Динамическая теория диффузного рассеяния излучений в кристаллах с дефектами кулоновского типа Олиховский, Степан Иосифович

Содержание к диссертации

Введение

1. Динамическая теорш диффузного рассеянрн излучений в невдеалшых кристаллах 12

1.1. Общие замечания 12

1.2. Тепловое диффузное рассеяние 14

1.3. Диффузное рассеяние на статических искажениях 19

1.4 Метод трехкристальной рентгеновской дифрактометрии 22

1.5. Картины Кикучи 30

2. Общетеоретические вопросы опщеіїенш амплитуды и жтенсивности динамического диффузного рассеяния электронов и рентгеновских лучей в кристаллах с дефектами 33

2.1. Основные уравнения и амплитуда рассеяния 33

2.2. Одноволновой случай дифракции: диффузный фон в одноволновом направлении 43

2.2.1. Вычисление амплитуды диффузного рассеяния в различных представлениях 44

2.2.2. Эквивалентность метода плоских волн и метода волновых мод 51

2.2.3. Сравнение с кинематической теорией 54

2.3. Одноволновой случай дифракции: диффузный фон в двухволновом направлении (линии Кикучи) 57

2.3.1. Вычисление амплитуды диффузного рассеяния 57

2.3.2. Интенсивность линий и полос Кикучи при рассеянии в неупорядоченных твердых растворах 64

3. Интенсивность диффузного рассеяния в двухволновом случае дшракции по брэггу 75

3.1. Амплитуда диффузного рассеяния и потенциал кристалла, содержащего дефекты кулоновского типа 75

3.2. Поле упругих смещений дефекта кулоновского типа в ограниченном кристалле 81

3.3. Интенсивность диффузного рассеяния с учетом и без учета "сил зеркального изображения 86

3.4. Профили интенсивности, изодиффузные линии и их связь с характеристиками дефектов 88

4. Интенсивность диффузного рассеянии в двухвoлнoвoм случае дшракции по ЛАУЭ 102

4.1. Вычисление интенсивности диффузного рассеяния 102

4.2. Зависимость профилей интенсивности диффузного рассеяния от толщины кристалла и характеристик дефектов 106

4.2.1. Случаи тонкого и толстого кристаллов. Эффект аномального прохождения диффузно рассеянных лучей 106

4.2.2. Вклады процессов внутриветвевого и мекветвевого рассеяний в профили интенсивности 109

4.3. Изодиффузные линии и их характерные особенности, связанные с динамическими эффектами и характерис тиками дефектов 111

4.3.1. Изодиффузные линии в плоскости, перпендикулярной к сильному брэгговскому лучу 111

4.3.2. Изодиффузные линии в плоскости рассеяния 116

4.4. Интенсивность дифузного рассеяния в неупорядоченных твердых растворах 123

Заключение 131

• Тепловое диффузное рассеяние
• Одноволновой случай дифракции: диффузный фон в одноволновом направлении
• Поле упругих смещений дефекта кулоновского типа в ограниченном кристалле
• Зависимость профилей интенсивности диффузного рассеяния от толщины кристалла и характеристик дефектов

Введение к работе

Неразрушающие методы исследования структуры реальных твердых тел представляют собой важную область физики твердого тела и играют все более весомую роль в современной технике. Особое место среди таких методов занимает рассеяние излучений (рентгеновских лучей, электронов, нейтронов), длина волны которых сравнима с межатомными расстояниями кристаллических структур. Наблюдаемые дифракционные и интерференционные картины в этом случае позволяют получать ценную информацию как о макроскопических характеристиках реальных кристаллов, так и о тонких деталях их атомного строения. При этом наиболее полную информацию о характеристиках дефектов кристаллов несет диффузное рассеяние.

Характер распределения интенсивности диффузного рассеяния, вид изодиффузные поверхностей, т.е. поверхностей равной интенсивности в пространстве обратной решетки, существенно зависит от типа дефектов, их положения в кристаллической решетке, закона упругого взаимодействия дефектов с атомами кристалла. Вследствие этого оказывается возможным проводить анализ типа дефектов и определять их характеристики по данным о диффузном рассеянии излучений. Теоретической базой для интерпретации наблюдаемых картин диффузного рассеяния и установления их связи с характеристиками дефектов служит кинематическая теория дифракции излучений в неидеальных кристаллах.

Кинематический подход справедлив в тех случаях, когда можно пренебречь многократным рассеянием и интерференционным взаимодействием волн, т.е. при исследовании достаточно несовершенных кристаллов, а также монокристаллов, толщина которых намного меньше длины. Для исследования же почти совершенных монокристаллов произвольной толіцинн необходима динамическая теория диффузного рассеяния. Основы такой теории для монокристаллов с макроскопические однородно распределенными дефектами произвольного типа в настоящее время созданы. Получены общие выражения для интенсивностей диффузных волн и установлены в общем виде связи между распределением диффузного фона в условиях динамической дифракции и характеристиками дефектов.

Однако, для практической реализации возможностей динамической теории диффузного рассеяния в интерпретации экспериментальных результатов необходимы детальные аналитические выражения для интенсивности диффузного рассеяния в каждом конкретном случае дефектов. Наиболее важное место среди них в монокристаллических материалах для новой техники занимают дефекты кулоновского типа (точечные дефекты и их группы - включения, зародыши новой фазы, дислокационные петли малого радиуса) . Этим и обусловлена актуальность темы данной диссертационной работы.

Целью работы является развитие динамической теории диффузного рассеяния излучений в монокристаллах с дефектами кулоновского типа для случаев дифракции по Брэггу и по Лауэ.

Научная новизна. Разработана динамическая теория диффузного рассеяния излучений в случаях дифракции по Лауэ ( на просвет) и по Брэггу (на отражение).

Впервые в рамках динамической теории построены изодиффузные линии. Установлена и подробно исследована возможность их качественного и количественного отличия от соответствующих изолиний кинематической теории. Показана необходимость динамического рассмотрения при исследовании монокристаллов.

В рамках динамической теории проанализирована зависимость характерных особенностей изодиффузные линий, профилей интенсивности и линий Кикучи от параметров динамической дифракции и характеристик дефектов кулоновского типа в монокристаллах.

Практическая ценность. Полученные результаты положены в основу создания новых количественных методов исследования характеристик монокристаллов с дефектами кулоновского типа на базе рентгеновской дифрактометрии.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Разработанная в диссертации динамическая теория диффузного рассеяния излучений монокристаллами с хаотически распределенными дефектами кулоновского типа и построенные на ее основе изодиффузные линии устанавливают закономерности распределения интенсивности диффузного фона в существенно динамической области обратного пространства.

2. Распределение интенсивности диффузного рассеяния монокристаллами с хаотически распределенными дефектами кулоновского типа не только в непосредственной окрестности узлов обратной решетки, области на порядок и более превышающей ширину пика, существенным образом качественно и количественно отличается от распределения, полученного в кинематической теории, и установленные динамические особенности этого распределения содержат дополнительную зависимость от характеристик дефектов.

3. В монокристаллах с хаотически распределенными дефектами кулоновского типа имеет место явление аномального прохождения диффузно рассеянного излучения, механизм возникновения которого более сложный по сравнению с известным эффектом Бормана для лучей, а установленная в работе количественная зависимость описывающих его параметров от характеристик дефектов имеет качественно иной вид.

Апробация работы. Материалы диссертации были доложены на:

1. У Семинаре по дифракционным методам исследования искаженных структур (Иркутск,1981),

2. УІ Семинаре по дифракционным методам исследования искаженных структур (Ленинград,1982),

3. II Всесоюзном совещании по методам и аппаратуре для исследований когерентного взаимодействия излучения с веществом (Ереван,1982),

4. I Республиканском семинаре по изучению радиационных и технологических дефектов в полупроводниковых кристаллах дифракционными методами (Киев, 1982),

5. X Бакурианской школе по радиационной физике металлов и сплавов (Бакуриани, 1983).

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Молодкин В.Б., Олиховский СИ., Осиновский М.Е. Динамическая теория диффузного рассеяния рентгеновских лучей и электронов в твердых растворах /Тезисы докладов У Семинара по дифракционным методам исследования искаженных структур. -Иркутск, 1981, с. 42-43.

2. Молодкин В.Б., Олиховский СИ;, Осиновский М.Е. Динамические эффекты при диффузном рассеянии излучений в кристаллах с хаотически распределенными дефектами. - Киев, 1981, -46 с. - (Препринт / АН УССР, Ин-т металлофизики; 13.81)

3. Молодкин В.Б., Олиховский СИ., Осиновский М.Е. Динамические эффекты дифракции рентгеновских лучей в кристаллах с хаотически распределенными дефектами кулоновского типа / Тезисы докладов II Всесоюзного совещания по методам и аппаратуре для исследований когерентного взаимодействия излучения с веществом. - М., 1982, с. 35 - 36.

4. Молодкин В.Б., Олиховский СИ., Осиновский М.Е. Влияние сил зеркального изображения на когерентные динамические эффекты диффузного рассеяния / Тезисы докладов II Всесоюзного совещания по методам и аппаратуре для исследований когерентного взаимодействия излучения с веществом. -М., 1982, с.37 - 38.

5. Молодкин В.Б., Олиховский СИ., Осиновский М.Е. Динамическая теория диффузного рассеяния рентгеновских лучей и электронов в кристаллах, содержащих дефекты кулвновскоготипа. - Металлофизика, 1983, 5, № I, с. 3 - 15.

6. Молодкин В.Б., Олиховский СИ., Осиновский М.Е. Динамическая теория диффузного рассеяния излучений в кристаллах с дефектами кулоновского типа (лауэ-дифракция). - Металлофизика, 5, № 5, с. 3 - II.

7. Молодкин В.Б., Олиховский СИ., Осиновский М.Е. О применении диффузного рассеяния рентгеновских лучей для исследования структурного совершенства монокристаллов. - Металлофизика, 1983, 5 , № б, с. 112 - 114.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Работа изложена на 147 страницах машинописного текста, включающего 22 рисунка и список цитируемой литературы из 118 наименований.

В I главе дан обзор работ по динамической теории диффузного рассеяния излучений в неидеальных кристаллах.

Во второй главе рассмотрены общетеоретические вопросы определения амплитуды и интенсивности диффузного рассеяния излучений в кристаллах с хаотически распределенными дефектами: вычисление амплитуды рассеяния в различных представлениях, доказательство эквивалентности метода волновых мод и метода плоских волн при решении рассматриваемой задачи дифракции. Подробно исследована интенсивность диффузного рассеяния в случаях, когда падающая волна распространяется в одно-волновом направлении, а диффузный фон наблюдается либо в одно-волновом направлении, либо в двух волновом направлении (линии Кикучи).

В III главе получены выражения для амплитуды и интенсивности рассеяния на кристаллах с хаотически распределенными дефектами кулоновского типа в двух волновом случае дифракции по Брэггу. На их основании впервые построены изодиффузные линии в близкой окрестности узлов обратной решетки. Проведено детальное сравнение с результатами кинематической теории. Установлена связь особенностей распределения динамического диффузного рассеяния с характеристиками дефектов.

В ІУ главе получены выражения для амплитуды и интенсивности диффузного рассеяния на кристаллах с хаотически распределенными дефектами кулоновского типа в двух волновом случае дифракции по Лауэ. Проведен сравнительный анализ вкладов в интенсивность процессов внутри- и межветвевого рассеянии и исследована их толщенная зависимость. Выполнен анализ вида изодиффузные линий, их связи с толщиной и характеристиками дефектов кристалла. Исследована интенсивность динамического диффузного рассеяния в монокристаллах неупорядоченных бинарных твердых растворов.

В заключении изложены основные результаты и выводы диссертационной работы.  

Тепловое диффузное рассеяние

Впервые диффузное рассеяние с учетом динамических эффектов было рассмотрено С.Такаги /"62, 63/. Для интерпретации наблюдаемого расположения диффузных пятен на электронограм-мах он вывел выражения для интенсивности диффузного рассеяния быстрых электронов на тепловых колебаниях атомов кристаллической решетки в первом приближении теории возмущений (однофононное рассеяние). Формулы для интенсивности получены при алроксимации кристаллического потенциала как по Блоху, так и по Нордгейму. Учитывалось когерентное взаимодействие в кристалле проходящей и дифрагированной волн. Поскольку рассеяние на фононах является некогерентным процессом, то возникновение диффузных волн рассматривалось в кинематическом приближении. Полученные формулы детально исследованы для случая дифракции по Лауэ. Один из важных результатов работ /62, 63/ состоит в том, что в окрестноти узла обратной решетки рассматриваемого отражения отсутствует расходимость интенсивности диффузного фона І/OL ( о, - волновой вектор фонона), имеющая место в кинематической теории. При динамическом рассмотрении интенсивность диффузного рассеяния конечна при а- 0 и пропорци-альна i/fy0 , где fy - минимальное расстояние между ветвями дисперсионной поверхности. В работе проанализирован также вклад теплового диффузного рассеяния в интенсивность линий и полос Кикучи. Показано, что этот вклад пропорционален V%f и заметен только в близкой окрестности диффузного пятна. Характерные колебания интенсивности поперек линий и полос Кикучи те же, что и в теории картин Кикучи, создаваемых другими неупругими процессами рассеяния (возбуждение атомов, плазмоны и т.д.). Случай дифракции по Брэггу обсуждается в /62, 63/ только на качественном уровне. Показано, что для получения положения диффузного пятна достаточно рассмотреть только один переход из состояния, представленного точкой возбуждения на одной ветви дисперсионной поверхности, в состояние, представленное точкой возбуждения на второй ветви. Тогда положение диффузного пятна получается с помощью "модифицированного построения Эвальда", которое заменяет сферу Эвальда в обычном построении на эквиэнергетическую поверхность, которая является геометрическим местом концов волнового вектора волны в кристалле, проведенного из точки, соответствующей энергии начальной волны, и которая является конгруэнтной и равноориентированной дисперсионной поверхности.

Предпринята попытка объяснить динамические эффекты, наблюдавшиеся при брэгг-дифракции электронов от плоскостей спайности некото- рых простых кристаллов /83/: смещение диффузных пятен от правильных отражений, возрастание интенсивности диффузных пятен при попадании пятна правильного отражения на линию Кикучи, а также усиление интенсивности диффузных пятен при незначительном отклонении брэгговского рефлекса в одну сторону от линий Кикучи и их ослабление при равном по величине отклонении в другую сторону от нее. Однако, это объяснение носит предположительный характер, поскольку оно основано на формулах для случая лауэ-дифракции, в то время, как брэгг-дифракция, примененная в /83/, имеет специфические особенности, требующие отдельного исследования. Тепловое диффузное рассеяние электронов в приближении динамической теории рассматривалось также в работе /33/. Здесь выведены основные уравнения динамической теории рассеяния электронов с учетом тепловых колебаний. Полученная в двухволновом приближении система линейных алгебраических уравнений позволила получить простые выражения для амплитуд диффузно рассеянных волн. Для случая дифракции по Лауэ показано согласие с результатами работ /62, 63/. Отмечено, что формулы для амплитуд фона отличаются от полученных в кинематической теории. Это объясняется тем, что, во-первых, вблизи брэгговского отражения в кристалле существуют две сильные волны, каждая из которых может рассеиваться на тепловых колебаниях решетки и, во-вторых, возможно многократное рассеяние самого фона. В работе /65/ взаимодействие рентгеновских лучей и нейтронов с фононами в совершенном кристалле также рассматривается методом динамической теории дифракции рентгеновских лучей. Установлено, что процессы фононного рассеяния дают вклад как в вещественную, так и в мнимую части показателя преломления кристалла. Вычислена интенсивность пиков фононного рассеяния и установлено, что в отсутствие упругого (брэг-говского) рассеяния выражения для интенсивности по существу сводятся к выражениям, даваемым кинематической теорией. Если начальная волна может упруго рассеиваться (на угол Брэгга), то тогда пространственное изменение амплитуд падающей и упруго рассеянной волн является главным фактором в задании амплитуд волн, рассеянных на фононах. Так, в условиях дифракции по Брэггу интенсивность фононных пиков уменьшается благодаря первичной экстинкции и интенсивность неупругого рассеяния асимметрично распределена относительно брэгговско-го пика.

В условиях дифракции по Лауэ маятниковые полосы в упруго рассеянных волнах сопровождаются аналогичным, но менее заметным изменением в неупруго рассеянных волнах, и борма-новский эффект аномального прохождения также имеет свой аналог в фононном рассеянии. Показано, что аномально малый коэффициент поглощения в эффекте Бормана будет иметь зависящий от температуры вклад, обусловленный неупругим рассеянием. Отмечается, что некоторые из этих эффектов можно наблюдать экспериментально при использовании методов, которые позволяют различать упруго и неупруго рассеянное излучение. Последовательное и завершенное теоретическое рассмотрение теплового диффузного рассеяния рентгеновских лучей с учетом поглощения проведено в работе /66/. Полученная система линейных алгебраических уравнений для амплитуд диффузных волн решена с учетом граничных условий в случаях дифракции Лауэ и Брэгга. На основе полученных решений аналитически вычислена интенсивность диффузного рассеяния в случае симметричной брэгг-дифракции в достаточно толстом кристалле (/fj/» і u0 - коэффициент нормального поглощения, б - толщина кристалла). Показано, что дифференциальное сечение диффузного рассеяния в толстом кристалле вблизи брэгговского пика уже не обладает сингулярностью типа і/сь . Вместо нее появляется более слабая сингулярность i/fyn , где Л - проекция волнового вектора Ф фонона на плоскость, параллельную поверхности кристалла. Особенность /% сохраняется в широком интервале угловых отклонений волновых векторов падающей (/ ) и диффузно рассеянной (Ж ) волн от точного брэгговского условия. Детально исследованы особенности углового распределения интенсивности диффузного рассеяния в зависимости от параметров «/ и eCf . Показано, что интенсивность будет иметь ярко выраженный минимум в интервале углов d , соответствующем области полного отражения. Такое поведение интенсивности объясняется тем, что в указанном угловом интервале диффузно рассеянные рентгеновские лучи приходят только с глубины порядка экстинкционной длины, тогда как в остальной области углов рассеянное излучение приходит с глубины порядка длины поглощения. В кинематическом пределе наряду с известной зависимостью l/ty интенсивность обнаруживает также обратную пропорциональность коэффициенту поглощения М0 . Анализ роли влияния поверхности на колебания атомов показывает, что она сводится только к количественному, но не качественному изменению картины углового распределения интенсивности.

Одноволновой случай дифракции: диффузный фон в одноволновом направлении

Когда падающая волна проникает из вакуума в кристалл, она возбуждает в нем одну или несколько "сильных" и множество "слабых" когерентных волн, волновые векторы которых различаются на вектор обратной решетки, умноженный на 25 . В данном разделе будет изучен одноволновой случай, когда возбуждается всего одна сильная волна с волновым вектором К0 ; как известно, это имеет место, если К не удовлетворяет условию Брэгга. Для определения К0 рассмотрим уравнения (2.16а) в ну- м. к2" левом приближении по параметру динамической теории г Отсюда находим Используя условия сшивки с падающей волной, получаем Вводя динамическую поправку Д , запишем К в виде где И - вектор внутренней нормали к входной поверхности кристалла. В 1-ом приближении по Jf получаем уравнения для ампли- туд слабых когерентных волн, которые мы рассматривать не будем, и уравнения для амплитуд диффузных волн Ш, . Как вытекает из формул (2.17а) и (2.14), в амплитуду рассеяния в заданном направлении / дают вклад все амплитуды UL, , удовлетворяющие условию (К-+) К (здесь /(-» = / + а ), причем, очевидно, максимальный вклад дают амплитуды с К% , Я/ РЄЗІ Ри этом возможны два случая, которые потребуют отдельного рассмотрения: 1) если К-. , не удовлетворяет условию Брэгга, то амплитуда TJ U непосредственно определяется рассеянием проходящей волны на некоторой компоненте потенциала, в ре зультате чего образуется обычный диффузный фон кинематичес кого типа; 2) если К- удовлетворяет (с точностью до - ) усло вию Брэгга, то возникает сильная связь (через посредство многократного рассеяния на периодической части потенциала) между несколькими (чаще всего двумя) амплитудами диффузных волн и уравнения для этих волн необходимо рассматривать со вместно. В результате на упругом диффузном фоне возникают линии или полосы Кикучи. Для исследования механизма образования диффузного фона рассмотрим эту задачу в трех различных представлениях. I) F -представление (см.,например, /ІІІ/).

Уравнение Шредингера (2.4) для диффузных волн имеет вид Здесь проходящая волна выбрана в виде 11) (r)=lpe , поскольку в F -представлении невозможно простым образом учесть преломление и поглощение, описываемое соответственно Re Д и Ут Л . Его общее решение имеет вид есть функция Грина оператора L= Л-К К - d) , (Р)-общее решение однородного уравнения Lxp = 0, подбираемое на основе граничных условий. Однако, поскольку Q(R) есть гладкая функция R , то интеграл, входящий в (2.21), также будет гладкой функцией У3 , даже если потенциал V(r ) имеет разрывы (или иные не слишком сильные особенности). Следовательно, уже первое слагаемое в (2.21) удовлетворяет требуемым условиям на бесконечности и на границах кристалла; поэтому в данном случае нет никакой необходимости добавлять какое-либо решение 1р однородного уравнения к интегралу. Итак, решение уравнения (2.20) можно писать в виде Далее, как обычно, находят асимптотику этого решения при \г- оо , которая имеет вид (2.5) с амплитудой рассеяния, Здесь Q0— К -К есть вакуумный вектор дифракции. 2) seg -представление. Уравнение (2.8) снова решается методом последовательных приближений по . В 0-ом приближении по у волновая функция равна Уравнение первого приближения имеет вид гр"(г)+(.Кг-Хг-У0)рL(Z-) = откуда получаем решение (ср.(2.9(, (2.II) в области 0 Z : Дифференцируя полученное частное решение по 2L , получаем Таким образом, граничное условие (2.13) в рассматриваемом приближении выполнено и к решению (2.22) не следует добавлять решение однородного уравнения. Вычисляя1.() и подставляя в (2.14), найдем амплитуду рассеяния в направлении К= ( б?-/): 3) а, -представление. Уравнение 1-го приближения имеет вид Отсюда находим частное решение этого уравнения и соответствующее волновое поле зе где г/L, - решение однородного уравнения Шредингера - уравнения (2.8) без правой части В связи с этим рассмотрим общую задачу вычисления ин тегралов следующего типа, встречающихся и в двухволновом случае: -L% где d( )- резонансный знаменатель, имеющий корни вблизи точек ± -» , С - некоторый контур интегрирования в комплекс- ной J -плоскости. Очевидно, когда и контур С пролегает вдоль вещественной оси, мы получаем интеграл, входящий в (2.25). Однако, при указанном выборе d(") интеграл (2.26) дает частное решение уравнения Шре-дингера при любом выборе контура С; поэтому выбор контура С в принципе произволен. Покажем, что контур С всегда можно выбрать таким образом, что интеграл типа (2.26) будет автоматически удовлетворять граничным условиям (2.13). С этой целью воспользуемся формулой (2.17) и перепишем интеграл (2.26) в виде Выпишем также выражение для ]У () Если контур С не замкнут, то при 2 он может быть замкнут в нижней полуплоскости, при г г - в врхней. Соответствующие замкнутые контуры обозначим С6 (б"= ± d) . После этого ядро / (н-г ) можно вычислить с помощью вычетов откуда находим (2.28) где 5" - корни полинома w(f)» заключенные внутри контура Cg. . Теперь граничное условие (2.13) принимает вид Отсюда вытекает, что граничное условие (2.13) будет удовлетворено (по краней мере в 1-ом приближении по ), если Т— , т.е. если контур С обходит полюса так, как указано на рис.2.1. Таким образом, при указанном направлении обхода полюсов выражение типа (2.26) удовлетворяет граничным условиям и не нуждается в добавлении решения однородного уравнения. Заметим, что сформулированное правило является распространением на общий случай правила обхода, фиксируемого в случае У . — 0 добавлением мнимой величины ІЕ (ср. также со способом обхода полюсов при вычислении причинной функции Грина в квантовой теории поля /ІІ2/). Именно в силу этого обстоятельства приведенные выше функции Грина (2.21а), (2.22) в двух других представлениях обеспечивали автоматическое выполнение граничных условий.

Применяя правило (2.28) вычисления интегралов к интегралу (2.25) (в этом случае необходимый обход полюсов вполне обеспечивается интегрированием по вещественной оси), получим выражение (2.23) для амплитуды рассеяния. В динамической теории рассеяния часто используется другой способ вычисления волнового поля, который заключается в его разложении не по плоским волнам, а по волновым модам - определенным комбинациям плоских волн, удовлетворяющим граничным условиям (см,/5,40,70/). Преимущество этого способа заключается в том, что при конструировании решения из волновых мод проблема граничных условий оказывается уже решенной. Недостаток состоит в большой громоздкости расчетов и в необходимости отдельного рассмотрения рассеяния вперед и назад. В остальном же оба способа расчета совершенно эквивалентны, что и будет здесь продемонстрировано для случая диффузного фона. Рассмотрим сначала рассеяние вперед. Будем исходить из плосковолнового неоднородного решения уравнения Шредингера пропорционального е т : Зта плоская волна не является модой, так как она не удовлетворяет граничным условиям. Однако, этим условиям можно приближенно удовлетворить, если к у)"ео (F)добавить под-ходящее решение однородного уравнения const- е , а, = К - V0 . Поскольку граничные условия однородны по X , jf , то продольные компоненты (L 1л Q, должны совпадать: = = эе , откуда г= VK - (мы рассматриваем только объемные моды). Следовательно, волновое поле моды будет равно Определяя const из граничного условия 2ft, (г) = 0 при 2=0, окончательно получим При этом не будут удовлетворены условия гладкости при 2 = 0 и 2 = Р. , однако, поскольку в амплитуду рассеяния главный вклад дают моды с J«5 _ , то совершаемая ошибка мала ( ") и ею можно в рассматриваемом приближении пренебречь. Суммарное волновое поле, отвечающее фиксированному значению зе , формируется из всех мод типа (2.29) С 0 2: о : Отсюда, пользуясь (2.14), находим амплитуду рассеяния Переходим от суммирования по J к интегрированию, используем формулу (2.14) и подставляем выражения (2.17) для фурье-компонент потенциала Учитывая пределы интегрирования и знаки показателей экспонент в подынтегральных выражениях, заключаем, что первый интеграл по - следует замкнуть в нижнем квадранте - -плоскости (см. контур С/ на рис.2.1а), а второй интеграл - в верхнем квадранте (контур С ).

Поле упругих смещений дефекта кулоновского типа в ограниченном кристалле

В случае брэгговской геометрии рассеяния, когда падающий луч попадает в область полного внутреннего отражения, к того же порядка величины, что и ширина динамической области, поэтому вклад "сил зеркального изображения" необходимо учитывать. Для симметричной геометрии Брэгга (Іік = (іц = о) (3.27) несколько упрощается: Штенсивность диффузного рассеяния с учетом и без учета "сил зеркального изображения" Для вычисления интенсивности диффузного рассеяния необходимо усреднить квадрат модуля амплитуды рассеяния (3.9) по хаотическому распределению дефектов. В случае брэгг-дифракции для произвольной толщины кристалла амплитуда рассеяния (3.9) и, соответственно, интенсивность диффузного рассеяния представляют собой весьма громоздкие выражения. Для установления основных особенностей картины распределения интенсивности диффузного рассеяния ограничимся рассмотрением случая дифракции по Брэггу в полубесконечном кристалле В этом случае парциальные амплитуды рассеяния (ЗЛО) существенно упрощаются Здесь нумерация корней дисперсионного уравнения вы брана так, что Ут Йг» Є (см. главу 2). Кроме того, амплитуды сильных брэгговских волн (3.6) рав- ны: то есть, из двух волновых полей сохраняется только одно. Найдем интенсивность диффузного рассеяния в окрестно- в случае сшметричной геометрии дифракции по Брэггу ( у = - уи = вспвБ) . Подставляя в (3.42) выражения (3.40), (3.41) и используя формулу (3.39) , получим следующее выражение для интенсивности диффузного рассеяния с учетом "сил зеркального изображения":

Здесь использованы следующие обозначения Для выяснения влияния "сил зеркального изображения" на величину интенсивности диффузного рассеяния проведем аналогичный расчет с использованием формулы (3.39), где отбросим последнее слагаемое в J3 , отвечающее вкладу "сил зеркального изображения" (см. таже формулу (3.28)). Тогда для интенсивности диффузного рассеяния без учета "сил зеркального изображения" получим: Из (З. 43) и (3.45) нетрудно увидеть, что в кинематическом пределе (а» / е) выражения для интенсивно стеж 7 и 7 принимают одинаковый вид - 5 + 4 Кинематический предел (3.46) интенсивности диффузного рассеяния отличается от соответствующего кинематического выражения (си./ З/) только множителем 1 /JA0 , учитывающим поглощение. 3,4. Профили интенсивности, изодиффузные линии и их связь с характеристиками дефектов По формулам (3. 43) , (3. 45) выполнены численные рае» четы профилей интенсивности и изодиффузных линий в переменных описывающих угловые отклонения волнового вектора К дифрагированной диффузной волны от волнового вектора дифрагированной сильной брэгговокой волны в вакууме (здесь и в дальнейшем еС , еС и %/К измеряются в единицах г\.

При расчетах были приняты следующие значения параметров: В согласии с результатами /66/, полученными для теплового диффузного рассеяния, интенсивность содержит особенность і/Сь при /. &(/. . Нарис.3.1 изображены графики коэффициента С ( / = /) при ± / (Х \ , %» см. формулы (3 43) , (3. 45)) с учетом и без учета "сил зеркального изображения" в зависимости OT( -C Q/2S/ ? 26 . Шк видно, "силы зеркального изображения" существенно (примерно на порядок величины) усиливают эффект проявления особенности і /а, . До сих пор считалось, что роль "сил зеркального изображения" сводится преимущественно к более или менее равномерной деформации кристалла и к связанному с этим смещению брэгговских рефлексов, однако приведенные результаты показывают, что по крайней мере в динамической области "силы зеркального изображения" могут давать непосредственный вклад в интенсивность диффузного рассеяния. С физи- Рис.3.1 Коэффициенты Су2. = С/;2( о ot =ot) при сингулярности 4/ 7/ ( о0 - центр области полного отражения, ческой точки зрения это обусловлено тем, что в упомянутой области диффузное рассеяние происходит в тонком приповерхностном слое толщиной порядка длины экстинкции е , а. в этом слое зеркально отраженные поля (А (У-) дефектов меняются довольно резко и поэтому имеют заметные фурье-ком-поненты \AL С к О . Ясно, что в случае геометрии Лауэ, когда диффузное рассеяние происходит во всем объеме кристалла, роль "сил зеркального изображения" должна быть незначительна. Следует заметить, что в области небольших оС я / диффузное рассеяние маскируется сильным брэгговским лучом (если только не применена специальная методика выделения диффузного рассеяния на фоне брэгговского отражения). Поэтому для иллюстрации динамических эффектов, имеющих место при значительном отклонении падающего луча от брэгговского направления, на рис. 3.2, 3.3 приведены профили интенсивности и изодиффузные линии при Д /=о о 0=±9 .На картинах изодиффузных линий, по форме напоминающих медузу, следует обратить внимание на характерную особенность в виде "шейки", длина которой (вдоль Md) непосредственно связана с I Vp I t и, тем самым, с экстинкционной длиной искаженного кристалла е : где Т0 - экстинкционная длина идеального кристалла, exp (rL-j.) - статический фактор Дебая-Валлера. Этим обстоятельством можно воспользоваться для прямого измерения е по электронограмме (рентгенограмме), что позволило бы одре- Рис.3.2 Изодиффузные линии (а) и профили интенсивности диффузного рассеяния при М2= 0 (б) с учетом ( ) и без учета (. . . .) "сил зеркального изображения" для йсС = -9 Рис.3.3 Изодиффузные линии (а) и профили интенсивности диффузного рассеяния при Mz= 0 (б) с учетом ( ) и без учета (....) "сил зеркального изображения" для Дс= 9 делить фактор статических искажений ex/?(-L ) , несущий информацию о типе и концентрации дефектов (см. /3/).

Как вытекает из выражения (3. 48) для Д Ч4 » при брэгговских углах 6С , близких к 0 или 90 , размер %ейки" может заметно возрасти, что облегчает измерение ее длины. С другой стороны, ход интенсивности в поперечном направлении (вдоль М2) в области "шейки" определяется фурье-компонентой ъ)г и может служить для определения типа дефектов по создаваемым ими полям смещений. Профили интенсивности 1= I (М,, Ма=0) приведенные на рис.3.2, 3.3, выявляют ряд чередующихся макс шумов и ми нимумов, наличие которых вполне объясняется конкуренцией следующих факторов: I) сгущение диффузного фона i/ of при -о0л - (. «О Si2@g. ; 2) сингулярность і/а, при сС & 4; 3) минимум, соответствующий наименьшему значению ty при еС-Жы. — С - ) ; 4) характерный профиль Кйкучи-линии при оС ж оо (экстинкционный провал). На представленных профилях нетрудно проследить взаимодействие этих факторов. Для иллюстрации отличия интенсивностей диффузного рассеяния, вычисленных согласно динамической и кинематической те- кин орий, на рис. 3.4, 3.5 приведены графики зависимости J /\ от М, и соответствующие изодиффузные линии I = 1кин= - const в двух случаях распространения падающего луча в динамической области. При о оС » "что соответствует точному отражающему положению кристалла согласно динамической теории, график I /1к н имеет два пика (рис. 3.4): левый обусловлен динамической особеностью i/fy , а правый -обращением 1кин в 0 (ср. /3/). При /, = о (точное выполнение условия Брэгга согласно кинематической теории) 1кин Рис.3.4 Изодиффузные линии динамической li ( ) и кинематической IKj«( інтенсивностей рассеяния (а) и ло гарифм их отношения при Mz= 0 (б) для Л - ot0 Рис.3.5 Изодиффузные линии динамической 1у ( ) и кинематической 1КИН( ) интенсивностей рассеяния (а) и их отношение при М2= О (б) для Л = О обладает известной особенностью і / 0 , которая в динамическом случае снимается благодаря наличию экстинкции и заменяется более сложной зависимостью, обусловленной конкуренцией отмеченных вше различных физических факторов и, в частности, более слабой особенностью /сь при оСт оС . Локальные максимумы в пределах провала на рис. 3.5 соответствуют характерным максимумам профиля динамической интенсивности 1 . Как видно из рис. 3,5, отличие динамического описания от кинематического оказывается существенным в области, на порядок превшающнй ширину области полного отражения.

Зависимость профилей интенсивности диффузного рассеяния от толщины кристалла и характеристик дефектов

Нужно еще отметить, что из анализа формул (3. 43) и (3. 45) вытекает симметрия интенсивностей I. , 1л относи- тельно перестановки параметров d и оС; . В силу этой симметрии полученные профили можно также рассматривать как зависимости Г , I от oi при постоянном сС , т.е. как графики зависимости интенсивности диффузного фона в данной точке обратного пространства от направления распространения падающего луча. Эти зависимости аналогичны обсуждаемым в работах /ВО/ экспериментальным кривым выхода фшоуресценции при облучении монокристаллов кремния Мо К -излучением. Полученные в настоящей. главе теоретические результаты позволяют количественно описать приведенные в работе /8$/ и наблюдавшиеся при брэгговской геометрии съемки динамические эффекты дифракции электронов: смещение диффузных пятен от правильных отражений, возрастание интенсивности диффузных пятен при попадании пятна правильного отражения на кикучи-линию, а также усиление интенсивности диффузных пятен при незначительном ОТКЛОНЕНИИ брэгговского рефлекса в одну сторону от кикучи-линии и их ослабление при равном по величине отклонения в другую сторону от нее. Провал в зависимости интенсивности диффузного рассеяния от углового положения кристалла, совпадащий с пиком брэг говского отражения и наблгодашийся при брэгг-дифракции рент геновских лучей в облученных быстрыми нейтронами кристаллах меди /103/ (см. рис. 1.3), также находит свое объяснение в по лученных результатах - он соответствует экстинкционному про валу в зависимости I (oL Л - cohsi) при с(.ЫсС0 Действительно, при измерении интенсивности диффузного рассе яния на двухкристальном дифрактометре с широким окном детек тора получаются следующие "диффузные" кривые качания (соот ветствующие интегрированию по отрезку прямой на сфере Эваль- где об соответствует отклонению кристалла-образца от точного брэгговского положения, а пределы /l , Л2 соответствуют определенному положению окна детектора. Если « " , v , то из (3.49) в кинематическом пределе следует, что ?н i/(cl-oC0) , т.е. кинематическая "диффузная" кривая качания имеет сингулярность. В этом же случае динамическая интенсивность (и.) уже конечна (см, результаты численного счета на рис.3.б). Если детектор установлен так, что отрезок L f, « g J не включает в себя область полного внутреннего отражения, то все диффузно рассеянное излучение, попадающее в детектор,распространяется вдали от брэгговского направления и на "диффузной" кривой качания наблюдается экстинкционный провал, обусловленный экстинкцией сильных брэгговских волновых полей (рис. 57").

Такая методика была применена в работе /l03/t результаты которой (см.рис.І.з) качественно согласуются с численными расчетами по формуле (3. &) для положения детектора со стороны углов,меньших брэгговского угла (5+)и больших брэгговского угла ( J-). Для получения количественного согласия измеренных и расчетных кривых необходимо,естественно,учитывать аппаратурные факторы и более детальную информацию о. типе (типах ) дефектов. Получены выражения для амплитуды и интенсивности диффузного рассеяния на кристаллах с хаотически распределенными дефектами кулоновского типа в двухволновом случае дифракции по Брэггу. Исследовано влияние "сил зеркального изображения" дефектов кулоновского типа на интенсивность диффузного рассеяния. Показано, что учет "сил зеркального изображения" в случае брэгг-дифракции примерно на порядок усиливает интенсивность диффузного рассеяния в динамической области. Установлена и подробно исследована возможность существенных качественных и количественных отличий динамических изодиф-фузных линий и профилей интенсивности диффузного рассеяния от соответствующих изолиний и профилей кинематической теории. Эти отличия проявляются в окрестности узлов обратной решетки,пре-вышающей на порядок и более ширину брэгговского пика. Тем са-мымшоказана принципиальная необходимость динамического рассмотрения при исследовании диффузного рассеяния в почти совершенных монокристаллах с дефектами кулоновского типа. Дано количественное описание экстинкционного провала в профиле интенсивности диффузного рассеяния,экспериментально обнаруженного ранее Дедерихсом и др. для монокристалла меди с радиационными дефектами. Основное содержание данной главы опубликовано в работах /ІГ7, П/. Проводится детальный вывод формул для интенсивности диффузного рассеяния в окрестностях проходящего и дифрагированного сильных брэгговских лучей для монокристаллов произвольной толщины с хаотически распределенными дефектами кулоновского типа. Распределение интенсивности диффузного рассеяния в пространстве обратной решетки рассматривается как в плоскости рассеяния, так и в плоскости, перпендикулярной дифрагированному лучу. Обсуждаются предельные случаи тонкого и толстого кристаллов. Проводится расчет и анализируется распределение интенсивности диффузного рассеяния в неупорядоченных бинарных твердых растворах. Результаты сопоставляются с кинематическим рассмотрением.

Для вычисления интенсивности диффузного рассеяния нужно усреднить квадрат модуля амплитуды рассеяния (3.9) по распределению дефектов в кристалле: Амплитуда диффузного рассеяния (3.9) зависит от искажений кристаллической решетки через флуктуационные фурье-компо-ненты потенциала VL .В случае лауэ-дифракции для дефектов кулоновского типа можно записать где фурье-компоненты статических смещений атомов К а зависят от фурье-компонент флуктуации концентрации С : В приведенном выражении для К-я не учтено дополнительное слагаемое, обусловленное наличием "сил зеркального изображения", Как показано в главе 2, при рассмотрении лауэ-диф-ракции этим слагаемым можно пренебречь. В приближении упруго изотропного континуума где С - мощность дефектов, V - объем элементарной ячейки. Воспользовавшись соотношениями (3.16), (3. D) - (3.15) и учитывая, что при Ch«h согласно (4.2)1 1 1 1 , для амплитуды диффузного рассеяния (3.9) в случае лауэ-диф-ракции можно найти: Предполагая затем, что дефекты хаотически распределены по кристаллу и корреляция между ними отсутствует, найдем среднее от произведения фурье-компонент флуктуации концентрации: При выводе (4.9) использовались равенства 0 "= 0 , йЪ-йЪ » справедливые в симметричном случае дифракции.Отметим здесь, что интенсивность I состоит из слагаемых, обусловленных процессами внутриветвевого (і- їД-»2) и межветвевог (1- 2,2- 1) рассеяния (члены в круглых скобках соответственно в; первой и второй парах квадратных скобок), и интерференционных слагаемых. Эффект аномального прохождения диффузно рассеянных лучей В кинематическом пределе ()я01 , 1 0 ,\ь) -г6\» ) интенсивность диффузного рассеяния (4.9) принимает вид то есть, отличается от кинематического выражения по существу только экспоненциальным множителем, учитывающим нормальное поглощение. С другой стороны, при CL-+0 ( ъ) , гд 0/ - 0 ) динамическое выражение (4.9) для интенсивности диффузного рассеяния принимает конечное значение (ср. /62-64/) в противоположность кинематической интенсивности, которая при Q.-+ О обладает расходимостью 4- 4/(1 (см.рис.4.1, параметры и , и , Т взяты из /18./).