Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Дискретные бризеры в кристаллах 15
1.1. Понятие дискретного бризера, условия его существования и возможные приложения в физике конденсированного состояния 15
1.2. Краткий исторический обзор по изучению дискретных бризеров в кристаллах 18
1.3. Результаты численных исследований дискретных бризеров в кристаллах 21
1.4. Экспериментальное наблюдение дискретных бризеров в кристаллах 35
1.5. Роль дискретных бризеров в формировании свойств кристаллов. 40
1.6. Существующие открытые проблемы и задачи диссертационного исследования 41
Выводы 44
Глава 2. Дискретные бризеры в моноатомных 2D и 3D кристаллах с дальнодейст вующим морзевским взаимодействием 45
2.1. Двумерная и трехмерная модели кристалла с межатомными потенциала-2
ми Морзе 45
2.2. Плотности фононных состояний 2D и 3D кристаллов 48
2.3. Анзац для возбуждения неподвижных и движущихся дискретных бризе-ров с жестким типом нелинейности 49
2.4. Покоящиеся дискретные бризеры с жестким типом нелинейности в 2D и 3D морзевских кристаллах
2.4.1. Дискретные бризеры в 2D кристалле 53
2.4.2. Дискретные бризеры в 3D кристалле 54
Выводы 56
Глава 3. Движущиеся дискретные бризеры и их свойства в кристалле с морзев ским взаимодействием 65
3.1. Движущиеся дискретные бризеры и их взаимодействие 65
3.2. Взаимодействие движущихся дискретных бризеров с вакансией. 75
3.3. Роль дискретных бризеров в процессе миграции вакансии 76
Выводы 82
Глава 4. Дискретные бризеры в ГПУ металлах 83
4.1. Постановка задачи по исследованию ДБ в ГПУ металлах 83
4.2. Дискретные бризеры в i 84
4.3. Дискретные бризеры в Со 85
4.4. Дискретные бризеры в Mg 87
4.5. Возможная роль ДБ в чистых металлах 89
Выводы 104
Приложение. Расчет фононного спектра моноатомного двумерного кристалла 105
П.1. Методика расчета плотности фононных состояний кристаллов 105
П.2. Линеаризованные уравнения движения атомов 107
П.3. Собственные частоты и формы колебаний кристалла 110
Заключение 114
Список литературы
- Краткий исторический обзор по изучению дискретных бризеров в кристаллах
- Существующие открытые проблемы и задачи диссертационного исследования
- Покоящиеся дискретные бризеры с жестким типом нелинейности в 2D и 3D морзевских кристаллах
- Дискретные бризеры в Со
Краткий исторический обзор по изучению дискретных бризеров в кристаллах
Дискретные бризеры, как пространственно локализованные точные решения для ряда моделей дискретных нелинейных систем, обладающих трансляционной симметрией, активно исследовались в последнее десятилетие прошлого столетия [4,5,9,19,20,21]. Подавляющее большинство этих теоретических исследований ДБ было выполнено в рамках сильно идеализированных одно- или реже двумерных нелинейных решеток связанных осцилляторов, взаимодействующих посредством упрощенных парных потенциалов. И лишь в последние годы мы наблюдаем быстрый рост числа исследований ДБ на основе более реалистичных атомистических моделей кристаллов. В настоящем кратком обзоре не представляется возможным отразить все достижения в изучении ДБ, поэтому мы отсылаем интересующегося читателя к обзорам [9,10,21] и фокусируемся на работах, посвященных изучению ДБ в кристаллах.
Как уже отмечалось, большинство исследований по ДБ было сделано в рамках сильно идеализированных моделей низкой размерности и с простыми типами ангармонизмов. Очевидно, что в реальных физических системах, в присутствии неизбежных возмущений, ДБ не могут быть идеально периодическими, одночастотными, абсолютно не излучающими малоамплитудных волн объектами с бесконечным временем жизни. Концепция квазибризера, введенная в работах Чечина с соавторами [17], стала значительным продвижением от математических теорий к практическому знанию, узаконив исследование долгоживущих, пространственно-локализованных объектов в бездефектных кристаллических решетках, даже если они не являются точными решениями динамическиех уравнений. Отметим, что в настоящей диссертационной работе исследуются квазибризеры, но для краткости они будут называться ДБ.
В течение последних нескольких лет концепция ДБ (точнее, квазибризеров) активно проникает в физику твердого тела и в материаловедение. Velarde с соавторами предложил концепцию солектрона (solectron) [22-26], то есть ДБ, связанного с электроном, которая обобщает понятие полярона, то есть связанного фо-нон-электронного состояния. Теория термоактивируемых химических реакций в твердом теле была недавно модифицирована, чтобы учесть вклад ДБ [27-29]. ДБ-опосредованный механизм отжига дефектов в глубине монокристалла германия был предложен в работе [30]. Возможная роль ДБ в термически активируемом дегидрировании графана [31] обсуждалась в работах [32,33]. Молекулярно-динамическое моделирование ДБ-индуцированного образования дефектов 5-7-5-7 в растянутой углеродной нанотрубке описано в работе [34]. Xiong и др. показали, что ДБ может повышать теплопроводность одномерных решеток [35-37].
Известны несколько сообщений об экспериментальном наблюдении ДБ в кристаллах. Они были обнаружены методом резонансного комбинационного рассеяния в сложном соединении, названном авторами PtCl [38-40], методом неупругого рассеяния рентгеновского излучения и нейтронов в альфа-уране [41,42] и методом неупругого рассеяния нейтронов в щелочно-галоидном кристалле NaI [43-45]. Существование ДБ в NaI в тепловом равновесии критически обсуждалось в работах [46,47], где было показано, что вклад от ДБ в плотность фононных состояний невелика и может маскироваться вкладом от тепловых колебаний решетки. В свете этой дискуссии становится ясной важность численных исследований ДБ.
Молекулярная динамика, основанная на эмпирических межатомных потенциалах, была использована для изучения ДБ в NaI [11,48,49], в кремнии и германии [50], в никеле и ниобии [14], в нанокристалле фуллерита C60 [51], в углеродных нанотрубках [34], в графене [52-55] и в графане [32]. В работе [33] существование ДБ в графане было впервые продемонстрировано с использованием ab initio моделирования, основанного на теории функционала электронной плотности (DFT).
Вопрос о том, может ли ДБ перемещаться по кристаллической решетке весь-20 ма важен для понимания их роли в формировании физических свойств кристаллов. Часто ДБ привязаны к решеточному узлу, но в некоторых случаях они могут обладать способностью к движению по кристаллу [14]. Движущиеся ДБ, именуемые обобщающим термином кудон (quodon), это квазичастицы, распространяющиеся вдоль плотноупакованных кристаллографических направлений [56]. Их столкновения с дефектами кристалла может привести к различным эффектам, например, к аномально ускоренной диффузии [29]. Движущиеся ДБ могут сталкиваться друг с другом, приводя к значительной локализации энергии в точке столкновения.
Существующие открытые проблемы и задачи диссертационного исследования
Нами рассматривается двуменый (2D) плотноупакованный кристалл и трехмерный (3D) ГЦК кристалл. Отметим, что изучаемый 2D кристалл представляет собой плоскость (111) ГЦК кристалла (см. рис. 2.1). Взаимодействие атомов задается парными потенциалами Морзе: U(r) = D(e-2a(r-rm)-2e-a(r-rm)), (2.1) где U - потенциальная энергия пары атомов, расположенных на расстоянии г дру-гот друга, D, а, гт - параметры потенциала. Функция U(r) имеет минимум при г=гт , глубина минимума (энергия разрыва связи) равна D, а параметр а определяет жесткость межатомной связи. Без потери общности можно положить гт = 1 и D = 1, выбрав соответствующие единицы измерения расстояния и энергии. Остается один существенный параметр потенциала, а, влияющий на относительную жесткость кристалла.
Функции U(г) даны на рис. 2.2 для трех значений параметра а={5;10;20} при D=rm=1. Вертикальные пунктирные линии показывают положения вторых соседей в кристаллах различной размерности, если расстояние между ближайшими соседями равно единице. Видно, что для 2D и 3D кристаллов при а = 10 и а = 20 потенциал является весьма короткодействующим, так что взаимодействуют только ближайшие соседи. Для а = 5 в 3D кристалле взаимодействие простирается до третьей координационной сферы.
Далее во всех расчетах берем а = 5 при D=rm=1. При радиусе обрезки потенциала 7.5 , равновесный параметр трехмерной ГЦК решетки составил 1.36 (при этом равновесное межатомное расстояние равно 0,962 ), а для двумерной гексагональной решетки равновесное межатомное расстояние оказалось равным 0.988 . Масса атомов без потери общности бралась равной единице, что всегда можно обеспечить определенным выбором единицы времени.
Отметим, что парные межатомные потенциалы, в том числе потенциалы Морзе, не могут воспроизвести некоторые важные свойства определенных кристаллов (в особенности металлов). Однако, дальнодействующий потенциал Морзе существенно ближе к действительности по сравнению с упрощенными законами взаимодействия, часто используемыми в теоретическом анализе ДБ (учет взаимодействия только ближайших соседей и ангармонизмов простейшего полиномиального вида). Потенциал Морзе имеет точку перегиба так, что правее этой точки вторая производная d2U/dr2 отрицательна, а левее – положительна. Иными словами можно сказать, что потенциал Морзе имеет жесткое ядро и мягкий хвост. С физической точки зрения данное поведение потенциала отражает тот факт, что на больших межатомных расстояниях взаимодействуют внешние электронные оболочки атомов, обеспечивая их взаимное притяжение, а на малых рассояниях включаются жесткие силы отталкивания за счет взаимодействия ядер атомов и внутренних электронных оболочек. Расчетная ячейка, с наложенными периодическими граничными условиями, содержала в двумерном случае 8080 и в трехмерном случае 323216 атомов.
Тепловые колебания атомов не вводились, то есть расчеты проводились для температуры T=0 K.
Уравнения движения атомов, представляющие собой классические уравнения движения Ньютона, интегрировались методом Штормера шестого порядка точности. Шаг интегрирования выбирался так, чтобы на один период колебания атома приходилось от 20 до 30 временных шагов. В этих условиях полная энергия системы оставалась практически постоянной (с относительной точностью порядка 10-6 – 10-8) за время моделирования.
В процессе интегрирования велся мониторинг следующих параметров: перемещения и скорости атомов, их кинетическая, потенциальная и полная энергии. состояний кристаллов описана в Приложении.
На рис. 2.3 (a) и (б) представлены плотности фононных состояний рассматриваемого двумерного и трехмерного кристаллов, соответственно. Так как кри-48 сталлы моноатомные и не подвержены упругой деформации, то в обоих случаях наблюдается сплошной фононный спектр. Для двумерного кристалла верхняя граница фононного спектра составляет со=3.03 TГц, для трехмерного со=4.07 TГц. В таких кристаллах возможно наличие ДБ только с жестким типом нелинейности, то есть, с частотами выше фононного спектра кристалла.
Покоящиеся дискретные бризеры с жестким типом нелинейности в 2D и 3D морзевских кристаллах
Пример ДБ, движущегося в двумерном и трехмерном кристаллах, приведен на рис. 3.1 и рис. 3.2, соответственно. Функции (а) Т„ и (б) S„ даны с интервалом Д/=5.07 пс для двумерного случая и Д/=4 пс для трехмерного. ДБ движется слева направо. Параметры анзаца (2.3)-(2.5), использовавшегося для задания начальных условий в двумерном кристалле: А= 0.108, В = 0.013, /?=у=0.27, w=20, х0 = 1/2, (ро=О.І7г, =0.04лг; и в трехмерном кристалле: А= 0.21, В = 0.07, /?=у=0.65, со=28.43, (ро=0.17г, хо = 1/2, =0.02лг. ДБ движется, в целом сохраняя свой профиль и амплитуду. Степень флуктуаций атомных смещений в трехмерном случае больше, чем в двумерном. Это связано с тем, что в трехмерном кристалле влияние излучения, испущщенного ДБ из-за несоответствия начальных условий точному профилю ДБ оказалось выше, чем в двумерном случае.
На рис. 3.3 для двумерного кристалла показана зависимость скорости ДБ от параметра д анзаца (2.5) для следующих значений прочих параметров: А=0.108, 5=0.012, /?=у=0.27, со=20, (ро=0.17г, хо = 1/2. Отметим, что зависимость v(S) близка к линейной и обрывается при (5=0.05 ж. Для д 0.05, варьированием параметров А, В, Ду устойчивый движущийся ДБ получить не удалось.
Перейдем к изучению взаимодействия движущихся ДБ друг с другом. Будут рассмотрены случаи, когда два ДБ движутся навстречу друг другу с равными по абсолютному значению скоростями в одном и том же плотноупакованном атомном ряду, а также в параллельных несовпадающих рядах.
Для изучения столкновения ДБ в двумерном кристалле было выбрано значение скорости ДБ, соответствующее значению (5=0.04ж на зависимости v(S) (см. рис. 3.3). Этому значению соответствует одна из наиболее высоких скоростей, при которых возможно получить стабильный движущийся ДБ. Выбранное значение скорости ДБ эквивалентно 0.35а в единицу времени. На рис. 3.4, функцией Тп с временным шагом Д/=10 пс, представлен пример столкновения двух движущихся ДБ, возбужденных в одном и том же плотноупа-кованном ряду кристалла при помощи анзаца (2.3)-(2.5) с параметрами: А= 0.128, В = 0.015, /?=у=0.25, со=19.5, (ро=0.17г, хо = 1/2, б5=0.04лг. Видно, что в результате столкновения двух движущихся ДБ образуется один неподвижный ДБ с большей амплитудой, чем у исходных ДБ.
На рис. 3.5 представленно тоже, что и на рис. 3.4, но в данном случае сталкиваются два ДБ, движущихся в соседних параллельных плотноупакованных рядах кристалла. Из рисунка видно, что после взаимодействия двух ДБ один из них гаснет, а другой продолжает движение в направлении противоположном начальному. При этом, амплитуда сохранившегося ДБ возрастает за счет приобретения части энергии исчезнувшего ДБ. Данная картина наблюдается и для тех случаев, когда второй ДБ движется по отношению к первому не только в соседнем, но и в третьем, пятом и седьмом плотноупакованных рядов кристалла. Дальнейшее увеличение расстояния между рядами, в которых движутся ДБ, приводит к ослаблению их взаимодействия, так, что они проходят мимо друг друга.
На рис. 3.6 представленно тоже, что и на рис. 3.4, но столкновения двух движущихся ДБ происходит через один плотноупакованный ряд кристалла. Из рисунка видно, что после взаимодействия двух ДБ они упруго отталкиваются и про должают движение в направлениях противоположных начальным. При этом снижение амплитуд ДБ не наблюдается, то есть, взаимодействие проходит без потери энергии ДБ. Аналогичный результат наблюдается и для тех случаев, когда ДБ взаимодействуют через четное количество плотноупакованных рядов кристалла. При расстоянии между рядами более 10, ДБ практически перестают взаимодействовать друг с другом.
Дискретные бризеры в Со
Пример столкновения двух движущихся ДБ, возбужденных в одном и том же плотноупакованном ряду Mg при помощи анзаца (2.3)-(2.5) с параметрами: А= 0.5, В = 0.08, /?= 0.5, 7=0.6, со = 12.5, 0=0.5лг, х0 = 1/2, с5=О.ОЗлг. Функции Т„ приведены с временным интервалом А/=5 пс. Столкновение симметричных ДБ заканчивается их исчезновением. Энергия ДБ диссипирует в расчетной ячейке в форме малоамплитудных колебаний.
В главе 4 показано, что в ГПУ металлах Ti, Co и Mg, существуют подвижные дискретные бризеры с жестким типом нелинейности.
Для неподвижных дискретных бризеров рассчитаны зависимости частот от амплитуды и показано, что частота растет с амплитудой.
Во всех трех рассмотренных ГПУ металлах ДБ имеют одинаковую структуру и демонстрируют схожие свойства, так что различие между ними количественное, но не качественное. Более того, дискретные бризеры в ГПУ металлах имеют структуру и свойства качественно аналогичные дискретным бризерам в 2D и 3D морзевских кристаллах, а также ранее изученным дискретным бризерам в ГЦК и ОЦК металлах.
При столкновении дискретных бризеров в ГПУ металлах происходит обмен энергией и моментом между ними, по аналогии с дискретными бризерами в 2D и 3D морзевских кристаллах изученных в главе 3.
Расчет фононного спектра моноатомного двумерного кристалла П.1. Методика расчета плотности фононных состояний кристаллов
Кристаллическое тело обладает трансляционной симметрией, то есть его структура может быть описана путем задания расположения атомов в некоторой ячейке периодичности и трансляцией этой ячейки вдоль n линейно независимых векторов трансляции, где n={1,2,3} определяет размерность кристалла. Ниже будет рассмотрен случай двумерного кристалла (n=2).
Пусть примитивная ячейка (ячейка периодичности минимального объема) двумерного кристалла содержит I атомов и опирается на вектора трансляции w1, w2. Декартовы координаты этих векторов составляют строки порождающей матрицы решетки
Площадь примитивной ячейки равна F=detW=wuw22-w і2 21 . Удобно занумеровать атомы кристалла тремя индексами т, п, і, где -сс т,п сс определяют номер примитивной ячейки бесконечного кристалла, а 105 і 1 определяет номер атома в пределах данной примитивной ячейки. Тогда радиус-вектор произвольного атома кристалла будет иметь вид r = mw1+ Ww2+ ki, где ki - это вектора сдвигов подрешеток. Атомы /-ой подрешетки имеют сорт А, и массу т,. Взаимодействие между атомами кристалла будут считаться парными, то есть предполагается, что сила взаимодействия между рассматриваемой парой атомов не зависит от присутствия других атомов. Заметим, что данное предположение не всегда оправдано. Уравнения движения атома с индексами т, п, і имеют вид: miUm,n,i = 2-І kJJ , (П.2) где Fkjj - это сила, действующая на атом т, п, і со стороны атома с индексами к, I, j и суммирование производится по всем соседям атома т, п, і в пределах радиуса обрезки потенциала.
Поскольку построение уравнений движения сводится к суммированию сил парных взаимодействий, рассмотрим взаимодействие между произвольной парой атомов сортов А и В, имеющих радиус-векторы r и rд (см. рис. П.1).
