Содержание к диссертации
Введение
1 Анализ литературы и постановка задач исследования 7
1.1 Примеры процессов, контролируемые энтропийным фактором 7
1.2 Концепции, методы и основные результаты 10
1.2.1 Базовая модель 10
1.2.2 Особенности диффузии в неоднородных средах и в условиях пространственных ограничений 12
1.2.3 Выход броуновской частицы из полости сквозь малое отверстие 13
1.2.4 Перенос частиц через капиллярные каналы 14
1.2.5 Диффузия в каналах и трубках переменного сечения 16
1.3 Задачи исследования 25
2 Диффузия в квазиодномерных структурах 27
2.1 Формулировка подхода 27
2.2 Общая формула для эффективного коэффициента диффузии 30
2.3 Диффузия в периодически расширяющейся трубке 32
2.4 Выводы 35
3 Диффузия в трубках с альтернирующим сечением 36
3.1 Диффузионный транспорт в отсутствие внешних воздействий 37
3.1.1 Статистика времен переходов 37
3.1.2 Эффективный коэффициент диффузии 41
3.2 Диффузионный транспорт под действием внешних воздействий 45
3.2.1 Эффективная подвижность 45
3.2.2 Эффективный коэффициент диффузии 49
3.3 Выводы 54
4 Энтропийный броуновский мотор 55
4.1 Молекулярные моторы и насосы 56
4.1.1 Белковые моторы 56
4.1.2 Синтетические моторы 58
4.2 Броуновские моторы 62
4.3 Зависимость эффективной подвижности от приложенной силы в трубках различной структуры 64
4.4 Дрейф частицы в периодически сужающейся трубке, индуцируемый периодически меняющейся по направлению силой 67
4.5 Выводы 77
5 Характеристики энтропийного броуновского мотора . 78
5.1 Эффективность преобразования энергии 78
5.1.1 Адиабатический предел 79
5.1.2 Влияние частоты возмущений 80
5.2 Выпрямление синусоидального сигнала 81
5.2.1 Затухание скорости дрейфа с ростом частоты переключений 82
5.3 Выпрямление сигнала, изменяющегося по случайному закону 84
5.4 Обсуждение результатов 87
5.5 Выводы 89
Заключение 90
Литература
- Концепции, методы и основные результаты
- Диффузия в периодически расширяющейся трубке
- Зависимость эффективной подвижности от приложенной силы в трубках различной структуры
- Выпрямление синусоидального сигнала
Концепции, методы и основные результаты
Дело в том, что для перемещения частицы из одного объема в другой ей необходимо, во-первых, войти в капилляр сквозь малое отверстие (высокий энтропийный барьер) и, во-вторых, пройти его насквозь, что значительно менее вероятно, чем возврат в исходную среду, то есть преодолеть два энтропийных барьера (рис. 1.3). Конкуренция энтропийных и энергетических эффектов определяет кинетику мембранных процессов [23].
Одним из наиболее наглядных примеров влияния геометрии среды на транспорт частиц в ней является диффузия в квазиодномерных структурах (рис. 1.4). Как известно, протяженным порам, трубкам и каналам в биологических мембранах [24], мозговой ткани [25, 26], пористых средах [4], почвах [27], а также углеродным нанотрубкам [28] присуща сложная геометрия, которая лишь в редких случаях может быть аппроксимирована цилиндром. В частности, это проявляется в том, что сечение таких трубок и каналов существенно меняется вдоль их оси (см., например, [29]), регулируя пространство, доступное для диффундирующей частицы: расширения играют роль энтропийных ям, а сужения – энтропийных барьеров. Именно этому классу эффектов уделено основное внимание в данной работе.
Так в цеолитах, представляющих собой группу кристаллических микропористых минералов (которые состоят в основном из кремния и кислорода), имеются полости, образующие длинные цилиндрические каналы переменного сечения, пронизывающие толщу минерала на макромасштабах [30]. Диффузионный транспорт вдоль таких каналов контролируется их геометрией, что определяет уникальные свойства цеолитов (избирательную абсорбцию, каталитическую активность, способность к фильтрации и ионному обмену) [31–34].
Специфика диффузионного транспорта сквозь конические нанопоры в полимерных мембранах экспериментально изучена в работах [37,38]. Обнаружена асимметричная диффузия и указано на возможность использования конических пор для выпрямления ионного тока. Рисунок 1.4: Полученное с помощью сканирующей электронной микроскопии изображение квазиодномерной структуры — искусственно созданной системы периодически сужающихся каналов в силиконовой мембране [35,36]. Еще один пример квазиодномерных структур с меняющимся по длине сечением — искусственно созданные периодически сужающиеся каналы в силиконовых мембранах [35, 36]. В неравновесных условиях эти структуры обладают выпрямляющей способностью. Как отмечено в указанных работах и будет строго показано ниже, эффект выпрямления обусловлен энтропийным фактором и асимметрией этих структур.
В основе традиционного подхода к описанию диффузии лежит теория броуновского движения, восходящая к классическим работам Эйнштейна, Смолуховского [39] и Ланжевена [40], в которых дано микроскопическое объяснение феноменологических законов Фика [41]. Концепция броуновского движения служит для интерпретации широкого круга физических (и не только физических) явлений, временная эволюция которых происходит под действием случайной силы. Целям данной работы отвечает простейшая ситуация: броуновская частица мигрирует в термически однородной среде (растворителе) под воздействием флуктуирующей как по величине, так и по направлению силы (теплового шума), возникающей в результате непрекращающейся «бомбардировки» молекулами растворителя. В отсутствие внешнего воздействия результирующая сила, действующая на частицу, характеризует ее взаимодействие с громадным числом микроскопических степеней свободы среды. Регулярная, не зависящая от флуктуаций, часть этой силы представляет силу трения, а ее случайная компонента – равновесные флуктуации.
Базовая модель дает огрубленное описание броуновского движения, хорошо работающее в громадном числе приложений. Она основана на ряде убедительно обоснованных упрощений: 1. Концентрация частиц предполагается достаточно малой, что позволяет пренебречь их взаимодействием и использовать одночастичное приближение.
2. Среда считается неограниченной, однородной и изотропной. Поскольку все направления эквивалентны, а движения вдоль них независимы, без потери общности достаточно обсуждать одномерный случай.
3. На наноуровне трение доминирует над инерцией [42] (режим сильного трения). Поэтому инерционным членом в уравнении движения обычно пренебрегают. Более того, размером частиц также часто пренебрегают, считая броуновскую частицу точечной.
4. Предполагается, что сила трения линейна по скорости, а случайная сила f (і) представляет собой гауссов (в силу центральной предельной теоремы [43]), белый (отсутствие памяти [44]) шум с нулевым средним, (()) = 0 и коррелятором (()(s)) = 2V5(t — s), где V -интенсивность случайной силы, 8(t) - дельта функция Дирака, а угловые скобки означают усреднение по реализациям случайного процесса.
В режиме сильного трения динамика броуновской частицы, движущейся вдоль случайной траектории x(t) во внешнем поле V(x,t), описывается уравнением Ланжевена [40]
Если в режиме сильного трения броуновское движение в потенциальном поле подчиняется уравнению (1.4), не содержащему информации ни о массе, ни о скорости частицы, то строгое рассмотрение динамики частицы с конечной массой предполагает анализ эволюции распределения частицы в фазовом пространстве, которое удовлетворяет более сложному уравнению Клайна-Крамерса [47]. Если частицы малы, скорость релаксирует к равновесному максвелловскому распределению очень быстро, и задача редуцируется к одномерной в координатном пространстве: уравнение Клайна-Крамерса сводится к уравнению Смолуховского [48].
В рамках базовой модели броуновское движение представляет собой гауссовский случайный марковский процесс. Движение свободной броуновской частицы, обычно рассматриваемое как нормальная диффузия, характеризуется нулевым средним смещением и линейной по времени зависимостью среднего квадрата этой величины
Ни один из постулатов нормальной диффузии не является законом природы. Неудивительно поэтому, что в неоднородных, неупорядоченных средах, а также в системах с долгой памятью и в условиях пространственных ограничений, обусловленных геометрией и топологией среды, закономерности и проявления диффузии существенно иные, чем это предсказывает базовая модель. Наиболее наглядно это проявляется при сопоставлении экспериментально наблюдаемых временных зависимостей среднего квадрата смещения с формулой (1.7). Отклонения имеют место как в характере временной зависимости (аномальная диффузия) [49-52], так и в значительном изменении коэффициента диффузии (эффективная диффузия) [5,53].
В первом случае (Ах2) растет со временем нелинейно, (Ах2) ос f. Показатель v может быть как меньше (субдиффузия), так и больше (супердиффузия) единицы. Механизмы аномальной диффузии находятся в центре внимания современных исследований [54].
Диффузия в периодически расширяющейся трубке
Проблема преобразования энергии из форм, поставляемых природой, в направленное механическое движение уникальна по своей распространенности и значимости. В повседневной жизни она с успехом решается с помощью тепловых машин, электрических моторов и другие устройств, принципы работы которых основаны на хорошо изученных законах классической механики, термодинамики и электродинамики. Гораздо менее исследованы механизмы превращения энергии на наноуровне, где физика сопутствующих процессов иная: трение доминирует над инерцией, процессы обычно изотермичны, а движение частиц носит стохастический характер. Их изучение является одним из приоритетных направлений фундаментальных исследований в целом ряде научных дисциплин. Так, в молекулярной биологии одна из ключевых задач состоит в том, чтобы понять как энергия, освобождаемая в ходе биохимических реакций, используется молекулярными белковыми моторами и насосами для выполнения их биологических функций [24,166]. В нанотехнологиях имеется насущная потребность создания устройств, которые, будучи обеспечены энергией, способны совершать контролируемое движение на на-ноуровне [167]. Один из наиболее перспективных подходов к решению проблемы связан со сравнительно недавно обнаруженным явлением: в пространственно-периодических системах с нарушенной зеркальной симметрией дрейф частиц возникает под действием неравновесных флуктуаций или регулярно повторяемых возмущений с нулевым средним (так называемый рэт-чет эффект) [168,169]. Теоретические модели, обеспечивающие этот эффект, получили название броуновских моторов [170].
В данной главе предложена и детально проанализирована оригинальная модель такого мотора (см. рис. 4.1), представляющая собой броуновскую частицу в периодически сужающейся трубке, движущуюся под действием периодически меняющейся со временем продольной силы, в среднем равной нулю. Показано, что под действием этой силы частица дрейфует в направлении, обратном приложенной к ней постоянной силе нагрузки. Предложенная модель представляет собой броуновский мотор, способный совершать работу против силы нагрузки, преобразуя энергию вносимых возмущений в направленное движение. Вначале кратко обозреваются литературные данные по биологическим и синтетическим молекулярным моторам (раздел 4.1), а также основные положения теории броуновских моторов (раздел 4.2). Оригинальные результаты исследования представлены в разделах 4.3 и 4.4. В первом из них изложены результаты анализа зависимости эффективной подвижности частицы от постоянной движущей силы в трубках раз Рисунок 4.1: Схема энтропийного броуновского мотора: частица в периодически сужающейся трубке, движущаяся под действием периодически меняющейся со временем продольной силы F(). Переменная сила F() принимает два значения, F и -F, мгновенно сменяющих друг друга через время , так что ее среднее значение за период 2 равно нулю. Период изменения сечения , наибольший и наименьший радиусы
В отличие от простейших одноклеточных организмов, не обладающих внутренней структурой (прокариотов), эукариотические клетки, составляющие любой многоклеточный организм, сложнее по устройству (они обладают ядром, ответственным за хранение генетической информации, и множеством отдельных отсеков (органелл)), и больше (по крайней мере, на порядок) по размеру. Поэтому пассивный диффузионный транспорт, обеспечивающий жизнедеятельность эукариотов, не способен обеспечить функционирование ядерных клеток. Природа нашла элегантное решение, обеспечив такие клетки сетью микроволокон и микротрубочек (образующих так называемый цитоскелет), вдоль которых, движутся молекулярные белковые моторы, обеспечивая внутриклеточную коммуникацию, доставляя необходимые вещества, удаляя продукты распада и выполняя ряд других биологических функций. Энергия, необходимая для преодоления сил трения и переноса грузов, поставляется за счет протекания в неравновесных условиях экзотермической химической реакции – гидролиза аденозинтрифосфата (ATF) с образованием Рисунок 4.2: Кинезин, передвигающий груз, вдоль тубулиновой микротрубки.
Миозин, двигающийся по актиновому волокну. аденозиндифосфата и неорганического фосфата : + + 20. Синтез ATF обеспечивается специальным классом ферментов, получившим название ATF-синтаза [171], за счет энергии, получаемой от протонов, проходящих по электрохимическому градиенту.
Скорость белковых моторов невелика (порядка 10(-6) - 10(-7) м/сек), но в пределах клеток, размер которых не превышает 10(-5) м, время их движения составляет доли секунды, что позволяет быстро и, что не менее важно, надежно (а не случайно, в результате долгих хаотических блужданий под действием теплового шума) осуществлять сложнейшие биохимические процессы с высокой точностью [166]. О роли теплового шума свидетельствует тот факт, что белковый мотор обычно потребляет 100-1000 молекул ATF в секунду, развивая мощность 10(-16) -10(-17) Вт, в то время как мощность, обусловленная тепловыми столкновениями с окружающими молекулами, порядка 10(-8) Вт [172], т.е. в 108 - 109 раз больше.
Существует большое количество разнообразных белковых моторов, выполняющих различные функции [173]. Все они обладают каталитической активностью. Наиболее известными из них являются кинезины (см. рис. 4.2), динеины и миозины (см. рис. 4.3) [174–176]. Первые
два движутся вдоль полых тубулиновых микротрубок, тогда как миозины дрейфуют вдоль ак-тинововых микроволокон. Как микротрубки, так и микроволокна представляют собой периодические полярные белковые структуры с нарушенной зеркальной симметрией. Несмотря на сходство структур, эти семейства принципиально отличны в своих функциях и механизмах работы [177–179].
Современный уровень экспериментальных исследований (в основном в хорошо оснащенных лабораториях США и Японии, имеющих длительный опыт работы) характеризуется возможностью наблюдения за поведением отдельных белковых машин при вариации параметров среды. В частности, обнаружено, что с ростом нагрузки скорость мотора спадает почти линейно [166]. Одной из ключевых (экспериментально наблюдаемых) характеристик любого молекулярного мотора является сила остановки (stopping force) -– величина нагрузки, при котором его движение останавливается. Типичное значение силы остановки 10(-11) -10(-12) Н [166]. Большинство теоретических моделей, объясняющих работу белковых моторов (см., например, [166]) в той или иной мере базируется на идее Фейнмана [168] о выпрямлении флуктуаций в асимметричном периодическом потенциале. Однако, в литературе имеются модели, где наличие такого потенциала не требуется [180–183]. В целом, можно сказать, что несмотря на значительные усилия, на сегодняшний день понимания механизмов, ответственных за внутриклеточный транспорт, не достигнуто [6].
Зависимость эффективной подвижности от приложенной силы в трубках различной структуры
Как свидетельствует рис. 4.9в, выход на асимптотику происходит при / = 100, если сила положительна, и при / = 1000, когда она отрицательна. Анизотропия подвижности, возникающая благодаря асимметрии окружения, указывает на возможность генерации в таких системах направленного движения под действием зависящей от времени, в среднем ненаправленной силы. Схема такого выпрямления была впервые предложена в работах [197,198], где рассматривалась диффузия в асимметричном периодическом 1D энергетическом потенциале. Затем она обсуждалась применительно к плавно меняющемуся периодическому энтропийному потенциалу [149, 193, 194]. В последующих разделах реализация этой идеи обсуждается в ситуации, когда асимметричный энтропийный потенциал периодически меняется резко. В ранее рассмотренных случаях характеризующая асимметрию подвижности величина /іе //і0 сравнительно мала и обращается в нуль при больших значениях / (рис. 4.9а). Привлекательность модели, представленной на рис. 4.1 в, в том, что /W o достигает значений близких к единице, eff.max/ o = 1 — (a/R)2, при достаточно больших / и малых a/R , обеспечивая тем самым высокую скорость и эффективность работы предлагаемого мотора.
Данный раздел посвящен аналитическому рассмотрению дрейфа броуновской частицы в периодически сужающейся трубке, индуцируемого периодически меняющейся по направлению силой. Предложенная схема преставляет собой энтропийный броуновский мотор. Рассчитаны его основные характеристики: скорость дрейфа и сила остановки. Формулировка задачи
Рассмотрим точечную броуновскую частицу, движущуюся в периодически сужающейся трубке (рис. 4.1) под действием переменной силы F(i) и постоянной силы нагрузки Q = -Qex, направленных вдоль оси х трубки. Переменная сила принимает два значения F = Fe и F = —Fex, продолжительность каждого периода равна т, так что среднее значение силы за период 2т равно нулю. Динамика частицы в режиме сильного трения описывается уравнением наряду с отражающими условиями на стенках трубки (обозначения в формуле 4.5 такие же, как в аналогичной формуле 1.16). Несмотря на действие силы Q, постоянно толкающей частицу налево, она (при значениях Q, меньших силы остановки Qs) дрейфует направо под влиянием в среднем ненаправленной силы F(i) благодаря асимметрии эффективной подвижности. Задача состоит в том, чтобы при заданных параметрах геометрии системы и внешнего воздействия найти эффективную скорость дрейфа в установившемся режиме v(F, т, Q). Анализ сфокусирован на область больших амплитуд F, где асимметрия подвижности выражена наиболее ярко (рис. 4.9в) и обсуждаемый эффект максимален. Заметим, что F — Qs 0 при таких F.
В течение положительного полупериода изменения F(t) на частицу действует результирующая сила F — Q и частица (в установившемся режиме) смещается направо в среднем на {Ах[т; /(1 — q)]), где / = (3FL и q = Q/F. Аналогично, во втором полупериоде частица под действием силы — (F + Q) смещается налево в среднем на {Ах[т; —/(1 + q)]) Следовательно, интересующая нас эффективная скорость дрейфа равна
В адиабатическом пределе, г — оо, смещения частицы за полупериод легко находятся. В этом случае релаксация одного неравновесного стационарного состояния, отвечающему постоянной силе, скажем, направленной направо, в другое, которое возникает под действием силы, направленной налево, и наоборот, протекает практически мгновенно (по сравнению с г). Поскольку рассматриваются амплитуды F — оо, и, более того, разность (F — Q) также предполагается достаточно большой при любых Q Qs, то при г — оо
Величина vad,o(F) есть скорость движения частицы в адиабатическом режиме при нулевой нагрузке. Она линейна по F, неограниченно нарастая с ростом амплитуды силы, т.е. ведет себя совершенно иначе, чем в ранее предложенных моделях броуновских моторов, индуцируемых флуктуирующей силой. Сила остановки в адиабатическом режиме Qs,ad(F) также линейно растет с F. Параметр а количественно характеризует асимметрию подвижности при F — оо, когда она максимальна. Если F велико, то даже при высокой асимметрии разность [F — Qs,ad(F)] = F(1 — а) оказывается достаточно большой, чтобы считать, что //ед[/(1 — а)] = /ief(+)- Например, при a/R = 0,1 и а = 0, 98 это выполняется при / 5 х 103 (см. рис. 4.9в).
Формула (4.8) описывает зависимость «скорость-нагрузка» (в адиабатическом режиме), которая является одной из важнейших характеристик любого мотора. Отличительной особенностью этой зависимости является то, что как скорость дрейфа, так и сила остановки могут быть сколь угодно велики, в то время как обычно они ограничены сверху.
Иерархия характерных времен Здесь и далее обсуждаются ситуация с конечными временами переключения силы т. Соответствующий анализ предполагает сопоставление г с другими характерными временами задачи. В условиях, обеспечивающих высокий уровень выпрямления внешнего сигнала (большие амплитуды в сочетании с малым параметром а/К), имеет место существенное различие временных масштабов релаксационных процессов.
Временной масштаб R2 /D0 характеризует радиальную релаксацию точечной неоднородности по наибольшему сечению трубки. Это время определяет границы применимости адиабатического режима. Значительно меньший масштаб a2/D0 определяет диффузионное рассасывание по сечению неоднородности размером порядка а. Этот масштаб оказывается наиболее важным при описании обсуждаемого процесса. Оба масштаба не зависят от амплитуды прикладываемой силы и величины нагрузки. Наименьший из временных масштабов - время свободного пролета элементарной ячейки трубки частицей, движущейся под действием положительно направленной силы. При наличии нагрузки эта величина равна td = L/ [p,o(F — Q)] = (L2/D0)/(/ — q), что в условиях больших / на много порядков меньше остальных характерных времен задачи. Масштаб td определяет границы применимости предлагаемого подхода.
Обсудим более детально релаксационные процессы, обусловленные переключением направления силы. В начале положительного полупериода действия силы F() радиальное распределение частицы в трубке однородно по сечению радиуса R (см. формулу (4.3)). Далее, благодаря совместному воздействию силы и столкновений со стенками, распределение частицы быстро, за времена порядка td, фокусируется в пределах радиуса а. Это означает, что, если г 3 td, то положительный полупериод частица в основном проводит в подвижном состоянии (в согласии с данными компьютерного моделирования). Наоборот, в начале отрицательного полупериода F(t) частица находится в подвижном состоянии, р а. Затем медленно, благодаря радиальной диффузии, она переходит в новое неравновесное стационарное состояние, характеризуемое однородным распределением по сечению радиуса R. При этом заселенность подвижного состояния p(t) снижается от единицы при t = 0 до a2/R2 при t — оо. Характерное время этого процесса trei не зависит от силы и поэтому trei $ td. Таким образом, асимметрия формы трубки проявляется не только в асимметрии подвижности, но и в асимметрии времен релаксации. Если первая ярко выражена при малых значениях a/R, то вторая, наоборот, ослабевает в этих условиях. Дело в том, что при а — 0, (как показано ниже), trei — 0, а td от а не зависит, поэтому неравенство
Uel td теряет силу Основываясь на этой качественной картине, получим выражение для скорости дрейфа, зависящей от частоты переключения, которое оправдано до асимптотически малых г td. Будем исходить из определения (4.6). Согласно сказанному выше, среднее смещение частицы за положительной полупериод F(t), как и в адиабатическом режиме (см. формулу (4.7)), равно II0(F-Q)T, тогда как эта же величина за отрицательный полупериод дается выражением U0(F-\-Q) 0 p(t)dt. Следовательно, интересующая нас скорость дрейфа может быть представлена в виде
Выпрямление синусоидального сигнала
На рис. 4.10 представлена зависимость () от /re\ рассчитанная по (4.17) и (4.26) при / = 0.1 и / = 0.3. Эта зависимость характеризует спад силы остановки с ростом частоты переключения силы. На этом же рисунке символами представлены значения () полученные на основании данных моделирования. Следуя второй из формул (4.16) они определялись как отношение силы остановки a(, ) найденной в компьютерном эксперименте при заданных и , к силе остановки в адиабатическом режиме s a(i = при той же амплитуде . Сопоставление результатов аналитических и численных расчетов (полученных при / = 0.1 и / = 0.3 и = 10 ) показывает их хорошее согласие друг с другом. Рисунок 4.10 не только наглядно иллюстрирует обсуждаемый эффект но и убедительно свидетельствует об адекватности основных приближений положенных в основу теории подтверждая оценки области их применимости. 4.5 Выводы
Проанализирована задача о дрейфе броуновской частицы в периодически сужающейся трубке, возникающем под действием силы, периодически во времени меняющей свое направление (рис. 4.1). Предложенная модель представляет собой энтропийный броуновский мотор, способный совершать работу против силы нагрузки, преобразуя энергию вносимых возмущений в направленное движение.
Эффект выпрямления возникает благодаря качественно разному поведению, эффективной подвижности в зависимости от направления приложенной силы (рис. 4.9в). Конструктивную роль играет при этом тепловой шум, обеспечивающий радиальную диффузию, которая ответственна за релаксацию в поперечном направлении.
Предложенный механизм выпрямления обладает рядом особенностей. Во-первых, он опирается на асимметрию формы, а не потенциала, как в большинстве моделей, обсуждавшихся ранее. Во-вторых, этот механизм наиболее эффективен в ситуации, когда амплитуда движущей силы велика, обеспечивая возможность неограниченной скорости дрейфа и силы остановки. И, наконец, в-третьих, этот механизм, в отличие от предложенных ранее, трактуем аналитически.
При большой амплитуде движущей силы, когда обсуждаемый эффект максимален, получены аналитические решения для основных динамических характеристик мотора: скорости дрейфа (формулы 4.18 и 4.26) и силы остановки (формулы 4.16, 4.17 и 4.26). В области своей применимости эти решения находятся в согласии с результатами компьютерного моделирования, выполненного методом броуновской динамики.
Показано как скорость и сила остановки убывают по мере роста частоты переключения силы (рис. 4.10). Предложенная теория основана на особенности геометрии рассматриваемой системы, в силу которой при больших амплитудах силы, наряду с асимметрией подвижности, имеет место и асимметрия времен релаксации. Учитывая это, установлено что оптимальный выбор отношения радиусов / находится в диапазоне 0.03 / 0.3, где оба типа асимметрии выражены достаточно отчетливо. Глава 5
Характеристики энтропийного броуновского мотора.
В данной главе продолжен анализ энтропийного броуновского мотора, предложенного в главе 4. Раздел 5.1 посвящен исследованию КПД (rj) этого мотора, то есть анализу того, насколько эффективно преобразуется вносимая энергия в полезную работу. Другой вопрос, поставленный в настоящей главе: как зависит выпрямляющая способность предложенного механизма от параметров внешнего воздействия и прежде всего от характера его временной зависимости. Полученные результаты для синусоидального воздействия представлены в разделе 5.2, а апериодической последовательности импульсов — разделе 5.3, а также сопоставлены с результатами главы 4 для биполярных прямоугольных импульсов. Анализ, как и в других главах основан на сочетании аналитических расчетов и моделированием методом броуновской динамики.
Величины Pin и Pout трактуются в литературе по-разному. Соответственно, имеются и разные подходы к определению эффективности [203-206]. Модель, предлагаемая в данной работе (см. рис. 4.1), основана на механизме флуктуирующей силы. Согласно наиболее распространенному термодинамическому определению эффективности, под полезной понимается работа против силы нагрузки Q, которая в единицу времени (в среднем за период изменения силы F(t)) равна POMt = QV(F,T;Q). Затраченная в единицу времени работа по организации движения есть просто произведение амплитуды возмущения на сумму средних скоростей частицы в каждом из полупериодов. Таким образом, в случае качающихся (rocking) рэтчетов энергетическая эффективность дается формулой [203] где усреднение ведется по периоду изменения силы F(t). С учетом соображений, изложенных в последнем параграфе раздела 4.4, и считая, как обычно, / 3 1, среднее значение г\ может быть записано в виде Pin = 1/2/I0F [F — Q + (F + Q) J0 p(t)dt/r\ . Воспользовавшись этими выражениями для РІП и Pout, а также формулами (4.17) и (4.18), получим, что эффективность (КПД) равна где q = Q/F - безразмерная сила нагрузки и qs(r) = QS(F,T)/F = аф(т) - безразмерная сила остановки (q qs), параметр а, характеризующий асимметрию подвижности при F — оо , задан формулой (4.9), р(т) находится из формулы (4.26), и ф(т) определяется формулой (4.17). Легко убедиться в том, что Pin Pout, то есть rj(q, т) 1 при всех значениях параметров, как и должно быть. Из формулы (5.3) следует, что эффективность (а) обращается в нуль в предельных случаях q = 0 и q = qs, принимая максимальное значение в промежутке между ними; (б) падает с ростом частоты переключения силы, обращаясь в нуль при г = 0; (в) растет с увеличением параметра а, характеризующего асимметрию трубки. К последнему утверждению следует отнестись с осторожностью, поскольку при очень малых a/R и, соответственно, близких к единице значениях а, асимметрия времен релаксации ослабевает и эффективность мотора резко падает.
Похожие диссертации на Энтропийные эффекты в диффузионном транспорте, обусловленные геометрией среды
