Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Теория упругого рассеяния рентгеновского излучения атомами и методы расчета амплитуд рассеяния 11
1.1. Описание упругого рассеяния фотонов атомом методами стационарной квантовой теории рассеяния 11
1.2. Вычисление аномального атомного фактора рассеяния полным методом многократного рассеяния в формализме функций Грина 30
ГЛАВА 2. Распространение рентгеновского излучения в кристалле в отсутствие брэгговского рассеяния 43
2.1. Описание процесса распространение рентгеновского излучения в кристалле методом многократного рассеяния фотонов 43
2.2. Описание процесса распространение рентгеновского излучения в кристалле методами электродинамики сплошных сред 57
2.3. Определение тензора диэлектрической проницаемости кристалла в рентгеновской области частот из экспериментов по прохождению рентгеновского излучения через кристаллические пластинки 62
ГЛАВА 3. Процессы динамической дифракции рентгеновского излучения в области аномального рассеяния 75
3.1. Описание процессов динамической дифракции рентгеновского излучения методом многократного рассеяния 75
3.2. Исследование влияния динамической дифракции рентгеновского излучения в области аномального рассеяния на тонкую околопороговую структуру спектров брэгговского отражения 92
ГЛАВА 4. Аномальное рассеяние рентгеновского излучения как возможный источник информации об октаэдрических искажениях в кристалле магноняобата свинца 103
Заключение 111
Публикации по теме диссертации 114
Литература
- Вычисление аномального атомного фактора рассеяния полным методом многократного рассеяния в формализме функций Грина
- Описание процесса распространение рентгеновского излучения в кристалле методами электродинамики сплошных сред
- Определение тензора диэлектрической проницаемости кристалла в рентгеновской области частот из экспериментов по прохождению рентгеновского излучения через кристаллические пластинки
- Исследование влияния динамической дифракции рентгеновского излучения в области аномального рассеяния на тонкую околопороговую структуру спектров брэгговского отражения
Введение к работе
Актуальность темы. Цели и задачи исследования.
За последнее время опубликовано большое число работ, посвященных теоретическому и экспериментальному исследованию процессов аномального рассеяния рентгеновского излучения в кристаллах [1-4]. Такие процессы происходят в случае, когда энергии рентгеновских квантов близки к энергии ионизации одного из остовных атомных уровней. Рост интереса к процессам аномального рассеяния обусловлен несколькими причинами. Во-первых, в области аномального рассеяния имеют место большое число красивых и нетривиальных эффектов, на основе которых можно получать дополнительную информацию об атомной и электронной структуре твердых тел. Во-вторых, развитие экспериментальной техники и, прежде всего, создание высокоинтенсивных источников поляризованного синхротронного рентгеновского излучения — электронных накопителей третьего поколения, открыло такие возможности для получения новых экспериментальных данных, которые были недоступны ранее.
Данная работа посвящена теоретическому исследованию двух важных эффектов, имеющих место в области аномального рассеяния рентгеновского излучения в кристаллах, что свидетельствует об актуальности темы диссертации.
Первый из исследуемых эффектов имеет место в случае, когда рентгеновское излучение проходит через кристалл так, что условия Вульфа - Брэгга не выполняются, а угол между падающим пучком и поверхностью кристалла столь велик, что полное внешнее отражение также не происходит. Если симметрия кристалла ниже кубической, то с учетом того, что в области аномального рассеяния тензор диэлектрической проницаемости не является шаровым, в кристалле должны возникнуть две волны, которые по аналогии с волнами, которые рассматриваются в кристаллооптике, можно назвать обыкновенной и необыкновенной волнами. В отличие от оптической области спектра в рентгеновской области из-за того, что диэлектрическая проницаемость близка к единице, обыкновенная и необыкновенная волны пространственно не обособляются друг от друга, а совместно распространяются по кристаллу, интерферируя друг с другом и формируя результирующую волну, амплитуда и поляризация которой сложным образом меняются в зависимости от длины пробега волны в кристалле. При исследовании рассматриваемых процессов прохождения рентгеновского излучения в области аномального рассеяния через кристаллы пониженной симметрии необходимо решить две задачи. Во-первых, надо предложить по возможности более простое теоретическое описание перестройки рентгеновской волны при ее распространении в кристалле пониженной симметрии, а, во-вторых, выяснить, какую информацию о тензоре диэлектрической проницаемости кристалла и каким образом можно получить из экспериментов по прохождению рентгеновского излучения через монокристаллические плоскопараллельные образцы.
Второй эффект, которому посвящено основное внимание в данной диссертаций, это эффект возникновения тонкой структуры спектров брэгговского дифракционного отражения (DAPS), которая наблюдается в области аномального рассеяния рентгеновского излучения. Первой задачей, которую необходимо решить, является задача о влиянии процессов динамической дифракции рентгеновского излучения в кристалле на тонкую структуру спектров брэгговского отражения. С учетом того, что аномальное рассеяние является существенно квантовым процессом, при решении поставленной задачи естественно возникает вопрос об описании процесса динамической дифракции рентгеновского излучения в рамках квантовой теории рассеяния, не пользуясь при этом методами электродинамики сплошных сред, традиционно используемыми при описании процессов динамической дифракции в области нормального рассеяния. Второй задачей, которую необходимо решить, состоит в выявлении новых возможностей получения информации о локальной атомной структуре кристаллов из данных по дифракционному отражению рентгеновского излучения в области аномального рассеяния.
Научная новизна.
В работе предложен новый подход к теоретическому описанию процессов распространения и дифракционного отражения рентгеновского излучения в области аномального рассеяния. Впервые показано, что эти процессы могут быть полностью описаны в рамках стационарной квантовой теории многократного рассеяния рентгеновских квантов в кристалле без использования методов электродинамики сплошных сред.
Развита методика определения компонент тензора диэлектрической проницаемости для кристаллов произвольной симметрии на основе использования экспериментальных данных по прохождению рентгеновского излучения через монокристаллические плоскопараллельные образцы.
Установлено, что эффекты динамического дифракционного рассеяния рентгеновского излучения в кристаллах сравнительно слабо изменяют тонкую структуру спектров дифракционного отражения, полученную в приближении геометрической теории дифракции.
Предложен метод прямого наблюдения, определения размеров и исследования атомной структуры областей с ромбоэдрическим искажением кристаллической решетки в кубическом кристалле магнониобата свинца по угловым и частотным зависимостям интенсивности «сигма-пи» дифракционного рассеяния рентгеновского излучения с длинами волн вблизи К- края поглощения атомов ниобия.
Научная и практическая значимость.
Развитые в диссертации методы теоретического описания процессов прохождения и дифракционного отражения рентгеновского излучения в области аномального рассеяния в кристаллах произвольной симметрии открывают новые возможности для лучшего понимания этих процессов и для более полного использования экспериментальных данных при исследовании электронного и атомного строения вещества по тонкой структуре спектров брэгтовского отражения рентгеновского излучения.
Предложенный в работе метод исследования локальных ромбоэдрических искажений в кубических кристаллах сегнетоэлектриков-релаксоров типа магнониобата свинца по угловым и частотным зависимостям интенсивности «сигма-пи» дифракционного отражения рентгеновского излучения в области аномального рассеяния позволяет получить из экспериментальных данных новую нетривиальную информацию о локальной атомной структуре важного в практическом отношении и интересного с фундаментальной точки зрения класса сегнетоэлектрических кристаллов.
Основные научные положення выносимые на защиту:
Описание процессов прохождения и дифракционного рассеяния рентгеновского излучения в кристаллах как процессов многократного рассеяния рентгеновских квантов в многоатомных системах позволяет построить простую и наглядную теорию таких процессов, основанную на стационарной квантовой теории рассеяния, адекватной решаемой задаче, и не использующую методы электродинамики сплошных сред, применимость которых к рассматриваемым процессам требует дополнительного обоснования.
Для определения компонент тензоров диэлектрической проницаемости кристаллов симметрии ниже кубической из экспериментов по прохождению рентгеновского излучения фиксированной частоты через монокристаллические плоскопараллельные образцы необходимо и достаточно располагать информацией об интенсивностях прошедших волн с различными направлениями вектора поляризации. При этом могут быть определены все компоненты тензора кроме вещественной части одной из компонент, для определения которой необходимо провести измерения при различных частотах рентгеновского излучения и воспользоваться соотношением Крамерса — Кронига.
Процессы динамической дифракции рентгеновского излучения в кристаллах, существенно изменяющие интенсивности отраженных волн, слабо изменяют тонкую структуру спектров дифракционного отражения по сравнению с тонкой структурой, которая имеет место в приближении геометрической теории дифракции.
Существование областей с ромбоэдрическим искажением кубической решетки в кубическом кристалле магнониобата свинца делает возможным дифракционное рассеяние рентгеновского излучения с длинами волн вблизи К- края поглощения атомов ниобия, при котором происходит поворот вектора поляризации на 90 («сигма-пи» рассеяние). Угловые и частотные зависимости интенсивности такого рассеянного излучения содержат прямую информацию о существовании областей с ромбоэдрическим искажением, их размерах и локальной атомной структуре.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладьгеались и обсуждались на 8-ом Международном симпозиуме "Порядок, беспорядок и свойства оксидов" ODPO-2005 (Сочи, Россия, 2005), 8-ой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых ВНКСФ-8 (Екатеринбург, Россия, 2002), 7-ой
Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых ВНКСФ-7 (С.-Петербург, Россия, 2001), 5-ой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых ВНКСФ-5 (Екатеринбург, Россия, 1999).
Публикации.
Основные результаты диссертации достаточно полно отражены в печатных работах автора, опубликованных в журналах и сборниках трудов конференций. По теме диссертации опубликовано 7 работ.
Личный вклад автора.
Программа исследований была предложена научным руководителем аспиранта, профессором Р.В. Ведринским. Обсуждение и анализ полученных результатов, а также уточнение планов исследований проводились автором совместно с научным руководителем и ст. научн. сотрудником НИИ физики РГУ, канд. физ.-мат. наук А.А. Новаковичем.
При расчетах использовался разработанный канд. физ.-мат. наук А.А. Новаковичем комплекс программ XKDQ, реализующий на ПЭВМ полный метод многократного рассеяния.
Теоретические исследования и расчеты выполнены автором самостоятельно.
Объем и структура работы.
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. В первой главе рассмотрены вопросы теоретического описания рассеяния рентгеновского излучения атомами в кристалле и излагается метод вычисления компонент тензора атомной амплитуды рассеяния рентгеновского излучения, основанный на использовании формализма функций Грина и МТ приближения для кластерного потенциала. Во второй главе на основе использования двух методов описания процесса распространения рентгеновского излучения (методы многократного рассеяния рентгеновских квантов и электродинамики сплошных сред) получены соотношения, описывающие реконструкцию рентгеновской волны в кристалле произвольной симметрии. Полученные соотношения позволяют развить методику определения вещественных и мнимых частей компонент тензора диэлектрической проницаемости кристалла на основе использования данных экспериментов по прохождению рентгеновского излучения через кристаллы. В третьей главе предложен новый подход к описанию динамической дифракции рентгеновского излучения в области аномального рассеяния на основе использования стационарной теории многократного рассеяния рентгеновских квантов в кристалле. С использованием полученных уравнений и развитых ранее методов расчета тензора атомной амплитуды рассеяния на примере кристаллов германия и титаната свинца исследовано влияние эффектов динамической дифракции на тонкую структуру спектров дифракционного отражения в окрестности К- краев поглощения атомов германия и титана. В четвертой главе исследована угловая и частотная зависимости интенсивности «сигма-пи» дифракционного отражения от кубического в среднем кристалла магнониобата свинца и показано, что такое отражение оказывается возможным за счет нанообластей с ромбоэдрическим искажением кубической решетки, существование которых в настоящее время предполагается. Показано, что экспериментальное исследование «сигма-пи» дифракционного отражения может дать прямые свидетельства о существовании областей с ромбоэдрическим искажением, определить их средние размеры и получить информацию о локальной атомной структуре таких областей.
Диссертация содержит 121 страницу, 8 рисунков и библиографию из 70 наименований.
Вычисление аномального атомного фактора рассеяния полным методом многократного рассеяния в формализме функций Грина
Понятно, что сделанный в предыдущем разделе переход от соотношения (1.19), где фигурирует точное многоэлектронное выражение для электронного матричного элемента процесса рассеяния, к соотношениям (1.21), (1.24) и (1.31), где используются одноэлектронные матричные элементы, является приближенным, но это приближение традиционно используется в литературе [21]. Однако, если пытаться провести прямолинейный расчет аномального вклада в атомный фактор рассеяния на основе использования соотношения (1.31), такой расчет натолкнется на серьезные трудности, обусловленные необходимостью суммировать в (1.31) по большому.числу промежуточных состояний фм, расчет волновых функций которых в сложном потенциальном рельефе многоатомных систем сам по себе представляет немалые трудности.
Аналогичные, хотя и меньшие трудности возникают в теории рентгеновских спектров поглощения многоатомных систем. При расчете спектров поглощения также приходится проводить суммирование по всевозможным конечным состояниям электронной системы, возникающим в результате поглощения фотона, однако, в случае спектров поглощения суммирование проводится лишь по состояниям с фиксированной энергией, а в случае аномального атомного фактора рассеяния — по любым промежуточным состояниям электронной системы, разрешенным принципом Паули. Удачный метод облегчения расчета рентгеновских спектров поглощения многоатомных систем основан на применении одноэлектронных функций Грина [13, 24, 25]. Использованная в этих работах запаздывающая функция Грина удовлетворяет, как известно, соотношению: где обозначения такие же, как и в (1.29).
Отметим, что в отличие от (1.31) суммирование в (1.34) производится по всем без исключения одноэлектронным состояниям: как свободным, так и занятым. Понятно, что в таком случае в (1.31) можно снять суммирование и перейти к функции Грина, если при этом вычесть вклады от промежуточных занятых состояний. Запишем получающееся в таком случае соотношение для диполь-дипольного вклада в атомный фактор рассеяния:
В настоящее время разработаны эффективные алгоритмы расчета одноэлектронной функции Грина многоатомных систем [13, 26 - 30]. Расчет вклада от занятых остовных электронных состояний в (1.35) также не представляет особых трудностей. Сложнее всего учитывать вклады в (1.35) от занятых валентных состояний, волновые функции которых, как и волновые функции свободных состояний, существенно зависят от структуры ближнего окружения рассеивающего атома, что делает расчет с использованием соотношения (1.35) с первого взгляда не намного проще, чем расчет, основанный на соотношении (1.31). В работе [15] было показано, что сумму в (1.35) по занятым состояниям также можно выразить через одноэлектронную функцию Грина (ФГ). Чтобы сделать это, надо рассмотреть ФГ как функцию комплексного энергетического параметра z = z, что является обычным в теории ФГ [31]:
Ясно, что функция G(z) (координаты для упрощения опушены) однозначно определена и аналитична на всей комплексной плоскости переменной z за исключением вещественной оси, где она может иметь полюса, расположенные при z = s„, где гп - энергии состояний дискретного спектра одноэлектронного оператора Гамильтона рассматриваемой системы, а также разрезы там, где энергии sn лежат в области непрерывного спектра этого оператора.
Описание процесса распространение рентгеновского излучения в кристалле методами электродинамики сплошных сред
Для сопоставления полученных результатов" с результатами следующего параграфа, где проводится более строгое рассмотрение для важного частного случая нормального падения волны на кристалл, решим систему уравнений (2.23) для этого случая, когда kQz = к0. Система (2.23) является системой двух обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Понятно, что общее решение этой системы должно быть линейной комбинацией двух базисных решений, которые ищутся в виде: где индексы т - 1, 2 соответствуют двум базисным решениям системы (2.23), которые будут условно называться обыкновенной и необыкновенной волнами. Для нахождения амплитудных векторов будем для определенности считать, что они X нормированы на единицу.
Подставляя (2.24) в (2.23) с учетом (2.22), получим систему двух линейных алгебраических однородных уравнений: условием существования нетривиального решения системы (2.25) является равенство нулю ее определителя, откуда определяются два значения Д. Компоненты Е% находятся для каждого из найденных значений Ак из (2.25) и условия нормировки:
Более подробно задача будет решена в следующем параграфе. В заключение данного параграфа рассмотрим вопрос о получении из системы трехмерных интегральных уравнений (2.11) системы одномерных интегральных уравнений. Чтобы сделать это, проинтегрируем в (2.11) по переменным х , у . После несколько громоздких преобразований, которые опущены, получим: = 5Uo + L F (0))cx,(z )dz (2.27) K0z V о
Полученную систему линейных одномерных интегральных можно решать итерационным образом, а можно, продифференцировав левую и правую ее части по z, получить систему линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений, полностью идентичную системе (2.23).
Описание процесса распространение рентгеновского излучения в кристалле методами электродинамики сплошных сред.
Рассмотрим процесс распространения рентгеновского излучения в кристалле в отсутствие брэгговского рассеяния, используя традиционные для решаемой задачи методы электродинамики сплошных сред [37] и выясняя при этом, какие приближения, упрощающие решение, могут быть сделаны в области рентгеновских частот. Проведенное ниже рассмотрение обобщает результаты, полученные в работах [38, 39, 40]. В результате будет дано обоснование использованному в предыдущем параграфе приближению поперечности электрического поля электромагнитной рентгеновской волны в кристалле и более детально, чем в предыдущем параграфе, описано решение уравнений для электрического поля рентгеновской волны в кристалле в области аномальной дисперсии.
Как и ранее, будем считать, что поверхность кристалла плоская, вдоль нее направлены оси х, у, а перпендикулярно, вглубь кристалла - ось z, начало отсчета которой совмещено с поверхностью кристалла.
Рентгеновская волна с волновым вектором к0 и вектором поляризации е , перпендикулярным, нормально падает на поверхность кристалла. В области аномальной дисперсии тензор диэлектрической проницаемости кристалла в общем случае анизотропен. В этом случае в кристалле должны возникнуть две волны Er e 4 г (т = 1, 2), которые, следуя традиции, назовем обыкновенной (т = 1) (О) и необыкновенной (т = 2) (Н) волнами.
Поскольку в силу симметрии решаемой задачи q = kQxy = 0, векторы q имеют отличные от нуля только z компоненты:
Слабость взаимодействия рентгеновской волны с кристаллом приводит к тому, что О и Н волны распространяются в кристалле совместно. Их интерференция порождает результирующую волну где амплитуды ат определяются из граничного условия на поверхности кристалла, которое вытекает из принятого ранее приближения, согласно которому из-за слабости взаимодействия рентгеновской волны с кристаллом волной, отраженной от поверхности, можно с хорошей степенью точности пренебречь:
Определение тензора диэлектрической проницаемости кристалла в рентгеновской области частот из экспериментов по прохождению рентгеновского излучения через кристаллические пластинки
Меняя направление вектора поляризации подающей волны е (или, что то же самое, поворачивая кристалл под пучком без изменения направления его нормали, которая все время остается параллельной падающему пучку), можно изменять угол а. Из полученных зависимостей, используя метод фурье-преобразования определим шесть величин iy\ которые согласно соотношениям (2.41) - (2.43) выражаются через пять независимых неизвестных величин: р, \ilt u.2, 9 и Ф- Чтобы определить последние, разумно сначала решить более простую задачу, перейдя при этом к системе четырех уравнений: где индексы /, j независимо друг от друга пробегают по два значения, равные 1 и 2.
Фигурирующие в левой части (2.44) теоретические отношения величин I-J4iy выражаются, как это следует из (2.41) - (2.43), только через четыре неизвестные величины р, ц, 0 и ф. Справа в (2.44) фигурируют отношения, которые находятся в результате обработки экспериментальных данных. Таким образом, совокупность четырех соотношений (2.44) является системой четырех транс ендентных уравнений, из которых определяются четыре указанные неизвестные величины. Более детальный анализ системы (2.44) показал, что входящие в нее уравнения независимы и величины р, р.,.9 и ф определяются из этой системы однозначно.
Используем еще одно уравнение: Это уравнение, независимое от уравнений (2.44), позволяет определить величину Х] + р-2 если уже определены другие неизвестные величины. Зная эту величину и величину р. = и,] - р.2, легко найти величины Ці, р,2 по отдельности.
Как ясно из сказанного, к сожалению, величины pi и р2 по отдельности из экспериментов по прохождению рентгеновского излучения через кристалл определены быть не могут, если эксперимент проводится при фиксированной частоте излучения. Эти величины могут быть определены, если провести эксперименты при различных частотах излучения и воспользоваться соотношением Крамерса — Кронига [37].
Следует отметить, что, измеряя только полную интенсивность прошедшего излучения, поставленную задачу, в принципе, невозможно решить. Действительно, выражение для полной интенсивности, как это следует из соотношений (2.41, 2.42), может быть записано в следующем виде: x {/, - cos 2а [м cos 2ф + Л sin 2(ф + 9)] - sin 2а [М sin 2ф + Л " sin 2(ф + 0)]} = = 4 -cos2a/1(0 -sin2a/ , (2-46)
Как ясно из (2.46), поворачивая плоскость поляризации падающего излучения можно определить только три независимые величины /Q \/ ,/ , что дает три уравнения для пяти величин р, \хг, \i2, 0 и ф, так что эти величины из эксперимента по прохождению с измерением только интенсивностеи прошедшего через кристалл излучения определены быть не могут.
Рассмотрим вопрос о том, какую информацию из экспериментов по прохождению и каким образом можно получить для трехмерного тензора диэлектрической проницаемости кристалла. Заранее ясно, что для получения такой информации из кристалла надо вырезать плоскопараллельные пластинки, ориентированные различным образом, и для них проводить эксперименты и обработку полученных результатов так, как это описано выше. Первым делом рассмотрим вопрос о том, какое число величин и какие именно величины нужно найти, чтобы полностью определить трехмерный тензор диэлектрической проницаемости кристалла.
Как и ранее, будем считать, что кристалл негиротропен, так что его тензор диэлектрической проницаемости симметричен. Представим этот тензор в виде линейной комбинации вещественной и мнимой частей рассматриваемого тензора: Є = Є + /Е , каждая из которых также симметрична, В отличие от предыдущего величины є, є , є" - это трехмерные тензоры. В общем случае тензор є характеризуется тремя главными значениями pi, р2 и рз, а также направлением трех главных осей Г, 2 , 3 . Аналогично, тензор є" также характеризуется тремя главными значениями ць Цз и цз и направлениями трех главных осей 1", 2", 3". Чтобы охарактеризовать ориентацию осей I", 2", 3" относительно осей Г, 2\ 3 надо задать три угла Эйлера. В свою очередь, для того, чтобы охарактеризовать направление осей Г, 2\ У относительно осей 1, 2, 3 каким-то образом заданных в кристалле, также необходимо указать три угла Эйлера. Таким образом, в общем случае тензор диэлектрической проницаемости кристалла в области аномального рассеяния характеризуется двенадцатью вещественными величинами. Эти величины, как правило, резко изменяются с изменением частоты излучения в околопорговых областях спектра, где наблюдается аномальное рассеяние. Понятно, что учет симметрии кристалла уменьшает число величин, которые нужно определить.
Исследование влияния динамической дифракции рентгеновского излучения в области аномального рассеяния на тонкую околопороговую структуру спектров брэгговского отражения
За последние десятилетия существенно возрос интерес к исследованию брэгговской дифракции в области аномального рассеяния рентгеновского излучения, где энергии квантов близки к энергиям ионизации остовных атомных уровней [1 - 4, 52 - 61]. Причина такого интереса двояка. С одной стороны он обусловлен появлением новой экспериментальной техники, которая дала возможность наблюдать новые эффекты. Здесь прежде всего надо упомянуть электронные накопители, являющиеся источниками высокоинтенсивного поляризованного синхротронного излучения. С другой стороны в области аномального рассеяния наблюдается ряд ярких эффектов, не имеющих места в области нормального рассеяния, таких как возникновение тонкой структуры спектров аномальной дифракции - DAFS [1, 54-56], брэгговское отражение с поворотом плоскости поляризации рентгеновского излучения, появление брэгговских рефлексов, запрещенных в области нормального рассеяния [57-61], и другие.
При экспериментальном исследовании эффектов, возникающих в области аномального рассеяния, используются монокристаллические образцы, в которых также возможны и эффекты динамической дифракции рентгеновского излучения. Важно знать, в какой мере последние эффекты влияют на тонкую структуру спектров аномальной дифракции. Ниже этот вопрос исследуется на примерах кристаллического германия и важного сегнетоэлектрического кристалла со структурой перовскита РЬТЮз -титаната свинца [62].
Кристалл германия имеет кубическую решетку со структурой алмаза и параметром ячейки 5,657 А.[63]. Расчеты проводились для идеальной монокристаллической пластинки толщиной 0,5 мкм с поверхностью, перпендикулярной оси [001]. Исследовалась интегральная интенсивность разрешенного (004) брэгговского рефлекса в зависимости от частоты рентгеновского излучения вблизи Ge К- края поглощения. В рассматриваемом случае вектор обратной решетки g, ответственный за возникновение (004) брэгговского рефлекса, перпендикулярен поверхности кристалла.
Расчеты проводились для случая «сигма» рассеяния, когда вектор поляризации падающего излучения перпендикулярен плоскости рассеяния, содержащей волновые векторы падающего и отраженного излучения. С учетом высокой симметрии кристалла легко убедиться в том, что вектор поляризации рассеянного излучения остается также перпендикулярным плоскости рассеяния. В этом случае система уравнений (3.20), (3.21) упрощается и становится системой двух связанных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений:
При расчетах считалось, что амплитуда падающей волны единична, что дает граничные условия: cw(0) = 1, c \L) = 0. Проводился расчет интегральной интенсивности брэгговской отраженной волны в зависимости от параметра и. В рассматриваемом случае величина и приближенно выражается через угол скольжения 9 между волновым вектором падающей волны к± и поверхностью кристалла следующим соотношением: и « 2 (8 0 - 8ІП05) (3.25) где 9в — брэгговское значение угла скольжения.
Поскольку интенсивность падающей волны положена равной единице, интенсивность брэгговской отраженной волны по отношению к интенсивности падающей волны для энергии фотонов sl — Ьску . Эта величина находилась
Определяется ВеЛИЧИНОЙ 7(j,9)= с 2 (0) путем решения системы уравнений (3.24) для указанных граничных условий с использованием пакета MAPLE 8. Как это и должно быть, величина Дєі,6) демонстрирует острый максимум в окрестности брэгговского значения 9в угла скольжения 9. Интегральная интенсивность Дєі) брэгговской отраженной волны находилась путем интегрирования по 9 функции Дєі,9) в пределах, определяемых из условия, что величина ДЕЬ9) становится пренебрежимо малой.
При расчетах использовались параметры МТ потенциала, которые ранее дали хорошие результаты при теоретическом описании тонкой структуры брэгтовского (006) рефлекса в кристаллическом германии, запрещенного в области нормального рассеяния, запрет на возникновение которого снимается в области аномального рассеяния для энергий фотонов, близких к Ge К- краю поглощения.
На рис. 3.2 по оси абсцисс показаны энергии фотоэлектронов, отсчитанные от МТ нуля кристаллического потенциала. Эти энергии по закону фотоэффекта однозначно определяются энергией фотонов Єї рассеивающегося рентгеновского излучения. По оси ординат показаны интегральные интенсивности рефлекса /(si), рассчитанные в атомных единицах для единичного потока падающего излучения. На панели а линия 1 получена с учетом как динамической дифракции, так и резонансного рассеяния рентгеновского излучения на Ge Is оболочке, линия 2-е учетом динамической дифракции, но без учета резонансного рассеяния, линия 3 -в приближении геометрической теории дифракции с учетом резонансного рассеяния, а линия 4 - в том же приближении, но без учета резонансного рассеяния. Линия 5 показывает интегральную интенсивность (004) рефлекса, экспериментально полученную для реального кристалла большой толщины [64]
Похожие диссертации на Исследование прохождения через кристаллы и дифракционного рассеяния рентгеновского излучения в области аномального рассеяния
