Образ и статус философско-математического синтеза в истории философской мысли Мороз Виктория Васильевна

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1. Методологические основания философско-математического синтеза 26

1.1. Способы понимания философии и специфика философского мышления 28

1.2. Способы понимания математики и специфика математического мышления 38

1.3. Типы философско-математического взаимодействия 52

1.4. Философско-математический синтез как специфический тип взаимодействия философии и математики

ГЛАВА 2. Философско-математический синтез в историко-философском измерении: реконструкция версий 76

2.1. Диалектическое взаимодействие философии и математики на пути восхождения души в мир идей в учении Платона 77

2.2. Математическое «моделирование» «божественных истин» в «ученом незнании» Николая Кузанского 91

2.3. «Математизация философии» в концепциях классического рационализма

2.4. Антиномико-синтетическое взаимодействие философии и математики при формировании эстетического идеала в учении И. Канта

ГЛАВА 3. Философско-математический синтез в русской философии: духовные истоки, идейные предпосылки, первоначальный вариант 138

3.1. Идеал «цельного знания» как духовный ориентир русской идеи философско-математического синтеза 140

3.2. Философско-математический синтез Н.В. Бугаева 148

3.3. Влияние натурфилософии И. Гете и «магического идеализма» Новалиса на формирование «поэтического» образа мира и математики в творчестве П.А. Флоренского 163

3.4. Теория множеств Г. Кантора как источник идей и концепций в реализации русской версии философско-математического синтеза 175

ГЛАВА 4. Философско-математический синтез: версия П.А. Флоренского 188

4.1. Соотношение философии и науки в контексте учения П.А. Флоренского о символической природе человеческого познания 192

4.2. Эволюция взглядов на математику в творчестве П.А. Флоренского 202

4.3. Философско-математический синтез как особый способ рассуждения 217

4.4. Философско-математический синтез как «диалог-магия» 232

4.5. Философско-математический синтез как путь к цельному мировоззрению 247

ГЛАВА 5. Философско-математический синтез в духовной культуре XX - начала XXI веков 261

5.1. Философско-математические концепции в русской культуре XX века (А. Белый, Н.Н. Лузин, А.Ф. Лосев, В.В. Налимов) 262

5.2. «Философско-математическая» тенденция в западной культуре XX века (Э. Гуссерль, Г. Вейль, Ф. Меррелл- Вольф) 287

5.3. Философско-математический синтез в контексте программ обоснования математического знания 300

5.4. Взаимосвязь философии и математики как путь к расширению границ мировосприятия 315

5.5. На пути к целостному образу математики: философско-математический синтез в контексте гуманизации математического знания 325

Заключение 336

Литература 345

• Способы понимания математики и специфика математического мышления
• Математическое «моделирование» «божественных истин» в «ученом незнании» Николая Кузанского
• Влияние натурфилософии И. Гете и «магического идеализма» Новалиса на формирование «поэтического» образа мира и математики в творчестве П.А. Флоренского
• Эволюция взглядов на математику в творчестве П.А. Флоренского

Введение к работе

Философско-математический синтез, являющийся предметом осмысления в предлагаемой работе, отражает одну из синтетических тенденций, так или иначе проявляющих себя на протяжении всей истории человеческой культуры. Анализ как мыслительная процедура разложения целого на части и обусловленная им дифференциация процесса освоения человеком мира представляют необходимый компонент в структуре познавательной деятельности. Однако увлеченность аналитической составляющей, характерная для европейской культуры, начиная с XVII века, выразившаяся сперва в идее автономной философии и далее в превращении науки в самодостаточную сферу с последующим ее делением на все более узкие и специализированные области, оборачивается утратой целостного взгляда на мир и забвением главной цели любой деятельности - раскрытия человеческого в человеке.

Дифференциация оказалась очень эффективной на первых этапах становления и развития различных дисциплин. Однако постепенно культура превратилась в совокупность самодостаточных, замкнутых в себе областей человеческой деятельности, что привело к взаимному непониманию и невозможности диалога не только между представителями естественнонаучной и гуманитарной культуры, но и между специалистами, работающими в разных разделах одной и той же науки.

«Культура есть язык, объединяющий человечество; но разве не находимся мы в Вавилонском смешении языков, когда никто никого не понимает и каждая речь служит только, чтобы окончательно удостовериться и закрепить взаимное отчуждение?»¹ - вопрос Павла Флоренского своим современникам можно с тем же беспокойством задать и нашему поколению. «Разбросанность» по видам деятельности, сосредоточенность на решении частных вопросов приводят к неспособности смотреть на проблему с позиции целого,

¹ Флоренский П.А. У водоразделов мысли//Флоренский П.А. Сочинения: В 2-х т. -М.Д990.-Т. П.- с. 346.

к утрате связей с другими областями культуры и самой действительностью. Расщепление жизни на специализированные сферы влечет взаимное отчуждение, смирение с одиночеством, что в конечном счете составляет стержень всех глобальных проблем современности.

«Современность возжаждала синтеза более, чем всякая другая эпоха. Философская мысль расплачивается теперь своей беспомощностью и тоской по высшему синтезу за слепое самоотдание технике и «открытиям»Х1Х века, за долгое блуждание в лабиринте гносеологической схоластики, за безрели-гиозность, под знаком которой протекла вся новая культура. Утомленные, подошли мы к XX веку все с тем же вековечным вопросом: что есть истина?»¹ - эти слова А.Ф. Лосева как нельзя лучше отражают духовную ситуацию начала третьего тысячелетия. И не случайно проблема взаимосвязи философии и математики, занимавшая умы величайших мыслителей в разные периоды человеческой истории, находится сегодня в центре внимания многих философов и математиков. Осознание необходимости конструктивного диалога во всех сферах человеческой деятельности является общей тенденцией современной духовной культуры.

Данная работа посвящена особому типу взаимодействия философии и математики, который определен автором как философско-математический синтез. Используемое словосочетание - философско-математический синтез - не является неологизмом. По-видимому, впервые это выражение встречается в речи П.А. Некрасова «Московская философско-математическая школа и ее основатели»² при характеристике взглядов основных представителей описываемой школы и их идейных предшественников, которые предприняли попытку преодолеть разрыв в миросозерцании, раздробленность в познании, проложить пути к формированию цельного мировоззрения. Духовное состояние, переживаемое нашей страной на рубеже XIX - XX веков, очень

¹ Лосев А.Ф. Эрос у Платона//Лосев А.Ф. Бытие - Имя - Космос. - М., 1993. - С. 32.

² См.: Некрасов П.А. Московская философско-математическая школа и ее основатели. -
М., 1904. - С.18. Некрасов (1858-1924) - русский математик, профессор Московского
университета, специалист в области теории вероятностей, представитель Московской
философско-математической школы

близко современному, поэтому внимание к процессам, происходившим в отечественной культуре того времени, поможет пролить свет на проблемы сегодняшнего дня.

Таким образом, степень разработанности проблемы, поставленной в настоящем исследовании и состоящей в выявлении методологических оснований и историко-философском осмыслении философско-математического синтеза, определяется совокупностью результатов, полученных в работах, так или иначе касающихся проблемы взаимосвязи философии и математики. Выделим несколько тематических групп, которые составляют проблемное поле предлагаемой диссертации.

1. Исследования, посвященные вопросам философии и методологии науки, содержащиеся в трудах таких отечественных и зарубежных авторов, как Аронов Р.А., Гайденко П.П., Делокаров К.Х, Ильин В.В., Князев В.Н., Кочергин А.Н., Микешина Л.А., Смирнова Е.Д., Степин В.В., Яшин Б.Л., Бройль Л. де, Гадамер Х.-Г., Гайзенберг В., Кун Т., Лакатос И., Поппер К., Пуанкаре А., Рейхенбах Г., Франк Ф. и др.

2. Работы по философии математики, среди которых можно отметить принадлежащие следующим авторам: Агацци Э., Адамару Ж., Арепьеву Е.И., Барабашеву А.Г., Бурбаки Н., Вейлю Г., Вигнеру Е., Войцеховичу В.Э., Дам-метту М., Карри Х.Б., Клини С, Куранту Р., Робинсону Г., Мануйлову В.Т., Панову М.И., Перминову В.Я., Пойа Д., Поузи К., Рузавину Г.И., Сокулер З.А., Уаилдеру Р., Флейшхокеру Л., Френкелю А., Бар-Хиллелу И., Фройден-талю Г., Целищеву В.В. и др.

3. Труды по истории математики таких исследователей как Ван дер Варден Б.Л., Вилейнтнер Г., Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж., Даубен И., Клайн М., Клейн Ф., Медведев Ф.А., Рыбников К.А., Цейтен И.Г., Юшкевич А.П. и др.

4. Историко-философские работы, в той или иной степени касающиеся проблемы взаимосвязи философии и математики, принадлежащие следующим авторам: Асмусу В.Ф., Бицилли П., Волошинову А.В., Габриеляну О.А.,

Гайденко П.П., Гуревичу А.Я., Казарян В.П., Катасонову В.Н., Кедровскому О.И., Майорову Г.Г., Мюррею А., Расселу Б., Реньи А., Субботину А.Л., Хей-зинга Й., Шпенглеру О., Эйкену Г. и др.

5. Труды по истории русской философии и развития математики в России, среди которых можно выделить работы Акулинина В.Н., Выгодского М.Я., Зеньковского В.В., Лосского Н.О., Юшкевича А.П., и др.

6. Исследования философско-математических работ Н.В. Бугаева и других представителей Московской философско-математической школы, принадлежащие Алексееву В.Г., Андрееву К.А., Демидову С.С, Лахти-ну Л.К., Лопатину Л.М., Майстрову Л.Е., Панову М.И, Половинкину СМ., Шапошникову В.А. и др.

7. Работы, посвященные исследованию философского и философско-математического наследия П.А. Флоренского, таких авторов как Антипенко Л.Г., Бонецкая Н.К., Бычков В.В., Демидов С.С., Кравец С.Л;, Михалев СВ., Павленко А.Н., Сидоренко Е.А., Федоров В.Е., Хоружий С.С., Шапошников В.А. и др.

8. Исследования философско-математических работ Лосева А.Ф, Лузина Н.Н., Белого А., Налимова В.В., Гуссерля Э, Вейля Г., принадлежащие Тахо-Годи А.А., Троицкому В.П., Демидову С.С., Панову М.И., Розову М.А., Степуну Ф.А., Чистяковой Э.И., Юрьевой 3., Казютинскому В.В., Дрогали-ной Ж.А., Гайденко П.П., Бирюкову Б.В. и др.

9. Исследования, отражающие современное состояние проблемы обоснования математического знания и служащие базой для построения вариантов философии математики в настоящее время (работы Перминова В.Я., Це-лищеваВ.В., Агацци Э., Даммета М. и др.), а также посвященные проблеме гуманизации и гуманитаризации науки (в частности, математики,) и образования (работы Арнольда В.И., Микешиной Л.А., Яглома И.М. и др.).

10. Исследования, анализирующие кризисное состояние современной
западной культуры и направленные на поиски путей его преодоления (рабо
ты Делокарова К.Х., Моисеева Н.Н., Налимова В.В., Урсула А.Д. и др.).

Группы 1-4 составляют «базис», или «систему координат» диссертации. В этой литературе под разными углами зрения дан историко-философский анализ становления и развития научного знания, выявлены различные аспекты взаимосвязи философии и математики. Вместе с тем, в ней слабо или совсем не представлены философско-математические концепции русских мыслителей.

В литературе групп 5-7 достаточно подробно проанализированы философские взгляды П.А. Флоренского (Лосский Н.О., Зеньковский В.В., Хору-жий С.С. и др.), дана краткая характеристика философии Н.В. Бугаева (Зеньковский В.В., Лосский Н.О.), анализ его математических работ (Юшкевич А.П., Выгодский М.Я.). В некоторых исследованиях представлена роль математики в миросозерцании Н.В. Бугаева (Демидов С.С.) и П.А. Флоренского (Панов М.И., Половинкин СМ., Антипенко Л.Г., Шапошников В.А.). Что же касается философско-математического синтеза в русской философии конца

XIX - начала XX веков, то этот вопрос практически не исследован. Исклю
чение может составить работа СМ. Половинкина «П.А. Флоренский: Логос
против Хаоса», где автор с позиции идеи аритмологии обозревает положения
философии Флоренского, касается проблемы связи его учения со взглядами
Н.В. Бугаева и теорией множеств Г. Кантора. Однако здесь не раскрывается
образ философско-математического синтеза в русской философии с выходом
на те проблемы современной культуры, которые исследуются автором дис
сертации.

Работы, относящиеся к группе 8, свидетельствует о повышенном внимании к проблемам взаимосвязи философии и математики в творчестве русских мыслителей, однако они не содержат общей картины, позволяющей определить статус философско-математического синтеза в духовной культуре

XX - начала XXI вв.

Многочисленные исследования двух последних групп (9-10) свидетельствуют о важности построения новых, более удовлетворительных вариантов обоснования математического знания, высоком интересе к проблемам

гуманизации и гуманитаризации науки и образования, разработке нового видения действительности, расширению границ миропонимания. Они служат базой для определения места философско-математического синтеза в духовной культуре XX - начала XXI вв. и раскрытия его конструктивного потенциала.

Таким образом, имеется достаточно обширная литература по истории философии и философии математики, посвященная проблеме взаимосвязи философии и математики. Однако исследование, которое предлагало бы классификацию разновидностей философско-математического взаимодействия, структурирующую историко-философский материал, отсутствует как в отечественной, так и зарубежной литературе. Более того, нет обобщающего исследования, посвященного особому типу философско-математического взаимодействия, имеющему место на протяжении всей истории существования философии и математики, который определен автором как философско-математический синтез. Таким образом, данная диссертация призвана в определенной степени заполнить пробел в проблемном поле исследований по истории философии и по философским вопросам математики.

Целью настоящего исследования является раскрытие образа и определение статуса философско-математического синтеза в истории философской мысли. Под образом понимается специфический вид теоретизирования, не совпадающий ни с понятием, ни с концепцией. Это некоторое представление, связанное с наглядными конструкциями. В контексте диссертации образ философско-математического синтеза - вид знания, обладающий наглядной целостностью и формирующийся на основе реконструкции разновидностей исследуемого феномена в истории философской мысли. Под статусом философско-математического синтеза понимается его место в духовной культуре, связь с другими формами философско-математического взаимодействия, а также с родственными процессами, происходящими в различный сферах духовной деятельности, в частности, налаживанием диалога между различными

направлениями в основаниях математики, гуманизацией математического знания, формированием синтетического мировидения и т.д.

В соответствии с целью в диссертации решаются следующие задачи:

выявление оснований для типологии философско-математического взаимодействия и выделение различных способов понимания философии и математики в истории мысли для определения характера взаимодействия философии и математики в рамках конкретного типа;

выделение и характеристика типов философско-математического взаимодействия;

- раскрытие содержания понятия «философско-математический син
тез» и выделение разновидностей философско-математического синтеза;

- реконструкция вариантов философско-математического синтеза из
философских текстов Платона, Николая Кузанского, Р. Декарта, Б. Спинозы,
Г. Лейбница, И. Канта;

выявление духовных истоков и идейных предпосылок русской версии философско-математического синтеза;

реконструкция варианта философско-математического синтеза Н.В. Бугаева;

реконструкция философско-математического синтеза из творческого наследия П.А. Флоренского;

раскрытие влияния сложившихся в истории философии вариантов философско-математического синтеза на идеи и тенденции в духовной культуре XX - начала XXI вв.;

- определение статуса философско-математического синтеза в решении
проблемы обоснования математического знания, в процессе гуманизации ма
тематики и мировоззренческих трансформациях современной цивилизации.

Решение поставленных задач и реализация цели исследования требуют соответствующей методологической базы. Определение понятия «философско-математический синтез» и раскрытие его содержания производится на основе единства этимологического, логического и исторического подходов к

рассмотрению явлений духовной жизни. При классификации разновидностей философско-математического синтеза применяется формально-логический метод деления понятия. В диссертации также используется метод историко-философской реконструкции, который включает в себя методики первичного (при изучении источников) и вторичного (при привлечении различного рода критической литературы) исследования при сборе данных, методы имманентного интерпретирующего анализа (при анализе той или иной философской концепции) и компаративистского анализа (при сравнении различных концепций) и метод синтеза как соединения интерпретированного материала в новом качестве.

Эмпирическую базу исследования составляют произведения античной классики (фрагменты из Гераклита, Парменида, сочинения Платона, Аристотеля, Прокла и др.), средневековых мыслителей (Григория Паламы, Дионисия Ареопагита и др.), философов Возрождения и Нового времени (Н. Кузан-ского, Н. Коперника, И. Кеплера, И. Ньютона, Р. Декарта, Б. Спинозы, Г. Лейбница, И. Канта и др.), сочинения выразителей философии Всеединства (В. Соловьева, С. Булгакова и др.), представителей Московской философско-математической школы (Н. Бугаева, П. Некрасова, В.Я. Цингера, Н.Д. Браш-мана, Н. Лузина и др.), мыслителей, идеи которых повлияли на философско-математические воззрения П.А. Флоренского (И. Гете, Новалиса, Г. Кантора и др.), значительная часть трудов П.А. Флоренского, А.Ф. Лосева, философские и поэтические произведения А. Белого, работы В.В. Налимова, Э. Гуссерля, Г. Вейля, Ф. Меррелл-Вольфа, классиков философии математики (Г. Фреге, Л. Брауэра, Д. Гильберта). В диссертации использовались труды современных отечественных и зарубежных специалистов в области философии и методологии науки, оснований математики, истории философии, истории математики, исследователей творческого наследия мыслителей, предложивших разнообразные варианты философско-математического синтеза.

Цель и задачи исследования определили его структуру. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на двадцать два параграфа, заключения и списка литературы.

Для достижения поставленной цели в диссертации предпринимается исследование философско-математического синтеза в двух взаимосвязанных направлениях: методологическом и историко-философском. Ответу на вопрос, как возможен философско-математический синтез, посвящена первая глава. В ней выявляются методологические основания указанного феномена, которые обнаруживаются в специфике философского и математического мышления, отражающих единство противоположностей познания и осмысления, а также в различных способах понимания целей философии, характере философствования, понимании предмета математики и математической деятельности. В этой же главе выявляются и подвергаются философской рефлексии уровни взаимодействия философии и математики и на основе единства этимологического, логического и исторического подходов к раскрытию понятия «философско-математический синтез» проводится классификация его разновидностей и утверждается, что варианты всех разновидностей могут быть обнаружены в истории философии.

Вторая глава наполняет классификационную схему историко-философским материалом. Здесь анализируются основные варианты философско-математического синтеза, реконструированные из концепций Пифагора, Платона, Николая Кузанского, представителей классического рационализма и учения И. Канта. Каждый вариант вбирает в себя культурно-исторические предпосылки, непосредственное описание и включенность в дальнейший историко-философский процесс.

Третья и четвертая главы посвящены русской версии философско-математического синтеза, сформировавшейся под влиянием предшествующих философско-математических концепций и в то же время имеющей свои особые духовные ориентиры и идейные предпосылки, что обусловило ее своеобразие. Выявление духовных истоков и идей, непосредственно повли-

явших на формирование русской версии философско-математического синтеза, а также реконструкция и анализ основных ее вариантов, предложенных в творчестве Н.В. Бугаева и П.А. Флоренского, составляет содержание третьей и четвертой глав.

Пятая глава «погружает» философско-математический синтез в контекст духовной культуры XX - начала XXI веков. С этой целью раскрывается влияние философско-математического синтеза в версии П.А. Флоренского как наиболее разработанного варианта на идеи и тенденции в русской культуре XX века, а именно на философско-математические концепции, представленные в творчестве А. Белого, Н.Н. Лузина, А.Ф. Лосева. Специально рассматривается вероятностно-ориентированная теория сознания В.В. Нали-мова как яркий образец философско-математического синтеза в духовной культуре конца XX века. Раскрывается содержание концепций взаимосвязи философии и математики в западной культуре XX века, относящихся или тяготеющих к тому или иному варианту философско-математического синтеза, а именно: концепций Э. Гуссерля, Г. Вейля, Ф. Меррелл-Вольфа. Раскрывается потенциал философско-математического синтеза в преодолении противостояния между различными направлениями, сложившимися в основаниях математики, и в процессе гуманизации математического знания. Определяется место философско-математического синтеза как пути к цельному мировоззрению на современном этапе смены парадигм мировосприятия.

Научная новизна диссертации состоит в раскрытии философско-математического синтеза как особого типа взаимодействия философии и математики, представленного в разнообразных вариантах и отражающего линию специфического понимания философии, математики и их взаимосвязи, сложившуюся в истории человеческой мысли, которая, уходя корнями в глубь веков, имеет богатую традицию и находит своих продолжателей в настоящее время. В ходе исследования создана теоретическая модель, позволяющая сформулировать методологические основания философско-математического синтеза, выявить типы взаимодействия философии и мате-

матики в развитии духовной культуры, определить особенности философско-математического синтеза и его статус в истории философской мысли. А именно:

установлено, что общим основанием для выявления типов взаимодействия философии и математики служит то обстоятельство, что математический и философский виды рациональности представляют собой необходимые компоненты процесса духовного освоения мира в русской и западной культуре XX века, в которых реализуются его конструирующий и ценностный аспекты; выявлено, что характер философско-математического взаимодействия в конкретной концепции определяется сочетанием способа понимания целей философии и трактовки сущности математики;

выделены два основных типа философско-математического взаимодействия, условно названных «философия математики» (математика является объектом философского осмысления) и «философия и математика» («равно-уровневое» участие философии и математики в построении целостной картины действительности); в рамках второго типа выделены и охарактеризованы две наиболее распространенные точки зрения: «разведение функций философии и математики» (рассматривающая философию и математику как абсолютно автономные области духовной культуры) и «философско-математический синтез» (вбирающая варианты философско-математического взаимодействия, при котором результирующее знание есть система, включающая с необходимостью философские и математические компоненты); дано определение и раскрыто содержание введенных в диссертации понятий;

предложена следующая классификация разновидностей философско-математического синтеза: слияние математических и философских компонентов, относящихся к единой предметной области (синкретизм), соединение философии и математики в единое целое с целью построения всеобъемлющей дедуктивной системы; диалектическое взаимодействие философии и математики (диалог); способ рассуждения, в котором математические элементы участвуют в раскрытии вопросов философского характера; антиноми-

ческое соединение двух противоположностей (философии и математики) по принципу дополнительности;

- на основе предложенной классификации реконструированы основ
ные варианты философско-математического синтеза в истории философской
мысли: синкретическое слияние математических и философских элементов в
построении пифагорейского образа мира, диалектическое взаимодействие
философии и математики на пути восхождения души в мир идей в учении
Платона, математическое «моделирование» «божественных истин» в «уче
ном незнании» Николая Кузанского, «математизация философии» в концеп
циях классического рационализма, антиномико-синтетическое взаимодейст
вие философии и математики при формировании эстетического идеала в уче
нии И. Канта;

выявлено, что общим духовным ориентиром русских вариантов философско-математического синтеза, предложенных в трудах Н.В. Бугаева и (в наиболее полной форме) П.А. Флоренского, выступает «цельное знание», от-вечающее позиции антропологии цельности, пути реализации которого были предложены в рамках метафизики всеединства B.C. Соловьева и его последователей, и показано, что взгляды представителей Московской философско-математической школы на взаимосвязь философии и математики, а также натурфилософия Гете, романтическое мировосприятие и теория множеств Г. Кантора явились идейными предпосылками версии философско-математического синтеза в творчестве П.А. Флоренского;

на основе построенной теоретической модели взаимодействия философии и математики реконструирован вариант философско-математического синтеза Н.В. Бугаева, реализованный в двух взаимосвязанных формах: (1) как особый способ рассуждения, в котором математические объекты и приемы мышления служат фундаментом для метафизических построений; (2) как диалог двух форм познавательной активности - философии и математики, осуществляемый на основе расширения смысла математических понятий, придания им мировоззренческого статуса;

- предложенная в диссертации теоретическая модель применена для
реконструкции версии философско-математического синтеза
П.А. Флоренского, которая реализуется в трех взаимосвязанных вариантах:
(1) как особый способ рассуждения, в котором элементы математического
знания (понятия, теоремы, модели) участвуют в раскрытии вопросов фило
софского характера, тем самым способствуя прояснению этих вопросов и
провоцируя рождение новых идей; (2) как диалог различных элементов по
знавательной деятельности, в котором философия и математика, не теряя
своей индивидуальности и автономности, оказываются тесно связанными
друг с другом, взаимно предполагая друг друга, что способствует углубле
нию каждой из этих областей знания и вместе с тем выработке более адек
ватной картины действительности; (3) как синтез противоположностей, ве
дущий к формированию цельного мировоззрения;

построенная теоретическая модель применена для выявления в русской и западной культуре XX века «философско-математической» тенденции, выразившейся в поисках новых поэтических приемов и построении теории символизма (А. Белый), разработке диалектических основ математики и философии музыки (А.Ф. Лосев), построении новых математических теорий с использованием идей, затронутых еще в античной философии (Н.Н Лузин); в раскрытии философской мысли о вероятностной природе сознания с помощью аппарата бейесовской логики (В.В. Налимов), в концепции философии как строгой науки (Э. Гуссерль), в понимании взаимодействия философии и математики как диалога познания и осмысления (Г. Вейль);

определен статус философско-математического синтеза в современной духовной культуре: во-первых, философско-математический синтез позволяет рассматривать конфликтующие между собой направления не как исключающие друг друга, а как взаимосвязанные и взаимодополнительные точки зрения, вскрывающие различные аспекты феномена математики; во-вторых, философско-математический синтез способствует формированию цельного мировоззрения, которое может стать фундаментом для конструк-

тивного диалога в науке, философии, политике и культуре в целом, что является важнейшим условием для сохранения динамического равновесия в современном мире; в-третьих, философско-математический синтез способствует раскрытию гуманитарной составляющей математического знания, содействуя таким образом гармонизации технической и гуманитарной тенденций современной цивилизации как одному из важнейших аспектов в решении глобальных проблем.

Таким образом, диссертация восполняет пробел в проблемном поле исследований по истории философии, философии математики и вносит свой вклад в решение актуальных проблем современной культуры. Кроме того, в предлагаемой работе осуществлен обладающий самостоятельной ценностью историко-философский анализ, который помогает более адекватно оценить многогранное творчество одного из интереснейших мыслителей XX века П.А. Флоренского.

Результаты диссертации могут применяться в разработке исследовательских программ, посвященных проблемам взаимосвязи философии и математики и, шире, различных форм человеческой культуры, программ, затрагивающих историко-философские аспекты осмысления новоевропейской и русской философии, в учебных курсах по истории зарубежной и русской философии, по истории и теории отечественной и мировой культуры, в спецкурсах по философским вопросам математики и курсах по истории математики.

Значительная часть идей настоящего исследования и их реализация вошли в содержание научно-исследовательских проектов, получивших поддержку фондов по итогам конкурсов грантов. В частности, это грант Министерства образования РФ 1997 года по фундаментальным исследованиям в области гуманитарных наук: проект № 6 «Концепции конструктивности математического знания в основных направлениях философии науки на пороге XXI века» (завершенный коллективный проект, в котором автор являлась исполнителем); грант РФФИ 2001 года: проект № 01-06-80278 «Конструктив-

ность физико-математического знания в историко-философском аспекте» (завершенный коллективный проект, в котором автор являлась исполнителем); грант БРФФИ-РГНФ 2005 года: проект № 05-03-90300 «Конструктивность и диалог в основаниях физико-математического знания» (продолжающийся коллективный проект, в котором автор является исполнителем). Результаты, полученные автором и входящие в данную диссертацию, отражены в публикациях (в том числе центральных) и отчетах, одобренных экспертными советами фондов.

С идеями своего исследования автор неоднократно выступала на научных конференциях и теоретико-методологических семинарах. Был прочитан ряд докладов и сделано несколько сообщений на международных научных конференциях, проходивших в Москве, Санкт-Петербурге, Минске, Ростове-на-Дону, Курске, в частности: доклад «Развитие П.А. Флоренским идеи «философско-математического синтеза» Н.В. Бугаева» на Тринадцатых республиканских чтениях «Великие преобразователи естествознания: П.А. Флоренский», состоявшихся в г. Минске в ноябре 1997 года; доклад «Образ науки в свете идеала цельного знания» на Третьих Илиадиевских чтениях, состоявшихся в г. Курске в апреле 2000 года; сообщение «Русская идея философско-математического синтеза и философия XX века» на научной конференции «Философия XX века: школы и концепции», проходившей в г. Санкт-Петербурге в ноябре 2000 года; доклад «Конструктивные тенденции в русской философии: философско-математический синтез в свете идеала цельного знания» на теоретико-методологическом семинаре «Проблема конструктивности научного и философского знания», состоявшемся в г. Курске в ноябре 2001 года; сообщение «Идея философско-математического синтеза как путь к цельному мировоззрению» на международной конференции, посвященной 60-летию воссоздания философского факультета в структуре МГУ им. М.В. Ломоносова «Человек - Культура - Общество. Актуальные проблемы философских, политологических и религиоведческих исследований», проходившей в Москве в феврале 2002 года; сообщение «Философско-

математический синтез в света идеала цельного знания» на Третьем Российском Философском конгрессе «Рационализм и культура на пороге третьего тысячелетия», состоявшемся в г. Ростове-на-Дону в сентябре 2002 года; сообщение «Влияние философии романтизма на формирование образа математики в миросозерцании П. А. Флоренского» на Пятых Ил иадиевских чтениях «Бытие и культура. История и современность», проходивших в г. Курске в мае 2004 года; доклад «Роль математических построений в реализации фило-софско-математического синтеза» на итоговом семинаре слушателей ИППК при МГУ в январе 2004 года; доклад «Человек в мире символов: математика в контексте «философской антропологии будущего» П.А. Флоренского» на межвузовской конференции «Человек в мире и мир человека», проводимой РШПК при МГУ им. М.В. Ломоносова совместно с Институтом Человека в марте 2004 года; сообщение «На пути к пониманию природы геометрии: И. Кант и П. Флоренский» на юбилейной конференции «И. Кант и современная культура», проходившей в РАГС при Президенте РФ в марте 2004 года; сообщение «Философско-математический синтез как специфический тип взаимодействия философии и математики» на юбилейных Ломоносовских чтениях, посвященных 250-летию основания Московского университета, состоявшийся в ноябре 2004 года и др.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Общим основанием для выявления типов взаимодействия философии и математики служит то обстоятельство, что математический и философский виды рациональности представляют собой необходимые компоненты процесса духовного освоения мира в русской и западной культуре XX века, в которых реализуются его конструирующий и ценностный аспекты. Характер философско-математического взаимодействия в конкретной концепции определяется сочетанием способа понимания целей философии и трактовки сущности математики. Так, например, сочетание софийной трактовки фило-

софии (ориентированной на мудрость, от греч. aoqna - мудрость) и понимания математики как науки в общепринятом смысле слова, имеющей свои специфические предмет и метод (характерное для взглядов Б. Паскаля, А. Бергсона, Л. Фейербаха и др.), порождает точку зрения о неприменимости математических результатов и методов для решения философских вопросов и непригодности философского подхода в рамках математики. Сочетание эпи-стемического типа философии (ориентированной на науку, от греч. 87uorrj|ir| - «точно установленное, достоверное знание») и видения в математике точной и наиболее разработанной науки, метод которой универсален и приложим к любым областям познания (выраженное во взглядах Р. Декарта, Б. Спинозы, Г. Лейбница и др.), приводит к активному использованию математического метода в метафизических построениях. Софийный тип философствования в сочетании с «метафизической» трактовкой математики (как своего рода философии (Пифагор), необходимой ступени в философии (Платон), как некой ментальной области, отражающей замысел Творца при построении мироздания (Николай Кузанский), как первой и необходимой предпосылки мировоззрения (П.А. Флоренский) и т.п.) порождает виды философско-математического взаимодействия, результатом которых являются системы, обязательно включающие математические и философские компоненты.

2. В многообразии взаимосвязей философии и математики, наблюдаемых в истории человеческой мысли, достаточно отчетливо выделяются два типа философско-математического взаимодействия: «философия математики» и «философия и математика». Первый тип характеризуется тем, что математика здесь является предметом философских размышлений, объектом философско-методологической рефлексии, вычленяющей математику и ее связи из научного и более широкого культурного контекста и осмысливающей с теоретико-мировоззренческой точки зрения сущность математических объектов, их статус и отношение к объектам теоретического естествознания и к чувственно воспринимаемому миру, природу математического доказательства, соотношение математики и логики и т.д. «Философия и математи-

ка» характеризуется «равно-уровневым» участием философии и математики в построении целостной картины действительности. В рамках второго типа наиболее распространенными точками зрения являются «разведение функций философии и математики» и «философско-математический синтез». «Разведение функций философии и математики» (характерное для концепций Б. Паскаля, И. Канта, Г. Гегеля, Л. Фейербаха, А. Бергсона и др.) представляет тип философско-математического взаимодействия, при котором философия и математика рассматриваются как абсолютно автономные области духовной культуры, результаты и методы которых имеют самодовлеющее значение и не могут быть применены вне своей области. «Философско-математический синтез» (выраженный в трудах Платона, Николая Кузанско-го, представителей классического рационализма, Н.В. Бугаева, П.А. Флоренского и др.) является таким типом взаимодействия философии и математики, при котором результирующее знание есть система, с необходимостью включающая философские и математические компоненты.

3. Формы соединения философии и математики в рамках философско-математического синтеза служат основанием для следующей классификации разновидностей философско-математического синтеза: слияние математических и философских компонентов, относящихся к единой предметной области (синкретизм), соединение философии и математики в единое целое с целью построения всеобъемлющей дедуктивной системы; диалектическое взаимодействие философии и математики (диалог); способ рассуждения, в котором математические элементы участвуют в раскрытии вопросов философского характера; антиномическое соединение двух противоположностей (философии и математики) по принципу дополнительности.

4. Предложенная классификация позволяет реконструировать варианты философско-математического синтеза в истории философской мысли, являющиеся классическими образцами понимания взаимосвязи философии и математики в процессе духовного освоения мира. Пифагорейский образ мироздания представляет собой синкретическое слияние математических и фи-

лософских элементов, относящихся к единой предметной области - музыкально-числовой структуре космоса. Платоновский вариант философско-математического синтеза разворачивает взаимодействие философии и математики в диалектический процесс отрицания отрицания на пути восхождения души в мир идей. Версия Николая Кузанского реализуется во введении в рассуждение философско-теологического характера дополнительного математического плана, параллельного плану метафизическому, служащего для последнего «наглядной» моделью, и философско-математический синтез здесь представляет собой способ рассуждения, в котором элементы математического знания участвуют в раскрытии вопросов философского характера, способствуя их прояснению и творческому усвоению. «Рационалистический» вариант философско-математического синтеза (представленный в концепциях Р. Декарта, Б. Спинозы, Г. Лейбница) основан на универсализации и онто-логизации математического метода и выражается в соединении философии и

математики с -целью построения всеобъемлющей системы мироздания. Не-

с смотря на то, что взгляды И. Канта способствовали «разведению функций

философии и математики», из его учения возможно реконструировать вариант философско-математического синтеза как антиномического соединения философии и математики по принципу дополнительности: философия и математика понимаются здесь как две противоположности, отражающие соответственно аксиологическую и познавательную сторону единого процесса культуры, ядром которого в учении И. Канта выступает эстетический идеал.

5. Русская версия философско-математического синтеза сформировалась под влиянием предшествующих философско-математических концепций и в то же время имела свои особые духовные ориентиры и идейные предпосылки, что обусловило ее своеобразие. Общим духовным ориентиром русских вариантов философско-математического синтеза, предложенных в трудах Н.В. Бугаева и (в наиболее полной форме) П.А. Флоренского выступает «цельное знание», отвечающее позиции антропологии цельности, пути реализации которого были предложены в рамках метафизики всеединства

B.C. Соловьева и его последователей. Московская философско-математическая школа создавала тот социокультурный контекст, в рамках которого формировалось творчество П.А. Флоренского в математическом аспекте. Кроме того, учение И. Гете о прафеномене, его стремление к синтезу знания и художественного творчества, трактовка математики как «поэзии» и «магии» Новалисом, «метафизическое» толкование математики и апология актуальной бесконечности в теории множеств Г. Кантора послужили важнейшими идейными источниками многих трудов Флоренского по реализации философско-математического синтеза.

6. Построенная теоретическая модель взаимодействия философии и
математики позволила реконструировать вариант философско-
математического синтеза из работ Н.В. Бугаева, реализованный в двух взаи
мосвязанных формах: (1) в форме особого дискурса, в котором математиче
ские конструкции (например, математическая единица) и математический
стиль выражения мысли (а именно, формулирование дефиниций и их исполь
зование в качестве отправных точек дальнейшего рассуждения) выступают в
качестве фундамента для метафизического построения; (2) как диалог двух
форм познавательной активности: математический анализ утвердил «непре
рывное» миросозерцание, осознание односторонности последнего привело к
выводу о необходимости обогащения математики новыми, «аритмологиче-
скими» разделами, которые, в свою очередь, призваны повлиять на мировоз
зрение; диалог философии и математики осуществляется на основе расшире
ния смысла математических понятий, придании им мировоззренческого ста
туса, что демонстрируется в учении Бугаева трансформацией аритмологии в
монадологию.

7. Версия философско-математического синтеза П.А. Флоренского, ре
конструированная из его многочисленных трудов на основе предложенной в
диссертации теоретической модели, раскрывается в трех взаимосвязанных
вариантах. (1) Философско-математический синтез реализуется как особый
способ рассуждения, в котором элементы математического знания (понятия,

теоремы, модели) способствуют прояснению вопросов философского характера и провоцируют рождение новых идей. В данном случае не только математические элементы участвуют в раскрытии философских вопросов, но и метафизическая ситуация, сопоставленная с той или иной математической схемой, оказывает эвристическую помощь, способствуя появлению оригинальных подходов к решению математических проблем. (2) Философско-математический синтез представляет собой «диалог-магию», в процессе которого математические понятия, вплетенные в философское рассуждение, приобретают статус философских категорий: философия и математика предстают здесь как различные элементы познавательной деятельности, диалектически связанные между собой, взаимно предполагающие и углубляющие друг друга, что способствует построению целостной картины действительности. (3) В контексте развития философемы «поражения разума перед верой» через признание антиномической природы разума, с одной стороны, и разработки «конкретной метафизики», - с другой, философско-математический синтез реализуется как путь «к будущему цельному мировоззрению», выражаясь в синтезе многообразия «дольнего» мира в единство на основе «горнего» и интерпретации математических формул как описания единой ноуменально-феноменальной реальности.

8. Философско-математические воззрения П.А. Флоренского непосредственно повлияли на сознание его современников А. Белого, Н.Н. Лузина и А.Ф. Лосева, что отразилось на их творчестве в поисках новых поэтических приемов и построении теории символизма (А. Белый), разработке диалектических основ математики и философии музыки (А.Ф. Лосев), построении новых математических теорий с использованием идей, затронутых еще в античной философии (Н.Н Лузин). Предложенная в диссертации классификация позволила раскрыть концепцию В.В. Налимова как яркий образец фило-софско-математического синтеза, демонстрирующий плодотворность использования математических моделей (а именно бейесовской логики) в раскрытии философской мысли о вероятностной природе сознания. В западной

культуре XX века также имеют место концепции взаимосвязи философии и математики, относящиеся или тяготеющие к тому или иному варианту фило-софско-математического синтеза: концепция философии как строгой науки Э. Гуссерля, по сути возвращающая математике ее аутентичное понимание как знания, коренящегося в античном теоретическом духе, придававшем ей смысл, тем самым сближая ее по целям с философией, оказала влияние на философско-математические взгляды Г. Вейля, воплощающие философско-математический синтез в формах диалога и способа рассуждения; лекции Ф. Меррелла-Вольфа, демонстрируя образец философско-математического синтеза, одновременно сближают математику с философией и восточными духовными практиками в их общей цели духовной трансформации, что может служить поиску единых оснований в духовной культуре Востока и Запада.

9. Философско-математический синтез, погруженный в контекст современной духовной культуры, способствует формированию цельного мировоззрения, которое может стать фундаментом для конструктивного диалога в науке, философии, политике и культуре в целом, что является важнейшим условием для сохранения динамического равновесия в современном мире. Кроме того, философско-математический синтез позволяет рассматривать конфликтующие между собой направления не как исключающие друг друга, а как взаимосвязанные и взаимодополнительные точки зрения, вскрывающие различные аспекты феномена математики, обогащающие ее образ и раскрывающие новые грани для соприкосновения математики с другими областями культуры, взаимосвязи с философией и расширения границ нашего мировосприятия. И, наконец, философско-математический синтез способствует раскрытию гуманитарной составляющей математического знания, тем самым внося свой вклад в восстановление многопланового и в то же время целостного образа интереснейшего феномена культуры и содействуя гармонизации технической и гуманитарной тенденций современной цивилизации как одному из важнейших аспектов в решении глобальных проблем.

Г Л А В A 1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ФИЛОСОФСКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО СИНТЕЗА

Философия и математика как формы самовыражения человеческого духа были рождены благодаря его усилиям, предпринятым в попытках выяснить возможности и пути познания истины. Появившись как две стороны единой свободной интеллектуальной деятельности, эти феномены духовной культуры предложили различные и во многом противоположные друг другу пути познания. Поэтому они очень быстро стали стремиться к обособлению, которое в основном удалось, но даже беглый взгляд как на историю математики, так и на историю философии позволяет заключить, что драма отношений этих двух творений человеческого духа разворачивается на протяжении тысячелетий с момента их возникновения и, похоже, далека до завершения. Можно полностью согласиться со словами Эдвандо Агацци, специалиста в области философии математики, что «проблема взаимосвязи философии и математики существовала всегда - по меньшей мере, в Западной культуре - с тех пор, как эти два феномена духовной культуры человека родились на свет»¹.

История европейской культуры демонстрирует постоянное стремление философской мысли определить свое отношение к мысли математической. Не будет преувеличением сказать, что «проблема математики» входит в золотой фонд вечных философских вопросов.

Притягательность математики для философии связана, в первую очередь, с удивительной устойчивостью математических результатов. Вряд ли какой-либо иной области познания удалось придать своим теоретическим изысканиям столь общепризнанный, стабильный, неопровержимый характер. «Непостижимая эффективность математики» (Е. Вигнер) во все времена не давала покоя философски настроенным умам. Сопоставление математики и

¹ Agazzi Е. The rise of the foundation research in mathematics//Synthese. - Dordreht, 1974. -
Vol.27.- №l-2.-P.7.

² Вигнер E. Этюды о симметрии. - M., 1971. - С. 192.

философии приводило одних к систематическому использованию в философских целях наработанных в математике результатов или методов, других же заставляла со всей отчетливостью констатировать непригодность для философии математического способа мышления. Так или иначе, тема «философия и математика» проходит через всю историю европейской философии.

С другой стороны, «царица наук» в разные, особенно в кризисные периоды своего существования просила помощи у философии, и многие видные математики, получившие общеизвестные и признанные результаты в своей области, выказывали неравнодушие к проблемам философского характера, хотя среди мнений о пользе философии для математики часто встречаются отрицательные.

Таким образом, на протяжении длительного времени своего существования философия и математика вступали и вступают в сложные взаимоотношения, сопровождающиеся резкими колебаниями: от полного слияния указанных сфер познания до их абсолютного противопоставления.

Разброс во взглядах на соотношение этих двух феноменов, человеческой культуры связан с различными трактовками, как философии, так и математики. Для того, чтобы ответить на вопрос, как возможен философско-математический синтез, в данной главе выявляются и описываются способы понимания философии и математики, а также специфические черты философского и математического мышления; выделяются и анализируются основные типы философско-математического взаимодействия, раскрывается понятие «философско-математический синтез», используемое автором диссертации для обозначения особого типа взаимодействия философии и математики.

1.1. Способы понимания философии и специфика философского мышления

Общеизвестно, что термин «философия» был сконструирован древними греками с намерением выразить в одном слове свойственное человеческому духу стремление (любовь - «филия») к обладанию истины, то есть к тому, что они называли мудростью («софия»). Однако на вопрос, каково содержание этого термина и в чем специфика интеллектуальной деятельности, им обозначаемой, уже сами греки отвечали по-разному. Г.Г. Майоров в своей трилогии «София. Эпистема. Технема»¹ выделяет три «идеальных типа» понимания философии в античности: софийный (ориентированный на мудрость, от греч. оофш - мудрость), эпистемический (ориентированный на науку, от греч. ёпютцущ - «точно установленное, достоверное знание»), технематический (ориентированный на мастерство, изобретательность, ловкость мышления - т.е. на его технику, от греч. тєууг\\іа- «искусное произведение», «изобретение», «выдумка», «интрига», «ловкий трюк») и доказывает, что греки не только открыли философию, но и исчерпали все возможные способы ее понимания (выделенные типы являются идеальными, так как в чистом виде встречаются редко, однако все «смешанные» типы редуцируются к ним). Принимая предложенную Г.Г. Майоровым классификацию, кратко изложим ее.

Софийный тип, являющийся первоначальным и единственно аутентичный способом понимания философии, исходит от Пифагора, который, как сообщает античная доксография, первый назвал себя философом, а свое учение философией². Однако рождение идеи философии было подготовлено

См.: Майоров Г.Г. София. Эпистема. Технема. (Размышления о способах понимания философии в ходе ее истории)//Майоров Г.Г. Философия как искание абсолюта. Опыты теоретические и исторические. - М., 2004. - С. 34-76. ² См.: Фрагменты ранних греческих философов. Изд. А. В. Лебедева. - М., 1989. - С. 147-148; Диоген Лаэртский О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов- М, 1998.-С. 309.

широким обсуждением в VI в. до н. э. проблемы человеческой мудрости , результат которого оказался пессимистическим: лучшие умы Греции (в число которых по праву входил Пифагор) признали, что подлинная мудрость человеку недоступна.

Пифагор нашел достойный выход из сложившейся ситуации: если мудрость, софия, полнота знания - привилегия богов, а не людей, то все же человеку доступны стремление, продвижение, а главное - любовь к мудрости, что само по себе уже великий дар. Таким образом, соединив любовь с мудростью, Пифагор произвел на свет новую идею - идею любомудрия, то есть философии. Содержательно философия мыслилась им как высшее выражение самостоятельных усилий человека в достижении полноты истины, за пределами которых остается только область последней тайны бытия, постижимой уже не с помощью автономного разума, а особой божественной благодати путем религиозных мистерий.

Таким образом, философия была понята как непрерывное, всегда открытое и свободное трансцендирование мысли. Смысл любомудрия - не в обладании истиной, а в ее искании, в «бытии к истине»; сущность его, как и сущность любви - не результат, а сам процесс; оно есть постоянное вдохновение, самопожертвование, неудовлетворенность собой, перманентная рефлексивность. Философ движется к истине, относительно которой заведомо знает, что обладать ею никогда не будет (хотя именно желание обладать ею и составляет смысл его жизни), устраняя на пути к ней свою непрозрачность для ее света, тем самым все больше озаряясь и просвещаясь им. Поэтому философия в своем конкретном применении есть самокритика разума, а по своему методу она есть апофатика, завершающаяся в идеале созерцанием света истины.

Выдвинутая Пифагором идея философии до последней трети V века до н. э. не имела заметного влияния на эллинский мир и оставалась исключи-

¹ См. Майоров Г.Г. Роль софии-мудрости в истории происхождения филосо-фии//Майоров Г.Г. Философия как искание абсолюта. Опыты теоретические и исторические.- М.,2004. - С. 9-22.

тельно собственностью пифагорейцев, их неразглашаемой тайной. Однако спустя столетие после Пифагора явился Сократ, который не только поддержал софийное понимание философии, но и развил и прославил ее настолько, что она стала с тех пор важнейшим элементом всей греческой культуры. Избрав диалектику в качестве собственного метода философии, Сократ точно указал на единственный адекватный способ выражения философских идей: слово «диалектика» этимологически означает искусство мысленно-речевого общения и по существу есть открытый в бесконечность свободный диалог, а не монолог или трактат, практикуемый в науках.

Сознательная, целенаправленная разработка диалектического метода означала дальнейшее углубление и расширение пифагорейского понимания философии. Так, принцип иронии констатировал «катарсическую» роль в философии отрицания и противоречия; принцип майевтики устанавливал, что генеральное направление движения философской мысли - вовнуть, а не вовне, то есть ключ к разгадке тайн бытия находится в душе человека (исходя из этого, Сократ вывел за пределы философии изучение внешней природы, предоставив ее исследователям-естественникам, и сделал единственным законным предметом философского интереса человеческий дух во всех формах его проявления, особенно в нравственной и познавательной); принцип индукции обеспечивал процесс восхождения к абсолютной истине посредством истин относительных, сменяя более поверхностные определения на все более глубокие и разносторонние и высвечивая предмет мысли все более ясно (продуктами такой индукции являются понятия, составляющие арсенал положительной науки, а сам процесс восхождения оказывается по существу незавершенным, что позволяет объяснить особенность «сократических диалогов» Платона: ведя нас с большим искусством к разрешению поставленной проблемы и обогащая нас на этом пути все новыми и новыми знаниями, Сократ никогда не приводит нас к окончательному выводу, оставляя вопрос открытым).

Наиболее полное выражение софийного понимания философии и окончательного утверждения ее в мире связано с именем Платона. «Божественный философ», приняв от Сократа философию в устной форме, придал ей адекватное письменное, литературное выражение, тем самым сделав ее достоянием последующих поколений. Платон расширил границы применения сократовской диалектики с человеческого бытия до бытия вообще и впервые, привнеся в союз Блага и Истины идею Красоты, представил в полноте триединый софийный идеал, являющийся с тех пор трансцендентальным предметом философии.

Объявив богом-покровителем философии Эрота, Платон вносит в понимание философии новый, экстатический элемент: пифагорейскую и сократовскую «филию», спокойную и уравновешенную любовь-дружество он преобразовывает в любовь-эрос, непреодолимо влекущую философа из области преходящего и несовершенного в область идеального, тоска по которому составляет главный отличительный признак философского настроения. Вот почему в центре внимания Платона теория идей, призванная доказать, что эротическое стремление человека к полноте бытия не беспочвенно, что вечное и совершенное, т.е. идеальное, предшествует преходящему и несовершенному как логически, так и онтологически.

Философия предполагает синтез способности к рациональному мышлению и художественной интуиции и понимается Платоном как особого рода художество - «художество мысли». Высоко оценив роль в познании рационального компонента и хорошо понимая его недостаточность для выражения философского эроса, Платон посчитал необходимыми все доступные человеку средства и приемы, однако наиболее характерным для него явилось использование мифа, причем мифа искусственного, сочиненного самим философом с целью наведения мысли слушателя или читателя на искомую идею, где это невозможно сделать с помощью логических рассуждений, и потому символического. Выход ума на уровень последних оснований сущего сопровождается крушением законов привычной формальной логики и требует

сверхлогической интуиции, которая может быть выражена только через символ и миф. Поэтому философия как стремление к полноте знания, согласно Платону, вряд ли может обойтись без элементов символической мифологии.

Таким образом, Платон в раскрытии софийного смысла философии, в разработке ее средств и методов, в самом философском сочинительстве достиг предельных высот. Среди наиболее ярких и достойных продолжателей этой линии в истории философии выделим Плотина, Прокла, Дионисия Аре-опагита, Майстера Экхарта, Николая Кузанского, Джордано Бруно, Блеза Паскаля, Иммануила Канта (несмотря на не софийный, а скорее эпистемиче-ский способ изложения своей философии, им избранный), Фридриха Шеллинга, повлиявшего на творчество немецких романтиков (в частности, на Но-валиса) и после которого, а в какой-то мере благодаря ему, софийная традиция находит продолжение в России, в частности, в христианском платонизме Владимира Соловьева и Павла Флоренского.

История эпистемических интерпретаций философии начинается с Аристотеля, хотя предпосылки для такого рода толкований сложились столетием раньше в учении элеатов. Основоположения философии Парменида предвосхищают едва ли не все кардинальные принципы эпистемической философии, то есть той, которая строится по модели строгой науки и понимает себя как науку. Эти основоположения таковы: различение двух путей восприятия бытия, т.е. путей познания: «путь истины» (истинный по определению), когда «бытие» устанавливается не противоречащим себе мышлением, и «путь мнения» (ложный), когда о бытии судят на основании чувственного представления; «бытие» не имеет прошлого и будущего, а всегда присутствует в вечном настоящем; оно едино, однородно, неделимо и самотождественно; «бытие есть, небытия нет», «быть или вовсе не быть, третьего не дано»; мысль о предмете и сам предмет мысли тождественны.

См.: Фрагменты ранних греческих философов. Изд. А. В. Лебедева. - М., 1989. - С. 287, 295-296.

Из дошедших до нас частей текста поэмы «О природе» высвечиваются три закона формальной логики, испытанного орудия всех наук и универсального средства человеческой коммуникации, позднее более точно сформулированные Аристотелем: закон тождества, закон непротиворечия и закон исключенного третьего. Противопоставление Парменидом истины и мнения фактически выливается в фиксацию им коренного различия и несоизмеримости логического понятия и чувственного представления: мыслимое непредставимо, представимое немыслимо. Утверждение о том, что нельзя помыслить, не впадая в логическое противоречие, даже того, что для наших чувств совершенно очевидно, например, движение и множественность вещей, специально доказывалось учеником Парменида Зеноном.

Аристотель, будучи самым одаренным из учеников Платона, после смерти учителя и выхода из Академии, под влиянием внешних обстоятельств и пробудившихся потребностей своей натуры целиком посвятил себя конкретно-научным исследованиям, собирая, систематизируя и обобщая все, что было известно в его эпоху во всех областях знания. Аристотель может по праву считаться первым в европейской истории энциклопедистом и создателем большинства античных наук кроме математических. Более того, он является отцом науки о «логосе», ставшей универсальным орудием всех других наук, включая и философию, которую Аристотель считал одной из теоретических наук, стоящей по иерархической вертикали после, т. е. выше физики (и математики) и отличающейся от нее только большей общностью и большей ценностью своего предмета.

Хотя термин «метафизика» появился случайно¹, он с поразительной точностью выражает аристотелевское понимание философии как упорядоченной, построенной по законам формальной логики, строгой науки о первых причинах и началах сущего. «Истолковав философию как эпистему, Аристотель тем самым лишил ее духовной самобытности, превратив из поэзии в

¹ Как известно, Андроник Родосский, издатель архива Аристотеля, не зная, куда отнести сочинения Аристотеля о «первой философии», упаковал их в папку, обозначив ее надписью «после физики».

скучную прозу, из творчества любви в работу рассудка» . Аристотель стал изобретателем подходящего способа изложения такой философии - типичного для науки структурированного трактата, оставшегося и в последующие века основной формой выражения эпистемической философии.

Традиция понимания философии как эпистемы была успешно продолжена, особенно в эпоху схоластики, как восточной (арабоязычной), так и западной (латиноязычной). Имена великих европейских мыслителей: Северина Боэция, Фомы Аквинского, Раймунда Луллия, Дунса Скота, а также Рене Декарта, Бенедикта Спинозы, Готфрида Лейбница, - олицетворяют собой эпи-стемическую линию в истории философии. Сочинения Иоганна Фихте и Георга В.Ф. Гегеля, ярчайших представителей немецкого классического идеализма, демонстрируют смешанный, «софийно-эпистемический» тип философствования.

Технематический тип философии начинает свою историю с софистов, утверждавших принципиальную относительность и иллюзорность истины и понимавших мудрость как умение убеждать других в правильности своих суждений. Очевидно, что при таком подходе именно техника мышления, а не истина, является целью философии. Конечно, само по себе искусство мыслить не только не противоречит ни софийному, ни эпистемическому пониманию философии, но и является ее необходимой предпосылкой. Но когда оно становится самоцелью, то философия вырождается в игру ума.

Будучи релятивистами, не признавая никаких абсолютов и ничего не принимая всерьез, знаменитые софисты (Протагор, Горгий, Калликл и т.д.) могли сегодня блестяще опровергать то, что вчера виртуозно доказали. Попутно они просвещали своих соплеменников (так как считали многознание одним из признаков мудрости), и учили их рассуждать, что, конечно, способствовало расцвету философии в эпоху Сократа и Платона. Однако именно в борьбе с софистикой была реабилитирована идея мудрости как полноты ис-

¹ Майоров Г.Г. София. Эпистема. Технема. (Размышления о способах понимания философии в ходе ее истории)//Майоров Г.Г. Философия как искание абсолюта. Опыты теоретические и исторические. - М., 2004. - С. 46.

тины и утверждено софийное понимание философии. Отсутствие глубокой веры в то, чему учишь рядом с обширной эрудицией, глубоким интересом к языку и другим средствам выражения мысли и превосходной техникой мышления - свойства, присущие любому заметному философу технематической ориентации.

В эпоху античности к «технематикам» относятся Кратет и Гегесий, Сильпон и Эвбулид, позже - представители гностицизма (наиболее ярким здесь является Валентин), далее тяга к технематическому типу философии заметно снижается, однако в XX веке игровое понимание философии становится заметным, а в конце его - преобладающим. И если Фридрих Ницше, Эдмунд Гуссерль, Мартин Хайдегер и другие видные представители постклассики олицетворяют смешанный тип философствования («софийно-технематический» или «эпистемно-технематический»), то их последователи, а также постструктуралисты, постфрейдисты, теоретики деструкции и языковых игр, а также выразители позитивистских взглядов (усматривающие ценность философии лишь в ее методологическом потенциале) явно тяготеют к технематическому пониманию философии, что свидетельствует о снижении пафоса философии как стремления к своему триединому идеалу Истины-Добра-Красоты.

Принятие диалектики в качестве универсального философского метода характерно для всех типов философии. Однако само понимание диалектики существенно различается. Так, если в софийной трактовке диалектика представляет собой способ созидания новых смыслов, «антиномико-синтетическое конструирование» смысловой сферы (А.Ф. Лосев)¹, то в эпи-стемической философии она является строгим научным методом, сродни формальной логике, а для «технематиков» диалектика есть виртуозность мысли, игра ума, искусство доказывать и опровергать все, что угодно.

¹ См. Лосев А.Ф. Математика и диалектика//А. Ф. Лосев. Хаос и структура. - М., 1997. -С. 797.

В дальнейшем мы покажем, как то или иное понимание философии отражается на отношении к математике и трактовке взаимосвязи этих двух феноменов духовной культуры. Но прежде предстоит выяснить, в чем специфика философского мышления, отличающего философию от других форм самовыражения человеческого духа, прежде всего от науки, искусства и религии.

Античная доксография связывает с именем Пифагора, первым назвавшего себя философом, введение термина «космос»¹ (от греч. коацод - «порядок», «мир», «красота»). Философ не просто созерцает жизнь - он стремится осмыслить мировое целое как упорядоченное единство, а значит его мышление направлено на прорисовку глобальных смысловых связей, которые позволяют мыслить мир в его полноте, умозреть его как красоту и гармонию. Утрата этого ориентира означает уход из области философии.

Примером переключения внимания с «глобального» на «локальное» служит наука, которая сосредотачивается на том или ином срезе реальности, делая его своим объектом исследования и детально изучает его, используя для этого свой инструментарий (средства и методы, как эмпирические, так и теоретические). В отличие от науки, философия мыслит свой предмет не как объект, а как субъект, аналогичный тому, который мы ощущаем в самих себе как свое собственное «я». Иными словами, она мыслит его во всей его полноте, в абсолютном его бытии, отдавая себе отчет в том, что явленная его часть, т.е. познаваемая, несоизмерима в своей ничтожности с неявленной. В этом смысле философия - особый род мышления, нежели род познания, хотя она и имеет своей трансцендентальной целью познание того, что она мыслит, т.е. познание «вещей в себе», и даже мобилизует для этой цели все средства и результаты науки, без которой философское мышление было бы пусто.

Другой особенностью философии, отличающей ее от науки, является ее индивидуальность. Философствуя, человек остается всегда один на один с миром, и, пропуская через себя разнообразие предлагаемых культурой уче-

¹ См.: Фрагменты ранних греческих философов. Изд. А. В. Лебедева. - М., 1989. -С. 147,148.

ний и концепций, сочетая внутренний опыт и взаимодействие с внешней действительностью, формирует свое собственное миро-видение. Поэтому философия всегда личностна, в то время как наука - творчество коллектива, ее уровень развития определяется совокупной деятельностью ученых, и открытия в науке в большой степени зависят от ее состояния в данный исторический момент.

В аспекте индивидуальности философия родственна искусству. Сближает эти два феномена и то, что интеллектуальная интуиция философа, усматривающая целостность и одновременно бесконечную противоречивую сложность всего конкретного, соответствует чувственной интуиции художника, тоже проникающей за поверхность явлений и прозревающей в своем предмете таящуюся в нем целостную бесконечность.

И все же искусство и философия существенно отличаются друг от друга, так как искусство устремлено к высшей своей цели - художественному совершенству, в то время как философия - к истине. Более того, различие усматривается еще и в том, что философское мышление - языковое, словесг ное, т.е. вырастающее из стихии естественного языка, и понятийное, в то время как художественное мышление может быть языковым, но необязательно понятийным (например, поэзия), а может быть и вовсе неязыковым (живопись, музыка, танец и т.д.), используя для своих целей невербальные средства (краски, звуки, телодвижения и пр.). Хотя философское мышление часто пользуется средствами искусства (вспомним диалоги Платона, насыщенные богатством художественных образов), однако они служат для наведения мысли на искомую идею для последующего выражения ее в понятиях и играют вспомогательную роль.

Что же касается специфики философии по отношению к религии, то, несмотря на устремление как верующего, так и философствующего сознания к недостижимой цели, для философии характерен свободный поиск и апелляция к разуму; религия же скована рамками догматов и в своих утверждениях ссылается на авторитет Священного писания и его канонических толко-

ваний. Более того, философ всегда стремится обосновать создаваемую картину глобальных смысловых связей, объяснить, почему так, а не иначе, следует строить эту картину, убедить себя и другого в правильности избранного похода. Если религиозные догматы, особенности организации культа или повседневная жизнь верующих начинают обосновываться в указанном смысле, то это признак того, что мы вступили в сферу религиозной философии и покинули область религии как таковой.

Таким образом, выявленные черты философского мышления: стремление к прорисовке глобальных смысловых связей, рассмотрение любой вещи или конкретной ситуации в свете целого, использование языковых и понятийных средств для выражения идей, апелляция к разуму и стремление к обоснованию выдвигаемых положений, - характерны для всех трех способов понимания философии (софийного, эпистемического и технематического), описанных выше.

1.2. Способы понимания математики и специфика математического: мышления

Нельзя не согласиться с Освальдом Шпенглером, считавшим, что среди прочих человеческих творений математика занимает исключительное положение: «Она является наукой строгого стиля, так же, как и логика, но только более всеобъемлющей и с более богатым содержанием;... она является, наряду с пластикой и музыкой, настоящим искусством; наконец, она является метафизикой высшего порядка, как это доказывают Платон и в особенности Лейбниц»¹. Приведенная цитата служит очередным подтверждением, что ответить на вопрос, что же изучает математика, каков предмет ее исследований, весьма проблематично. Вместе с тем слова Шпенглера в свернутом виде содержат основные способы понимания рассматриваемого феномена челове-

¹ Шпенглер О. Закат Европы. - Мн., М, 2000. - С. 93.

ческой культуры: как науки, как «искусства» и как «метафизики», однако все три слова, примененные для описания математики, нуждаются в уточнениях.

Хотя измерение и счет были известны древним цивилизациям задолго до появления культуры Средиземноморья, математика как теоретическое знание возникла в VII-V вв. до н. э., явившись самостоятельной заслугой греческого гения. По всей вероятности, античные мудрецы (Фалес, Пифагор и др.), совершая свои путешествия на Восток, знакомились с геометрией и арифметикой Египта и Вавилонии, однако указанные области знания представляли собой обширный, но эмпирический материал, вбиравший в себя богатый вычислительно-измерительный опыт многих поколений. Подлинная математика (от греч. |ш9г|ца- «знание», «наука») родилась именно благодаря усилиям эллинов.

Отметим, что в древнегреческом языке существует несколько слов, обозначающих «знание», и все они имеют разный смысл. Так, Є7сіатг|цг| (уже упомянутое в предыдущем параграфе) обозначает достоверное знание, требующее соответствия мысли бытию; єтгіатті|хг| - знание, в котором нет отличия от того, что оно выражает. Іаторіа означает осведомленность, то есть знание фактов, добытых путем не учительской, а собственной активности, через исследование или расспросы (от іоторєсо - «исследовать», «узнавать», «расспрашивать»). Ivdxju; обозначает знание чего-то совершенно нового, в нем - элемент откровения (прослеживается родство с греческим словом yoXoq, означающим «рождение»); это знание, раскрывающееся через расшифровку текстов, а также через внутреннее наитие, идущее за поверхность явления, к глубинам и истокам бытия, то есть всякого рода озарение. Термин |id0r)fia, согласно античной доксографии, возникает в школе Пифагора и обозначает науку, т.е. знание, которому можно научить; условие такого знания - полная идентичность воспринимаемого и посылаемого, для достижения которой математика стремится точно и однозначно зафиксировать в

языке смыслы и значения слов; так постепенно вырабатывается особая математическая символика.¹

«Число как принцип и образующее начало гармонии, космического соотношения вещей, являлось Пифагору истиной и душой сущего. Понимаемое таким образом число, очевидно, перестает иметь только количественный характер, но и получает особые метафизические, качественные свойства», - так красочно описывает С.Н. Трубецкой своей книге «Метафизика в Древней Греции» особое отношение к числу в школе пифагорейцев, видевших в нем «сущее, всеобщую, сверхчувственную истину вещей, божественный закон и связь... мирового целого. Мера, гармония, пропорции утверждаются числом, число есть объективный разум и мудрость, тайна вещей».² «И действительно, все познаваемое имеет число. Ибо без последнего невозможно ничего ни понять, ни познать», - утверждает пифагореец Филолай.³ Числа, и только они, дают истинное знание о мире, в числах и их соотношениях это знание можно адекватно выразить; обучение же числовым законам есть способ передачи истинного знания. Таким образом, пифагорейцы явились первыми в истории европейской культуры выразителями «метафизической» трактовки математики, как знания, выводящего за пределы чувственно воспринимаемого к «самой сущности» вещей. Эта линия была продолжена Платоном и его последователями, образовав в истории человеческой мысли особую, пифаго-рейско-платоническую традицию понимания математики, к которой, как мы покажем далее, принадлежит абсолютное большинство мыслителей, предложивших свои варианты философско-математического синтеза.

Трактовка математики как науки в современном смысле слова (т.е. как сферы человеческой деятельности, функцией которой является выработка и теоретическая систематизация объективных знаний о действительности, а

¹ См. Вейсман А.Д. Греческо-русский словарь. - М., 1991, а также Майоров Г.Г. Роль со-
фии-мудрости в истории происхождения философии/УМайоров Г.Г. Философия как ис
кание абсолюта. Опыты теоретические и исторические- М., 2004. - С. 12.

² Трубецкой С.Н. Метафизика в Древней Греции. - М., 1890. - С. 193-194.

³ См.: Лосев А.Ф. Античный космос и современная наука//Бытие-Имя.-Космос.-М., 1993.
-С.95.

РОССИЙСКАЯ

ГОСУДАРСТВЕННАЯ

БИБЛИОТЕКА

под действительностью, как правило, понимается мир явлений) придерживается подавляющее большинство ученых. Однако четкое обозначение предмета ее исследований вызывает трудности.

Среди многообразных попыток определить, чем занимается математика, выделим две наиболее распространенные точки зрения. Одна из них была высказана Ф. Энгельсом в известном произведении «Анти-Дюринг»: «чистая математика имеет своим предметом пространственные формы и количественные отношения действительного мира»¹. Это определение легло в основу статьи А.Н. Колмогорова «Математика», опубликованной в Математической энциклопедии², автор которой, как и большинство советских математиков, разделял точку зрения Ф. Энгельса. Ряд ученых полагает, что данное определение не учитывает развития математики в XX веке и его следует пополнить. Так, Б.В. Гнеденко считает, что в предмет математики важно добавить логические структуры, поскольку это позволит включить в нее такие современные дисциплины, как программирование³.

Вторая точка зрения принадлежит Н. Бурбаки (общий псевдоним группы французских математиков), которая гласит, что «единственными математическими объектами становятся, собственно говоря, математические структуры»⁴. Определение весьма гибкое и предельно широкое, ибо оно в сущности утверждает, что математика изучает некоторые особые объекты (структуры) в их взаимных отношениях и связях. Если понимать эти объекты как полученные в результате применения (часто многократного) операции абстракции к предметам действительности, то обе точки зрения оказываются вполне совместимыми, ибо они вскрывают разные стороны рассматриваемого феномена: первая определяет математику через внешние для нее факторы, а вторая сосредотачивает внимание на ее внутреннем аспекте. Однако Н. Бурбаки считают, что хотя тесная связь между математическими структу-

¹ Маркс К., Энгельс Ф. Сочинения. - 2-е изд. - М, 1954. - Т. 20. - С. 37.

² См.: Математическая энциклопедия. - М., 1982. - С. 560-564.

³ Гнеденко Б.В. Введение в специальность математика. - М, 1991. - С. 24.

⁴ Бурбаки Н. Очерки по истории математики. -М., 1963. - С. 251.

рами и материальными явлениями существует, «нам совершенно неизвестны глубокие причины этого»¹, тем самым давая понять, что трактовка математических объектов как абстракций от реального мира - слишком упрощенное и малосодержательное объяснение.

Если Н. Бурбаки, утверждая самодостаточность своей науки², вообще отказываются от попыток разобраться в вопросе отношения математики к действительности, то ряд крупных математиков настаивают на ее автономном от внешнего мира происхождении. Так, Р. Дедекинд полагал, что число не выводимо из интуитивных представлений о пространстве и времени, а является «непосредственной эманацией законов чистого разума»; наоборот, из числа выводятся понятия пространства и времени.³ Того же мнения придерживались и представители логицизма, относя математические законы к числу аналитических суждений и предпринявшие грандиозную попытку построения всей математики на фундаменте логики.

Л. Е. Я. Брауэр, основатель интуиционизма, также считал, что математика не зависит от реального мира, правда, обосновывал свое утверждение на отличных от принципов логицизма основаниях. Математика, согласно Брау-эру - человеческая деятельность, которая начинается и протекает в разуме человека. Вне человеческого разума математика не существует. Разум непосредственно постигает основные, ясные и понятные, интуитивные представления. Они являются не чувственными или эмпирическими, а непосредственно данными, достоверными представлениями о некоторых математических понятиях.

Математика, по мнению Брауэра, полностью автономный, находящий основания в самом себе вид человеческой деятельности. Она не зависит от

Бурбаки Н. Очерки по истории математики. - М., 1963. - С. 258.

О чем свидетельствует высказывание Дьедонне Ж., организатора группы французских математиков (см. его статью «Современное развитие математики» в сб. переводов «Математика», 1966, т. 10, № 3, с. 3-11): «Я не собираюсь утверждать, что тесный контакт с иными областями, такими, как теоретическая физика, не выгодна для обеих сторон, но математика - наука - самодостаточная». См.: Дедекинд Р. Что такое числа и для чего они служат? - Казань, 1905.

языка. Слова или словесные связки используются в математике только для передачи истин. Математические идеи уходят своими корнями в человеческий разум глубже, чем в язык. Мир интуитивных математических представлений противостоит миру восприятий, к которому принадлежит язык, служащий для повседневного общения. Различие между математическими представлениями и языком аналогично разнице между восхождением на гору и его словесным описанием.

Согласно Брауэру, математические идеи не зависят от словесного одеяния и в действительности гораздо богаче. Мысли никогда невозможно полностью выразить даже на математическом языке, который с неизбежностью вносит отклонения от предмета математики. Для Брауэра математика тождественна «точной» части наших мыслей, которая основана на первичной интуиции последовательности натуральных чисел и которую невозможно без искажений перевести в формальную систему. Логика здесь имеет не больше значения, чем язык, - доказательство убедительно не в силу логических правил, установленных раз и навсегда, но в силу «непосредственной очевидности» каждого своего звена.

Похожей точки зрения на математику придерживался А. Пуанкаре, отстаивая полезность математических исследований о постулатах, о воображаемых геометриях, о функциях со странным ходом и т.д. Чем более размышления уклоняются от наиболее общепринятых представлений, а, следовательно, от природы и прикладных вопросов, тем яснее они «показывают нам, на что способен человеческий ум, когда он постепенно освобождается от тирании внешнего мира, тем лучше мы познаем ум в его внутренней сущности»⁴.¹

Но все же главные силы, считал Пуанкаре, математике приходится направлять в сторону противоположную, на изучение природы, но лишь по той причине, что «если бы чистый математик забыл бы о существовании внешнего мира, то он уподобился бы художнику, который умеет гармонически соче-

¹ Пуанкаре А. О науке: [Сборник]. -М., 1983.-С. 220.

тать краски и формы, но у которого нет моделей. Его творческая сила скоро иссякла бы»¹. Более того, «тот, кто пользуется привилегией свободы, должен нести и бремя ответственности» , которое выражается в служении интересам познания природы.

Если представители логицизма видели в математике науку, исследующую, как и логика, законы чистого разума, а интуиционисты рассматривали ее как интроспективную творческую (конструктивную) деятельность мыслящего субъекта, то формалистский взгляд на природу математики по сути лишал ее собственного предмета. Как писал Д. Гильберт, основатель формалистского направления, «математика есть наука, в которой отсутствует гипотеза. Для ее обоснования я не нуждаюсь ни, как Кронекер, в господе боге, ни, как Пуанкаре (который считал, что доказать непротиворечивость системы, использующей математическую индукцию, невозможно), в предположении об особой, построенной на принципе полной индукции, способности нашего разума, ни, как Брауэр, в первоначальной интуиции, наконец, ни, как Рассел и Уайтхед, в аксиоме бесконечности, редукции или полноты, которые являются подлинными гипотезами содержательного характера и, сверх того, во-все неправдоподобными».

С точки зрения Гильберта, математику нужно рассматривать как формальную дисциплину, занимающуюся преобразованием символов безотносительно к их значению (хотя неформально значения символов и их отношение к реальности учитываются). Доказательство теорем должны сводиться к преобразованиям символов, производимым по определенным правилам логического вывода. Для этого все утверждения математики и логики нужно записать в символическом виде. Хотя символы и могли иметь некоторое интуитивно воспринимаемое значение, в предложенной Гильбертом трактовке математики они не нуждались в интерпретации.

'Пуанкаре А. О науке: [Сборник]. -М., 1983.-С. 223.

² Там же.

³ Гильберт. Основания геометрии. - М.-Л., 1948 - С. 383.

Согласно формализму, при обосновании математики элементами математического мышления следует считать символы и высказывания, то есть комбинации (или строки) символов. Математика - набор формальных систем, каждая из которых имеет свою логику, обладает своими понятиями, аксиомами, правилами дедуктивного вывода и теоремами. Развитие каждой из этих формальных систем составляет задачу математики. Независимо от того, означают ли эти символы объекты, имеющие интуитивный смысл или лишенные его, все знаки и символы понятий и операций рассматриваются как чисто формальные элементы той системы, которую мы строим.

Формалистское понимание математики, а также трудности, связанные с определением ее предмета, породили точку зрения, согласно которой математика не является наукой в строгом смысле слова, а представляет собой методологический инструментарий, набор «технологий», язык, используемый естествознанием и другими областями культуры в своих целях. Такая «тех-нематическая» трактовка встречается, как правило, среди физиков и инженеров, склонных рассматривать математику как аппарат для решения собственных задач. Их точка зрения не лишена оснований, ибо с тех пор, как естествознание начало пользоваться языком математики, оно значительно продвинулось в изучении своего предмета.

По-видимому, впервые четко и ярко о математике как языке науки сказал великий мыслитель Галилео Галилей¹, и, несомненно, с тех пор естествознание добилось огромных успехов. Одновременно язык математики стал более гибким, более приспособленным к требованиям практики. Французский физик-теоретик Луи де Бройль прекрасно сказал: «... где можно применить математический подход к проблемам, наука вынуждена пользоваться особым языком, символическим языком, своего рода стенографией абстрактной мысли, формулы которой, когда они правильно записаны, по-видимому, не оставляют места ни для какой неопределенности, ни для какого неточного

¹ См.: Галилей Г. Пробирных дел мастер. - М., 1987. - С. 41.

истолкования». Место математики в современной теоретической физике достаточно четко охарактеризовал Вернер Гайзенберг: «Первичным языком, который вырабатывают в процессе научного усвоения фактов, является в теоретической физике обычно язык математики, а именно математическая схема, позволяющая физикам предсказывать результаты будущих экспери-ментов» . Однако стоит отметить, что воспринимая математику в «технема-тическом» контексте, мыслители, как правило, признают и ее статус автономной, самостоятельной науки. Лучшее тому подтверждение содержится в высказывании выдающего датского физика Нильса Бора, который считал, что «... математика является значительно большим, чем наука, поскольку она является языком науки».³

Мысли о том, что математик не столько изучает внешний мир, сколько творит свой собственный, уподобляют его деятельность скорее художественной нежели научной, плоды которой несут в себе больше эстетическую, а не познавательную ценность. Так, Г.Х. Харди в своей знаменитой «Апологии математики» писал: «Считаю своим долгом заявить с самого начала, что под математикой я понимаю настоящую математику, математику Ферма и Эйлера, Гаусса и Абеля, а не то, что выдают за математику в инженерной лаборатории. Я имею в виду не только «чистую» математику (хотя именно она интересует меня в первую очередь) - Максвелла и Эйнштейна, Эддингтона и Дирака я также причисляю к «чистым» математикам... В понятии чистой математики я включаю всю совокупность математических знаний, обладающую непреходящей эстетической ценностью, какой обладает, например, греческая математика, которая вечна потому, что лучшая ее часть подобна лучшим произведениям литературы, и через тысячи лет продолжает приносить тысячам людей эмоциональное удовлетворение».⁴ Действительно, разворачивание математических конструкций способно вызвать особое чувство красоты, ко-

¹ Луи де Бройль. По тропам науки. - М., 1962. - С. 326.

² В. Гайзенберг. Физика и философия. - М., 1963. - С. 140-141.

³ Цит. по: Гнеденко Б. В. Введение в специальность математика. - М.,1991. - С. 31.

⁴ Цит. по: Клайн М. Математика. Утрата определенности. - М., 1984. - С. 343.

торое без сомнения служит одним из важнейших стимулов как к профессиональным, так и к любительским занятиям в этой области.

Выделение трех способов понимания математики весьма условно, и предложенный выше анализ показывает, что внимание к одному из аспектов математики: «метафизическому», «эстетическому» или «познавательному», как правило, не отрицает присутствия в ней двух других. Однако доминирование того или иного понимания существенно влияет на трактовку взаимосвязи математики и философии. В следующем параграфе мы покажем это, но прежде, для целей дальнейшего исследования, попытаемся ответить на вопросы, в чем специфика математического мышления, какие черты сближают его с мышлением философским, художественным и научным и в чем заключаются его отличительные особенности, позволяющие рассматривать математику как самостоятельный феномен культуры.

На наш взгляд, математическая деятельность в наиболее отвлеченном и очищенном виде выражает познавательную направленность человека, проявляющуюся в определении (полагании пределов), оформлении (очерчивании), упорядочивании действительности (в которой человек себя обнаруживает); продуктами же этой познавательной активности являются математические объекты. Учитывая, что человеческий разум своими корнями глубоко уходит в реальный мир, его творения определенным образом соотносятся с последним, однако выяснение характера этого отношения, представляющее серьезную фшюсофско-методологическую проблему, требует отдельного рассмотрения и выходит за рамки нашего исследования. Важным для нас является то, что математик в своей деятельности создает, конструирует мысленную модель действительности и изучает ее средствами логики и анализа.

Таким образом, можно выделить основные и взаимно противоположные элементы математического мышления - логика и интуиция, анализ и конструкция, - заметив при этом, что только совместно действие этих начал и их синтез обеспечивают жизненность, полезность и высокую ценность математики. Если четкая дедуктивная форма (где главную роль играют логика

и анализ) является целью математической теории, то ее движущая сила - интуиция и конструкция.

Господствующая в философии математики в конце XIX - начала XX веков тенденция рассматривать интуитивные и образные аспекты математического мышления как источник неопределенности и путаницы выразилась в стремлении свести эти аспекты к минимуму на путях логизации и формализации математических рассуждений. Однако еще на рубеже веков появились классические работы А. Пуанкаре, в которых обсуждались вопросы, связанные с ролью интуиции в математическом творчестве. Проблема математической интуиции оказалась в центре внимания интуиционистской философии математики. Свой вклад в осознание неустранимости интуитивного аспекта математики внесли результаты К. Геделя. Тема «Абстракция и математическая интуиция» обсуждалась лидером группы Бурбаки Ж. Дьедонне.¹ Работы Д. Пойя и И. Лакатоса, Р. Уайдлера, исследования Ж. Адамара и гештальт-психологов (в особенности, М. Вертгеймера и Р. Анхейма), работы В.Ф. Асмуса и исследования Г.П. Щедровицкого в отечественной культуре способст- : вовали возвращению интуиции и образности в лоно математики.

Конечно, далеко не каждый математический объект «ухватывается» интуицией и представим в созерцании. Однако, как справедливо отмечает Г. Рейхенбах, «посредством понятийного мышления мы можем перейти от созерцания к преобразованному созерцанию. Человеческий разум обладает способностью, так сказать, «перехитрить» визуальные образы с помощью абстрактных понятий и после этого продуцировать новые образы».²

Интуитивность и образность математического мышления непосредственно связаны с его конструктивным характером. Наиболее четко это прослеживается в античной математике (например, в «Началах Евклида»): «Конструкция - в широком смысле охватывающая все методы элементарной

¹ См.: Дьедонне Ж. Математическая интуиция и абстракция//Математики о математике. -
М, 1982-С. 6-21.

² Рейхенбах Г. Философия пространства и времени. - М., 1985. - С. 67.

арифметики - есть альфа и омега античной математики» , однако конструктивность является неустранимым элементом любого математического творчества. На этом настаивал основатель интуиционизма Л.Э.Я. Брауэр; наиболее развернутое обоснование конструктивности математического знания дано в русле немецкого конструктивизма (П. Лоренцен и др.); подобная точка зрения поддерживается и проводится в жизнь в рамках конструктивного направления в отечественной математике.

Слова «конструкция», «конструирование», отнесенные к математической деятельности, призваны подчеркнуть, что соединение элементов дается непосредственно в созерцании; мы «видим», как они стыкуются между собой. Решая задачу из элементарной геометрии, человек проводит прямые и окружности, фиксирует из пересечения как точки, затем исследует устройство полученной конфигурации: насколько «жестко» заданные условия определяют соответствующую «конструкцию», сколько различных конструкций может быть «собрано» из данных элементов и т.п. Доказательства и вычисления предстают здесь как сравнение, сопоставление различных элементов полученных конструкций, т.е. как демонстрация, показ (слово «теорема» для математических утверждений выбрано неслучайно: греческое Оєсоргща означает зрелище; то, что смотрят). «Способ, каким математик обращается со своими формулами, построенными из знаков, немногим отличается от того, как столяр в своей мастерской обращается с деревом, рубанком, пилой и клеем».²

Следует отметить, что хотя наглядное представление, например, тыся-чеугольника невозможно так же ясно и отчетливо, как треугольника, но введением алгебраической символики, позволяющей рассуждать о соотношении углов и отрезков соответствующей конфигурации независимо от числа сторон, легко удается сохранить конструктивный характер понятия «тысяче-угольник». Конечно, математическая наглядность и образность отлична от

¹ Шпенглер О. Закат Европы. - Мн., М., 2000. - С. 137.

² Вейль Г. О симметрии//Вейль Г. Математическое мышление: Сборник. - М., 1989. -
С. 58.

чувственного созерцания. В строгом смысле даже элементарные объекты геометрии точка и прямая непредставимы, так как являются мысленными конструкциями. Однако математическое мышление демонстрирует способность все-таки «видеть» их особым образом (делать их доступными «умственному взору»), так чтобы «размеры» точки и «ширина» линии могли быть элиминированы, устранены из процесса рассуждения о них.

Стремлению философского мышления к выявлению и прорисовке глобальных смысловых связей соответствует крайняя отвлеченность математической мысли: число, важнейшая категория математики, не содержит никакой качественности, ни вещественной, ни чувственной, ни смысловой, оно «есть бескачественная, вне-содержательная смысловая структура» (А.Ф. Лосев).¹ Именно в силу этой крайней отвлеченности, широты объема, охвата, под математические структуры может быть подведена всякая реальность. Символы математики содержат в свернутом виде, в потенции, неисчерпаемое многообразие интерпретаций. В этом, возможно, одна из причин поразительной применимости математических методов к описанию разнообразнейших феноменов, изучаемых как естественными, так и гуманитарными науками. Диалектике как философскому методу, воплощающему «антино-мико-синтетическое» конструирование смысловой сферы соответствует конструктивность как основное свойство математической мысли, однако диалектическое и математическое конструирование существенно различны.

Как философия, так и математика являются понятийными и языковыми способами мышления, однако если философия живет в стихии естественного языка, то математика для своих целей создает специальный, искусственный язык. Стремлению философии к обоснованию своих построений соответствует использование в математике доказательства как необходимой и важнейшей процедуры проверки истинности суждений, но философская ар-

Лосев А.Ф. Диалектические основы математики//Лосев А.Ф. Хаос и Структура. - М, 1997.-С. 49.

гументация и математическое доказательство имеют принципиально различный характер.

Творческий характер математической деятельности, важнейшая роль интуиции и воображения в построении математических объектов, что отмечали в своих исследованиях многие крупные мыслители (особо выделяются среди них неоплатоник Прокл и родоначальник немецкого классического идеализма И. Кант), внимание к формальной стороне действительности, а также мощный эстетический потенциал математических конструкций сближает математику и искусство.

Однако если математику интересует форма в ее «чистом» виде, то искусство сосредотачивается на разнообразии соотношений формы и содержания. Более того, в отличие от художника, математик изучает введенные объекты, постулирует их свойства, формулирует и доказывает суждения об объектах (теоремы), т.е. поступает в данном случае как открыватель,'исследователь, как ученый. Этот аспект математики ясно изложен В.А. Шапошниковым на примере простейшей геометрической деятельности: «С одной стороны, в деятельности математика налицо активное, конструктивное начало -мы можем «порождать» те или иные конфигурации по собственному желанию. С другой стороны, мы не можем, например, заставить две прямые «заключать пространство», - та среда, в которой мы разворачиваем свою конструктивную активность, имеет свои закономерности, не позволяющие нашему конструированию быть совершенно произвольным, накладывая на него свои ограничения. Эта среда обладает «косностью», она сопротивляется руке творца - актуализировать в ней можно лишь то, что допускается ее собственными потенциями. Более того, деятельность геометра, судя по всему, как раз и направлена на выявление этих потенций, а не на наслаждение собственным произволом. Наряду с конструктивным началом в простейшей геометрической деятельности мы явственно ощущаем и присутствие начала рецептивно-

го» . Специфику же математики в сравнении с другими науками обусловливают отсутствие непосредственной соотнесенности с каким-то фиксированным объектом действительности, предметная «недетализированность» математических структур, их абстрактно-универсальный, формальный характер.

Итак, выделенные характерные черты математики: содержательная емкость математических символов, конструктивный характер математической деятельности, наглядность и образность математических построений, интуитивная очевидность и доказательность математических суждений, - выражают одновременно ее сходство и различие с философией, что обусловливает их взаимодействие.

1.3. Типы философско-математического взаимодействия

В многообразии взаимосвязей философии и математики, наблюдаемых в истории человеческой мысли, достаточно отчетливо выделяются два типа их взаимодействия: первый имеет давно укоренившееся в науке наименование - «философия математики», второй можно обозначить как «философия и математика».

Первый тип характеризуется тем, что математика здесь является предметом философских размышлений, объектом философско-методологической рефлексии. Задавая вопрос, что такое математика, философия становится по отношению к ней в позицию стороннего наблюдателя и исследователя, вычленяя математику и ее связи из научного и более широкого культурного контекста, и осмысливает с теоретико-мировоззренческой точки зрения сущность математических объектов, их статус и отношение к объектам теоретического естествознания и к чувственно воспринимаемому миру, природу математического доказательства, соотношение математики и логики и т.д.

Шапошников В.А. Математическая мифология и пангеометризм//Стили в математике: социокультурная философия математики. - СПб., 1999. - С. 151.

Попытки обнаружить начало такого типа философско-математического взаимодействия возвращают нас к Древней Греции: Демокрит предлагает свое видение природы математики, получившее впоследствии название «математического атомизма», в платоновских диалогах встречаются рассуждения о том, кто такие геометры и чем они «на самом деле» занимаются¹, в «Метафизике» Аристотеля содержится трактовка математических объектов как абстракций от реального мира, диалектическим осмыслением категории числа занимается Плотин, специфика математического мышления и статус математического знания рассматриваются Проклом и т.д. В более позднее время развернутые исследования природы математики были предложены И. Кантом, а также Дж. Миллем и Р. Дедекиндом. Однако именно критическое по эмоциональной и интеллектуальной напряженности состояние, в котором оказалась математика в начале XX века в связи с обнаружением парадоксов теории множеств Г. Кантора, стало толчком, оформившим и определившим философию математики как самостоятельную область.

В настоящее время принято условно выделять два направления философии математики: фундаменталистское, занятое в первую очередь выявлением природы математического знания, и нефундаменталистское, анализу-рующее развитие математики в социокультурном контексте.²

Первое направление нацелено на нахождение фундаментальных математических структур, стандартов математического доказательства, инвариантных по отношению к конкретным историческим состояниям математики, на поиск прочных оснований математического знания. Наиболее хорошо развитой областью фундаменталистской философии математики явились концепции логицизма (связанного с именами Готлоба Фреге и Бертрана Рассела), формализма (персонифицированного Давидом Гильбертом), и интуиционизма (теоретиком которого выступил Лейтзен Эгберт Ян Брауэр), а впоследствии их критическое осмысление и «посткритическая» разработка.

¹ См.: Платон. Государство/ЛТлатон. Сочинения: в 3-х т. - М., 1971. - Т.З. - 4.1. - С. 337.

² См. Барабашев А.Г. Будущее математики: Методологические аспекты прогнозирования.
-М, 1991.-С. 76-96.

Несмотря на значительный вклад всех основателей указанных направлений в обосновании математики, важность их идей и положений для дальнейшего развития философии математики, все три программы в их первоначальном виде оказались принципиально нереализуемыми.

Обнаруженная противоречивость системы Фреге, изложенной им в «Основных законах арифметики», а также невозможность вывести из логики аксиому бесконечности и аксиому выбора, являющихся основными в системе Рассела-Уайтхеда («Principia Mathematica»), показали несостоятельность ло-гицистской программы сведения математики к логике.

Знаменитая теорема Курта Геделя о неполноте, показавшая, что в любой содержащей арифметику формализованной системе существуют содержательно истинные предложения, которые невозможно вывести из аксиом посредством правил вывода самой системы, подорвала основы формалистского подхода к обоснованию математики.

Интуиционистские требования к доказательству теорем существенно сократили число «допустимых» теорем в математике (так, одна из основных, теорем анализа, теорема Больцано-Вейерштрасса¹, оказалась «вне закона») и урезали значительную часть классической математики, особенно математического анализа, успешно используемого в приложениях, ввиду неконструктивности, отсутствия интуитивного содержания. Более того, предложенный интуиционистами вариант конструктивного анализа как альтернативы классическому, включающий в свою теорию слишком громоздкие доказательства, оказался малопривлекательным и не был поддержан большинством математиков.

Вышеизложенные обстоятельства сделали необходимым критический пересмотр программ обоснования математики. Определенные итоги этого интеллектуального предприятия были подведены в 1930-м году на знамени-

¹ Формулировка теоремы Больцано-Вейерштрасса: «Каждая ограниченная числовая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность». Теорема справедлива как для действительных, так и для комплексных чисел. (См. Математическая энциклопедия. - М, 1977. - Т.1. - С. 517). С точки зрения интуиционизма, доказательство этой теоремы не отвечает принципу конструктивности.

том симпозиуме в Кенигсберге, где Р. Карнап, Дж. Фон Нейман и А. Гейтинг предложили свои концепции в виде переработки основных положений логицизма, формализма и интуиционизма соответственно.¹

В настоящее время фундаменталистское направление наиболее ярко представлено в деятельности и философско-методологических установках группы Н. Бурбаки, в концепциях X. Патнема, П. Бенацаррафа, У. Куайна (США), Г. Фройденталя (Нидерланды), М. Даммита (Великобритания), П. Лоренцена (Германия) и др. В отечественной философии математики можно выделить следующие фундаменталистские проблемы и направления исследования: разработка праксеологического подхода к исследованию природы математического доказательства (Е.А. Беляев, В.А. Карпунин, В. Я. Перми-нов, и др.), разработка конструктивного направления и его взаимосвязи с интуиционизмом (А.А. Марков, А.Г. Драгалин, А.Н. Коломогоров, Б.А. Куш-нер, Н.М. Нагорный, Н.А. Шанин и др.), изучение проблем идеализации и формализации в математике, сущности математической аналогии (Б.Т. Алексеев, Е.А. Беляев, В.И. Кураев, В. Я. Перминов, Ю.А. Петров, П.М. Эрдниев и др.), исследование сущности математической бесконечности и ее места в ряду других математических объектов (А.А. Кармин, Г.И. Наан, Ю.А. Петров, Г.Ш. Хуцишвили и др.), исследования, относящиеся к выявлению диалектики в математике (А.Ф. Лосев, А.Д. Александров, И.Н. Бурова, Н.И. Жуков и др.), анализ проблемы разделения математики на «чистую» и «прикладную» (И.И. Блехман, А.Д. Мышкис, Я.Г. Пановко, Г.И. Рузавин и др.).

Нефундаменталистская философия математики рассматривает математику как социокультурный феномен, обусловленный в своем существовании историческими обстоятельствами, теснейшим образом связанный с самыми разнообразными формами культуры: другими науками, искусством, религией, организацией общественной жизни, - и отражающий их в своем образе. Работы этого направления нацелены на рассмотрение математики с точки

¹ См. Целищев. Философия математики. Часть первая. - Новосибирск, 2002.

зрения ее развития, на обнаружение общих схем и закономерностей этого развития.

Ярчайшим образцом социокультурного подхода к осмыслению математики является концепция О. Шпенглера, предложенная им в первой части своей знаменитой книги «Закат Европы», называемой «О смысле чисел»¹. Утверждая, что не существует универсальной математики, так как не существует универсальной общечеловеческой культуры, автор красочно рисует жизнь «аполлоновского» числа античности, питаемую древнегреческим мироощущением телесности, оформленности, завершенности бытия, и образ новоевропейской математики, основанный на «фаустовском» стремлении к бесконечному. Шпенглер показывает вплетенность античной математики в культурный организм Древней Греции, ее тесную взаимосвязанность с философией, мифологией, религией, скульптурой, архитектурой античности и рождение, расцвет и «самоисчерпание» новоевропейской математики, отражающей жизнь духа нового культурного организма - Западной Европы.

Однако шпенглеровская концепция не оказала заметного влияния на формирование социокультурного направления философии математики (возможно, потому что она вырастала из философии жизни, стоявшей в критической позиции по отношению к любым попыткам рационального истолкования тех или иных явлений). Базисной основой для нефундаменталистской ориентации стала концепция развития научного знания Т. Куна², а пионерской работой считается серия статей И. Лакатоса «Доказательства и опровержения», в которой автор предпринял попытку вскрыть общую схему развития математики на примере истории доказательств теоремы Л. Эйлера о многогранниках.³

Среди современных работ следует отметить труд Р. Уайдлера «Математика как культурная система», в котором строится типология историческо-

¹ См.: Шпенглер 0.0 смысле чисел// Шпенглер О. Закат Европы. - Мн., М., 2000. - С. 87-
146.

² См.: Кун Т. Структура научных революций. - М, 1998.

³ См.: Лакатос И. Доказательства и опровержения. - М., 1967.

го взаимодействия различных частей математики, опирающаяся на понятие «культурного элемента», и книгу Ф. Китчера «Природа математического знания», где впервые делается попытка построения целостной и развернутой эмпирической концепции сущности и развития математического знания как представленного в деятельности коллективного субъекта - научного сообщества.

Нефундаменталистские исследования в отечественной литературе представлены в работах Б.В. Бирюкова, В.Э. Войцеховича, О.А. Габриеляна, В.А. Карпунина, И. С. Кузнецовой, О.И. Кедровского, М.И. Панова, З.А. Со-кулер, последними работами Г.И. Рузавина и др. В философско-методологических построениях социокультурной ориентации отсутствует намерение установить вневременную, не зависящую от исторических состояний сущность математики, точнее сказать, сущность математики здесь предстает как закономерности ее развития.

Среди вопросов, рассматриваемых в рамках нефундаменталистской ориентации, можно выделить следующие: насколько возможно модернизи-j ровать исторический источник (например, применять достижения современной математики при изучении «Начал» Евклида, «Арифметики» Диофанта, исследований Ньютона, Лейбница и т.д.); каковы принципы влияния культурной среды на развитие математики, насколько направление развития математики зависит от внутренних факторов и насколько - от внешних и т.д.

Подытоживая обзор выделенного нами типа взаимодействия - «философия математики», - обратим внимание, что, на наш взгляд, оба рассмотренных направления, по сути, не противостоят друг другу, а являются взаимодополнительными: фундаменталистские концепции сосредотачиваются на поисках инвариантов в структуре математического знания, социокультурные версии исследуют математику как развивающийся феномен, и, по-видимому, осуществить построение целостного образа математики возможно только в единстве двух подходов. К тому же реальная практика подтверждает услов-

ность деления философии математики: многие исследования принадлежат одновременно фундаменталистскому и социокультурному направлению.¹

Второй тип философско-математического взаимодействия - «философия и математика» - характеризуется «равно-уровневым» участием философии и математики в построении целостной картины действительности. Как показывает история, в рамках такого типа взаимодействия взаимоотношения философии и математики испытывают резкие колебания: от полного слияния двух указанных феноменов (пифагорейский вариант космоса, «теологические трактаты» С. Боэция, «Этика» Б. Спинозы, «метафизический дифференциал» Г. Лейбница и т.д.) до их абсолютного противопоставления (взгляды Б. Паскаля, И. Канта, Г. Гегеля, А. Бергсона и др.).

Указанное обстоятельство позволяет выделить в рамках «философии и математики» две наиболее распространенные точки зрения: первую, содержащую концепции, утверждающие как принципиальную неприменимость математических результатов и методов для решения философских вопросов, так и непригодность философского подхода в рамках математики, назовем:, «разведением функций философии и математики»; вторую, включающую варианты «положительного» взаимодействия философии и математики, определим как «философско-математический синтез». Остановимся на характеристике первой точки зрения (методологический аспект второй будет рассмотрен в следующем параграфе).

В истории философской мысли противопоставление философии и математики наиболее четко обнаруживается во взглядах Б. Паскаля, концепциях И. Канта и Г. Гегеля, в учениях Л. Фейербаха и А. Бергсона.

«Один из величайших и самых глубоких геометров стал запоздалым рыцарем средневековой религиозной антропологии», - так писал о Паскале Э. Кассирер². Высоко оценивая геометрическое знание, Паскаль считал его ограниченным; всю глубину бытия может постичь только разум «тонкий»:

¹ См., например статью Ф. Китчера «Математический натурализм» в сб. Методологиче
ский анализ оснований математики. М., 1988. - С. 5-32.

² Цит. по Казарян В.П., Лолаев Т.П. Математика и культура. - Владикавказ, 1999. - С. 58.

«Человек - всего лишь тростник, слабейшее из творений природы, но он -тростник мыслящий. Чтобы его уничтожить, вовсе не надо всей вселенной: достаточно дуновения ветра, капли воды. Но пусть даже его уничтожит вселенная, человек все равно существо возвышеннее, чем она, ибо осознает, что расстается с жизнью и что слабее вселенной, а она ничего не сознает. Итак, все наше достоинство - в способности мыслить. Только мысль возносит нас, а не пространство и время, в которых мы - ничто. Постараемся же мыслить достойно: в этом основа нравственности».¹

Согласно Паскалю, геометрическая мысль наиболее совершенна в исследовании тех предметов, которые доступны строгому анализу, т.е. могут быть расчленены на первичные составляющие элементы. Однако существуют вещи, которые не поддаются какому бы то ни было логическому анализу из-за своей хрупкости и бесконечного разнообразия. Именно природе человека присущи богатство и умаленность, разнообразие и непостоянство. Следовательно, математика никогда не станет инструментом истинного учения о человеке, ибо она не может познать человеческое, этот мыслящий тростник.

Ограничение математики, согласно Паскалю, носит принципиальный, онтологический, метафизический характер. Математический разум находится вне этики, он покоится на однообразии, на расчленении на элементы и поэтому не постигает человека. Более того, математическое знание, построенное на строгом соблюдении правил, на неукоснительном следовании за первоначальными аксиомами и постулатами, является искусственным по отношению к изучаемым вещам и не совпадает с их органической сутью, с их реальным бытием, особенно если речь идет о постоянно меняющейся реальности человеческого поведения.

В эпоху становления точных наук, использующих математические методы, Паскаль сумел заметить их уязвимость. Выдающийся физик и математик, один из творцов науки Нового времени вошел в историю и как круп-

¹ Паскаль Б. Мысли//Ларошфуко Ф. де. Максимы. Паскаль Б. Мысли. Лабрюер Ж. Де. Характеры. - М., 1974. - С. 169 (Мысль 347).

нейший представитель религиозно-антропологической мысли. Паскаль -философ, перед духовным взором которого разверзлась космическая бездна во всей ее грандиозности и бесконечности, бездна, где человек ощущал себя песчинкой, затерянной в безбрежных просторах: «Меня ужасает вечное безмолвие этих бесконечных пространств».¹ Чувство онтологического одиночества, вселенской бездомности, острое ощущение радикальной случайности, заброшенности человека - таковы исходные моменты мыслительной ситуации, на фоне которой разворачивались антропологические идеи Паскаля, позволившие считать его предтечей экзистенциализма.

Оригинальной чертой аксиологической концепции мыслителя является апофеоз «порядка сердца» в качестве высшей эмоционально-ценностной познавательной инстанции, укорененной в сверхъестественном и бесконечно превосходящей «порядки» чувственности и разума. Если «порядок разума» функционирует в координатах обычного логического мышления,^то «порядок сердца» имеет свою «логику», «логику сердца», свои особые закономерности - эти мысли Паскаля в определенной степени предвосхитили гегелевскую диалектику как особую логику саморазвития духа.

Позднее авторитетами И. Канта и Г. Гегеля закрепилась точка зрения, согласно которой философский метод несоединим с математическим, и достоверность философских истин необходимо обосновывать на путях, имеющих мало общего с математикой. «Философское познание есть познание разумом из понятий, математическое - из конструкции понятий», - утвер-ждает И. Кант . Философское понятие по Канту основано на синтезе «возможных созерцаний, которые a priori не даны, и тогда ... можно посредством него судить синтетически и a priori, но только дискурсивно, согласно понятиям, и никогда интуитивно, посредством конструкции понятия».³

В математическом знании каждое понятие после того, как оно определено формально корректно, может быть снабжено объектом, сконструиро-

¹ Паскаль Б. Указ. соч. - С.151 (Мысль 206).

² См.: Кант И. Критика чистого разума. - М.: Мысль, 1994. - С. 423.

³ Там же. - С. 426.

ванным в созерцании a priori, т.е. без обращения к эмпирическим данным, только на основе тех правил, которые закодированы в определении понятия. Такое понятие (и основанное на нем суждение) Кант называет интуитивным и считает его использование прерогативой математики. Возможность конструкции понятия обеспечивается чистыми созерцаниями, лишенными эмпирического содержания, - пространством и временем.

В философии же понятия могут быть снабжены единичными предметами лишь взятыми из опыта, а не сконструированными в чистом созерцании a priori, и суждение, основанное на данном понятии, хотя и будет a priori, т.е. согласно правилу синтеза многообразного, соответствующему данному понятию, но не интуитивным, а дискурсивным (например, понятие причинности; основанный на этом понятии закон природы: «Все явления природы имеют причину» есть синтетическое дискурсивное суждение о природе, в отличие от синтетического интуитивного суждения a priori «Сумма углов треугольника равна двум прямым»).

Итак, философское познание, по Канту, есть дискурсивное применение разума согласно понятиям, а математическое познание - интуитивное применение его посредством конструкции понятий, то есть синтеза в созерцании. Поэтому «геометр, пользуясь своим методом, может строить в философии лишь карточные домики, а философ со своим методом может породить в математике лишь болтовню».¹ Кант отмечает, что существенное различие между философией и математикой заключается не в предмете, а в форме², т.е. методе. Для рассмотрения объектов философии, таких как: мир в целом, человеческое «Я», бессмертие души и т.д., - Кант утверждает необходимость иного, отличного от математического, метода исследования.

Согласно Г. Гегелю, математический способ мышления, т.е. «изложение посредством чисел, линий, геометрических фигур есть нечто весьма близкое к мифу» - это два родственных способа «изложения всеобщего со-

¹ Кант И. Критика чистого разума/ЛСант И. Собрание сочинений: в 8-й тт. - Т.З. - М: Чо-
ро, 1994.-С. 537.

² См.: Кант И. Критика чистого разума. - М.: Мысль, 1994. - С. 424.

держания». Математические предметы также «образы», хотя и «не конкретно образы, подобно мифам». Это «неподходящая среда для постижения мысли», применять ее в философии - «дурная манера».¹ Кто скрывает мысль в символе, тот ей не обладает, ибо мысль есть самооткровение, и миф, следовательно, не является адекватной средой для мысли.

Гегель активно отрицал необходимую связь философского мышления с образами. Опора на образы для него - признак несовершенного мышления, и математическое мышление, поскольку оно использует образы, пусть и не конкретные, оказывается таковым. Образам всегда свойственна некоторая неадекватность, так как почва фантазии не может выразить идею (вспомним Парменида: «Мыслимое непредставимо»). Образы «могут, правда, содержать в себе символически нечто, аналогичное идее; такая связь является очень отдаленной, и при этом должно иметь место много случайного» . Самооткровение философской мысли посредством языка является, по Гегелю, «безобразным».

Подобный взгляд на понимание философского и математического мышления восходит к Платону и изложен Проклом в «Комментариях к первой книге «Начал» Евклида», однако гегелевская интерпретация, философ-ско-математического взаимодействия принципиально отличается от античной. Г. Гегель продолжает линию Канта, утверждая принципиальное различие методов философии и математики. Для познания духа формальная логика оказывается несостоятельной, т.к. применяя к исследованию человеческого «Я» принцип тождества, мы обнаруживаем противоречивость «Я» и должны тем самым отказать ему в существовании. Однако саморазвитие духа является как раз собственным предметом философии. Значит, рассмотрение мировоззренческих вопросов требует использования другой логики, а именно диалектики. Формулировка законов диалектического мышления -величайшая заслуга немецкого мыслителя перед философией.

¹ Гегель Г. Лекции по истории философии. Книга 1. - СПб, 1993. - С. 133-139.

² Там же.-С. 134.

«Разведение функций философии и математики» наблюдается в учении Л. Фейербаха, а именно в его критике мышления с позиций своеобразного сенсуализма. Всякое мышление, согласно Фейербаху, есть непрерывное обобщение и потому отрицание индивидуального, чувственного, естественного. Мыслить природу значит превращать ее во всеобщее, нечувственное, сверхчувственное существо и тем самым отрицать. В «Основах философии будущего» Фейербах подчеркивает: «Доказательство, что нечто есть, не имеет никакого иного смысла кроме того, что это есть нечто не только мыслимое. Это доказательство, однако, не может быть почерпнуто в самом мышлении... В мышлении, как таковом, я тождественен сам с собою, я абсолютный господин; мне не противоречит ничто, я сам себе и судья и сторона одновременно; стало быть в мышлении нет критического различения между предметом и моей мыслью о нем. Но когда дело идет о бытии какого-нибудь предмета, я уже не могу советоваться с самим собой, и я должен выслушать свидетелей, отличных от меня. Эти, отличные от меня, как мыслящего субъекта, свидетели суть чувства».¹

Согласно Фейербаху, нечто истинно, когда оно дано в непосредственности, а тайна непосредственного знания сосредоточена в чувственности. Жизнь есть «точка зрения абсолютного»; наука, теория - точка зрения конечного. Жизнь соединяет, наука разделяет; наука отделяет нервы от крови, но жизнь есть только там, где кровь и нервы тождественны. Таким образом, Фейербах приходит к выводу, что истинна только антропология, только точка зрения чувственности, созерцания, потому что лишь она дает целостность, индивидуальность. Наука, по крайней мере, аналитическая (к которой, по всей видимости, Фейербах относил математику) прямо противоположна жизни, так как она ищет сущность позади чувств, в то время как она лежит перед чувствами. Философия, коль скоро она стремится в истине, к постижению жизни, должна апеллировать к чувствам, ибо они суть действитель-

¹ Фейербах Л. Основы философии будущего/УФейербах Л. Основы философии будущего. Предварительные тезисы к реформе философии. Фрагменты к характеристике моей философской биографии. - М., 1936. - С. 59-60.

ность. Мышление, по крайней мере, отвлеченное, есть смерть, ибо оно разлагает вещи на элементы, и только союз чувств возвращают им жизнь.

Противопоставление философии и математики ярко представлено в учении А. Бергсона в контексте его трактовок математизированной науки, времени и возможности постичь время. Основа науки, интеллект, понимается Бергсоном как орудие оперирования с «мертвыми вещами» - материальными, пространственными объектами. В соответствии со своей природой - способностью мыслить лишь в пространственных количественных категориях -интеллект способен понимать живое, органическое, только превратив его в мертвое, механическое, ибо он имеет чисто практическое назначение - формировать и фабриковать неорганизованную материю. Интеллекту Бергсон противопоставляет интуицию как своеобразную симпатию, «посредством которой мы проникаем вовнутрь предмета», чтобы слиться с его индивидуальностью, следовательно, с невыразимой в общих понятиях природой и постичь его в его собственном существе.

Итак, согласно Бергсону, интеллект есть познание на поверхности и в протяжении, интуиция - познание в глубину. Философия, стремящаяся постичь действительность в ее глубине, должна употребить интуицию, «т.е. инстинкт, который не имел бы практического интереса, был бы сознательным по отношению к себе, способным размышлять о своем объекте и бесконечно расширять его».¹

Критике философского и математического понятия о единообразии времени посвящена работа Бергсона «Непосредственные данные сознания. Время и свобода воли». Пространство, как его понимает наш ум, не реальное пространство, не конкретное протяжение. Пространство, которое мы мыслим, есть среда пустая и лишенная свойства, в которую мы помещаем объекты наших чувствований. Необходимо, чтобы оно было средой без признаков, без особенностей, везде подобное себе, единообразное, потому что иначе оно

¹ Бергсон А. Творческая эволюция//Бергсон А. Собрание сочинений- Т.1.- СПб, 1914. -С.155.

не могло бы служить нейтральной и индеферентной средой, общим местом и связью между всеми телами.

Принято также признавать и время единообразной средой, т.е. как протяжение, имеющее одно измерение, бесконечной длины, вдоль которой мы расставляем серию наших состояний сознания. Не доказывает ли это, что время, как мы его понимаем, не что иное, как вид пространства? Время, как мы его переживаем, а не как измеряем - вот настоящее время: «Чистая длительность (так Бергсон называет реальное время — В.М.) есть форма, которую принимает последовательность наших состояний, когда наше Я активно работает, когда оно не устанавливает различия между настоящими состояниями и состояниями, им предшествовавшими...».¹ Различие между временем как символом пространства и временем как истинной действительностью имеет для Бергсона принципиальное значение.

Бергсон подчеркивает, что время, над которым оперируют естественные науки, т.е. t механических уравнений, есть ни что иное как число. Математическое равенство не может постичь время как становления в самом себе. Наука поэтому довольствуется тем, что она умеет исчислять и констатировать одновременности. Это исчисление возможно благодаря тому, что мы сами имеем длительность. Мы измеряем и определяем пространством промежуток времени, прошедший между двумя одновременностями. Мы называем равными два промежутка времени, если тело, движение которого мы предполагаем равномерными, проходит в эти промежутки времени одно и то же пространство. Обратно мы считаем равными скорости двух движений, если они в равные промежутки времени проходят одинаковые пути. Время таким образом определяется через скорость, а скорость опять определяется посредством времени; но повсюду речь идет о пространстве, отношении и числе. Ясно, делает вывод Бергсон, что здесь изменение материи рассматри-

Бергсон А. Непосредственные данные сознания. Время и свобода воли//Бергсон А. Собрание сочинений. - Т.2.- СПб, 1914. - С. 73-74.

вается односторонне и что истинное становление совершенно упускается из виду. Время математики является временем, превращенным в пространство.

В своей работе по поводу теории относительности Бергсон вновь утверждает непознаваемость времени научными средствами: «Наука превращает время в пространство уже в силу одного того, что она его измеряет... Время и пространство начинают переплетаться друг с другом только с момента, когда они становятся фиктивными».¹ Истинное, реальное время Бергсон неразрывно связывает с процессом творчества: «Внедренный в организованный мир своим телом, а в мир сознательный - своей психикой, я воспринимаю движение вперед как постепенное обогащение, как непрерывное изобретение, как творчество. Время есть для меня самое реальное и самое необходимое; оно основное условие действия; больше того: оно - само действие; то обстоятельство, что обязан его переживать, невозможность перешагнуть через промежуток времени, отделяющий меня от будущего, служит достаточным доказательством непредвиденности и неопределенности будущего, если даже не считаться с непосредственным чувством, свидетельст-вующим об этом».

Итак, время у Бергсона трактуется как психологическая реальность, которая переживается субъектом, но не может быть познана им с помощью физико-математических методов. Аналогия, которую философ проводит между творчеством, жизненным порывом, присущим человеку, и бессознательным творчеством в растительном мире, остается только аналогией и не выводит его к возможности научного биологического познания времени. Таким образом, А. Бергсон высказывает сильные аргументы в пользу того, что математизированная наука не может в принципе постичь существенные проявления времени, а значит ничем не может помочь философии в ее стремле-

Бергсон А. Длительность и одновременность. - Пг., 1923. - С. 141-142. Там же.-С. 137.

ний в полноте истины, поэтому «ее роль (философии - В.М.) начинается там, где кончается наука».¹

Несмотря на различие оснований «разведения функций философии и математики» в охарактеризованных выше вариантах, их роднит, на наш взгляд, следующее обстоятельство. Все философы - Б. Паскаль, И. Кант, Г. Гегель, Л. Фейербах, А. Бергсон, - относятся к софийному типу, а математику понимают как науку, имеющую свои специфические предмет и метод. Отсюда, четкое разграничение областей философии и математики, подчеркивание принципиального их различия в целях и методах исследования.

При выделении типов философско-математического взаимодействия в предложенном ключе как бы само собой напрашивается рассмотрение еще одного возможного варианта, который мог бы быть назван «математикой философии» и представлял бы математическую «рефлексию» над философией. Если тип «философия математики» предполагает рассмотрение проблем, относящихся к математике, но выходящих за ее рамки и требующих мировоз-зренческо-методологических установок, то, аналогично, предметом «математики философии» могли бы стать философские вопросы, которые бы «выходили за рамки» философии и могли бы решаться средствами математики.

Однако сама возможность выделения таких «метафилософских» вопросов вызывает сомнение, тем более что главный из них: что такое философия - является предметом опять-таки философской саморефлексии. Вместе с тем попытки воплощения Лейбницем своей мечты о Characteristica Universalis, которая позволила бы сделать философские проблемы «исчислимыми» посредством перевода их на специальный символический язык (подобный современным формализованным языкам логики), могут рассматриваться как вариант «математики философии». В наши дни название статьи В.В. Нали-

Бергсон А. Творческая эволюция//Бергсон А. Собрание сочинений.- T.I.- СПб, 1914. — С.153.

Исторический обзор самоопределения философии предложен, например, в кн.: Донских О.А., Кочергин А.Н. Мифология в зеркале рефлексии. - М., 1993. - С. 212-232.

мова «Как возможна математизация философии?» вроде бы намекает на «возрождение» этой «традиции», однако ее содержание, как мы покажем далее, предлагает вариант «философско-математического синтеза».

Таким образом, разнообразие взаимосвязей философии и математики можно классифицировать по двум уровням: 1) «философия математики» и 2) «философия и математика». Точка зрения, разводящая функции философии и математики, описывающая взаимодействие указанных феноменов на втором уровне, складывается на основе софийной трактовки философии и понимания математики как науки в общепринятом смысле слова, что обусловливает вывод о неприменимости математических средств и методов к рассмотрению философских вопросов. При «разведении функций философии и математики» указанные феномены рассматриваются как абсолютно автономные области духовной культуры, результаты и методы которых имеют самодовлеющее значение и не могут быть применены вне своей области. *

1.4. Философско-математический синтез как специфический тип взаимодействия философии и математики

Термин «синтез» в описании особого типа философско-математического взаимодействия представляется нам вполне правомерным и отражающим основные особенности взаимосвязи философии и математики в описываемых ниже случаях. Однако употребление словосочетания «философско-математический синтез» в контексте нашего исследования нуждается в некоторых предварительных замечаниях и уточнениях.

Правомерность применения термина «синтез» в излагаемом контексте обусловлено следующими этимологическими и методологическими обстоя-тельствами. Слово «синтез» восходит к древнегреческому стиубеац, означающему «складывание вместе», «соединение», «связывание», «составление»

См.: Налимов В.В. Как возможна математизация философии//Вестник Московского унта. Сер. 7, Философия. -М., 1991. -№ 5. -С. 7-17.

(близким по структуре и смыслу и в тоже время вносящим одно очень важное добавление является прилагательное cruvGexiKoc; - «связывающий», «приводящий в связь, в стройное единство»).¹ Таким образом, синтез, в самом общем случае, - это соединение различных элементов в единое целое (систему), которое осуществляется как в практической деятельности, так и в процессе познания. В этом значении синтез противоположен анализу (разложению предмета на его составляющие) и в то же время неразрывно с ним связан. В философии и различных науках термин «синтез» применяется в некоторых специальных значениях.

Выделим те значения, которые являются важными в целях нашего исследования.-

1. Синтез понимается как способ рассуждения, последовательное получение того, что должно быть доказано, из ранее доказанных утверждений (в противоположность анализу как процессу рассуждения от доказываемого к уже доказанному; такое понимание анализа и синтеза восходит к античности (Платон, Евклид, Папп Александрийский).

2. Синтез как мыслительная операция производится от предметного соединения частей объектов в целое и исторически формируется в человеческой деятельности.

3. Синтез как познавательная операция имеет множество различных форм; данные исследования того и иного объекта синтезируются при их теоретическом обобщении разнообразными способами (в форме взаимосвязи теорий, относящихся к одной предметной области; как объединение противоположных и даже конкурирующих теорий по принципу дополнительности в процессе диалога теорий; в форме построения дедуктивных теорий).²

Исходя из выше изложенного, мы интерпретируем «философско-математический синтез» как особый тип философско-математического взаи-

¹ См. Вейсман А.Д. Греческо-русский словарь. - М., 1991.-С. 1203.

² См. Философский энциклопедический словарь. - 2-е издание. - М., 1989. - С. 583-584.

модействия, в котором философия и математика, соединяясь тем или иным образом в процессе рассуждения, участвуют в построении иелостной картины действительности, способствуя тем самым более глубокому проникновению вглубь явлений, расширению границ мировосприятия и выработке цельного мировоззрения. При таком типе философско-математического взаимодействия результирующее знание есть система, включающая с необходимостью философские и математические компоненты. В исторической ретроспективе философско-математический синтез принимает различные формы:

(а) форму синкретического соединения, слияния математических
элементов и философских категорий в построении пифагорейского образа
мира (здесь математические и философские понятия относятся к единой
предметной области - музыкально-числовой структуре космоса);

(б) форму диалектического взаимодействия философии и математики
на пути восхождения души в мир идей в учении Платона;

(в) форму особого способа рассуждения, в котором математические
элементы (понятия, образы, модели) участвуют в раскрытии вопросов фило
софского (теологического) характера, способствуя прояснению этих вопро
сов и их творческому усвоению в «ученом незнании» Николая Кузанско-
го;

(г) как соединение философии и математики в единое целое с целью
построения всеобъемлющей дедуктивной системы мироздания в концеп
циях классического рационализма («Универсальная математика» Р. Декарта,
«Этика» Б. Спинозы, «Универсальная характеристика» Г. Лейбница);

(д) как антиномическое соединение двух противоположностей (фи
лософии и математики), отражающих гносеологические и аксиологические
аспекты человеческой деятельности, при формировании эстетического идеа
ла в учении И. Канта¹.

¹ Все перечисленные формы философско-математического синтеза более подробно будут рассмотрены в Главе 2 настоящего исследования.

Философско-математический синтез, представленный в трудах деятелей МФМШ¹ (главным образом, у Н.В. Бугаева) и наиболее полно реализованный в творчестве П.А. Флоренского, является главным предметом исто-рико-методологической рефлексии в нашей работе и, как мы покажем далее , выражается в разных формах:

1. как особый способ рассуждения, в котором элементы математического знания (понятия, теоремы, модели) участвуют в раскрытии вопросов философского характера, тем самым способствуя прояснению этих вопросов и провоцируя рождение новых идей;

2. как диалог различных элементов познавательной деятельности, в котором философия и математика, не теряя своей индивидуальности и автономности, оказываются тесно связанными друг с другом, взаимно предполагая друг друга, что способствует углублению каждой из этих областей знания и вместе с тем выработке более адекватной картины действительности;

(3) как синтез противоположностей, ведущий к формированию
цельного мировоззрения.

Отметим, что взаимодействие философии и математики в формах фи-лософско-математического синтеза определяется способами понимания этих двух феноменов духовной культуры. Пифагор, Платон, Н. Кузанский и П.А. Флоренский являются яркими выразителями софийной линии в истории философии и склонны понимать математику не столько как науку, а как своего рода философию (Пифагор), необходимую ступень в философии (Платон), как некую ментальную область, отражающую замысел Творца при построении мироздания (Н. Кузанский), как первую и необходимую предпосылку мировоззрения (П. А. Флоренский), т.е. все указанные философы тяготеют к истолкованию математики в «метафизическом» ключе.

Для представителей классического рационализма характерна эписте-мическая трактовка философии и видение математики как точной и наиболее

¹ Мы будем использовать аббревиатуру МФМШ для обозначения Московской философ-
ско-математической школы.

² См. Главы 3 и 4 настоящего исследования.

разработанной науки, метод которой универсален и приложим к любым областям познания. Такое понимание естественным образом порождает «рационалистический» вариант философско-математического синтеза, обозначенный нами выше.

Как было показано в предыдущем параграфе, взгляды И. Канта способствовали «разведению функций философии и математики». Однако противопоставление математики и философии в данном случае утверждается в противовес «математическому универсализму» Нового времени, и последующие попытки Канта соединить «мир природы» и «мир свободы» в эстетическом идеале выражают синтез иного, отличного представленного в классическом рационализме, вида и уровня.

Прежде чем приступить к историко-философской реконструкции указанных форм философско-математического синтеза, сделаем несколько предварительных методологических замечаний по каждой из них.

Отнесение музыкально-числовой концепции космоса пифагорейцев к форме философско-математического синтеза возможно с некоторыми оговорками. Синтез элементов всегда предваряется их выделением и отличением друг от друга, т.е. своего рода анализом нерасчленимого целого с целью соединения его частей на новом, более высоком уровне. Четкого разделения философских и математических категорий в рамках пифагорейского учения нет. Математика, с одной стороны, покорялась иерархическому строю пифагорейского мироздания и в совокупности своих частей воспроизводила космологическую структуру, и, с другой стороны, служила катарсису как высшей этической цели, достигаемой для тела - через вегетарианство, для души - через постижение музыкально-числовой структуры мироздания, выражающееся в способности слышать гармоническое звучание космических сфер. Итак, в учение Пифагора математическое до неразличимости сливается с этическим, космическим и музыкальным. Однако реконструированный вариант раннего пифагореизма, принадлежащий Филолаю, представляет собой достаточно стройную целостную систему, которая, несмотря на синкретич-

ность многих положений, можно вполне рассматривать как одну из версий философско-математического синтеза.

Диалектическое взаимодействие философии и математики в учении Платона основывается на его идее, что специфика математического мышления связана с постоянной опорой на образы; подлинное же умозрение (философское) отличается от математики тем, что является «безобразным». Однако характерно, что четкое отличение математического метода познания от философского метода - диалектики - сочетается у Платона с утверждением о необходимости занятий математикой для философа: математика видится как необходимая ступень на пути преодоления привычек обыденного мышления. Тем не менее, математика не способна дать в руки занимающимся ею собственного философского метода, изучение ее - лишь промежуточное звено. От подхода математических наук необходимо перейти к подлинному философскому методу - диалектике, которая ведет душу к созерцанию идей. Однако в одном из поздних диалогов «Послезаконие» Платон объявляет высшей «сущностной» мудростью науку о числе. Философия Платона, достигшая своего предельного развития, заканчивалась учением о вечных и божественных идеях как о числах. Итак, путь восхождения к мудрости, итогом которого является созерцание истинного бытия, т.е. мира идей, можно представить следующей трехступенчатой схемой:

. математика «высшего порядка»

і философия

математика

Налицо классический диалектический прием: отрицание отрицания. Философско-математический синтез Николая Кузанского основан на его мысли: «Ни один из великих умов древности не изучал трудных вещей

при помощи какого-либо сходства кроме сходства математического» и реализуется во введении в рассуждение философско-теологического характера дополнительного математического плана, параллельного плану метафизическому. Используемые при этом математические конструкции служат специфической моделью, позволяющей «схватить» в созерцании принципиально не созерцаемый предмет рассуждения (например, бесконечный мир) в виде математического образа. «Поистине видимое есть образ невидимого», - утверждает Кузанский и, рассматривая вслед за Платоном математические объекты как онтологические сущности, занимающие промежуточное положение между чувственно воспринимаемым и умопостигаемым и потому обладающие специфической «наглядностью», видит в них богатейший познавательный потенциал в раскрытии вопросов о бесконечности Творца и Вселенной, об ученом незнании как высшей форме теоретического разума и т.д.

Философско-математический синтез в концепциях классического рационализма базируется на убеждении, что истинное знание не может быть достигнуто иначе, чем ясным и отчетливым усмотрением умом предмета исследования или его дедуктивным выведением из очевидных истин. Такими ясными и очевидными истинами Р. Декарт считал аксиомы геометрии и арифметики, а математическое доказательство - самым надежным средством получения правильных знаний. Человеческий разум непосредственно, силой интуиции, дарованной Богом, воспринимает основные, ясные и очевидные истины, а вывод следствий составляет сущность философского знания. «Этика» Спинозы представляет собой классический образец «рационалистической» версии философско-математического синтеза. Идеи Декарта находят свое продолжение в «Characteristica universalis» Г. Лейбница, посредством которой можно систематизировать все необходимые истины, доказывать их и открывать новые. Кроме того, труды Лейбница демонстрируют вариант философско-математического синтеза как особого способа рассуждения, в ко-

¹ Кузанский Н. Об ученом незнании//Избранные философские произведения.- М., 1937. -С. 23.

тором элементы математического знания служат «наглядными» схемами для метафизических построений.

Отправным пунктом построения варианта философско-математического синтеза, предложенного И. Кантом, является следующее утверждение: «Хотя между областью понятия природы в качестве чувственного и областью понятия свободы в качестве сверхчувственного лежит необозримая пропасть, ... понятие свободы должно сделать действительной в чувственном мире заданную его законами цель, и, следовательно, природу должно быть возможно мыслить таким образом, чтобы закономерность ее формы соответствовала по крайней мере возможности целей, заданных ей законами свободы. Следовательно, должно быть все-таки основание для единства сверхчувственного, лежащего в основе природы, с тем, что практически содержит в себе понятие свободы, даже если такое понятие не достигает ни теоретически, ни практически познания этого единства, а значит, не имеет своей области, оно все-таки делает возможным переход от мышления по принципам природы к мышлению по принципам свободы».¹ Между природой и свободой Кант находит промежуточное звено - своеобразный «третий мир» - мир эстетического, рассмотрению которого посвящена «Критика способности суждения». Синтез противоположностей основывается на идее целесообразного и реализуется в эстетическом идеале. Вариант Канта демонстрирует антиномико-синтетическое, т.е. диалектическое взаимодействие философии и математики, хотя и отличное от платоновского.

Таким образом, и на основе единства этимологического, логического и исторического подходов к раскрытию понятия «философско-математический синтез», можно сделать вывод, что это понятие описывает особый тип взаимодействия философии и математики, который может принимать различные формы. Предложенная выше классификация разновидностей философско-математического синтеза отражает сложившееся в истории философии разнообразие вариантов «положительного» взаимодействия философии и мате-матики.

Кант И. Критика способности суждения. - М., 1994. - С. 46.

Способы понимания математики и специфика математического мышления

Нельзя не согласиться с Освальдом Шпенглером, считавшим, что среди прочих человеческих творений математика занимает исключительное положение: «Она является наукой строгого стиля, так же, как и логика, но только более всеобъемлющей и с более богатым содержанием;... она является, наряду с пластикой и музыкой, настоящим искусством; наконец, она является метафизикой высшего порядка, как это доказывают Платон и в особенности Лейбниц»1. Приведенная цитата служит очередным подтверждением, что ответить на вопрос, что же изучает математика, каков предмет ее исследований, весьма проблематично. Вместе с тем слова Шпенглера в свернутом виде содержат основные способы понимания рассматриваемого феномена человеческой культуры: как науки, как «искусства» и как «метафизики», однако все три слова, примененные для описания математики, нуждаются в уточнениях.

Хотя измерение и счет были известны древним цивилизациям задолго до появления культуры Средиземноморья, математика как теоретическое знание возникла в VII-V вв. до н. э., явившись самостоятельной заслугой греческого гения. По всей вероятности, античные мудрецы (Фалес, Пифагор и др.), совершая свои путешествия на Восток, знакомились с геометрией и арифметикой Египта и Вавилонии, однако указанные области знания представляли собой обширный, но эмпирический материал, вбиравший в себя богатый вычислительно-измерительный опыт многих поколений. Подлинная математика (от греч. ш9гца- «знание», «наука») родилась именно благодаря усилиям эллинов.

Отметим, что в древнегреческом языке существует несколько слов, обозначающих «знание», и все они имеют разный смысл. Так, Є7сіатгцг (уже упомянутое в предыдущем параграфе) обозначает достоверное знание, требующее соответствия мысли бытию; єтгіаттіхг - знание, в котором нет отличия от того, что оно выражает. Іаторіа означает осведомленность, то есть знание фактов, добытых путем не учительской, а собственной активности, через исследование или расспросы (от іоторєсо - «исследовать», «узнавать», «расспрашивать»). Ivdxju; обозначает знание чего-то совершенно нового, в нем - элемент откровения (прослеживается родство с греческим словом yoXoq, означающим «рождение»); это знание, раскрывающееся через расшифровку текстов, а также через внутреннее наитие, идущее за поверхность явления, к глубинам и истокам бытия, то есть всякого рода озарение. Термин id0r)fia, согласно античной доксографии, возникает в школе Пифагора и обозначает науку, т.е. знание, которому можно научить; условие такого знания - полная идентичность воспринимаемого и посылаемого, для достижения которой математика стремится точно и однозначно зафиксировать в языке смыслы и значения слов; так постепенно вырабатывается особая математическая символика.1

«Число как принцип и образующее начало гармонии, космического соотношения вещей, являлось Пифагору истиной и душой сущего. Понимаемое таким образом число, очевидно, перестает иметь только количественный характер, но и получает особые метафизические, качественные свойства», - так красочно описывает С.Н. Трубецкой своей книге «Метафизика в Древней Греции» особое отношение к числу в школе пифагорейцев, видевших в нем «сущее, всеобщую, сверхчувственную истину вещей, божественный закон и связь... мирового целого. Мера, гармония, пропорции утверждаются числом, число есть объективный разум и мудрость, тайна вещей».2 «И действительно, все познаваемое имеет число. Ибо без последнего невозможно ничего ни понять, ни познать», - утверждает пифагореец Филолай.3 Числа, и только они, дают истинное знание о мире, в числах и их соотношениях это знание можно адекватно выразить; обучение же числовым законам есть способ передачи истинного знания. Таким образом, пифагорейцы явились первыми в истории европейской культуры выразителями «метафизической» трактовки математики, как знания, выводящего за пределы чувственно воспринимаемого к «самой сущности» вещей. Эта линия была продолжена Платоном и его последователями, образовав в истории человеческой мысли особую, пифаго-рейско-платоническую традицию понимания математики, к которой, как мы покажем далее, принадлежит абсолютное большинство мыслителей, предложивших свои варианты философско-математического синтеза.

Трактовка математики как науки в современном смысле слова (т.е. как сферы человеческой деятельности, функцией которой является выработка и теоретическая систематизация объективных знаний о действительности, а под действительностью, как правило, понимается мир явлений) придерживается подавляющее большинство ученых. Однако четкое обозначение предмета ее исследований вызывает трудности.

Среди многообразных попыток определить, чем занимается математика, выделим две наиболее распространенные точки зрения. Одна из них была высказана Ф. Энгельсом в известном произведении «Анти-Дюринг»: «чистая математика имеет своим предметом пространственные формы и количественные отношения действительного мира»1. Это определение легло в основу статьи А.Н. Колмогорова «Математика», опубликованной в Математической энциклопедии2, автор которой, как и большинство советских математиков, разделял точку зрения Ф. Энгельса. Ряд ученых полагает, что данное определение не учитывает развития математики в XX веке и его следует пополнить. Так, Б.В. Гнеденко считает, что в предмет математики важно добавить логические структуры, поскольку это позволит включить в нее такие современные дисциплины, как программирование3.

Математическое «моделирование» «божественных истин» в «ученом незнании» Николая Кузанского

Николай Кузанский занимает в истории философии исключительное место. Будучи представителем раннего Возрождения, он чутко воспринял на следие антично-средневековой метафизики и предвосхитил главные черты философии Нового времени. Творчество мыслителя из Кузы явилось своеобразным сочетанием философских идей античности и христианского миропонимания. Поэтому характеристику предложенного Николаем Кузанским варианта философско-математического синтеза следует предварить кратким описанием основных особенностей эпохи средневековья, отразившихся в его концепции.

Своеобразие средневековой эпохи в истории европейской культуры заключается в том, что ей удалось соединить в себе две мощные культурные струи: одна шла от античности, другая - от христианства, явившегося ее духовным источником и фундаментом.

Перед умственным взором человека христианского средневековья стояла цель, наполнявшая смыслом все его существование. Это - приблизиться к Богу, быть достойным его. Путь к этой цели лежал через постижение истин христианства, и только в связи с этим была оправдана познавательная деятельность, о чем свидетельствуют слова Фомы Аквинского: «Человек со-. отнесен с Богом как с некоторой своей целью».1 Физически зримый космос утратил самоценность и подчинялся мистическому миру духовных сущностей. «Наука о природе имеет своим предметом невидимые причины видимых вещей», - утверждает Викентий из Бовэ.2 Но эти невидимые причины не числовые структуры античного космоса, а догматически зафиксированные положения сверхчувственного мира.

Каковы же культурные доминанты эпохи Средневековья? «Символизм и иерархизм - такова формула средневекового мировоззрения, и такова формула всей средневековой культуры, - отмечает П. Бицилли в своей книге «Элементы средневековой культуры». - Средневековье создало символическое изобразительное искусство и символическую поэзию, создало богатый исключительно сложной и тонко разработанной символикой религиозный культ и философию, сводящуюся к постижению и раскрытию символического значения окружающей действительности».1

Дионисий Ареопагит в своем сочинении «О небесной иерархии» утверждает, что ум человеческий не способен непосредственно воспринимать Божественное. И культура создает ряд символов - знаков, имеющих строго определенное значение: «Ибо ум наш не иначе может восходить к близости и созерцанию небесных Чинов, как при посредстве свойственных ему веществ руководства, то есть признавая видимые украшения отпечатками невидимого благолепия; чувственные благоухания - знамениями духовного раздаяния даров; вещественные светильники - образами невещественного озарения, ... принятие Божественной Евхаристии - общением с Иисусом; кратко: все действия, принадлежащие небесным существам, по самой их природе, нам преданы в символах».2 Данная трактовка символа ориентирует на отыскание бесконечного в конечном, вечного во временном, направляет сознание за «скорлупу вещей» и «кожу материи». Однако сознание не просто транс-цендирует себя, как это бывает в стихийных экстатических состояниях, а строго направляется в область, определенную содержанием вероучения и выраженную в догматике.

Христианское средневековье не только воображало мир символически, но так его и воспринимало. Структурированное таким образом мышление выработало и соответствующий метод - толкование (exegetica). Умственная деятельность этой эпохи выливается в форму символического мышления в богословии и философии, в математике и в изложении исторических событий, в простом размышлении и гадании о будущем. Символическое истолкование рассматривается как метод нахождения истины, и символизирующее мышление дает интеллектуальное удовлетворение и ощущение раскрытия тайн мира. А так как оно ориентировано религиозно, то и сопровождается ощущением священного и мистического.

Символизм мышления приводил к весьма важным последствиям. Благодаря ему в мире все оказывалось тесно связанным, сплетенным друг с дру-гом, прилаженным одно к другому. И. Хейзинга в своих исследованиях особенно подчеркивает значение экзегетики в средневековой культуре: «Жизненная ценность символического толкования всего сущего была безграничной. Символизм создал образ мира, более строгий в своем единстве и внутренней обусловленности, чем это было способно сделать естественнонаучное мышление, основанное на причинности. Он охватил своими крепкими объятьями и природу, и историю. Он создал в них нерушимый порядок, архитектоническое членение, иерархическую субординацию... Символический подход дает то упоение мысли, ту дорационально-мистическую расплывчатость границ идентификации вещей, то сдерживание рассудочного мышления, которые возводят понимание жизни до его высочайшего уровня».1 Многовариантность толкования текста была средством, позволяющим увидеть Истину.

Влияние натурфилософии И. Гете и «магического идеализма» Новалиса на формирование «поэтического» образа мира и математики в творчестве П.А. Флоренского

Категория поэтического обычно считается прерогативой эстетики и служит наряду с прекрасным, возвышенным и их антитезами анализу основных эстетических ценностей.1 В расширительном значении поэтическое, как правило, отождествляют с художественным, подчеркивая противоположность идеального мира, созидаемого художественной фантазией, жизненной реальности, изучать которую призвана наука. Однако современных исследователей, стремящихся к синтезу знания и выработке цельного мировоззрения, привлекает подход, соединяющий научное и художественное, понятийное и образное, который можно назвать «художественно ориентированным познанием мира как целого». Именно в рамках такого подхода следует реконструировать образ математики в творчестве П.А. Флоренского, «одного из последних выразителей пифагорейско-платоновской линии». Выявление поэтических истоков этого образа в миросозерцании мыслителя - важный аспект предлагаемой реконструкции.

По воспоминаниям Флоренского, членами его семьи были люди, «пронизанные любовью и нежной заботой» друг о друге. В плане образования дети подключались к культуре в лучшем смысле этого слова: иностранные языки, история, литература, искусство, естественные науки, ремесло и техника. Но была и одна особенность - необычное отношение к природе и ее освоению, природа понималась как живое существо и признавалась не отвлеченно, а проникновенно, переживательно, по-гетевски. «И вот теперь, оглядываясь вспять, я понимаю, почему с детства, с тех пор почти, как научился читать, у меня был в руках «Гете и Гете без конца» - т.е., конечно, не брошюра Дюбуа Реймона, а самый Гете»1.

Великий немецкий поэт и мыслитель Иоганн Вольфганг Гёте (1749 1832), чьи взгляды на жизнь и мировоззрение выражены в его поэтических произведениях, особенно в «Фаусте» и во многих стихотворениях, посвя щенных древности, в высказываниях в прозе и в естественнонаучных натур философских работах, отчасти в разговорах и письмах, задал идущее попе рек традиции понимание и отношение к природе как к живому явлению, ПО- ; знание которого неотделимо от ее переживания и участия в жизни природы. Известна знаменитая формула Гете - «Видеть вещи как они есть». д Традиционная теория, считает немецкий поэт и мыслитель, страдает от «от чрезмерной поспешности нетерпеливого рассудка, который охотно хотел бы избавиться от явлений и поэтому подсовывает на их место образы, понятия, часто одни слова... Самое высокое было бы понять, что все фактическое есть уже теория: синева неба раскрывает нам основной закон хрономатики. Не нужно ничего искать за феноменами. Они сами составляют учение» .

В другом месте Гете поясняет свой подход к изучению природы: «Мое мышление неотделимо от предметов, элементы предметов созерцания входят в него и внутреннейшим образом проникаются им. Так что само мое созер цание является мышлением. А мышление созерцанием» . Гете отказывается вступать в царство абстрактного, лишенного наглядности мира. Однако такой подход нельзя понимать упрощенно, как отказ от понятий вообще и теоретических объяснений. Смысл его - в совместном движении в плоскости понятий и явлений, в постоянном слежении, чтобы понятия строились по логике «исчерпания» и выражения феноменов, а не как теоретическое насилование их. Так создается «знание-произведение», вводящее исследователя в реальность, где есть место самому познающему как человеку, как художнику.

В центре гётевского понимания природы стоят понятия: прафеномен, метаморфоза, полярность. Мир рисовался мыслителем как сплошной метаморфоз форм, органически развивающихся на всех уровнях бытия (слово «морфология», предложенное Гете для изучения таких процессов, схватывает сущность диалектики органического, прослеженную мыслителем прежде всего на растительных и животных формах и подтвержденную, в частности самостоятельным открытием в 1784 году межчелюстной кости человека как нового свидетельства родства человека со всем животным миром). Единство в движении живых форм воплощалось для Гете в «прафеномене» (например, корень, стебель, листья, цветок растения, как и вообще все виды растений, -й превращения одной живой формы).

Во всем бытии царит полярность - диалектика противоречий, крайностей, динамически противонаправленных, пронизывающих и порождающих друг друга: это соединение и разъединение, притягивание и отталкивание и т.д. В центре разработанной Гете диалектики познания (в предисловии к «Учению о цвете», в статьях «Анализ и синтез», «Опыт как посредник между объектом и субъектом» и др.) - видение пластической цельности явления, а не отвлеченное и дискурсивное знание: исследователь в заключение своего долгого пути должен вернуться к созерцанию объекта в его законченной яс ности. Такое видение обращает явление в идею-эйдос, в феномен (как явление и наглядное бытие сущности) или прафеномен (как явление сущности целого класса явлений). Природа и человеческое познание находятся в глубоком соответствии (видимого и видящего, света (солнца) и глаза), так что видение-познание природы человеком есть вместе с тем самопознание природы через человека.

Утверждая полнейшее совпадение, тождество внутреннего и внешнего, видимого и невидимого, сущности и явления, Гете, вместе с тем, переживает природу как сокровенность, как тайну: в природе заключена известная про-тивонаправленность, скрывания и выявления (согласно мыслителю, «не все заслуживающее познания - познаваемо», однако «человек должен упорствовать в вере, что непостижимое постижимо»). Истинное постигается человеком лишь в отблесках, в отражениях, пронизывающих весь мир природы и нравственности. Символ для мыслителя и есть то, в чем совершается запе-чатление «откровенной тайны природы», «жизненно-мгновенное откровение непостижимого»; в символе «идея действенна и недостижима», «высказана и не высказана».

Эволюция взглядов на математику в творчестве П.А. Флоренского

П.А. Флоренский не был математиком в общепринятом смысле этого слова, то есть не был человеком, получавшим или хотя бы стремившемся получать результаты, воспринимаемые научным сообществом как математические. Математические понятия, образы, схемы, модели интересовали его, поскольку рассматривались им как «конституитивные элементы философии». Кроме того, как мы отмечали ранее, о. Павел смотрел на математику глазами романтика и поэта: помимо пифагорейско-платонической традиции ему близко отношение к математике, представленное в немецком романтизме Новалисом.1

Математическое в произведениях русского мыслителя подчас до неразличимости сближается с музыкальным, поэтическим, магическим, религиозным. Ключевыми категориями, через которые осуществляется это сближениє, являются «ритм» и «форма». Вместе с тем для Флоренского всегда было важно показать математические понятия и утверждения в их образном аспекте, почти чувственной видимости и осязаемости. В математике мыслитель искал «конкретно созерцаемого», эту особенность мышления он называл «плотскостью мысли», что преломилось в стремление «перебросить мост от математических схем теории функций к наглядным образам геометрии и к явлениям природы».1 В качестве такого «перебрасывания моста» от теоретико-функциональных построений к геометрически наглядным образам служит геометрическая модель «мнимостей», приложение которой к изучению особенностей алгебраических плоских кривых составило первую часть сочинения «Идея прерывности как элемент миросозерцания».

Принцип наглядности был частью творческого кредо Флоренского. Как полагал сам о. Павел, особая острота зрения и способность видеть форму явления, присущие ему с детства, сыграли важную роль в становлении его личности. Значительное влияние оказал И. Гете, любимый мыслитель нелюбимой ренессансной эпохи; оно выразилось, в частности, в почитании Флоренским идеи формы («форма для меня была реальностью»)2. С другой стороны, приверженность принципу наглядности вплотную примыкает к проблеме пространства, понимание которой для мыслителя равноценно пониманию мира. Математика содержит лишь мертвые схемы, пока мы не сделаем ее геометрически наглядной, образной, - только тогда она станет воистину «познанием форм в их чистоте» и обретет смысл. Стремление сделать понятия и утверждения геометрически наглядными и даже связать с ними всевозможные нематематические наглядные образы и преставления оказывается методологическим принципом, позволяющим постигать, делать осмысленными соответствующие положения математики. «Наблюдения и эксперименты получают свой смысл, лишь когда они оформлены математически, - писал о. Павел сыну Кириллу с Соловков в 1937 году, - а для этого не всегда требуется тонкость анализа, часто удается получить хорошие результаты примитивными средствами. Поэтому приучайся формулировать итоги работы хотя бы просто кривыми и их уравнениями».1 Особое внимание к математической графике есть появление общей тенденции мыслителя к наглядно-образному пониманию математики.

Характеризуя в работе «Пути и средоточия» методологические прин ципы своего творчества, о. Павел сближает свойственный ему стиль мышле ния и построение произведений с «полифонией Средних веков или контра пунктическим стилем» в музыке, для которого характерно «взаимоподчине ние всех голосов друг другу и «гетерофонией», состоящей в полной свободе всех голосов, «сочинений» их друг с другом, в противоположность подчине нию». Ссылаясь на положение Флоренского о том, что «развиваемое им ми ровоззрение строится контрапунктически, из некоторого числа тем миропо нимания, тесно сплоченных особою диалектикою»3, В.А. Шапошников пред лагает рассматривать математику существующей в «полифоническом» твор честве мыслителя на правах целого спектра тем и выделяет главные из них: 1) прерывность, 2) форма, 3) бесконечность, 4) ритм, 5) антиномичность, 6) пространственность.4 ,:, ,,,., . Каждая тема имеет историю своего развития в творчестве Флоренского, она зарождается, достигает высшей точки, становясь ведущей, а затем постепенно отходит на задний план, делаясь еле уловимой, но все же продолжающей звучать, преломляясь в призме других тем. Прерывности посвящены главным образом ранние работы мыслителя, в том числе, «Об одной предпосылке мировоззрения», материалы к диссертации «Идея прерывности как элемент миросозерцания». Тема бесконечности звучит преимущественно в произведениях «Спиритизм и антихристианство», «О типах возрастания», «О символах бесконечности». Антиномичность раскрывается, в основном, в книге «Столп и утверждение Истины», особенно в связи с рассмотрением парадоксов теории множеств и некоторых вопросов из математической логики. Анализ формы, ритма и пространственности предлагается в поздних работах мыслителя, составляющих цикл «У водоразделов мысли» и курс лекций «Анализ пространственности и времени в художественных произведениях».1

На протяжении всей своей жизни Флоренский сохранял веру в фундаментальную значимость математики для построения цельного мировоззрения, искал мировоззренческое применение математических результатов, методов и идей, стремился обосновать их философское значение. Вместе с тем можно условно выделить четыре этапа эволюции взглядов мыслителя на понимание им математики.

На первом этапе, хронологически охватывающем годы студенчества Флоренского в Московском университете, здание математических теорий мыслилось им как «онтологический» скелет, содержащий «прототипы всяких отношений между бытиями» и в основных чертах предопределяющий ту «мировоззренческую плоть», которая на этот «скелет» должна быть «наращиваема». Молодой мыслитель стремился согласовать естественнонаучные и религиозные представления, примирить их в едином целостном миросозерцании. «Обе эти области равно необходимы человеку, равно ценны и святы, и отсутствие антиномии между ними, по крайней мере, вера в возможность устранить эту антиномию, - необходимый постулат всякой деятельности, направленной на реализацию добра ... И в основе всякой деятельности лежит убежденность, хотя бы бессознательная, что диссонансы нашего понимания мира не лежат в сущности вещей, что настоящее искание уничтожит двойственность в миропонимании»2.

Похожие диссертации на Образ и статус философско-математического синтеза в истории философской мысли

Вторая схоластика, ХVI - начало ХVII в. : Культурный контекст, метафизические основания, место в истории мыслиШмонин Дмитрий Викторович

Апология войны в истории западноевропейской мыслиПисаренков Александр Анатольевич

Принцип соборного единства в истории философской мыслиАнисин, Андрей Леонидович

Проблема взаимоотношения нравственности и религии в истории философской мысли в Литве (1945-1980 гг.) Любарскене Зита Винцентина Винцовна

Взаимосвязь экономики и нравственности в истории философской мыслиКолычева, Екатерина Юрьевна

Дискретное и континуальное в истории индийской мысли : Лингвистическая традиция и вайшешикаЛысенко, Виктория Георгиевна

Религиозно-философская мысль в истории культуры народов ДагестанаАбиева Эльмира Гаджибалаевна

Трансформация гуманистических идеалов свободы и социальной справедливости в истории философской мысли Муравьева Мария Евгеньевна

"Россия и Европа" Н. Я. Данилевского в истории русской философской мыслиКлементьев Александр Анатольевич

Материалистические и атеистические тенденции в дореволюционной истории казахской общественной мыслиСегизбаев, О. А.