Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Магнетики. нелинейная динамика доменных стенок. явление авторезонанса 10
1.1.Магнетики. нелинейная динамика доменной стенки в ферромагнетиках 10
1.1.1 Введение 10
1.1.2 Некоторые положения динамики доменной стенки 12
1.2 Эффект авторезонанса в нелинейных колебательных системах 21
1.2.1 Понятие об авторезонансе и первые его применения 21
1.2.2 Асимптотический анализ моделей авторезонанса 29
ГЛАВА II. Авторезонансное возбуждение нелинейных колебаний доменных стенок в ферромагнитной пластине 34
2.1 Уравнения главного резонанса колебаний доменной стенки в пластине одноосного ферромагнетика 34
2.2 Численное решение уравнений главного резонанса и уравнения движения доменной стенки, с учетом затухания, в случае постоянной амплитуды поля накачки 48
2.3. Численное решение уравнений главного резонанса и уравнения движения доменной стенки в случае линейно растущей амплитуды поля накачки 54
Заключение к главе II 66
ГЛАВА III. Авторезонансное возбуждение нелинейных колебаний доменных стенок с квазирелятивистской массой в ферромагнитной пластине 68
3.1 Уравнения главного резонанса в случае квазирелятивистской динамики доменной стенки 68
3.2 Численное решение уравнений главного резонанса и уравнения квазирелятивистской динамики доменной стенки в случае слабого квазирелятивизма эфективной массы доменной стенки 74
3.3 Численное решение уравнений главного резонанса и уравнения квазирелятивистской динамики доменной стенки в случае сильного квазирелятивизма эффективной массы доменной стенки 85
ГЛАВА IV. Управление динамикой доменной стенки в режиме автофазировки 91
4.1 Управление динамикой доменной стенки без учета ее квазирелятивистских свойств 91
4.2 Управление слаборелятивистской динамикой доменной стенки 100
4.3 Управление квазирелятивистской динамикой доменной стенки в случае сильного квазирелятивизма 106
Заключение к главе IV 113
Заключение 114
Список цитированной литературы 118
- Некоторые положения динамики доменной стенки
- Численное решение уравнений главного резонанса и уравнения движения доменной стенки, с учетом затухания, в случае постоянной амплитуды поля накачки
- Численное решение уравнений главного резонанса и уравнения квазирелятивистской динамики доменной стенки в случае слабого квазирелятивизма эфективной массы доменной стенки
- Управление слаборелятивистской динамикой доменной стенки
Введение к работе
Исследования структуры и динамики доменов и доменных стенок стимулируются тем, что явления намагничивания и перемагничивания используются во многих областях техники, в частности в магнитоэлектронике. Известно, что в слабых полях намагничивание ферромагнетиков обусловлено процессами смещения доменных стенок [1—4]. Одним из надежных способов определения динамических параметров стенки и получения информации о явлениях, сопровождающих ее движение в магнитном поле, является магнитный резонанс. Таким образом, изучение резонанса доменных стенок в ферромагнетике является важной задачей физики конденсированного состояния.
Линейные колебания доменной стенки изучены подробно и обсуждаются во многих монографиях (см., например, [5-7]).
Магнитостатическое взаимодействие при смещении доменной стенки приводит к кинетической нелинейности динамики доменной стенки, связанной с изменением ее структуры [8, 9], и к потенциальной нелинейности динамики доменной стенки, связанной с взаимодействием магнитных зарядов на поверхности образца [10-14]. В зависимости от толщины образца может преобладать один из видов нелинейности.
Что касается нелинейных колебаний стенки, то можно выделить работу [14], в которой рассматривалась потенциальная нелинейность, обусловленная магнитостатическим взаимодействием. Динамика стенки с кинетической нелинейностью изучена в работах [8, 9]. В [8] показана возможность возбуждения кратных гармоник внешним переменным полем, указано на возможность стохастизации движений стенки, а в [9] показано существование предельной скорости стационарного движения доменной стенки, обусловленной квазирелятивистской зависимостью эффективной массы от скорости.
Перечисленные выше результаты относятся к случаю переменных полей не очень малых амплитуд. Представляет интерес исследование условий
4 управляемого возбуждения нелинейных колебаний доменных стенок под действием переменных полей небольшой амплитуды.
В настоящее время уделяется большое внимание управлению нелинейной динамикой различных систем с помощью периодических воздействий [15]. Известно, что генерация нелинейных колебаний в колебательной системе в отсутствии затухания возможна в случае медленного изменения частоты возбуждающего поля достаточно малой амплитуды (см., например, [16-22]) (здесь и ниже, под медленным изменением подразумевается такое изменение величины, при котором ее относительное изменение за период вободных колебаний системы остается много меньшим единицы). Такое возбуждение может происходить благодаря эффекту авторезонанса (используется также термин автофазировка), под которым понимается явление автоматической подстройки собственной частоты нелинейной системы под частоту внешнего воздействия. Такой "захват" частоты, удерживаемый длительное время, может приводить к значительному росту амплитуды колебаний системы при существенно малой амплитуде накачки.
В реальных системах существуют диссипативные процессы, приводящие к уменьшению амплитуды колебаний, и оказывающие существенное влияние на характер колебаний доменной стенки. Однако, влияние затухания в системе на условия управляемой авторезонансной генерации нелинейных колебаний слабо исследовано.
Таким образом, исследование управляемой генерации нелинейных колебаний доменных стенок в ферромагнитной пластине с учетом затухания является актуальной задачей.
Целью диссертационной работы является исследование условий возбуждения нелинейных колебаний системы в режиме авторезонанса с учетом диссипации, выявление возможности управления нелинейной, в том числе квазирелятивистской, динамикой доменных стенок в ромбических магнетиках.
5 Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:
Уравнение нелинейной динамики доменной стенки сведено к уравнениям главного резонанса.
Путем аналитического и численного исследований уравнений главного резонанса установлены условия авторезонансной генерации колебаний доменной стенки и условия управления этими колебаниями в режиме автофазировки при учете затухания.
Результаты анализа уравнений главного резонанса подтверждены численными экспериментами с исходной моделью, описывающей нелинейную динамику доменной стенки.
Научная новизна определяется тем, что установлена возможность генерации нелинейных колебаний доменной стенки малым внешним полем с медленно изменяющейся частотой в авторезонансном режиме при учете затухания. На примере системы доменных стенок в ромбических магнетиках показана возможность управления нелинейной динамикой колебательной системы слабыми внешними воздействиями, используя явление «захвата» частоты, возникающее в режиме автофазировки. Впервые рассмотрена возможность возбуждения авторезонанса в системе, описываемой уравнением квазирелятивистского осциллятора на примере доменных стенок в ромбических ферромагнетиках.
На защиту выносятся:
1. Результаты аналитического и численного исследования явления авторезонанса в нелинейной диссипативной системе на примере системы доменных стенок ромбического ферромагнетика
Условия генерации болыпеамплитудных колебаний доменных стенок внешним полем с медленно изменяющейся частотой и амплитудой в режиме авторезонанса при наличии диссипации.
Условия генерации болыпеамплитудных колебаний доменных стенок в режиме авторезонанса в случае квазирелятивистской зависимости эффективной массы доменной стенки от ее скорости.
4. Результаты исследования по управлению как нерелятивистской, так и квазирелятивистской динамикой доменной стенки в режиме автофазировки путем модуляции частоты внешнего поля.
Научная и практическая значимость диссертации. Результаты диссертации носят теоретический характер, расширяют представления о возможностях управления нелинейной динамикой колебательных систем на примере доменных стенок в ферромагнетике, указывают на перспективу экспериментального наблюдения нового нелинейного эффекта -авторезонанса (автофазировки) - в конденсированных средах. Структура диссертационной работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 127 страниц, включая 77 рисунков и список цитированной литературы из 105 наименований.
Во введении дано обоснование темы диссертации, показана актуальность решаемых задач, их научная ценность, перечислены основные результаты, полученные в работе.
Первая глава является обзорной, в ней приведены краткие сведения о ферромагнетиках и динамике доменных стенок в них. Приводится краткий анализ предшествующих работ по исследованию нелинейной динамики доменных стенок в пластине ферромагнетика. Также приведены сведения о новом эффекте в физике конденсированного состояния — авторезонансе, приведен краткий анализ работ, посвященных эффекту авторезонанса в других разделах физики.
Во второй главе аналитически и численно исследованы нелинейные колебания доменных стенок в ферромагнитной пластине с плоскопараллельной периодической доменной структурой во внешнем поле с медленно меняющимися амплитудой и частотой. Причем, рассматривается случай потенциальной нелинейности в модели, исследованной в [14]. Определены условия управляемого авторезонансного возбуждения нелинейных колебаний доменной стенки при наличии диссипации. Показано,
7 что и при наличии диссипации нелинейные колебания доменных стенок могут быть генерированы в авторезонансном режиме. При этом нелинейная система подстраивается под внешнее воздействие с медленно меняющимися частотой и амплитудой. Порог амплитуды накачки, необходимой для захвата фазы, т.е. авторезонансного возбуждения колебаний, зависит от скорости и закона изменения частоты поля. Он может быть малым по сравнению с критической амплитудой поля, при которой наступает изменение характера резонансных явлений в стационарном режиме в отсутствие захвата фазы. При наличии диссипации условие захвата фазы не нарушается и на далеких временах при скорости возрастания амплитуды возбуждающего поля, больше некоторого критического значения.
Захват фазы и авторезонансное возбуждение нелинейных колебаний большой амплитуды, при медленном изменении частоты накачки, может иметь место и при постоянной амплитуде поля, причем, амплитуда поля должна быть гораздо больше порогового значения в отсутствии затухания. Найдены пороговые значения амплитуды и скорости роста амплитуды поля накачки в зависимости от геометрических характеристик доменной структуры пленок, выше которых в системе наступает эффект автофазировки.
Следует отметить, что возможность авторезонансного возбуждения сильно зависит от начальных условий, и с ростом амплитуды поля область авторезонансных начальных данных расширяется.
Механизм авторезонасного возбуждения нелинейных колебаний доменной стенки является наиболее эффективным при небольших затуханиях. В этом случае поле насыщения ферромагнитной пластины может быть существенно меньше не только поля квазистатического намагничивания, но и поля динамического стационарного резонансного намагничивания.
В третьей главе аналитически и численно исследована генерация нелинейных колебаний доменных стенок с квазирелятивистской
8 эффективной массой в ферромагнитной пластине с плоскопараллельной периодической доменной структурой переменным внешним полем в режиме авторезонанса. Показано, что нелинейные колебания доменных стенок могут быть генерированы в авторезонансном режиме и в случае квазирелятивистской зависимости эффективной массы доменной стенки от ее скорости. Причем, если релятивизм стенки можно характеризовать как слабый, то аналитические выводы предыдущей главы для нерелятивистской динамики доменной стенки могут быть обобщены на этот случай. Показано, что существенный релятивизм эффективной массы доменной стенки ведет к увеличению поля насыщения, причем вывод о возможности достижения достаточно больших амплитуд колебаний стенки при данной амплитуде поля накачки можно делать лишь на основе численного эксперимента.
Механизм авторезонасного возбуждения нелинейных колебаний доменной стенки является наиболее эффективным при небольших затуханиях и слабом релятивизме эффективной массы. Поле насыщения ферромагнитной пластины может быть существенно меньше не только поля квазистатического намагничивания, но и поля динамического стационарного резонансного намагничивания, так же как и в нерелятивистском случае, рассмотренном в главе II.
В четвертой главе показана возможность управления как нерелятивистской, так и квазирелятивистской динамикой доменной стенки в режиме автофазировки с внешним полем. Управление осуществляется путем модуляции частоты внешнего поля в режиме, когда колебания доменной стенки подстраиваются под частоту внешнего воздействия. Такой режим осуществим при достаточно медленном изменении модулируемой частоты, причем глубина модуляции частоты внешнего поля задает глубину модуляции амплитуды нелинейных колебаний доменной стенки. Задавая различные модулирующие функции можно как перевести состояние системы доменных стенок из равновесного (или близкому к нему состояния) в режим
9 стационарных нелинейных колебаний, так и полностью управлять нелинейной динамикой доменных стенок.
В заключении приведен перечень основных результатов и выводов, полученных автором в диссертационной работе.
Достоверность полученных результатов и выводов обеспечивается использованием современных аналитических и численных методов, совпадением результатов численных расчетов с данными, полученными ранее аналитически для частных случаев.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на Международном симпозиуме по магнетизму MISM-2008 (Москва, 2008), XXI Международной конференции «Новое в магнетизме и магнитных материалах» (Москва, 2009), Первом международном междисциплинарном симпозиуме «Среды со стуктурным и магнитным упорядочением» Multiferroics 2007 (Ростов-на-дону, пос. Лоо, 2007), Открытой школе конференции стран СНГ «Ультрамелкозернистые и наноструктурные материалы» (Уфа, 2008), Всероссийской школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (Уфа, 2007), VIII Региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии (Уфа, 2008), VI Региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии (Уфа, 2006).
Публикации и личный вклад. Основные результаты опубликованы в 12 печатных работах, включающих 3 статьи в журналах списка ВАК, 9 в сборниках трудов и тезисов докладов на научных конференциях, школах-семинарах. Общий список публикаций приведен в конце диссертации [А1-А12]. В совместных публикациях по теме диссертационной работы личный вклад автора заключается в участии в постановке задач, в создании программ для численного моделирования, в проведении большинства численных и значительного объема аналитических расчетов, в обсуждении и интерпретации полученных результатов и написании статей.
Некоторые положения динамики доменной стенки
Перемагничивание ферромагнетика осуществляется за счет двух основных процессов изменения его доменной структуры. Во-первых, домены, намагниченные в направлении, составляющем острый угол к направлению напряженности внешнего магнитного поля, будут разрастаться за счет уменьшения объема соседних доменов. Этот процесс осуществляется путем смещения граничных слоев между доменами и заканчивается при исчезновении основной доменной структуры. Во-вторых, в каждом из доменов будет происходить поворот намагниченности к направлению внешнего магнитного поля - процесс вращения. Смещение границ доменов и вращение намагниченности в них и определяют вид зависимости результирующей намагниченности ферромагнитных образцов или их индукции от внешнего магнитного поля, т.е. форму кривой намагничивания [1]. При этом известно, что в слабых полях преобладают процессы смещения. Намагничивание ферритов-гранатов и редкоземельных ортоферритов, осуществляется преимущественно движением доменных стенок. В зависимости от параметров образца, температуры, внешнего поля могут реализовываться различные виды движения доменной стенки: малые колебания относительно положения равновесия; стационарное движение; неоднородное движение с наклоном или искривлением доменной стенки в продольном или поперечном направлении; осциллирующее движение, сопровождаемое прецессией магнитного момента [23]; движение скрученных доменных стенок; движение цилиндрических магнитных доменов; движение внутри доменной стенки (спиновые волны, резонанс) [24]. Процессы смещения могут быть обратимыми — тогда, при выключении внешнего поля, границы доменов вернутся в исходное состояние, - и необратимыми. Необратимость процессов смещения связана с наличием дефектов в кристалле и возможностью качественного изменения доменной структуры.
Динамика доменной структуры ферритов-гранатов широко исследовалась в 70-80-х годах в связи с перспективами их применения в устройствах записи информации и устройствах управляемой магнитооптики на цилиндрических магнитных доменах и доменных границах. В частности, можно выделить монографии [5, 25], а также обзор [26]. Значительные результаты достигнуты в изучении поведения доменных структур ферритов-гранатов, как в статических, так и в переменных высокочастотных уделяется и сейчас. Можно отметить обзор [27], объединяющий цикл работ, в которых выявлено новое явление самоорганизации возбужденной доменной структуры пленок ферритов-гранатов в переменном поле в диапазоне частот 0.1 - 10 кГц. Сохраняется интерес к экспериментальному изучению динамических магнитных свойств ферритов-гранатов, связанный с их использованием в магнитооптике — так, в работе [28] исследуется процесс динамического перемагничивания феррит-гранатового магнитооптического транспоранта установкой с временным разрешением 5 не. Наибольшей подвижностью обладают доменные стенки в слабых ферромагнетиках. Скорость и подвижность доменных стенок в ортоферритах достигает высоких значений 2-Ю4 м/с и 1м2/(с-А) , соответственно, [29]. Процессы перестройки доменной структуры неразрывно связаны с процессом смещения доменных стенок в образце. Теоретическое изучение динамики доменной границы базируется на уравнении Ландау-Лифшица в форме Гильберта, описывающем макроскопическое распределение вектора намагниченности в образце, которое имеет вид: где M(r,0 - намагниченность единицы объема ферромагнетика, уе — гиромагнитное отношение, а — параметр затухания Гильберта, Hext — эффективное магнитное поле, Hext — внешнее магнитное поле, Нт магнитостатическое поле, Hmis - поле анизотропии, Нех - обменное поле. На основе точных решений уравнения (1.1) подробно разработана теория как вынужденного, так и инерционного движения уединенных доменных стенок, этот вопрос рассматривается во многих монографиях, например, [5, 6, 24, 30] и обзорах [26, 30, 31, 32].
Можно выделить работы, в которых рассматривается нелинейная динамика взаимодействующих доменных стенок полосовой доменной структуры [33] и динамика вихревых доменных стенок [34]. Динамика вынужденного движения доменной стенки. Вынужденное движение доменной стенки возможно в случае поля, приложенного вдоль оси легкого намагничивания (ОЛН). При наложении внешнего поля в выражении для свободной энергии образца появляется дополнительный член -зеемановская энергия. Состояние равновесия доменной структуры нарушается. Переход в состояние равновесия происходит за счет процессов
Численное решение уравнений главного резонанса и уравнения движения доменной стенки, с учетом затухания, в случае постоянной амплитуды поля накачки
Если в уравнениях (2.18) присутствует диссипативное слагаемое с положительным коэффициентом Лє 0, то не существует решений с неограниченно растущей амплитудой. Это свойство можно усмотреть из первого уравнения в (2.18): при р 1 производная dpld.6 оказывается отрицательной, поэтому рост амплитуды невозможен. Однако, если параметр затухания мал по сравнению с амплитудой накачки (Лє «1), то существует двухпараметрическое семейство решений решением исходного уравнения динамики стенки (2.7) при / = 1 больше, чем при / = 10, так как в этом случае при больших отклонениях стенки от положения равновесия возвращающая сила не может быть упрощена (см. рис. 2.1). При 1 = 1 согласие носит скорее качественный характер, и судить о приближении ферромагнитной пластины к состоянию насыщения следует, основываясь на анализе решений исходного уравнения динамики стенки (2.7). На рис. 2.9, 2.11 видно, что результаты анализа уравнений главного резонанса хорошо подтверждаются численными решениями уравнения (2.7) в случае / = 10. Амплитуда колебаний доменной стенки є p/(S3) , найденная численно из уравнений главного резонанса (2.18), адекватно описывает решение уравнения динамики стенки (2.7). Следует обратить внимание на тот факт, что промежуточная асимптотика (т.е. относящаяся к промежутку времени, предшествующему срыву амплитуды) совпадает с бездиссипативной на больших временах. Отсюда следует, что выражение (2.28) для максимальной амплитуды колебаний доменной стенки, полученное на основе бездиссипативной асимптотики, будет выполняться тем точнее, чем позже наступает срыв амплитуды. Из выражения для момента достижения максимума амплитуды (2.27) видно, что меньшему параметру v соответствует большее время срыва.
Сопоставление кривых 1-3 на рис. 2.9а-2.12а показывает, что выражение (2.28) дает лучшую оценку именно для меньших v. Сравнивая параметры, амплитуды которых медленно, по сравнению с изменением фазы Ф переменного поля Hit), растут, а затем, на далеких временах, происходит срыв на ограниченную асимптотику. Промежуточная асимптотика при больших в»1 остается такой же, как и в бездиссипативном случае. Момент достижения максимума амплитуды колебаний определяется приближенно из соотношения которое характеризует момент достижения диссипативным слагаемым величины порядка единицы. При этом амплитуда достигает значения ЛГ1є2/3 12, или в исходных переменных 2g Л Отсюда следует, что приближение ферромагнитной пластины к состоянию насыщения при /»1 может иметь место при /?о 2g Л «2Л «1, или в размерных переменных Н0 %пМ3Л. Данные выводы подтверждаются численным решением уравнений главного резонанса (2.18), примеры которых приведены на рис 2.9(а, б) - 2.12(а, б). Видно, что расхождение решений уравнений главного резонанса (2.18) с решением исходного уравнения динамики стенки (2.7) при / = 1 больше, чем при / = 10, так как в этом случае при больших отклонениях стенки от положения равновесия возвращающая сила не может быть упрощена (см. рис. 2.1). При 1 = 1 согласие носит скорее качественный характер, и судить о приближении ферромагнитной пластины к состоянию насыщения следует, основываясь на анализе решений исходного уравнения динамики стенки (2.7). На рис. 2.9, 2.11 видно, что результаты анализа уравнений главного резонанса хорошо подтверждаются численными решениями уравнения (2.7) в случае / = 10. Амплитуда колебаний доменной стенки є p/(S3) , найденная численно из уравнений главного резонанса (2.18), адекватно описывает решение уравнения динамики стенки (2.7). Следует обратить внимание на тот факт, что промежуточная асимптотика (т.е. относящаяся к промежутку времени, предшествующему срыву амплитуды) совпадает с бездиссипативной на больших временах. Отсюда следует, что выражение (2.28) для максимальной амплитуды колебаний доменной стенки, полученное на основе бездиссипативной асимптотики, будет выполняться тем точнее, чем позже наступает срыв амплитуды. Из выражения для момента достижения максимума амплитуды (2.27) видно, что меньшему параметру v соответствует большее время срыва. Сопоставление кривых 1-3 на рис. 2.9а-2.12а показывает, что выражение (2.28) дает лучшую оценку именно для меньших v. Сравнивая параметры кривых 1-3 на рис. 2.9-2.12 можно сделать вывод о том, что амплитуда колебаний стенки, определяемая из уравнений главного резонанса (2.18), имеет максимум, величина которого ограничена значением, даваемым выражением (2.28), и приближается к этому предельному значению тем ближе, чем медленнее изменяется частота накачки.
Численное решение уравнений главного резонанса и уравнения квазирелятивистской динамики доменной стенки в случае слабого квазирелятивизма эфективной массы доменной стенки
Ситуация, когда релятивизм стенки можно назвать слабым, представляется наиболее простой для анализа условий захвата в авторезонанс, т.к. именно в этой ситуации упрощенное уравнение (3.12) является хорошей моделью, описывающей динамику стенки, а, следовательно, результаты анализа уравнений главного резонанса (3.18) могут быть отнесены к динамике стенки, описываемой исходным уравнением (3.7). В противном случае, окончательный вывод о захвате колебаний доменной стенки в авторезонанс и достижении ими большой амплитуды, может быть сделан только на основе численного эксперимента с уравнением квазирелятивистской динамики стенки (3.7). Квазирелятивистскую динамику стенки можно назвать слаборелятивистской в случае, если выполнено условие С точки зрения управления нелинейной динамикой системы стенок, наибольший интерес представляет определение условий захвата, в случае линейного закона изменения частоты со временем (соответствует п = 1 в выражении (3.15)), и в случае квадратичного закона изменения частоты (т.е. /7 = 2), который исследовался в работах [17-21], в бездиссипативном случае (Л = 0). Анализ уравнений главного резонанса в нерелятивистском пределе, проведенный в Главе II, показал, что если параметр затухания мал по сравнению с амплитудой накачки (т.е. Лє «1), то существуют решения р{в), которые вплоть до далеких времен описываются авторезонансной асимптотикой. Аналогичная ситуация, может иметь место в случае квазирелятивистской динамики. В отсутствии затухания (Л = 0), как показывает анализ уравнений главного резонанса (3.18), существует двухпараметрическое семейство решений, для которого главные члены асимптотики имеют вид (2.21), (2.25). Если в уравнениях (3.18) присутствует диссипативное слагаемое і -2/3 п Лє 0, то не существует решении с неограниченно растущей амплитудой. Это свойство можно усмотреть из первого уравнения в (3.18): при р \ производная dpi сів оказывается отрицательной, поэтому рост амплитуды невозможен.
Однако, если параметр затухания мал по сравнению с амплитудой накачки {Лє «1), то существует двухпараметрическое семейство решений, амплитуды которых медленно, по сравнению с изменением фазы Ф переменного поля H(t), растут, а затем на далеких временах происходит срыв на ограниченную асимптотику, как это показано в нерелятивистском пределе на рис. 2.9 — 2.12. Промежуточная асимптотика при больших в»\ остается такой же, как и в бездиссипативном случае. Момент достижения максимума амплитуды колебаний определяется приближенно из соотношения: Отсюда следует, что приближение ферромагнитной пластины к состоянию насыщения при /»1 может иметь место при h0 2g2A и 2Я «1, или в размерных переменных Н0 &7гМ0Л. Из (3.24) видно, что максимальная амплитуда не зависит от характеристик кинетической нелинейности. Кинетическая нелинейность, как и потенциальная, влияет на время достижения максимальной амплитуды. Результаты анализа уравнений главного резонанса хорошо подтверждаются численным решением уравнения (3.7). Кроме того, найденная зависимость д;тах и / от hQ/A подтверждается результатами строгого анализа системы вида (3.12) [102]. На рис. 3.1, 3.2 приведены примеры численных решений уравнений главного резонанса (3.18) и уравнения квазирелятивистской динамики стенки (3.7) в случае слабого релятивизма (у 1.2) для линейной и квадратичной накачки (л = 1,2) при постоянной амплитуде накачки (р = 0). Наблюдается согласие решений уравнений главного резонанса (3.18) и уравнения квазирелятивистской динамики стенки (3.7), есть согласие вычисленного значения хтах 1.82 с величиной, наблюдаемой на численном эксперименте. Момент срыва амплитуды для решения уравнений главного резонанса (3.18) и уравнения (3.7) практически совпадает.
При увеличении поля накачки (см. отвечающего за кинетическую рис. 3.3) или увеличении параметра 2яс нелинейность динамики доменной стенки (см. рис. 3.4), происходит дальнейшее отклонение параметра yL от единицы и, соответственно, ухудшение количественного согласия решений уравнений главного резонанса (3.18) и уравнения квазирелятивистской динамики стенки (3.7). Интерес представляет случай преобладания потенциальной нелинейности, при учете квазирелятивистской зависимости эффективной массы доменной стенки от ее скорости. На рис. 3.5, 3.6 приведен случай, когда параметр нелинейности 0 0, что соответствует преобладанию потенциальной нелинейности. Действительно, для параметров рис. 3.5, 3.6 0 «0.063 0. В этом случае, согласие уравнений главного резонанса и уравнения квазирелятивистской динамики стенки удовлетворительное, выражение (3.24) подтверждается на численном эксперименте: вычисленное значение хтах»3.2 удовлетворительно согласуется с наблюдаемым значением (хтах«2.5), момент срыва амплитуды (3.23) для решений уравнений главного резонанса (3.18) и уравнения квазирелятивистской динамики стенки (3.7) также находится в удовлетворителном количественном согласии. Таким образом, следует сделать вывод о том, что в случае не очень больших амплитуд (х 1) и слабого релятивизма (xJ l), наблюдаемое согласие между результатами различных подходов, а именно анализа уравнений главного резонанса и численного исследования уравнения квазирелятивистской динамики доменной стенки, носит количественный характер.
Управление слаборелятивистской динамикой доменной стенки
Как было показано в главе III, слаборелятивистская динамика стенки вполне может быть описана уравнениями главного резонанса на количественном уровне. Таким образом, целесообразно рассмотреть слаборелятивистский случай, прежде чем переходить к изучению возможности управления квазирелятивистской динамикой стенки в более общей ситуации существенного релятивизма эффективной массы доменной стенки. Уравнения главного резонанса будут иметь вид (4.2), но нужно иметь в виду, что здесь преобладает кинетическая нелинейность доменной стенки и направление изменения частоты накачки будет противоположным нерелятивистскому случаю, рассмотренному выше (здесь 0 0, в нерелятивистском случае 0 0 ). Численный эксперимент показывает, что основные выводы сделанные для нерелятивистской динамики стенки, могут быть обобщены на динамику доменной стенки со слаборелятивистской зависимостью эффективной массы от ее скорости. Действительно, выбирая закон изменения частоты накачки (4.1) в виде (4.4), возможно перевести состояние доменной стенки, находящейся в равновесии или в близком к нему положении, в стационарный колебательный режим движения с большой амплитудой, близкой к хтах, определяемой (2.28). При этом, как и в нерелятивистском случае, наблюдается срыв амплитуды, определяемый условием (4.5), наблюдается хорошее согласие между вычисленным значением критической амплитуды и численным экспериментом (см. рис. 4.8-4.9). Аналогично нерелятивистскому случаю наблюдается нарушение авторезонансного режима при слишком быстром изменении частоты накачки (v vk) (см. рис. 4.10). Выбор закона изменения частоты в виде (4.6) позволяет полностью управлять слаборелятивистской динамикой стенки. Условие (4.5) подтверждается численным экспериментом, также подтверждается вывод о необходимости медленного изменения частоты для удержания режима автофазировки колебаний доменной границы с внешним полем (v vk). В виду того, что частота внешнего воздействия изменяется в противоположном направлении по сравнению с нерелятивистским случаем, на временах 2т lv 7] Я{2П + \)1У , (п = 0,1, 2...) частота накачки оказывается меньшей или равной частоте линейного резонанса доменной стенки. В этом интервале времени изменение частоты накачки синхронизовано с изменением частоты колебаний стенки, т.е. с уменьшением частоты накачки частота стенки уменьшается, а далее, с увеличением частоты накачки, частота колебаний стенки растет, что обеспечивает автоматическое сохранение резонансных условий. На рис. 4.11 и 4.14 видно, что захват фазы и частоты длится в течение промежутка времени Arj = 7r/v. В течение первой половины этого интервала амплитуда колебаний растет, а второй — убывает. На временах ж{2п +1) / v TJ 2п{п +1) / v частота накачки оказывается больше резонансной частоты доменной стенки. В этом случае захват частоты отсутствует, так как изменение частоты накачки и частоты колебаний доменной стенки не синхронны, вследствие чего резонансные условия нарушаются.
Доменная стенка переходит в устойчивый нерезонансный режим колебаний, продолжающийся в течение времени Аг/-7г/у, а затем снова наступает режим захвата фазы и частоты. Из графика на рис. 4.12 видно, что в момент времени rj « л(\ + An)/(2v) имеет место срыв амплитуды при нарушении условия (4.5), а вблизи 77 « 7г(2п +1) / v наблюдается ее всплеск, обусловленный выполнением резонансного условия — равенства частоты накачки и частоты колебаний стенки. Однако, из-за их несинхронного изменения, резонансное условие со временем нарушается и не происходит захвата в авторезонанс. Если условие слабости квазирелятивизма (3.22) эффективной массы доменной стенки не выполнено, то, как показано в главе III, анализ авторезонансной динамики доменной стенки должен проводиться на основе численного исследования уравнения квазирелятивистской динамики доменной стенки (3.7). Примеры численных решений приведены ниже на рис 4.15 - 4.20. Численный эксперимент показывает сильное расхождение момента срыва, а также амплитуды колебаний, этому срыву соответствующей, определяемых из уравнений главного резонанса (4.2) и из исходного уравнения квазирелятивистской динамики стенки (3.7). Причины такого расхождения обсуждались в главе III. Однако, на качественном уровне, результаты анализа уравнений главного резонанса (4.2) полностью подтверждаются численным экспериментом с уравнением квазирелятивистской динамики стенки (3.7). Так, при выборе закона изменения частоты в виде (4.4) (см. рис. 4.15 - 4.17), удается перевести стенку в режим стационарных нелинейных колебаний и удерживать ее в нем.
При этом необходимо превышение амплитуды поля над некоторой критической величиной, что качественно соответствует выполнению условия (4.5). В случае слишком быстрого изменения частоты накачки (v vk), захват частоты отсутствует, что также наблюдается и у решений уравнений главного резонанса (4.2). В случае выбора закона частоты в виде (4.6), достигается полное управление квазирелятивистской динамикой доменной стенки. Вывод о наличие лишь качественного согласия между решениями уравнений главного резонанса (4.2) и уравнением квазирелятивистской динамики стенки (3.7) остается в силе. Выполнение условия (4.5) также необходимо в этом случае, наряду с условием медленности изменения частоты накачки (y vk). Описание динамики стенки в режиме полного управления не отличается от слаборелятивистского случая.
Похожие диссертации на Авторезонансное возбуждение колебаний доменных стенок в ферромагнитном кристалле
