевой энергией. Представлены результаты численного расчёта туннельного дифференциального кондактанса при разных поверхностных концентрациях примесей и силы их рассеивающего потенциала.
Квазиклассическая теория сверхпроводимости
Примеси, границы раздела, поверхности и другие неоднородности могут приводить к формированию специфических для сверхпроводящего состояния энергетических уровней, называемых андреевскими связанными состояниями. Важную роль в их формировании играет андреевское отражение от неоднородностей амплитуды параметра порядка или его фазы. Эти состояния существуют только при наличии сверхпроводящего параметра порядка и отсутствуют выше критической температуры. Критерии формирования таких состояний существенно отличаются в случае изотропных s-волновых сверхпроводников и сверхпроводников с анизотропным спариванием. Связанное состояние на примеси в s сверхпроводнике образуется только на магнитных примесях [5,6], тогда как в сверхпроводнике с dxi .yi спариванием на изолированной примеси с достаточно сильным потенциалом рассеяния образуется виртуальное связанное состояние с малой энергией [7,8]. Аналогичные состояния формируются в сверхтекучем 3Не [9], который является представителем сверхтекучей Ферми системы с р-волновым типом спаривания.
Аналогично примесному рассеянию, зеркальное отражение квазичастиц от непроницаемой отражающей стенки или границы раздела подавляет параметр порядка в сверхпроводниках с анизотропным спариванием в прилегающей области. Кроме того, вблизи таких границ на масштабе длины когерентности образуются связанные андреевские состояния [10,11,12,13,14,15,16,17]. Их энергия определяется анизотропной структурой параметра порядка и его пространственной зависимостью около поверхности, а также в случае контакта двух сверхпроводников - разностью фаз параметра порядка по разные стороны границы. Одними из наиболее обсуждаемых в литературе связанных состояний в г. г-волновом сверхпроводнике являются андреевские связанные состояния на непроницаемой границе с нулевой энергией [10,11,12,13,14,15,16,17]. Они возникают благодаря андреевскому отражению квазичастиц от изменения фазы параметра порядка на 7Г вдоль траектории квазичастиц. Формирование таких состояний можно описывать, в частности, в модели несамосогласованного пространственно однородного распределения параметра порядка. Учёт андреевских состояний с малой энергией важен при вычислении различных физических величин при низких температурах. В частности, предполагается, что эти состояния ответственны за формирование пика в дифференциальном кондактансе при нулевом напряжении [11,12,15], аномальное поведение критического джозефсоновского тока [18] и за появление минимума в температурной зависимости глубины проникновения магнитного поля [19,20,94,21].
Связанные поверхностные состояния чувствительны к различным случайным неоднородностям, в том числе и к шероховатости самой поверхности. При низких температурах основной вклад в амплитуду рассеяния квазичастиц дают статические дефекты, такие как примеси, дефекты структуры и случайная неровность поверхности. Существует несколько теоретических методов описания шероховатых поверхностей. Один из подходов основан на представлении шероховатой поверхности в виде непроницаемой стенки со случайным профилем. В работах [23,22] сделан обзор этой модели в приближении слабой вариации профиля в применении к нормальным металлам. Обобщение этой модели на сверхпроводящее состояние проделано в работах [24,25,26,27]. Некоторые возможные обобщения модели случайно взволнованной поверхности на случай шероховатости произвольной силы изложены в работах [28,29]. Одной из разновидностей этой модели, учитывающей только крупномасштабные неоднородности поверхности является, так называемая, „модель случайно ориентированных зеркал" [30,15]. Другой подход к рассмотрению беспорядка в сверхпроводнике состоит в моделировании его потенциалом хаотично распределённых примесей. Шероховатость поверхности в этом случае описывается введением тонкого приповерхностного слоя примесей. Большей поверхностной концентрации рассеивателей соответствует большая шероховатость поверхности. Так как вблизи поверхности неупорядоченности обычно больше, чем в объёме, то поверхностный примесный слой может также рассматриваться как реально существующий беспорядок в сверхпроводнике, а не модель шероховатой поверхности. Широко также используются микроскопические подходы, пытающиеся описать шероховатость поверхности в рамках решёточных моделей со случайным потенциалом на узле (см. например [31]). Существует множество экспериментов, которые указывают на необычный характер спаривания в таких высокотемпературных сверхпроводниках, как УВагСіїзОт-г, ВігБггСаСіїгОв и Sr2Ru04 [1,2,3,4] . Часть этих экспериментов основана на исследовании объёмных свойств сверхпроводников. Сюда можно отнести измерения теплоёмкости, теплопроводности и глубины проникновения магнитного поля при ориентациях не допускающих формирование поверхностных андреевских уровней. В экстра чистых образцах УВа Сщ07-5 при низких температурах наблюдается линейная зависимость глубины проникновения от температуры [32, 33, 34], что согласуется с моделью dxi-y2 параметра порядка. Квадратичную зависимость, измеренную в некоторых экспериментах, связывают с влиянием резонансных объёмных примесей [35]. При низких температурах и некоторых ориентациях dxi_y2 вклад андреевских поверхностных состояний в глубину проникновения может быть существенным [19,94,21]. В отличие от диамагнитного отклика массива сверхпроводника, отклик поверхностных состояний на внешнее магнитное поле является парамагнитным, а в случае нулевых поверхностных уровней усиливается с понижением температуры. Это приводит к появлению минимума в температурной зависимости глубины проникновения магнитного поля.
Другой особенностью магнитного отклика сверхпроводников с нулями параметра порядка, является нелокальность воздействия магнитного поля на квазичастицы с импульсами вблизи нулей параметра порядка, даже в сверхпроводниках сильно второго рода [36]. Это обстоятельство особенно важно при низких температурах, когда возбуждены только эти квазичастицы. Такое проявление нелокальности существенно, в частности, при вычислении низкотемпературного поведения глубины проникновения [36, 37, 95] и геометрии вихревой решётки [38,39].
Изложение материала построено следующим образом. В главе 1 выписаны уравнения квазиклассической теории сверхпроводимости, использующиеся в аналитических и численных расчётах данной работы. Глава 2 посвящена нахождению линейного отклика андреевских связанных поверхностных состояний в сверхпроводниках с анизотропным параметром порядка. Найдено выражение для глубины проникновения магнитного поля в зависимости от температуры, учитывающее как вклад объёма, так и поверхностных состояний. Найдены ограничения на длину свободного пробега квазичастиц при которых существует низкотемпературная аномалия глубины проникновения и спонтанный поверхностный ток. В главе 3 исследовалась зависимость глубины проникновения от магнитного поля (нелинейный эффект Мейсснера). Выведены формулы для нелинейной поправки появляющейся при наличии андреевских поверхностных уровней с малой энергией. Также получено аналитическое выражение для нелинейной поправки к глубине проникновения в нелокальном пределе при ориентациях не допускающих формирование поверхностных уровней. Глава 4 посвящена исследованию влияния приповерхностной неупорядоченности на андреевские поверхностные уровни и транспорт квазичастиц через них. Получено выражение для энергии примесного уровня в случае примеси лежащей вблизи поверхности. Найдена значительная пороговая поверхностная концентрация примесей разделяющая два режима влияния примесей на андреевский поверхностный уровень с нулевой энергией. Представлены результаты численного расчёта туннельного дифференциального кондактанса при разных поверхностных концентрациях примесей и силы их рассеивающего потенциала.
Связь низкотемпературной глубины проникновения с числом состояний в сверхпроводнике
Низкотемпературное поведение глубины проникновения магнитного поля в сверхпроводник с d спариванием является, вообще говоря, значительно более сложным чем в обычных изотропных s-волновых сверхпроводниках. Изменение знака параметра порядка в зависимости от направления импульса на поверхности Ферми приводит к формированию низкоэнергетических или нулевых андреевских поверхностных связанных состояний на гладких поверхностях или границах раздела [10,11,12,13,14,15,16]. Эти связанные состояния ответственны за низкотемпературную аномалию глубины проникновения [19,20,94,21].
Экспериментальное наблюдение минимума в температурной зависимости глубины проникновения магнитного поля в УВагСизС -д [19, 20, 21] и Bi2Sr2CaCu20s-j [21] можно рассматривать как подтверждение существования андреевских связанных состояний с низкой энергией. При обычном эффекте Мейсснера с понижением температуры глубина проникновения уменьшается, что соответствует усилению сверхпроводящих корреляций при удалении от критической температуры. С другой стороны парамагнитный вклад андреевских поверхностных состояний увеличивает глубину проникновения. Учёт этих двух эффектов приводит к появлению минимума в температурной зависимости глубины проникновения. Как будет показано далее, характерная температура положения минимума Тто равна по порядку величины у/ о/ХоТс C TC, если уширение связанного состояния достаточно мало. При этих температурах вклад андреевских связанных состояний в глубину проникновения сравнивается по величине с температурной поправкой к глубине проникновения от экранирующих токов, текущих в глубине сверхпроводника. В работе [48] предложено другое объяснение появления минимума в температурной зависимости глубины проникновения, которое основано на парамагнитном отклике низкоэнергетических связанных примесных состояний. В такой модели минимум существует даже в отсутствии поверхностных связанных состояний с малой энергией.
Минимум в температурной зависимости глубины проникновения наблюдается также в некоторых веществах с парамагнитными ионами, магнитная восприимчивость которых растёт с понижением температуры [49], таких, например, как Ndi.85Ceo.i5Cu04-j. В этом веществе парамагнетизм возникает за счёт ионов Nd3 [50,51]. Особенности отклика такого рода веществ на магнитное поле далее обсуждаться не будут.
Другой важной характерной температурой связанной с глубиной проникновения является Ts (о/ о)Тс. Если для заданной кристаллической ориентации андреевские поверхностные связанные состояния отсутствуют, то при температурах меньших Ts низкотемпературная поправка к глубине проникновения определяется нелокальными эффектами [36]. При ориентациях допускающих формирование андреевских состояний с малой энергией, поправка связанная с нелокальностью отклика значительно меньше парамагнитного вклада поверхностных уровней во свей рассматриваемой низкотемпературной (Т «С Тс) области. В чистом пределе, при температурах Г Т3 парамагнитный вклад андреевских состояний в глубину проникновения сравнивается с Ло. Если при таких температурах дополнительная компонента параметра порядка ещё не появилась у поверхности, то за счёт парамагнитного вклада андреевских состояний вдоль поверхности начинает течь спонтанный ток при температурах ниже Т8 [52,53]. Имея ввиду высокотемпературные соединения, будем рассматривать только сверхпроводники сильно II рода. В этих веществах отношение foMo порядка 0.01. Следовательно низкотемпературный интервал распадается на три области, разделённые температурами Ts и Тто ( Ts {O/\Q)TC Ттпо у/о/ оТс Тс). Рассеяние квазичастиц на примесях или на поверхностных шероховатостях и неупругие процессы существенно влияют на величину или даже наличие минимума в температурной зависимости глубины проникновения и на температуру появления спонтанного поверхностного тока, если они приводят к уширению 7 андреевского связанного состояния порядка или больше чем характерная температура Тто и Ts соответственно.
Будем предполагать, что рассеяние квазичастиц в основном происходит на немагнитных примесях. При низких температурах неупругие процессы сильно подавлены и ими можно пренебречь. Немагнитные примеси в сверхпроводнике с анизотропным спариванием, как известно, подавляют параметр порядка. Они уменьшают Тс аналогично тому, как магнитные примеси в обычных изотропных сверхпроводниках. Предполагая сверхпроводник достаточно чистым С -, пренебрежём влиянием примесей на величину параметра порядка. Однако даже в рамках этого ограничения уширение андреевских связанных состояний оказывается значительным. Поскольку уширение замывает особенности в плотности состояний (в частности, 6-иик от связанных состояний), так же как и в других физических величинах, то сверхпроводники могут быть чувствительны к очень малым концентрациям примесей.
Если спаривательное взаимодействие является притяжением для нескольких каналов спаривания, то при понижении температуры у параметра порядка может появиться дополнительная компонента, связанная с одним из этих каналов. В окрестностях таких неоднородностей, как одиночные примеси и границы раздела дополнительные компоненты появляются при более высоких температурах, чем в объёме. В случае сверхпроводников с dx2_v2 симметрией параметра порядка в литературе часто рассматривают возможность появления при низких температурах дополнительной компоненты параметра порядка с симметрией dxy или s [13,14,28]. Численные расчёты показывают, что между компонентами параметра порядка устанавливается ненулевая разность фаз. В частности, в случае индуцированной у поверхности компоненты с s симметрией вдоль поверхности будет течь спонтанный ток. Появлением дополнительной компоненты у параметра порядка можно объяснить спонтанное расщепление пика в туннельной плотности состояний и другие эффекты. С другой стороны эксперимент по измерению асимметрии зависимости критического джозефсоновского тока от внешнего магнитного поля не подтверждает появление дополнительной компоненты у параметра порядка в УВа2Сиз07_г вплоть до довольно низких температур [54]. В дальнейшем будет предполагаться, что симметрия параметра порядка не меняется при рассматриваемых значениях параметров.
Нелинейный эффект Мейсснера в нелокальном режиме
Исследование изменения глубины проникновения в зависимости от приложенного магнитного поля, также как и температурная зависимость глубины проникновения, представляет интерес, особенно в сверхпроводниках с анизотропным спариванием. Величина нелинейной поправки, её зависимость от температуры и ориентации сверхпроводника существенно различаются в случае d-спаривания и изотропного s-спаривания. Кроме того, в сверхпроводниках со знакопеременным на поверхности Ферми параметром порядка вклад в нелинейную поправку вносят не только экранирующие токи, но и андреевские поверхностные состояния. При достаточно низких температурах, как показано в работах [64,65], локальный отклик квазичастиц в сверхпроводниках с dx2_y2 симметрией параметра порядка приводит к линейной ( JY) по магнитному полю поправке к глубине проникновения. Нужно отметить, что такое поведение может наблюдаться только в очень чистых образцах и при достаточно низких температурах. Внесение примесей и температурные эффекты изменяет зависимость глубины проникновения на квадратичную [65,66]. Вклад поверхностных состояний в нелинейную поправку к глубине проникновения вдали от точки появления спонтанного поверхностного тока также является квадратичным.
В упомянутых теоретических работах считалось, что при описании нелинейного отклика сверхпроводника можно пользоваться локальной связью между электрическим током и магнитным полем. Однако, в работе [36] было показано, что при некоторых кристаллических ориентациях низкотемпературное поведение глубины проникновения магнитного поля в сверхпроводник с нулями параметра порядка определяется нелокальными эффектами даже в сверхпроводниках сильно II рода. В частности, нелокальные эффекты при некоторых ориентациях меняют \Н\ зависимость глубины проникновения на квадратичную. Не смотря на экспериментальные попытки обнаружить нелинейный эффект Мейсснера [67, 68, 69, 70], в настоящее время, согласие с теорией отсутствует, как по величине эффекта, так и его зависимости от температуры и поля.
В этой главе будут приведены вычисления нелинейной по магнитному полю поправки к глубине проникновения, возникающей благодаря парамагнитному отклику андреевских поверхностных состояний с нулевой энергией (раздел 3.1). В разделе 3.2 проанализировано влияние нелокальных эффектов на нелинейную поправку к глубине проникновения.
В этом разделе будет вычислен вклад андреевских поверхностных состояний с низкой энергией в нелинейную поправку к глубине проникновения. При низких температурах Т ГС найдено характерное значение магнитного поля HQ, которое в чистом пределе значительно меньше соответствующего характерного значения магнитного поля экранирующих токов. При отсутствии уширения Но является линейной функцией температуры. При температурах Т Та нелинейный вклад связанных состояний в глубину проникновения является существенным уже в мейсснеровской области. В окрестности перехода в состояние со спонтанным поверхностным током нелинейное слагаемое становится важным даже при слабом внешнем поле. Наличие уширения приводит к появлению нового характерного поля Я7, описывающего нелинейный отклик связанных поверхностных состояний при 7гТ 7- При значительном уширении 7гТа С 7» выполняется неравенство Нс\ «С Я7 и, как показано, нелинейные слагаемые всегда малы в мейсснеровской области.
Аналогично выводу соотношения (С.11), сделанном в приложении С, можно также получить достаточно простое выражение для глубины проникновения зависящей от магнитного поля При выводе (3.1) предполагалось, что нелокальными эффектами можно пренебречь. Совместное влияние нелокальности и нелинейности отклика на глубину проникновения магнитного поля рассмотрено в следующем разделе. Зависимость \Шк(Т,Н) от магнитного поля в мейсснеровской области всегда можно считать слабой (\ХШк(Т, Н)-\Шк(Т, 0) Лы/г(Т, 0)), тогда как вклад поверхностных уровней в нелинейную поправку не предполагается малым. Величина Насг равна значению магнитного поля на масштабе о хзсг «С Ао Уравнения (3.1), (3.2), фактически, являются сложной трансцендентной системой. Из уравнения (3.1) видно, что зависимость глубины проникновения от магнитного поля обусловлена двумя причинами. Первая заключается в полевой зависимости \Шк(Т, #), описывающей нелинейный отклик массива сверхпроводника и имеющей место даже в отсутствии поверхностных состояний. Зависимость \Шк(Т, Н) от поля зависит от взаимной ориентации поверхности и магнитного поля относительно кристаллических осей сверхпроводника и будет предполагаться известной [64,65,66,71]. Второй источник нелинейных поправок заключается в зависимости 5Qbound от магнитного поля и существует только при наличии андреевских поверхностных состояний с нулевой энергией. Если сверхпроводник находится вдали от фазового перехода в состояние со спонтанным поверхностным током, то обе поправки оказываются малыми и входят независимо.
Парамагнитный отклик поверхностных состояний SQbound 0 увеличивает магнитное поле, экранируемое диамагнитными токами (Hscr = Н(хзсг) #(0)). Это приводит, в частности, к увеличению нелинейного слагаемого в д&ЛА: #асг) п0 сравнению со случаем пренебрежения вклада поверхностных состояний. В случае наличия спонтанного поверхностного тока Hscr отлично от нуля даже в отсутствии внешнего магнитного поля. Предполагается, что сверхпроводник находится в мейсснеровском состоянии, что подразумевает выполнение неравенства Hscr Нс\.
Небольшие нелокальные низкотемпературные поправки к глубине проникновения от экранирующих токов могут быть учтены в (3.1) по теории возмущений к АЬи/А:(Т, Я). В случае нелокальной связи между током и полем глубина проникновения \Шк(Т,Н) является функционалом пространственного распределения магнитного поля.
Нелинейная поправка к глубине проникновения от экранирующих токов может быть представлена в виде функции от безразмерного параметра р = Н/Но, где Но обычно порядка термодинамического критического поля Фо/(Аоо)- Отсюда следует, что нелинейные эффекты всегда малы в сверхпроводниках сильно второго рода в мейсснеровском состоянии. В изотропных сверхпроводниках с s спариванием нелинейная поправка к глубине проникновения пропорциональна ос р2.
Волновая функция примесного уровня в рамках квазиклассической теории сверхпроводимости
Неоднородности в сверхпроводниках с анизотропным спариванием могут заметно изменить свойства прилегающих участков на масштабе длины когерентности. В частности, андреевские связанные состояния могут возникать в областях вблизи границ раздела и примесей [10,11,12,73,13,14,74,15,16,5,6]. Формирование андреевских состояний с нулевой энергией на гладкой поверхности dx2_y2-волнового сверхпроводника, как известно, является признаком смены знака параметра порядка при отражении квазичастицы от поверхности. В высокотемпературных сверхпроводниках поверхностные уровни с нулевой энергией проявляются в виде пика при нулевом напряжении в дифференциальном кондактансе контакта сверхпроводник/нормальный металл [75,76,77,78,20,79,80,81,82,83,84,85], аномалии в температурной зависимости критического джозефсоновского тока [18] и минимума в температурной зависимости глубины проникновения магнитного поля [19,94,21].
Андреевские поверхностные уровни чувствительны к случайным неодно-родностям, таким как примеси и поверхностная шероховатость. Существует несколько теоретических моделей для описания влияния рассеяния квазичастиц на шероховатой поверхности на электронные свойства нормальных металлов, сверхпроводников и сверхтекучих жидкостей. Применяются модели со случайной поверхностью [22,24,23,25,26,27,28,29], модель грязного слоя [86,87] и модель со случайно ориентированными зеркальными поверхностями [30,15]. Все эти подходы могут быть включены в квазиклассическую теорию сверхпроводимости и сверхтекучести. Большей частью, эти теории приводят к качественно одинаковым и физически понятным результатам. Например, модель случайно ориентированных зеркальных поверхностей позволяет учесть неравномерность огранки реальных кристаллов, имеющую место на масштабе большей чем длина когерентности. В такой модели шероховатой поверхности пик в кондактансе при нулевом напряжении появляется даже в (100) ориентированных контактах d-волнового сверхпроводника с нормальным металлом [15]. Неровность поверхности также делает менее выраженной зависимость критического джозефсоновского тока от ориентации кристалла и приводит к исчезновению температурной аномалии критического джозефсоновского тока [88]. В то же время мелкомасштабная шероховатость, включающая неоднородность поверхности на атомном уровне, по-видимому, лучше описывается моделью тонкого грязного слоя.
В этой главе будет рассмотрено влияние тонкого слоя примесей, расположенного вблизи поверхности, на андреевские поверхностные состояния с нулевой энергией и на обусловленный ими пик при нулевом напряжении в дифференциальном кондактансе. Изменение концентрации примесей в слое позволяет моделировать поверхность с разной степенью шероховатости. С другой стороны, вблизи поверхности кристаллов количество дефектов (в том числе и структурных) больше, чем в глубине. Это позволяет считать тонкий слой примесей, рассматриваемый в этой главе, не как некоторую модель шероховатости, а в качестве реально существующих дефектов, расположенных вблизи поверхности.
Раздел (4.1) посвящен описанию связанных состояний на изолированной примеси в сверхпроводнике вблизи поверхности, ориентация которой допускает формирование андреевских состояний с нулевой энергией. Влияние конечной концентрации примесей в приповерхностном слое на туннельные характеристики анизотропных сверхпроводников рассмотрено в (4.2).
Квазиклассические уравнения сверхпроводимости, выписанные в главе 1, позволяют учесть только достаточно плавно меняющиеся в пространстве внешние возмущения. Примеси и резкие границы формируют потенциалы, изменяющиеся на атомных масштабах. Включение таких возмущений в квазиклассический формализм может быть произведено [9], однако для этого приходится вводить нефизическую вспомогательную гриновскую функцию. При этом не предполагается, что потенциал примеси или стенки является слабым. Так, в присутствии изолированной примеси уравнения на квазиклассическую гриновскую функцию имеют вид
где uo(pf,p f) - примесный потенциал рассеяния в нормальном состоянии. Вспомогательная гриновская функция до(р/,г;є) удовлетворяет уравнениям Эйленбергера (1.1) и (1.2), в которых параметр порядка и собственно-энергетическая часть вычисляется по полной гриновской функции д(р/,г;є). В уравнениях (4.1) и (4.2), для простоты, предполагается рассеяние на немагнитной примеси без переворота спина. Все физические величины, такие например как электрический ток и плотность состояний должны вычисляться по функции g(pf, г; є)
Из уравнения (4.1) видно, что наличие изолированной примеси в сверхпроводнике может приводить к дополнительным полюсам по переменной є у гриновской функции, которые совпадают полюсами -матрицы. Вещественная часть положения полюса даёт энергию связанного примесного состояния, а мнимая - его затухание.
Внесение примесей в сверхпроводник может существенно повлиять на сверхпроводящее состояние. В частности, формирование связанного состояния на примеси значительно меняет плотность состояний в окрестности энергии этого состояния, что в некоторых случаях сказывается на туннельных и транспортных характеристиках сверхпроводников. На унитарной немагнитной примеси, расположенной в г- -волновом сверхпроводнике вдали от границ раздела, формируется связанное состояние с малой энергией [7,8]. При конечной концентрации эти примесные состояния расщепляются в примесную зону [35].
В этом разделе будет исследовано формирование связанных состояний, локализованных вблизи примеси, расположенной вблизи гладкой непрозрачной границы dx2_y2 сверхпроводника. Рассмотрим точечную изотропную примесь, расположенную вблизи гладкой поверхности. Будем предполагать, что ориентация сверхпроводника предполагает наличие нулевого поверхностного уровня. В соответствии с формулой (4.2) полюса i-матрицы в случае изотропного потенциала рассеяния определяются из уравнения
Будем искать решения уравнения (4.3) в области малых энергий. В этом случае можно воспользоваться полюсным выражением для гриновской функции (1.33). Отметим, что в рамках полюсного приближения средние значения аномальных гриновских функций по поверхности Ферми тождественно равны нулю из-за смены знака при замене р/ —р/. Это приводит к следующему выражению для энергии примесного состояния
