Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Физико-математическое описание неравновесной кристаллизации полупроводниковых кристаллов
1.1. Постановка задачи кристаллизации 13
1.2. Приближение Буссинеска и обезразмеривание системы уравнений
1.3. Цилиндрические координаты. Разнесенная разностная сетка и 18
способ расщепления уравнений
1.4. Криволинейные координаты. Итоговые разностные соотношения
1.5. Решение задачи о кристаллизации. Метод решения задачи Стефана
1.6. Неравномерность перемещения нагревательного элемента 31
1.7. Концентрационное переохлаждение 35
ГЛАВА 2. Неравновесная кристаллизация в условиях ламинарной конвекции
2.1. Постановка задачи кристаллизации 42
2.2. Криволинейные координаты, расщепление уравнений 44
2.3. Консервативность численной схемы 47
2.4. Особенности построения описания неравновесного роста 49
ГЛАВА 3. Результаты расчетов 51
3.1. Кристаллизация системы Ge
3.1.1 Условия модельной задачи 52
3.1.2 Особенности решаемой задачи 53
3.1.3 Расчет фундаментальных полос роста 54
3.1.4. Расчет аппаратурных полос роста 56
3.2. Описание процесса роста системы GeSb в условиях ламинарной конвекции
3.2.1. Условия модельной задачи
3.2.2. Процесс роста системы Ge
3.2.3. Моделирование процесса неравновесной кристаллизации 67
системы Ge
3.2.4. Исследование поперечной неоднородности распределения 68
примеси при расчете задач неравновесного и равновесного роста 3.2.5. Изменение температуры кристаллизации при неравновесном 73
росте. Колебания скорости роста при появлении полос роста Заключение 76
Список литературы 78
- Приближение Буссинеска и обезразмеривание системы уравнений
- Решение задачи о кристаллизации. Метод решения задачи Стефана
- Консервативность численной схемы
- Процесс роста системы Ge
в условиях ламинарной конвекции. Расчет продольного распределения примеси, сравнение с моделью Пфанна
Введение к работе
Актуальность работы
Микроскопические неоднородности встречаются практически во всех получаемых полупроводниковых кристаллах и представляют собой неоднородности состава легирующей примеси. Появление микросегрегаций связано с колебаниями скорости роста, которая может изменяться по различным причинам: нестационарная конвекция, концентрационное переохлаждение и нестационарные условия в ростовой установке. Наличие полос роста в слитке приводит к неоднородности сопротивления и существенно снижает качество получаемых полупроводниковых приборов. К настоящему времени эффективных способов борьбы с микросегрегациями не существует.
Изучение механизмов неравновесного роста кристаллов в рамках объемного описания процесса кристаллизации представляет большой теоретический и практический интерес. В основе развитого теоретического описания роста кристалла в условиях концентрационного переохлаждения расплава лежит совместное решение тепловой задачи, диффузионной задачи и задачи о кристаллизации. Однако во всех предыдущих исследованиях две из этих трех задач были сильно упрощены. Поэтому при таком описании процесса неравновесной кристаллизации нельзя было рассчитать количественные характеристики полос роста.
Цель исследования
Целью диссертационной работы является построение количественного физико-математического описания процесса неравновесной кристаллизации и учет в рамках созданного описания действия механизмов, приводящих к слоистой неоднородности: концентрационного переохлаждения расплава и неравномерности перемещения нагревательного элемента.
Научная новизна
В настоящей работе был развит подход к описанию процесса неравновесного роста, основанный на совместном решении трех неупрощенных задач: тепловой задачи, диффузионной задачи и задачи о кристаллизации. Следует отметить, что совместное решение упомянутых задач аналитически невозможно. Это привело к необходимости применения методов вычислительной математики. Процесс неравновесной кристаллизации рассматривается в рамках задачи об объемном росте кристалла, учитывающей влияние
концентрационного переохлаждения расплава и нестационарных условий в ростовой установке. В диссертационной работе построен метод совместного численного решения тепловой и диффузионной задач, а так же задачи о кристаллизации.
Для моделирования объемного роста кристалла разработан метод решения нестационарной двухфазной задачи Стефана в конечной области. В описание включается известное ранее представление о действии механизма концентрационного переохлаждения расплава. На основе рассчитанного распределения примеси, с использованием диаграммы состояния кристаллизующейся системы, определяется зависимость равновесной температуры расплава от величины концентрации примеси. Благодаря расчету не только равновесной, но и фактической температуры в области расплава становится возможным вычислить ширину полос роста в кристалле.
При учете неравномерности перемещения нагревательного элемента была выявлена связь величины скачка температурного профиля и точности поддержания температуры на нем. Эта зависимость позволила связать период между скачками профиля с шириной аппаратурной полосы роста.
Созданное описание процесса неравновесной кристаллизации можно использовать как для случая чисто диффузионного роста кристалла, так и для роста кристалла в условиях ламинарной конвекции. Отметим, что при учете ламинарной конвекции используемая схема роста кристалла позволяет рассчитывать конвективные течения расплава у фронта и, таким образом, поперечную неоднородность распределения примеси в кристалле.
В работе проведено численное моделирование известного эксперимента как в рамках задачи равновесной, так и неравновесной кристаллизации.
Практическая ценность работы.
В диссертационной работе проводится последовательное развитие теории неравновесной кристаллизации. Возможен совместный учет факторов, приводящих к неравновесной кристаллизации: концентрационное переохлаждение расплава и нестационарные условия в ростовой установке.
Модель неравновесной кристаллизации можно использовать для оптимизации технологии выращивания полупроводниковых кристаллов методом Бриджмена и прогнозирования их физических свойств.
Достоверность полученных результатов
Достоверность результатов расчетов подтверждается применением строгих методов вычислительной математики, сходимостью результатов расчетов по сеткам и совпадением полученных результатов с экспериментальными данными.
Личный вклад автора
Основные результаты диссертационной работы получены автором лично.
Разработано описание неравновесной кристаллизации в условиях ламинарной конвекции, а также в условиях диффузионного режима роста.
Разработан метод решения задачи Стефана для случая высоколегированных сплавов.
Осуществлена программная реализация разработанных алгоритмов.
В результате проведенных исследований получены и выносятся на защиту следующие основные научные результаты:
1. Физико-математическая модель неравновесной
кристаллизации для численного решения задач о выращивании
полупроводниковых кристаллов в условиях ламинарной конвекции.
2. Неявный метод решения нестационарной задачи Стефана,
учитывающий зависимость температуры кристаллизации от
концентрации примеси, позволяющий одновременно рассчитывать
скорость роста и поле температур в области.
3. Характер зависимости ширины полос роста для
диффузионного роста кристалла и роста в условиях слабой ламинарной
конвекции.
4. Расчет величины относительной поперечной неоднородности
распределения примеси в системе Ge
неравновесного роста кристалла в условиях ламинарной конвекции.
Апробация работы
Результаты работы докладывались на двух Национальных конференциях по росту кристаллов «НКРК-2008» (Москва, ИК РАН, 2008), «НКРК-2010» (Москва, ИК РАН, 2010) и трех Всероссийских межвузовских научно-технических конференциях студентов и аспирантов «Микроэлектроника и Информатика» (Москва, МИЭТ, 2008-2010).
Публикации
По теме диссертации опубликовано 8 работ. Их список представлен в конце автореферата.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 74 наименований и приложения. Диссертация включает 84 страницы основного текста, 24 рисунка, 7 таблиц, и 21 страницу приложений. Приложения содержат листинги программ.
Приближение Буссинеска и обезразмеривание системы уравнений
Такое разнесение переменных по сетке уже встречалось ранее [43]. Это облегчает построение дискретных аппроксимаций и позволяет добиться второго порядка точности по пространственным переменным. Значения разностных функций в других точках сетки получаются линейной интерполяцией по тем ближайшим узлам, в которых эта функция определяется.
При постановке граничных условий в случае необходимости (например, при задании на границе температуры) вводятся фиктивные ячейки. Значения функций в фиктивных ячейках выбираются таким образом, чтобы их линейная интерполяция со значениями функции в соседних узлах давала на границе заданное значение.
Во многих случаях, когда требуется решить сложную задачу математической физики, оказывается возможным свести ее к последовательному решению ряда более простых задач. Такие методы называются методами расщепления [44-48].
Метод расщепления, применяемый в диссертации при построении численной схемы, состоит в следующем. Запишем дифференциальные уравнения системы (І.З.І)-(І.З.З) в виде Через компоненты вектора а обозначены все слагаемые в соответствующем уравнении, в которых отсутствуют производные по времени.
Метод расщепления состоит в последовательном (при п=1,...,4) решении уравнений (1.3.16а), затем (при п=4,...,1) решении уравнений (1.3.166). Решения предыдущего этапа расщепления являются начальными условиями для последующего этапа. Таблица 1.3.1. Расщепление на временном слое (j,j +1) .
Временной слой Соответствие конкретных слагаемых GJ+i/8);0+7/8, j+1) a, z- криволинейностьв уравнениях энергии и диффузии примеси(г-криволинейность отсутствует) 0+1/8, j+2/8) 0+6/8, j+7/8) a2 г - теплопроводность и г - диффузияв уравнениях энергии и диффузии примеси в уравнении энергии (решение задачи Стефана)
Граничные условия также подвергаются расщеплению. При сложении всех уравнений (1.3.16), а также промежуточных граничных условий, получается уравнение (1.3.15) и суммарные граничные условия. Этапы расщепления а; - а3 считается на слое по времени два раза, образуя, таким образом, схему симметричного расщепления [44,48]. Этап расщепления а4 является центральным. Это позволяет считать его на слое по времени один раз, но на интервале двойной длины. т такого, что область решения на рис. 1.4.1а в плоскости (r,z) перейдет в единичный квадрат в плоскости (,,г\), а линия фронта кристаллизации перейдет в линию rj = г(» = const = KF, как это показано на рис. 1.4.16.
Схематическое расположение узлов сетки: а)- в физической области (г, z) б)- в вычислительной области (,, ц). Обозначим: Hr,HZ - шаги сетки в координатах (r,z). Н1,И2 соответственно в координатах (Ь , ч\). Перейдем к криволинейным координатам ( ,TJ,T) на примере уравнения диффузии примеси, якобиан этого преобразования обозначим ц/ = г?гп-гпг .
Для адекватного теоретического описания задачи о кристаллизации в рамках объемного роста необходимо решать двухфазную задачу Стефана совместно с уравнениями теплопроводности и диффузии примеси. Одной из первых работ по решению задачи Стефана является публикация А.А. Самарского и Б.Д. Моисеенко, см. [49]. В работе развит подход сквозного расчета уравнений с применением "размазывания" коэффициентов уравнений. Этот подход весьма удачен для решения задачи Стефана в области и сравнительно прост в реализации. Такой подход применяется и в настоящее время, см., например, работы А.С. Овчаровой [50,51]. Представляет интерес подход, развитый С. Lan, см. [52-54], при решении двумерной, а потом трехмерной задачи Стефана для бестигельной зонной плавки. Развивается более детальное описание, чем простое "размазывание" коэффициентов и линии фронта кристаллизации. Используется методика "tracking of crystallization front", при которой различаются области расплава и кристалла, но линия фронта кристаллизации также явно не выделяется.
Из работ, в которых явно выделяется фронт кристаллизации, следует отметить решение трехмерной задачи Стефана при замерзании воды, см. [55].
Среди отечественных работ, используемых при моделировании технологических процессов, известен пакет двумерных программ КАРМА 1 (И.В. Фрязинов и соавторы), см. [56]. Комплекс базируется на неявной схеме без расщепления. Для решения возникающей алгебраической системы уравнений используется прямой метод.
Предлагаемый в диссертации метод решения задачи Стефана позволяет заранее задавать способ изменения внешнего теплового поля (температурных граничных условий) для поддержания в процессе постоянной наперед заданной скорости роста кристалла.
Остановимся на этапе расщепления, где решается уравнение баланса энергии (теплопроводности) во всей области, т.е. уравнения (1.2.7) и (1.2.9) вместе с условиями (1.2.11)-(1.2.12) на фронте кристаллизации. После перехода к переменным (,,г\,т) уравнение теплопроводности принимает вид
Слагаемое, пропорциональное zT, здесь опущено, так как оно, учитывается на отдельном этапе расщепления. Напомним, что переменные (,,г\) выбраны так, что уравнение фронта кристаллизации принимает вид г) = ц, = KF. Далее применяется расщепление по пространственным переменным. На одном этапе учитывается слагаемое А] с внешней производной по ,, на другом - слагаемое А2 с внешней производной по 77 в
Основные трудности связаны с последним этапом, где следует дополнительно учесть условие Стефана и найти скорость роста. В плоскости ( ,г[) вводится прямоугольная сетка, как это показано на рис. 1.4 Л .,б. Узлы сетки пронумерованы двойным индексом (i,j), і = l,...,n +1; j = l,...,m +1 так, что = const на линии сетки і = const и Г) = const на линии j = соия?. Ячейки сетки, внутри которых определены значения температуры, нумеруются полуцелыми индексами.
Перейдем теперь к аппроксимации условия (1.2.12) на линии j = j. и к разностной схеме в граничных ячейках Решение задач на подвижных сетках, как в данной работе, связано с согласованным перемещением сетки и расчету функций в узлах сетки. Этапы пересчета и вычисления функций принципиально не могут происходить одновременно. При решении нестационарной задачи Стефана учитывается тот факт, что вычисление нового положения сетки и вычисления функций в узлах сетки происходит в разные моменты времени.
Решение задачи о кристаллизации. Метод решения задачи Стефана
В случае полного перемешивания расплава для определения концентрации сурьмы применима формула Пфанна [73,74], кривая (а). Однако в моделируемых условиях имеет место слабая ламинарная конвекция, и происходит лишь частичное перемешивание расплава. При этом сохраняется высокая концентрация сурьмы в диффузионном слое. В результате, кривые (б) и (в), соответствующие продольному распределению примеси на оси и на периферии кристалла, расположены выше кривой Пфанна (а). Под влиянием конвективной ячейки в диффузионном слое возникает направленный перенос сурьмы от оси к периферии кристалла. Это приводит к тому, что на периферии концентрация сурьмы становится значительно выше, чем на оси, поэтому кривая (в) лежит выше кривой (б). В заключительной части процесса выращивания область расплава мала, перемешивание происходит более интенсивно, и содержание сурьмы в расплаве постепенно выравнивается. При этом распределение примеси согласно модели Пфанна, кривая (а), довольно точно описывает рассчитанное осевое распределение сурьмы, кривая (б).
Моделирование процесса неравновесной кристаллизации системы Ge Sb При моделировании роста кристалла с технологическими полосами условия появления полос роста совпадают, как и в случае диффузионного роста. Поэтому ширина аппаратурных полос равна AZ » 0.08мм.
В случае роста кристалла в условиях концентрационного переохлаждения взяты следующие параметры: ДГ =1.4К. Рассчитанная при таком АГ средняя ширина полосы роста составляет 0.20мм.
Следует отметить, что ширина фундаментальной полосы роста существенно меняется в процессе роста кристалла. В начальный период выращивания кристалла полосы роста не образуются, поскольку в это время происходит накопление примеси вблизи фронта кристаллизации и увеличение переохлаждения до критической величины. В дальнейшем, вследствие влияния конвективной ячейки на диффузионный слой и оттеснения примеси в расплав, происходит изменение распределения сурьмы у фронта кристаллизации. Это приводит к увеличению ширины полосы роста от 0.08 до 0.27мм, рис. 3.2.4 кривая (1). В заключительный период роста происходит выравнивание концентрации примеси в малом объеме расплава, что влечет за собой уменьшение ширины полосы роста.
Зависимость ширины фундаментальной полосы роста AZ от координаты положения фронта кристаллизации. (1) — диффузионный рост; (2) — рост в условиях ламинарной конвекции. Пунктирными горизонтальными линиями показаны границы диапазона экспериментальных значений.
Исследование поперечной неоднородности распределения примеси при расчете задач неравновесного и равновесного роста Рассмотрим распределение примеси в поперечном сечении кристалла. В результате влияния конвективной ячейки на диффузионный слой поперечное распределение сурьмы становится неоднородным. На рис.3.2.5. приведена динамика изменения концентрационного профиля на фронте кристаллизации в процессе выращивания. С, ат%
В момент времени (1) радиальная неоднородность примеси еще невелика, затем становится больше (2), достигает своего максимума (3) и снова уменьшается (4). Таким образом, зависимость поперечной неоднородности сурьмы немонотонна. В рассматриваемой модельной задаче максимум поперечной неоднородности достигается ближе к концу роста кристалла. Поскольку область кристаллизации конечна, и в заключительный период выращивания кристалла, когда размер области расплава уменьшается, происходит перемешивание и постепенное выравнивание концентрации примеси на оси и на периферии кристалла, к уменьшению величины неоднородности. Рассчитанный максимум величины относительной поперечной неоднородности распределения сурьмы при заданных условиях, см. табл.3.2.2., табл. 3.1.1. составляет 4.5, см. рис. 3.2.6. Таким образом, в результате моделирования условий эксперимента [71] показано, что отношение концентраций сурьмы на оси и периферии кристалла может достигать большой величины и даже превосходить наблюдавшиеся в космическом эксперименте значения.
На рис. 3.2.6 представлена зависимость величины поперечной неоднородности распределения примеси от координаты положения фронта кристаллизации при скорости выращивания v «10мм/ч. Рассчитанный максимум величины поперечной неоднородности при равновесном росте достигает 4.5 раз (рис. 3.2.6, кривая 1), с учетом дискретности перемещения температурного профиля на нагревательном элементе — 2.5 раза (рис. 3.2.6, кривая 2), при учете механизма концентрационного переохлаждения расплава - 2.7 раза (рис. 3.2.6, кривая 3). Заметим, что при моделировании неравновесного роста кристалла полученная поперечная неоднородность распределения примеси меньше, чем при моделировании роста кристалла на основе решения задачи Стефана (кривые 2 и 3 лежат ниже кривой 1). Действительно, после каждого скачка фронта кристаллизации профиль поперечного распределения примеси становится более пологим, и неоднородность примеси снижается. Следует отметить, что величина поперечной неоднородности примеси, полученная при моделировании неравновесного роста кристалла, лучше согласуется с экспериментальными данными [71], чем соответствующая величина, рассчитанная в задаче с равновесным ростом кристалла.
Следует обратить внимание, что технологический эксперимент [71] является многофакторным процессом, также как приведенная здесь математическая модель является многопараметрической задачей. Величина поперечной неоднородности сурьмы зависит как от соотношения между интенсивностью ламинарной конвекции и диффузионных потоков, так и от скорости выращивания кристалла. В условиях равновесной кристаллизации при рассматриваемой скорости роста =10 мм/ч величина относительной неоднородности достигает 4,5 раз, а при
Консервативность численной схемы
С начала проведения космических экспериментов было обнаружено, что при выращивании кристаллов, в первую очередь полупроводниковых материалов, не достигается однородности электрофизических и структурных свойств. Как оказалось, на орбитальных станциях и других космических аппаратах режим невесомости реализуется не в полной мере. Малые ускорения приводят к условиям, в которых конвекция в расплаве при росте кристаллов действительно становится малой, но, тем не менее, оказывает значительное влияние на свойства выращиваемых кристаллов. Влияние микроускорений на рост кристаллов и их свойства является в настоящее время основным вопросом космического материаловедения. Новые знания, получаемые при проведении космических экспериментов в этой области, имеют фундаментальное значение и расширяют наши представления о сущности важнейших физических процессов.
Эксперименты, проводимые в космических условиях, требуют длительной подготовки и весьма дорогостоящи. Даже при активном освоении космического пространства, которое имело место в СССР и России за последние 30 лет, общее количество проведенных технологических экспериментов не так велико. Для полноценного анализа результатов, выяснения сущности явлений необходимо теоретическое исследование и обоснование проведения технологических экспериментов. Теоретическое обоснование экспериментов играет в космическом материаловедении важнейшую роль и в большинстве случаев основывается на численном решении нелинейных уравнений в частных производных для расчета тепломассообмена в расплаве или газовой фазе при росте кристаллов.
В подобных условиях роста был обнаружен эффект максимума концентрационной неоднородности, открытый В.И. Полежаевым и сотрудниками (1974-1980г.г.). Этот эффект получил название концентрационного расслоения в замкнутых объемах. Его содержание заключается в появлении максимумов концентрационной неоднородности при определенном значении гидродинамического числа подобия. Физически это означает, что когда механизмы конвекции и диффузии в технологическом процессе становятся одного порядка, при этом достигается концентрационная неоднородность большая, чем при преобладании любого из перечисленных механизмов. Как показала практика, максимум концентрационной неоднородности в большинстве космических экспериментов по росту полупроводниковых кристаллов методами направленной кристаллизации лежит как раз в диапазоне тех микроускорений (гидродинамических чисел подобия), при которых проводились эти эксперименты. Это обусловило значительно более высокую величину радиальной макросегрегации в образцах указанных космических экспериментов, чем в их земных аналогах.
Теоретическое понимание этого фундаментального принципа позволило B.C. Земскову и сотрудникам (1997-2000г.г.) сформулировать к настоящему времени физическую картину роста кристаллов методами направленной кристаллизации в космических условиях и выяснить эффект влияния малых сил, поперечных направлению роста кристаллов. По мнению этих исследователей, такие эффекты могут иметь значение и для роста кристаллов в земных условиях при наличии малых сил, поперечных направлению роста кристаллов.
В работе построенная модель неравновесной кристаллизации была применена для решения задачи о выращивании системы Ge Sb методом Бриджмена в условиях, близких к условиям космического эксперимента [71]. 3.2.1. Условия модельной задачи
При решении задачи рассматривалась двухфазная область, рис.3.2.1, с неплоским фронтом кристаллизации. Здесь (L) - область расплава, где решаются двумерные осесимметричные уравнения Навье-Стокса в приближении Буссинеска, описывающие естественную конвекцию при постоянном ускорении Jig .
При решении модельной задачи были рассчитаны поля конвективных течений, концентраций сурьмы в расплаве, поле температуры в двухфазной области. Выяснено, что в центральной части расплава течения образуют одну большую конвективную ячейку, которая медленно вращается против часовой стрелки, т.е. расплав опускается у оси кристалла и поднимается на периферии. Конвективная ячейка оказывает влияние на пограничные слои у фронта кристаллизации. Основное внимание в расчетах уделялось изучению распределения сурьмы в поперечном сечении кристалла. В связи с этим проводилось подробное разрешение вязкого и диффузионного пограничных слоев.
Согласно теоретическим оценкам, см. [72], при Re»1 толщина вязкого пограничного слоя приближенно равна 8V «Re 1 2, диффузионного пограничного слоя — 5D &(Re-Sc) /2. В условиях рассматриваемой задачи толщина слоев составила 8v 0.025, bD «0.0045. При расчетах использовались неравномерные сетки 29x61 (сетка I), 29x71 (сетка II), 29x81 (сетка III) и 29x101 (сетка IV). В поперечном сечении кристалла равномерно расположено 29 узлов сетки, расстояние между узлами hr « 0.006; вдоль оси кристалла в твердом теле равномерно расположено 35 узлов сетки; в расплаве сетка неравномерная, сгущается от центра области к фронту кристаллизации и к противоположной границе с коэффициентом геометрической прогрессии Q = 1.1. При дальнейшем счете коэффициент Q уменьшается так, чтобы минимальное расстояние между узлами у фронта кристаллизации не изменялось. В табл.3.2.3 приведено примерное количество слоев сетки в вязком и диффузионном пограничных слоях для сеток I-IV.
Процесс роста системы Ge в условиях ламинарной конвекции. Расчет продольного распределения примеси, сравнение с моделью Пфанна
Если переохлаждение вызвано изменением состава расплава, то оно называется концентрационным. Впервые на такое переохлаждение указали Руттер и Чалмерс [60]. В работе [61] Бардзли и др. показали, что при выращивании сильнолегированного кристалла Ge концентрационное переохлаждение усиливает возможность появления полос роста в кристаллах.
При росте кристалла в условиях концентрационного переохлаждения расплава вблизи фронта кристаллизации образуется переохлажденная область, которая при определенных условиях может закристаллизоваться, нарушая равновесную кинетику процесса роста. В этом случае образуется фундаментальная полоса роста, содержание примеси в которой отлично от основной части слитка.
Для описания скачкообразных процессов роста в этом случае применяются представления о концентрационном переохлаждении расплава [34,35]. В основе этих представлений лежит сравнение двух температур вблизи фронта кристаллизации — фактической и равновесной температур расплава.
В расплаве каждая точка имеет свою равновесную температуру в соответствии с фазовой диаграммой [40-42]. При расчете равновесной температуры в области расплава ТШ,(С) используются численное решение уравнения диффузии примеси и интерполяционный полином, аппроксимирующий линию ликвидуса для рассматриваемой системы (1.2.14). Таким образом, для каждой точки расплава может быть найдена своя равновесная температура см рис. 1.7.1. T(Q(0),K
Рассчитанные зависимости фактической (1) и равновесной (2) температур расплава вдоль осевой координаты на периферии области. На рисунке переохлажденная область находится между 1 и 5 узлами сетки расплава. В данном случае ширина переохлажденной области приблизительно составляет 0.8мм. Подобная картина может быть построена для любой координаты вдоль радиуса, и, следовательно, количественно может быть определена ширина зоны переохлаждения.
Далее необходимо доопределить условие, при котором образуется полоса роста. В качестве такого критерия можно рассматривать, например, максимальное значение разности фактической и равновесной температур в зоне переохлаждения. Однако для рассматриваемых условий роста эта разница очень несущественна, порядка 0.05К. Выбирать такую малую величину в качестве критерия образования полосы не оправдано. В работе в качестве критерия образования полосы роста была выбрана разница между температурой кристаллизации чистого вещества и текущей температурой на фронте \Т№(С)-Т№(0)\.
Величина достигнутого на фронте кристаллизации переохлаждения \Ткр(С)-Ткр(0)\ (при выбранном способе обезразмеривания Ткр(0)=0) сравнивается с критическим значением AT . Если необходимое переохлаждение не достигнуто, т.е. AT \ТКР(С)-Тю,(0)\, то расчет роста кристалла производится согласно задаче Стефана. В противном случае образуется полоса роста. Выбор величины AT зависит от многих факторов. Так, в работе [62] приводится зависимость переохлаждения 17 (С) - Тю, (0)\ от предварительной истории перегрева расплава. Отметим, что в этом случае дается оценка максимальной величины переохлаждения, а неравновесная кристаллизация может происходить и при более низких его значениях. Кроме того, в большинстве случаях не известна история предварительного перегрева расплава, и поэтому такую оценку применять нельзя. В работе было проведено параметрическое исследование зависимости ширины первой полосы роста от величины критического переохлаждения AT .
Зависимость ширины первой образованной фундаментальной полосы роста AZ от величины критического переохлаждения расплава AT . При AT большем, чем 1.7К ширина полосы получается больше, чем 1 см — такие полосы почти не встречаются на практике. При AT меньше, чем 1.3К полос роста в основной части слитка не образуется. Для дальнейших расчетов выбиралась АГ =1.4К.
При росте в условиях концентрационного переохлаждения, как и в условиях неравномерности перемещения нагревательного элемента, полагается, что перемещение границы фаз происходит мгновенно на ширину зоны переохлаждения. После образования полосы роста часть примеси из диффузионного слоя поглощается кристаллом, и далее снова происходит равновесный рост кристалла с к = к0. Пересчет полей концентрации примеси и температуры после скачка фронта кристаллизации производится аналогично, как в параграфе Неравновесная кристаллизация в условиях ламинарной конвекции В предыдущей главе было построено физико-математическое описание процесса диффузионного роста кристалла. В этой главе созданное описание будет расширено для более общего случая кристаллизации - роста в условиях ламинарной конвекции. Во введении было отмечено, что конвективный перенос, наряду с теплопроводностью и диффузией примеси, является ключевым механизмом, влияющим на рост кристалла. Конвекция оказывает влияние на распределение тепла и примеси в области расплава и ее учет при объемном описании процесса неравновесного роста необходим.
В работе будет рассмотрен только один тип конвекции — тепловая конвекция. Причиной ее появления является неравномерный прогрев области расплава как в продольном, так и в поперечном росту направлении. Неравномерность эта создается вследствие поддержания на торцевых и боковых нагревателях специального вида температурного профиля, необходимого для поддержания процесса роста. Рассмотрим двумерную осесимметричную область кристаллизации:
