Роль Л. Эйлера в разработке основ математического анализа: теория гамма- и бета-функций в его печатных и неопубликованных работах Игнатушина Инесса Васильевна

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Игнатушина Инесса Васильевна. Роль Л. Эйлера в разработке основ математического анализа: теория гамма- и бета-функций в его печатных и неопубликованных работах : Дис. ... канд. физ.-мат. наук : 07.00.10 : Оренбург, 2004 153 c. РГБ ОД, 61:04-1/627

Содержание к диссертации

Введение

Глава I. Трактовка основных понятий математического анализа у Леонарда Эйлера 7

Глава II. Формирование теории гамма-функции в исследованиях Л. Эйлера

1. Понятие гамма-функции и некоторые её свойства 18

2. Возникновение понятия гамма-функции 22

3. Некоторые результаты Л. Эйлера по теории гамма-функции 35

4. Заметки из записных книжек Л. Эйлера, относящихся к теории гамма-функции 51

Глава III. Теория бета-функции в исследованиях Л. Эйлера

1. Возникновение начал теории бета-функции в работах Л. Эйлера 58

2. Обзор результатов Л. Эйлера по теории бета-функции 68

3. Теория бета-функции в "Интегральном исчислении" Л. Эйлера 77

4. Заметки из записных книжек Л. Эйлера, в которых рассматриваются вопросы теории бета-функции 88

Заключение 103

Литература 121

Приложения 1

Понятие гамма-функции и некоторые её свойства
Возникновение начал теории бета-функции в работах Л. Эйлера
Теория бета-функции в "Интегральном исчислении" Л. Эйлера

Введение к работе

Великому ученому Леонарду Эйлеру (1707-1783), одному из основоположников современной математики, принадлежит решающая роль в формировании основ математического анализа и создании ряда его ветвей, в том числе, некоторых разделов теории специальных функций. В частности, им были введены понятия функций гамма (Г) и бета (В) и получены важные результаты относительно свойств этих функций, которые находят широкое применение в различных отраслях современной науки.

В обзорах по истории математики [5, 6,31,32,60, 88,92,136, 151,215 и др.] всегда отмечаются заслуги Эйлера в становлении теории специальных функций. Содержание его мемуаров, в которых речь идет о функциях гамма и бета, рассматривалось во вводных статьях Г. Фабера и А. Крацера [199,200] к соответствующим томам полного собрания сочинений Л. Эйлера ("Leonhardi Euleri opera omnia"), в магистерской диссертации А. Жбиковского [30] и в работах по истории теории специальных функций И.А. Головинского [11,12, 13], А.Н. Гусева [19,20], В.В. Гуссова[21,22,23], Т Дэйвиса [155], А.И. Курдюмовой [43,44], Н. Нильсена [208] и др. Однако многие вопросы, касающиеся возникновения и ранней истории теории гамма- и бета- функций, остались неизученными.

4 В эти книжки (двенадцать тетрадей разного объема) Эйлер на протяжении всей своей жизни

вносил заметки, отражающие ход его творческой работы в различных областях науки и

прежде всего в математике [35,62,64,66,67, 71,72,75, 89,141, 157]. Поэтому их

исследование дает возможность проследить развитие мысли Эйлера при решении той или

иной проблемы и уточнить датировку его научных открытий. В диссертации приводится

анализ записей, касающихся функций гамма и бета.

Актуальность темы исследования определяется важностью для истории математики изучения научного наследия Эйлера, особенно материалов, до сих пор остающихся неопубликованными.

Цель диссертационного исследования состоит в выявлении и систематизации полученных Эйлером результатов, которые относятся к теории функций гамма и бета.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

изучение опубликованных сочинений Эйлера, касающихся теории функций гамма и бета: "Дифференциальное исчисление" [126], "Интегральное исчисление"[127] (т. I-II), "Механика, т.е. наука о движении, изложенная аналитическим методом" [128], мемуары ' Е19, Е43, Е47, Е59.Е60, Е122,Е123, Е254, Е302, Е313, Е321, Е352, Е368, Е393, Е421, Е432, Е499, Е583, Е588, Е594, Е629,Е640, Е652, Е661, Е662, Е663, Е675, Е681, Е745, Е768, Е816, опубликованные в "Opera omnia";

изучение переписки Эйлера [7,36,38,42,57, 64,122,123,134, 146, 157, 190, 192, 196] с учеными (Хр. Гольдбахом , И. Бернулли, Д. Бернулли , Дж. Стерлингом ,

Ж. Лагранжем, Ф. Ноде, К. Л. Г. Элером) в той части, которая относится к теории функций гамма и бета;

- отбор и классификация заметок из записных книжек Эйлера, имеющих отношение к
рассматриваемой теории;

¹ Обозначение мемуаров приведено в соответствии со списком Г. Энестрёма, опубликованным в [158].

- анализ содержания неопубликованных заметок Эйлера и их сопоставление с печатными

работами и перепиской;

- выяснение применявшихся Эйлером методов решения задач, связанных с функциями
гамма и бета.

Метод исследования , применявшийся в диссертации, основан на историко-научном и математическом анализе оригинального текста опубликованных сочинений Эйлера и неопубликованных заметок из его записных книжек.

Научная новизна работы определяется, во-первых, постановкой вопроса, до сих пор не получившего достаточного освещения в историко-математическои литературе, и во-вторых, тем, что объектом исследования являются неопубликованные заметки из записных книжек Эйлера и его мемуары, хотя и опубликованные в "Opera omnia", но малоизученные.

Практическая ценность результатов диссертационного исследования состоит в том, что они могут быть использованы:

при продолжающемся изучении научного наследия Эйлера;
при исследовании возникновения и развития теории специальных функций;
при подготовке курсов и спецкурсов по истории математики в педагогическом вузе. Основные положения, выносимые на защиту:

выяснение роли Эйлера в создании теории специальных функций;

установление на основании изучения печатных трудов, переписки и записных книжек Эйлера исходных моментов формирования теории функций гамма и бета;

- обзор основных результатов, полученных Эйлером в теории функций гамма и бета.
Апробация результатов диссертационного исследования. Основные результаты

докладывались на следующих конференциях и семинарах:

- объединенный Московский семинар по истории и методологии математики и механики
(Москва, февраль, ноябрь, 2002);

- научная конференция "Петербургская математическая школа в период реформ XIX

века" (Санкт-Петербург, сентябрь, 2001);

межвузовский семинар по истории математики Пермского государственного университета (Пермь, апрель, 2001);

IV международная школа-семинар, посвященная 100-летию со дня рождения А.Н.Колмогорова (Ярославль, апрель, 2003);

XXIII научно-практическая конференция преподавателей Оренбургского государственного педагогического университета (Оренбург, апрель, 2001);

семинар по истории математики Оренбургского государственного педагогического университета (Оренбург, 2001-2004).

Объем и структура диссертации. Диссертация содержит 153 страницы текста и состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной русской и иностранной литературы (218 наименований) и приложения. В приложении приводятся копии страниц записных книжек Эйлера, письма Эйлера к И. Бернулли от 20.6.1740 , выдержки из мемуара Эйлера Е368 ("О гипергеометрической кривой, заданной уравнением у -1 -2-3-...-д: ", 1769г. [189]) и из гл. IX первого тома "Интегрального исчисления" [127].

Понятие гамма-функции и некоторые её свойства

Настоящая диссертация посвящена творчеству Эйлера в указанной области математического анализа. Помимо мемуаров, вошедших в "Opera omnia" (тт. 14-19, 23, 28), и опубликованной переписки ученого, при исследовании были также использованы неопубликованные материалы из его записных книжек [94], которые хранятся в Санкт-Петербургском филиале Архива РАН (ПФА РАН, фонд 136, опись 1, №№ 129-140). В эти книжки (двенадцать тетрадей разного объема) Эйлер на протяжении всей своей жизни вносил заметки, отражающие ход его творческой работы в различных областях науки и прежде всего в математике [35,62,64,66,67, 71,72,75, 89,141, 157]. Поэтому их исследование дает возможность проследить развитие мысли Эйлера при решении той или иной проблемы и уточнить датировку его научных открытий. В диссертации приводится анализ записей, касающихся функций гамма и бета. Актуальность темы исследования определяется важностью для истории математики изучения научного наследия Эйлера, особенно материалов, до сих пор остающихся неопубликованными. Цель диссертационного исследования состоит в выявлении и систематизации полученных Эйлером результатов, которые относятся к теории функций гамма и бета. Для достижения поставленной цели решались следующие задачи: - изучение опубликованных сочинений Эйлера, касающихся теории функций гамма и бета: "Дифференциальное исчисление" [126], "Интегральное исчисление"[127] (т. I-II), "Механика, т.е. наука о движении, изложенная аналитическим методом" [128], мемуары Е19, Е43, Е47, Е59.Е60, Е122,Е123, Е254, Е302, Е313, Е321, Е352, Е368, Е393, Е421, Е432, Е499, Е583, Е588, Е594, Е629,Е640, Е652, Е661, Е662, Е663, Е675, Е681, Е745, Е768, Е816, опубликованные в "Opera omnia";

- изучение переписки Эйлера [7,36,38,42,57, 64,122,123,134, 146, 157, 190, 192, 196] с учеными (Хр. Гольдбахом , И. Бернулли, Д. Бернулли , Дж. Стерлингом ,

Ж. Лагранжем, Ф. Ноде, К. Л. Г. Элером) в той части, которая относится к теории функций гамма и бета;

- отбор и классификация заметок из записных книжек Эйлера, имеющих отношение к рассматриваемой теории;

1 Обозначение мемуаров приведено в соответствии со списком Г. Энестрёма, опубликованным в [158]. - анализ содержания неопубликованных заметок Эйлера и их сопоставление с печатными работами и перепиской;

- выяснение применявшихся Эйлером методов решения задач, связанных с функциями гамма и бета.

1) при продолжающемся изучении научного наследия Эйлера;

2) при исследовании возникновения и развития теории специальных функций;

3) при подготовке курсов и спецкурсов по истории математики в педагогическом вузе. Основные положения, выносимые на защиту:

- выяснение роли Эйлера в создании теории специальных функций;

- установление на основании изучения печатных трудов, переписки и записных книжек Эйлера исходных моментов формирования теории функций гамма и бета;

- обзор основных результатов, полученных Эйлером в теории функций гамма и бета.

Апробация результатов диссертационного исследования. Основные результаты докладывались на следующих конференциях и семинарах:

- объединенный Московский семинар по истории и методологии математики и механики

(Москва, февраль, ноябрь, 2002);

- научная конференция "Петербургская математическая школа в период реформ XIX века" (Санкт-Петербург, сентябрь, 2001);

- межвузовский семинар по истории математики Пермского государственного университета (Пермь, апрель, 2001);

- IV международная школа-семинар, посвященная 100-летию со дня рождения А.Н.Колмогорова (Ярославль, апрель, 2003);

- XXIII научно-практическая конференция преподавателей Оренбургского государственного педагогического университета (Оренбург, апрель, 2001);

- семинар по истории математики Оренбургского государственного педагогического университета (Оренбург, 2001-2004).

Объем и структура диссертации. Диссертация содержит 153 страницы текста и состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной русской и иностранной литературы (218 наименований) и приложения. В приложении приводятся копии страниц записных книжек Эйлера, письма Эйлера к И. Бернулли от 20.6.1740 , выдержки из мемуара Эйлера Е368 ("О гипергеометрической кривой, заданной уравнением у -1 -2-3-...-д: ", 1769г. [189]) и из гл. IX первого тома "Интегрального исчисления" [127].

Созданное в конце XVII в. исчисление бесконечно малых сразу нашло широкое применение при решении различных задач математики и механики [6, 31,51,52, 73, 90, 91, 92, 115,137, 156 и др.]. Однако оно не могло стать законным инструментом в математических исследованиях, так как еще не получило строгого обоснования. Основные понятия математического анализа (понятия функции, производной, дифференциала, интеграла) определялись с помощью геометрических или механических образов, которые предполагались интуитивно ясными, и потому рассуждения оставались нестрогими и логически несовершенными. Этой важнейшей проблеме большое внимание уделил Леонард Эйлер [2,17,32,40,54, 65,79, 103,120, 121,131, 132, 136,144,148 и др.], с именем которого связан целый этап истории математического анализа.

В своей знаменитой "трилогии", включающей двухтомное "Введение в анализ бесконечно малых"(1748) [124,125], "Дифференциальное исчисление" (1755) [126] и трехтомное "Интегральное исчисление" (1768-1770) [127], Эйлер подвел итог достижений XVIIB. И первой половины XVIIIB. в этой области. Здесь впервые математический анализ был представлен как единая система, объединенная концепцией функции, и стал основой для дальнейших исследований ученых более позднего времени.

Эйлер был первым, кто изложил математический анализ в чисто аналитической форме, независимо от геометрии и механики. Однако основные понятия математического анализа, которыми пользовались в XVIII в., были, с точки зрения современной математики, недостаточно строгими. Вопрос о том, какой смысл Эйлер вкладывал в эти понятия , обсуждали многие историки математики (М.Я. Выгодский [8], М. Кантор [151], Л.ІІ. Крылов [40], С.Я. Лурье [56,58], А.И. Маркушевич [59, 60,61], Ф.А. Медведев [69], С.С. Петрова и С. С. Демидов [26,27,28, 84, 86, 88], К.А. Рыбников [90,92], Г. М. Фихтенгольц [109, 110], Л.П. Юшкевич [129,131,132, 135,136,139, 143,145] и др.).

Понятие функции трактуется Эйлером двояко: в широком смысле слова - как зависимость одних переменных величин от других - и в узком смысле - как аналитическое выражение. В первом томе "Введения в анализ бесконечно малых", где строится теория элементарных функций, Эйлер дал определение понятия функции в узком смысле: "Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств" [124, т. I, с. 30]. Отметим, что значения "переменного количества" у Эйлера не ограничены только действительной областью; оно может принимать и комплексные значения .

Универсальным средством аналитического выражения для функциональной зависимости у Эйлера является бесконечный степенной ряд. Таким образом, здесь происходит отождествление понятий "функция, заданная аналитически" (т.е. с помощью формулы) и "аналитическая функция" (т.е. представимая степенным рядом) [9, 19,20,29, 31,33,59,61, 88,92,106, 116, 117,135, 138].

Исходя из такой трактовки , Эйлер предложил классификацию функций, которая сохранилась и поныне. Первый класс - это алгебраические функции. Он, в свою очередь, состоит из рациональных и иррациональных функций, причем рациональные подразделены еще на целые и дробные. Этот класс функций получается посредством четырех действий арифметики и операции суперпозиции, а также в результате решения алгебраических уравнений. Второй класс - трансцендентные функции, под которыми Эйлер понимает "показательные, логарифмические и бесчисленные другие, доставляемые интегральным исчислением" [124, т. I, с. 30]. Сюда, в частности, относятся гамма- и бета- функции, о которых речь будет идти позже.

Все функции Эйлер разделил на "непрерывные" (continuae), т.е. заданные во всей области определения одним и тем же аналитическим выражением, и "разрывные" (discontinuae), или "смешанные" (mixtae) функции, которые состоят из дут нескольких различных кривых, каждая из которых описывается своим аналитическим выражением. Таким образом, "непрерывность" функции означала для Эйлера неизменность аналитического закона её задания . Кроме того, он считал, что если два аналитических выражения получают равные значения при изменении переменной в каком-либо промежутке, то они отождествляются и вне его. Во втором томе "Введения в анализ бесконечно малых" [125] Эйлер дает другое определение функции, основанное на её графическом представлении : под функцией он понимает произвольную кривую, начерченную "свободным влечением руки".

Формулировки определений понятия функции уточнялись Эйлером в ходе решения различных конкретных задач. Одной из них была задача о колебании струны [25, 31,32, 53, 80, 83,88,107, 110,112,136,139]. С ней были связаны размышления и споры о природе понятия функции, В частности, решался вопрос: какой класс функций шире - заданные аналитическим выражением или начерченные произвольным движением руки?

В работе "О колебании струн", завершенной в мае 1748 г., Эйлер писал, что начальную форму струны может описывать функция, непредставимая одним аналитическим выражением. Например, в случае "защемленной" струны ее исходная форма имеет вид ломаной, которая не может быть задана одним аналитическим выражением. Таким образом, здесь Эйлер впервые ввел в употребление "неаналитические " функции [29,31,32, 59, 60, 88, 92,106,117,129,135,139].

Возникновение начал теории бета-функции в работах Л. Эйлера

Бета-функция (В) определяется как функция от двух переменных с помощью интеграла, который называется эйлеровым интегралом первого рода: і

В(а,Ь)= jx - O -x dx, где Rea 0, Reb 0. (64)

о Это название дал интегралу (64) в 1811 г. Лежандр, а называть его бета-функцией предложил в 1839 г. Ж. Бине (1786-1856).

Бета-функция обладает рядом интересных свойств [3,1.5, 1.6, с.23-30 ; 41,1, с.5-7; 102,т.Ш,ч.2, 72, с. 265-266 ; 108, гл. XII, 12.40-12.43, с.40-46 ; 111, т. II, гл. XIV,5,c.750-752 ], из которых мы укажем следующие. 1. Функция В является симметричной относительно своих аргументов а и Ь, т.е. выполняется условие: B(a,b)=B(b,a). (65) 2. Если Ъ U то В(а, Ъ) = —:—г В(а, Ъ -1). (66) а + Ь—1 Эту формулу можно применять с целью уменьшения Ь, пока Ъ остается больше /. Таким образом, всегда можно достигнуть того, чтобы второй аргумент стал 1. Аналогично, ввиду симметричности функции В, того же можно добиться и в отношении первого аргумента. В{а,Ь) = - —В{а-\,Ъ). (67) а+о—1 Если Ъ есть натуральное число п, то, последовательно применяя формулу (66), п — 1 п — 2 1 найдем В(а,п) = -... В(а,\). v a+n-l а+п-2 а+\ v Далее, так как В(а,\) = }х a xdx = —, о а 1 О 2 / 1\ то получим В(а,п) = В(п,а) = — ——г — — . (68) j v v./ о(в + 1)(а+2)...(а + я-1) Если а также натуральное число w, то m \ (я-1)І(т-1)! 1 _J ,,m B(tn,n) = —, —-— = —-—-:—= -. . . (69) (w + ii-1)! mC, nC:;lx у 3. Применив в интеграле (64) подстановку л: = т- —, где -новая переменная , изменяющаяся от 0 до да, получим другое аналитическое представление бета г У фунции: B(a,b) = \ )a+bdy. (70) 4. Если 0 а 1 ,то В{а\-а) = \2— dy = -г —. (71) В частности, положив а = —, получим В\ -,—1 = я\

Через бета-функцию выражаются многие определенные интегралы, суммы рядов и бесконечные произведения [см., например, 3,1.5.1,с.24-26]. Бета-функция и её свойства играют важную роль в теории вероятностей (бета-распределение). Её значения, как упоминалось выше, связаны со значениями другой важной трансцендентной функции - гамма-функции: Дя,) = у (прид 0 пЬ 0). (72) В современных руководствах по математическому анализу эти функции всегда рассматриваются вместе. Такой подход в изложении материала является естественным, так как теории этих функций возникли практически в одно и то же время и развивались параллельно, взаимно дополняя друг друга. Задачи, приводящие к эйлерову интегралу первого рода, рассматривались ещё во второй половине XVII в. Так, в своей "Арифметике бесконечных..."(1656 г.) Валлис в поисках, как он выражался, "истинной квадратуры круга в числах" использовал по существу интегралы вида которые при подстановке х = ур преобразуются в pj(\-yyy dy = pB(q + l,p). о С помощью неполной индукции Валлис установил, что при/? и q натуральных обратные значения для интеграла (73) выражаются "фигурными числами" различных порядков [31, т. II, с. 153].

В теории фигурных чисел, разработанной учеными школы Пифагора (VI в. до н. э.), рассматривались так называемые "/я-угольные" числа: w-e /и-угольное число Р представляет собой сумму п членов арифметической профессии, первый член которой есть 1, а разность равна (т-2), т.е. р» = (w п -кт- )п р 1,63 и др.].

Валлис в своей "Арифметике бесконечных..." рассмотрел "фигурные" числа, выражающиеся числом сочетаний С [31, т. II; 37а, с.59,66]. "Фигурными" числами первого порядка у него являлись натуральные числа: 1,2,3,...w,..., т.е. С\\ "фигурными" числами второго порядка - "треугольные" числа: 1,3,6,..., " "+ ,..., т.е. С . , а третьего порядка - "пирамидальные" числа,с треугольным основанием: 1,4,10,20,... Jil ilLlsl,. т.е. С +2. Вообще, "фигурные" числа k-го порядка здесь являются суммами чисел (k-1) го порядка и равны С +4_,.

Если положить k=q и п=р+1, то соответствующее фигурное число выражается числом сочетаний С , которое, как установил Валлис, при/? и q -натуральных равно обратному значению интефала (73), т.е.

Далее он привел таблицы фигурных чисел и их обобщений для р 1/2 и q=l/2; 3/2; 5/2; 7/2;... Таким образом, здесь установлена зависимость между значениями бета-функции и числом сочетаний С.

Схожий результат имеется и в "Началах видовой геометрии" (1659) II. Мен гол и (1625-1686), где он произвел квадратуру кривых y = xp(l-x)q для натуральных/? и q [31, т. II], что соответствует равенству jxp(\-x)9dx = :С9.

Однако появлению В-функции и разработке основ её теории математика обязана Леонарду Эйлеру.

К началу XVIII в. перед математиками встал вопрос об интегрируемости в конечном виде различных дифференциалов и в том числе так называемого биномиального дифференциала хт(a + /k")pdx , (74)

где а и /?- произвольные постоянные, отличные от нуля, а показатели т,п,р рациональные числа.

Этот вопрос рассматривался, например, во втором письме Ньютона к

Ольденбургу (подлежавшее сообщению Лейбницу) от 24 октября 1676 г. [74, с. 238 240]. Здесь Ньютон указал следующее условие интегрируемости биномиального дифференциала (74) в элементарных функциях: величина должна равняться целому числу.

Далее в третьем и четвертом примерах из этого письма Ньютон записал дифференциал (74) в виде хт+"р(ах " +JJ)pdx , тогда указанное им условие т интегрируемости будет иметь следующую формулировку: величина +р должна п быть целым числом.

К этим двум случаям следует добавить еще тот, когда/? - целое число, который для Ньютона был очевидным.

Впоследствии Хр. Гольдбах и Л. Эйлер независимо друг от друга установили т + 1 т + \

достаточность того условия, что если одно из чисел , Vp, р является целым п п (положительным или отрицательным), то интеграл от биномиального дифференциала выражается через элементарные функции в конечном виде. Доказательство необходимости этого условия было приведено в 1853г. П.Л. Чебышевым(1821-1894), но только для т,п,р- рациональных. Для случая, когда т.п.р- иррациональны, это было показано в 1926 г. Д. Д. Мордухай-Болтовским (1876-1952).

Вопрос об интегрируемости биномиального дифференциала явился одним из тех, которые привели Эйлера к введению в математический анализ 5-функции.

Теория бета-функции в "Интегральном исчислении" Л. Эйлера

Полученные Эйлером результаты, касающиеся В-функции, были оформлены им в стройную теорию, которая изложена в первом томе его знаменитого "Интегрального исчисления" [127], появившегося в 1768 г.

Весь материал первого тома "Интегрального исчисления", связанный с теорией этой функции, можно условно разбить на четыре части: в первой собраны сведения по неопределенным интегралам, которые необходимы для построения теории В-функции; во второй рассматриваются эйлеровы интегралы первого рода и устанавливаются их свойства, из которых как следствия получаются свойства В-функции; в третьей вводится специальный символ для обозначения этого класса интегралов и доказывается ряд новых соотношений; в четвертой решается в общем виде задача о сведении эйлеровых интегралов первого рода к наименьшему числу основных видов, которая подкрепляется удачно подобранными примерами.

Вначале (гл. II-III) Эйлер рассматривает неопределенные интегралы вида

\xm-\a+bxnydx и устанавливает ряд соотношений, на основе которых в дальнейшем получаются

свойства эйлерова интеграла первого рода и, как следствия, - В-функции. Так,

например, в 114-118 главы II выводятся формулы перехода от интегралов

вида \хт±а"-\а+Ьх"У±Рdx к \хт-\а + Ъх"У dx:

в форме ряда В —; + 1 \=г{— - И + -И КИ ......

\п v J \т \\т + п) v-2v\n + 2n) lv-2v-3v(wj + 3/?) )

Отметим, что этот результат Эйлер получил еще до 1744 г. Об этом свидетельствует заметка из записной книжки №132, л. 157 об. (датированная 1740-1744 гг.),

где содержится следующее разложение:

V »-.,,_ ч -./ _I_( ZI ( -1Х -2) ( -1)(А:-2)(А:-3) ]х (\ х) cix s (5 + 1)+ Ь2.(, + 2) " 1-2-3(5 + 3) +""

1-го рода и тем самым получает свойства В-функции.

1. Первое свойство получается в 345 в ходе решения задачи 41:

г xm ldx с xm " xdx

" Поданному интегралу J j- найти интеграл Г -прил-=/ "[127, т. I,

(1- ")"-" \-хп)

с. 192].

При ее решении Эйлер отмечает, что для того, чтобы этот интеграл был конечным, необходимо, чтобы т и /г были положительными числами

Далее так как, согласно общему приведению (92),

Гх" "-,(1- ")"Л = fx"- (l -JC") ,

І mv+n( +v)J0

о то положив v=n, ц=к - п, он получил

J "" _ і» V "" ,. (94)

Формула (94) эквивалентна соотношению

Г/и , к\ т (т к\ В —+ 1;- =—-г 5 —;- . U и/ /И + А: \п nJ

Отсюда Эйлер выводит, что

Улгст+ю,- & т{т + п){т+2п)...{т+{а-Х)п) V хтЛ&

J l (m + Jt)(m + w + A:)...(w+(a-l)« + A:)i (\-x") " V A v v у 7o(l-x") или в принятых в настоящее время обозначениях

Лот АЛ т(т + п)(т+2п)...(т + (а-1)п) п(т.к\ \п п) (т + к)(т + п + к)...(т + (а-\)п + к) U J 2. Второе свойство, устанавливающее соотношение между произведениями В-функций, получается как следствие из равенства (95). А именно, применив

1 р ап \ / формулу (95) к интегралу f " , Эйлер получает (1-У ) ltxp4n xdx f(p+n)(p+2n)...(p+(a-\)n) V x dx Положивp=m+k для того, чтобы сделать второй числитель равным первому знаменателю, он находит произведение этих двух выражений (1-У)" (1-У)" (1-У)" (1-У)" Далее, пусть m+k+q=m+n, т.е. q=n-k, тогда соотношение (96) будет иметь вид \xm+an-ldx \xm+k+a"-ldx т \ xm-xdx \xm+k-ldx 0 J «EF J І т+ап = J і 1 "(І- ")" (1-х"Г (!- ")" (1- ")" что соответствует следующему f/w АЛ f/w + A: АЛ /и (т к\ (т + к к\ в[- + а;-)-В\ + «;1 =——-В {—- \-в\ ;1— . \п п) \ п п) т + ап \п п) \ п п) По поводу равенства (97) Эйлер замечает: "Эта теорема достойна всяческого внимания, ибо здесь не требуется ничего большего, кроме того, чтобы а бьшо 1 Это утверждение по сути является критерием сходимости для интегралов первого рода. целым числом" [127,т.І, гл. VIII, 347, с. 193]. 3. В 349 Эйлер, применив в интеграле Г_ п-к (\-хв) " подстановку х "rz dz 7 = z получил f — . (98) Эта формула (при п=1) дает другое аналитическое выражение для В-функции в виде несобственного интеграла. 4. В этом же параграфе выводится важное равенство (\-хп) » 0(1- ") " т. е. \п п/ \п п) Для доказательства равенства (99) используется метод замены переменной. Если в ( хт dx положить l-x"=z", то получим f_ z dz п-т (\-х")" 0-z") Далее Эйлер пишет: "Мы придем к тому же, если, изменив знак перед 4-І г выражением f—-———, будем интегрировать так, чтобы оно исчезало при z=(), а J ti—rn t (l-z") затем положим z=l; ничего не мешает написать л: вместо z, и мы получим следующую замечательную теорему: f х" & [ х & . J n k J п-т (\-х") (1-х") Следовательно, в выражении такого вида можно поменять местами показатели т и к, конечно, для случая х=1." [127, гл. VIII, 349, с. 194-195]. Таким образом, здесь доказана теорема о симметричности В-функции относительно аргументов. 5. В 351 решается важная для теории В-функции задача: xmAdx "Найти для случая х=оо значение интеграла выражения , определенного так, найти о Следует заметить, что т-1 должно быть меньше п, так как в противном случае \+х" чтобы он исчезал при х=0 " [127, гл. VIII, 351, с. 196]. Другими словами требуется %хя-хс1х \\+хп интеграл имеет бесконечное значение. Это условие Эйлер указал ранее в 77 [127, гл. VIII, 77, с. 40], где рассматривался вопрос о нахождении первообразной функции дифференциального выражения . Эйлер получил, что искомый интеграл 1+х" х" d выразится следующим образом: I 1 + xsin — 2 тж і п , 2 . тл п -—cos In-.11-2дгcos— + х +— sin arctg и n V n n и " я" l-xcos— n . Ък_ 2 Ътл , І Ък 2 . Зтя xsm n -—cos In Jl-2xcos— + x +— sin arctg — n n V n n n . эл 1 - cos— n . 5л 2 Smn , SK 2 . bmn xsm „ -—cos In-, l-2xcos— + x +—sin arctg z— n n V n n n , - л (100) 1-jfcos— n . 7л 2 Imn , Г In 2 . Imn xs,n „ -—cos InJl-2jccos— + x +—sin arctg n n V и ии", 7л" 1-xcos— и . Дл 2 Лмл- , I Ял1 2 . УЬЇЛ- Х8Ш"ІГ -—cos In,11-2хcos— + x +—sin arctg ;—. и и V и n n . -л l-xcos— n Эйлер пишет, - " X обозначает наибольшее нечетное число, меньшее, чем показатель и; при этом, если само и - нечетное число, то сюда надо еще прибавить член ± -7(1 + JC ) в п зависимости от того, будет ли т нечетным или четным числом: в первом случае имеет силу знак плюс, во втором - знак минус " [127, гл. VIII, 351, с. 196]. Таким образом, решение задачи сводится к исследованию получившегося разложения (100), проведя которое Эйлер заключает: "Логарифмические члены всегда взаимно уничтожаются. Это ясно из того, что в противном случае интеграл был бы бесконечным, тогда как он должен быть, очевидно, конечным" [127, гл. VIII, 351, с. 196-197]. Сумма вторых слагаемых разложения (100), т.е. выражений вида 2 . , x sin Лео —sin /Una)-arctg n l-xcosAco n приводится к —: . WSIIlffK» Следовательно, справедливо равенство: і 1 + JC nsmmct) . тл 0 «sin п Таким образом, здесь Эйлером установлено соотношение между функцией (т т\ . т В\ —;1 -—I и тригонометрической функцией sin—/г, выражаемое формулой: Л к (101) . ттс sm п п П j Доказательство этого результата Эйлер впервые опубликовал в мсмуаре Е60 [ 178] (1743), но само равенство (101) было установлено им еще до 1740 г. Об этом свидетельствует заметка в записной книжке №131 (л. 242).

7. Установив это, по словам Эйлера, "основное положение", в 360 (гл. IX) он переходит к рассмотрению задачи: выразить через произведение "бесчисленных множителей" отношение следующих интегралов: I к-п

Для решения этой задачи Эйлер, применив (95) к интегралам (102) и (ЮЗ), получил их выражение в следующем виде:

V » і - — , (m + k)(m + k + ri)(m + k+2n)...(m + k+ari)1r m.mttK . „ — , \xm-\l-x") " dx=- — -7 „ ч , ч Гх"+вжМ(1- ) " & J m(m + n)(m+2n)...(m + cai) 0J / //+ лХ// + 2и)... (// +on) J Далее Эйлер показал, что при а - бесконечно большом будет:

Или в современных обозначениях:

1 (т к\__n_ 2rjm + к) Зп(т + к + п) Щт + к +2п) п \п п) тк (т + п)(к + п) (т+2п)(к+2п) (т + 3п)(к+3п) 9.Далее в 365 [гл. IX] он замечает, что в выражении (105) "буквы тик можно поменять местами, и следовательно, при х=1 равны друг другу следующие интегралы:

произведение [(106)], которое выражает значение наших интегралов, и таким образом, мы имеем новое доказательство той замечательной теоремы, которую мы выше [351] преодолели на многочисленных окольных путях" [127,гл.1Х,368,с.208] и которая устанавливает, что I — = j = .

Во второй половине главы IX "Интегрального исчисления" Эйлер вводит специальное обозначение: "Значение, которое принимает выражение ы для краткости обозначим знаком I ЕЛ, где надо ещё подразумевать показатель п, который при сравнении нескольких таких выражений

я полагаю одним и тем же" [127,гл.1Х,375,с.212].

Таким образом, здесь особо выделен класс трансцендентных функций, из которого при п=1 получается с В-функция.