Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Фермионные квазичастицы в одномерных системах фермионов 32
1.1. Постановка задачи и предварительные соображения 34
1.2. Точно решаемая модель 37
1.3. Эвристическое изложение метода 52
1.4. Гамильтониан общего положения 54
1.5. Вычисление коэффициента кулоновского увлечения в системе двух связанных одномерных жидкостей Томонаги-Латтинжера 58
1.6. Квази-ферми жидкость: одномерные фермионы с несущественным взаимодействием 67
1.7. Фермионные квазичастицы в квази-ферми жидкости 76
Глава 2. Нефононные механизмы сверхпроводимости в квази одномерных системах фермионов 89
2.1. Исследуемая модель 90
2.2. Критерий применимости метода среднего поля 94
2.3. Вывод эффективного гамильтониана для бесспиновых фермионов 102
2.4. Фазовая диаграмма для бесспиновой модели 110
2.5. Квазиодномерная модель фермионов со спином 114
2.6. Упорядоченные фазы в модели со спином 119
2.7. Обобщенный эффективный гамильтониан и его фазовая диаграмма 123
Глава 3. Приближенные методы изучения гамильтониана Хаб барда 131
3.1. Построение эффективного гамильтониана для модели Хаббар да в пределе сильного взаимодействия 133
3.2. Исследование точности приближенной схемы Хаббард-I для вычисления сверхпроводящих корреляций в модели Хаббарда 156
Глава 4. Теоретическое исследование мезоскопических систем на основе графена 177
4.1. Графен в приближении сильной связи 178
4.2. Антиферромагнетизм двуслойного АА графена 181
4.3. Водород, адсорбированный на графене: фазовое расслоение и гладкость границы раздела графен-графан 194
4.4. Точные волновые функции для графеновой квантовой точки с краями типа «кресло» 210
Заключение 241
Литература
- Гамильтониан общего положения
- Вывод эффективного гамильтониана для бесспиновых фермионов
- Исследование точности приближенной схемы Хаббард-I для вычисления сверхпроводящих корреляций в модели Хаббарда
- Водород, адсорбированный на графене: фазовое расслоение и гладкость границы раздела графен-графан
Гамильтониан общего положения
А именно, пренебрегая фермионными состояниями вне трех узких фермионных зон, авторы предполагали, что отбрасываемые состояния или полностью пусты, или полностью заполнены. Это упрощение, как легко проверить, не согласуется с известными нам свойствами основного состояния гамильтониана Томонаги-Латтинжера: вблизи энергии Ферми все состояния заполнены на величину, близкую к 1/2. (Несмотря на эту трудность, метод трехзонного гамильтониана предсказал расходимости в спектральной плотности пропагатора плотность-плотность, в согласии с численными расчетами [54].)
Однако, такой подход может быть применен к квазичастицам, для которых высказанное предположение верно (и это может быть показано непосредственным вычислением). Именно в такой формулировке трехзонный гамильтониан был использован для нахождения однофермионной функции Грина, учитывающей кривизну дисперсии [55].
Подробное изложение состояния данной темы представлено в обзоре [56]. Квазиодномерные проводники Квазиодномерные системы активно исследуются как теоретически, так и экспериментально. На сегодняшний день теоретическая литература представлена не только большим количеством оригинальных статей, но также и монографиями [57, 58]. Поскольку на сегодня целый ряд синтезированных соединений можно считать квазиодномерными (пурпурная бронза Ьіо.9МобОі7, трихалькогениды ТаБз и NbSe3, органические соли Бехгарда), имеется возможность проверять теоретические выводы на эксперименте.
С теоретической точки зрения, основа описания квазиодномерных про водников - понятие размерного кроссовера [59]. Предполагается, что при высоких энергиях и импульсах поведение квазиодномерной системы почти одномерное, тогда как при низких - трехмерное. Иными словами, выше энергии кроссовера проводник можно описывать как набор слабо связанных жидкостей Томонаги-Латтинжера, а ниже кроссовера - как трехмерную анизотропную жидкость Ферми. Характерная энергия, при которой одномерное поведение меняется на трехмерное, была вычислена в работах [60, 61]. В статьях [62, 63] утверждается, что признаки кроссовера наблюдались в экспериментах по оптической проводимости.
Необходимо помнить, что жидкость Ферми, возникающая в квазиодномерных системах при низких энергиях, из-за одномерных флуктуации испытывает сильную перенормировку таких параметров, как поверхность Ферми, квазичастичный вычет и затухание квазичастицы. В частности, хорошо известно [60], что квазичастичный вычет может сильно уменьшится из-за одномерных корреляций. Эти и близкие эффекты для различных квазиодномерных моделей обсуждались в работах [6, 60, 64-66].
Во многих теоретических работах обсуждается фазовая диаграмма квазиодномерных проводников. Этот вопрос стал особенно тщательно исследоваться после открытия в 1980 г. органических сверхпроводников, так называемых солей Бехгарда [67]. Одними из ранних работ на эту тему являются следующие статьи [68-70]. Несколько важных результатов было получено в работе [60]. Исследуя весьма общую модель, авторы вывели формулу для перенормировки вычета квазичастицы, а также получили правильное выражение для температуры фазового перехода в квазиодномерном проводнике с достаточно сильным поперечным перескоком.
Актуальным является теоретический вопрос о возможности нефононной сверхпроводимости в таких системах. Одним из способов подойти к этой проблеме - это заменить фононы какими-нибудь другими бозоноподобными воз буждениями. Например, флуктуациями заряда или спина. В качестве примера работ, использующих такой подход, можно привести статьи [71, 72]. В этих публикациях с помощью приближения случайных фаз рассчитывались эффективные константы взаимодействия, которые были затем использованы для построения низкоэнергетической теории среднего поля для сверхпроводящего параметра порядка. Это позволяет определять условия стабильности разных параметров порядка.
Несомненное достоинство такого подхода - интуитивность. Однако, для квазиодномерной системы применение метода случайных фаз не гарантирует правильный ответ. В частности, необходимость с осторожностью относиться к приближениям, основанным на суммировании подкласса диаграмм, была отмечена в работе [10].
Другой подход к вычислению фазовой диаграммы - численный метод ренормгруппы [73-75]. Формально, данный метод вполне обоснован в пределе слабого взаимодействия. Он позволяет анализировать зависимость симметрии сверхпроводящего параметра порядка при изменениях параметров гамильтониана. Однако, как и большинство других компьютерных методов с громоздкой вычислительной процедурой, численная ренормгруппа не интуитивна. По сути, мы имеем дело с «черным ящиком»: указав параметры гамильтониана «на входе» компьютерной программы, мы «на выходе» получаем некоторое количество описывающих поведение физических величин графиков, имея лишь приблизительное представление о том, почему эти графики выглядят так, а не иначе. Альтернативный подход развивался в работах диссертанта [6-10].
Вывод эффективного гамильтониана для бесспиновых фермионов
В отличие от квазичастичного веса Z (к), нам не нужно беспокоиться о поправках более высокого порядка для прк = (0\с ксрк\0). Мы уже отмечали выше, что для несущественного оператора теория ренормгруппы гарантирует малость и конечность поправок к свойствам основного состояния. Поскольку числа заполнения - не более чем среднее значение оператора с кс к в основном состоянии, эта теорема к ним вполне применима. Уравнение (1.180) является наглядным тому подтверждением. Поправки более высокого порядка также будут конечны и малы при малом д .
Квази-ферми жидкость Приведенные выше вычисления позволяют доказать, что гамильтониан (1.161) определяет особое состояние одномерно го фермионного вещества, которое не сводится ни к жидкости Ферми, ни к жидкости Томонаги-Латтинжера. Действительно, это не жидкость Томонаги Латтинжера: поскольку поправки Snf, ур. (1.180), малы, числа заполнения представляют собой функцию, имеющую разрыв при энергии Ферми, тогда как для жидкости Томонаги-Латтинжера птк является непрерывной функци ей.
С другой стороны, исследуемое состояние - не жидкость Ферми, поскольку не имеет фермионных возбуждений, имеющих конечный спектральный вес. Хотя, одно свойство жидкости Ферми наша система сохранила: упомянутый в предыдущем абзаце разрыв функции прк напоминает соответствующее свойство жидкости Ферми. Причем, заметим, что разрыв существует, а квазичастицы - нет.
Квази-ферми жидкость в холодных атомах, удерживаемых в оптических ловушках Теперь обсудим возможность создания квази-фер ми жидкости с помощью атомов, удерживаемых в одномерных оптических ловушках [42]. Экспериментально, одномерная фермионная материя была со здана в лаборатории с помощью атомов калия-40, захваченных эффективной потенциальной ямой сигарообразной формы. Температура в данном экспери менте была слишком высока для наблюдения многочастичных одномерных эффектов. В связи с большой научной ценностью подобных исследований, однако, можно ожидать, что экспериментальные сложности будут в конце концов решены, и мы сможем протестировать многие теоретические предсказания на эксперименте.
С теоретической точки зрения атомы в ловушке могут быть описаны с помощью эффективного гамильтониана, такого как, например, наш гамильтониан (1.1). При этом взаимодействие между атомами задается не полным потенциалом V(x), а эффективным потенциалом, имеющим форму дельта-функции, умноженной на константу д. Такой формализм эквивалентен нашему H[nt, ур. (1.3). Экспериментаторы умеют менять значение g в широких пределах, могут даже обратить д в нуль. Когда происходит обнуление д, означает ли это, что фермионы в ловушке ведут себя как свободные частицы? Мы должны дать отрицательный ответ на этот вопрос. Действительно, обращение в нуль взаимодействия H[nt не означает, что H[nt также становится нулем. Для иллюстрации этого обстоятельства рассмотрим следующий пример: одномерный газ фермионов с двучастичным взаимодействием
Обычно теоретики удерживают д: а д отбрасывают, поскольку такое взаимодействие несущественно (в смысле ренормгруппы).
Теперь представим ситуацию, когда мы подстроили V так, что д = 0. В ситуации общего положения (т.е., когда V(x) не обладает какими-то особыми симметриями) величина д остается конечной даже при нулевом д. В этом случае пренебречь д нельзя, и мы получаем гамильтониан Нц, ур. (1.161). Таким образом, обращение в нуль эффективной константы взаимодействия, характеризующей маргинальный член, не означает, что фермионы будут вести себя как свободные частицы. Вместо этого, благодаря остаточному несущественному взаимодействию, образуется квази-ферми жидкость.
Итак, в данной части мы показали, что одномерные фермионы с несущественным взаимодействием - отдельный класс фермионной материи, который мы назвали квази-ферми жидкость. Для такой жидкости характерен конечный разрыв функции заполнения прк при к = кр. В то же время, квазичастицы с конечным спектральным весом отсутствуют. Представляется вероятным, что, по мере улучшения экспериментальных возможностей, такое состояние может быть реализовано в одномерных оптических ловушках, в которых возможна подстройка эффективного межфермионного взаимодействия.
Исследование точности приближенной схемы Хаббард-I для вычисления сверхпроводящих корреляций в модели Хаббарда
В предыдущих частях мы вывели эффективный гамильтониан для низкоэнергетических фермионных степеней свободы. Для этого мы воспользовались вариационным методом, который, как уже было отмечено, эквивалентен методу ренормгруппы в беспетлевом приближении. Беспетлевое приближение состоит в том, что ренормгрупповой поток рассчитывается с помощью диаграмм, не содержащих петли. Зачастую такого приближения вполне достаточно для получения требуемой информации о поведении системы. Поэтому оно широко используется. Его основная проблема состоит в следующем: если в исходном «микроскопическом» гамильтониане отсутствует некий существенный оператор, то беспетлевой ренормгрупповой поток не в состоянии сгенерировать такой оператор самостоятельно. При этом, учет хотя бы одно-петлевых диаграмм часто (хотя, конечно, не всегда) достаточен для генерации изначально отсутствовавших операторов.
Казалось бы, выход из такой ситуации - рассчитать уравнения ренормгруппы в однопетлевом приближении. Однако делать это, видимо, не следует по двум причинам. Первая причина - чисто техническая. В нашей системе предельная точка Томонаги-Латтинжера допускает три существенных (в ренормгрупповом смысле) оператора: «поперечный» перескок, «поперечное» взаимодействие волн зарядовой плотности и «поперечное» взаимодействие волн спиновой плотности (последний оператор пока еще нами не вводился). Нам не известен предел, в котором все три существенных оператора были бы одновременно «почти маргинальными», что позволило бы вести разложение по малой аномальной размерности (аналог є-разложения). Хотя попытки построить уравнения ренормгруппы для однопетлевого потока предпринимались, всерьез их надежность не анализировалась.
Вторая причина связана с точностью полученного эффективного гамильтониана. Даже если бы мы преуспели в получении требуемых уравнений ре-нормгруппового потока, а также смогли их решить или достаточно хорошо проанализировать решения качественно, ценность найденного эффективного гамильтониана была бы ограниченной. Во-первых, значения «микроскопических» затравочных констант для реальных веществ известны с весьма умеренной точностью. Во-вторых, в нашей модели несколько состояний с нарушенной симметрией, имея близкие энергии, конкурируют друг с другом. Поэтому даже малые погрешности в знании затравочных констант, а также неточности теоретического метода получения эффективной теории, способны принципиально изменить фазовую диаграмму.
Поэтому мы, вместо того, чтобы улучшать метод вывода эффективного гамильтониана, попробуем «угадать» его, опираясь при этом на наш опыт работы с вариационным методом.
Итак, мы хотим понять, каким же будет наиболее общий эффективный гамильтониан для квазиодномерных электронов. В предыдущих частях мы увидели, что эффективный гамильтониан похож на исходную модель, однако имеется также ряд важных отличий. В частности, константа «поперечного» взаимодействия перенормируется по сравнению со своим «голым» значением: д к 92к С точки зрения метода ренормгруппы такая перенормировка неудивительна, ведь данный оператор растет под действием ренормгруппово-го потока.
Как мы отметили выше, другим оператором, растущим под действием ренормгруппового потока, является оператор «поперечного» взаимодействия волн спиновой плотности. Отсутствие такого оператора в эффективном га 124 мильтониане HeS есть артефакт нашего метода. Чтобы исправить данную погрешность, мы добавим данный член в гамильтониан, как говорится, «руками». Таким образом, плотность эффективного гамильтониана будет выглядеть так: Новыми здесь являются величины JQ И J2 . Это сгенерированные потоком ренормгруппы эффективные константы взаимодействия между спиновыми плотностями на цепочках і и j. Теперь наш эффективный гамильтониан учитывает все существенные и маргинальные операторы, возможные возле предельной точки Томонаги-Латтинжера и допускаемые симметриями системы. Мы будем предполагать, что верно неравенство ур. (2.108), а также его аналог
Это условие, как и ур. (2.108), есть следствие того, что эффективная константа, характеризующая силу существенного оператора, больше, чем эффективная константа при маргинальном операторе.
Теперь мы проанализируем обобщенный эффективный гамильтониан, выраженный ур. (2.109), с помощью теории среднего поля. Поскольку технология этого анализа не сильно отличается от того, что мы уже дважды проделали выше, нижеприведенные рассуждения будут, по возможности, краткими.
Волны плотности. Гамильтониан допускает две диэлектрические фазы: волну зарядовой плотности и волну спиновой плотности. Для свободных электронов оба параметра порядка имеют одинаковую восприимчивость, логарифмически расходящуюся при низких температурах в системе с идеальным нестингом. Вблизи предельной точки Томонаги-Латтинжера оба оператора имеют одинаковые скейлинговые размерности.
Эта симметрия нарушается при учете внутрицепочечного взаимодействия $bs, сдвигающего равновесие в пользу спиновой плотности. С другой стороны, естественно предполагать, что в «микроскопическом» исходном гамильтониане взаимодействие плотностей заряда сильнее, чем взаимодействие плотностей спина: д . J k
Водород, адсорбированный на графене: фазовое расслоение и гладкость границы раздела графен-графан
Выше мы привели расчеты, показывающие, что при нулевой температуре АА-двуслойка является антиферромагнетиком. При этом, вероятно, антиферромагнитная намагниченность такого состояния достаточно велика, поскольку расчет по методам квантовой химии показывает, что кулоновское взаимодействие в графеновых системах сравнимо с кинетической энергией 7г-электронов.
Представленные расчеты сделаны при Т = 0. Когда Т 0, в системе происходят качественные изменения: поскольку в двумерном образце не может существовать упорядочение при конечной температуре, антиферромагнетик с дальним упорядочением разрушается флуктуациями. Но при этом остается ближний антиферромагнитный порядок. При не слишком высокой температуре система в некоторых аспектах остается весьма близкой к антиферромагнетику с дальним упорядочением. Чтобы понять, что происходит при конечной температуре, можно воспользоваться нелинейной сигма-моделью, описывающей термические флуктуации голдстоуновской моды. Лагранжиан сигма-модели имеет форму [243, 244]: котором существует антиферромагнитный порядок. Это выражение применимо до тех пор, пока температура достаточно мала, так что длинна sw остается большей, чем среднеполевая корреляционная длинна vp/A(T). Как только это условие нарушается, ур. (4.51) более неприменимо, и ближний порядок пропадает. Таким образом, равенство sw = определяет температуру кроссовера Т между антиферромагнетиком с ближним порядком и парамагнитным металлом. Простой анализ дает Т А для всех значений to и А. Иными словами, при Т Т ближний антиферромагнитный порядок существует на размерах sw (причем, конечно же, sw ао). При Т Т этот порядок пропадает. Температура кроссовера Т как функция U представлена на рис. 4.2.
В нашем исследовании мы не учитывали эффекты подложки, примесей и т.д. К счастью, если эти возмущения меньше, чем характерная энергия А, то они не вносят принципиальных изменений, и могут быть учтены по теории возмущений.
Также, мы можем рассмотреть другие типы упорядочения, следуя той же программе, которую мы применили для расчета антиферромагнетизма. (Примером таких упорядоченных состояний являются состояния с экситон-ным параметром порядка.) Несложно показать, что выигрыш в энергии, связанный с прочими видами упорядочения, меньше, чем выигрыш, связанный с антиферромагнитным порядком. Это есть следствие того, что лишь для антиферромагнитного параметра порядка константа взаимодействия включает в себя энергию отталкивания на одном узле (например, для экситонного параметра порядка нужно учесть отталкивание электронов на соседних атомах, что значительно более слабый эффект).
Таким образом, мы можем заключить, что АА-двуслойка должна демонстрировать антиферромагнитное упорядочение. При нулевой температуре антиферромагнитный порядок является дальним, при конечной температуре он становится ближним. Ближний порядок разрушается посредством крос 193 совера, и система переходит в парамагнетик. Антиферромагнитный порядок приводит к открытию щели в одноэлектронном спектре, что может быть обнаружено на туннельном эксперименте.
Водород, адсорбированный на графене: фазовое расслоение и гладкость границы раздела графен-графан
Создание графенового образца с гладкой границей - важная прикладная задача. Очевидное решение - разорвать лист графена на фрагменты с ровными краями [246]. Одна из возможных альтернатив - использование графана. Графан [247] - полностью гидрогенизированный графен. Это изолятор со щелью в несколько эВ. Если провести в графане локальную дегидрогенизацию, то получился бы образец, в котором проводящие фрагменты графена были бы включены в диэлектрическую матрицу графана. В таком образце граница раздела графен-графан служит эффективным краем для проводящих электронов в графене. Системы на основе графен-графан были рассмотрены в ряде работ [153, 156]. Таким образом, вопрос о стабильности границы графен-графан является важной задачей физики графена.
Численные исследования [159, 248] показывают, что адсорбированные атомы водорода кластеризуются [249], причем граница таких кластеров стабильна. Тенденция к кластеризации может быть объяснена в терминах фазового расслоения на гидрогенизированные и свободные от водорода области графенового листа. Наличие фазового расслоения было продемонстрировано теоретически с помощью полуфеноменологического подхода [158].
В данной главе мы обобщим теоретическое описание, предложенное в работе [158]. Вместо полуфеноменологической теории, основанной на предполо 194 жении о виде взаимодействия между электронами в графене и адсорбированным водородом, мы предложим микроскопическую модель, напоминающую модель Фаликова-Кимбалла. Преимущество подобного подхода в его общности: для основного состояния модели Фаликова-Кимбалла известно, что оно неустойчиво по отношению к фазовому расслоению [250-254]. Таким образом, можно продемонстрировать, что фазовое расслоение - не исключительное свойство водорода на графене, и любой атом или радикал, адсорбированный на графене, будет демонстрировать похожее поведение. В этой части мы рассчитаем параметры фазового расслоения с помощью приближения Хаб-бард-1 [77]. Для того, чтобы проверить надежность такого приближения, мы проведем точную численную диагонализацию для конечного кластера.
Кроме этого, мы исследуем вопрос о связи между фазовом расслоением и устойчивостью границы графен-графан. Мы покажем, что эта граница имеет положительное поверхностное натяжение: чтобы увеличить ее длину, нужно совершить конечное количество работы, которое пропорционально приращению длины границы. Мы оценим данную величину. Она окажется достаточно большой. Таким образом, можно ожидать, что граница раздела будет стабильной и гладкой на заметных расстояниях. В частности, согласно оценкам, которые даны ниже, при комнатной температуре, граница будет обладать атомной гладкостью на протяжении 102 решеточных констант. Такая устойчивость очень привлекательна для создания баллистических ме-зоскопических устройств.
