Содержание к диссертации
Введение
1 Квантовая запутанность в спиновых системах и ее использование (литературный обзор). 9
1.1 Сепарабельные и запутанные состояния в квантовомеха-нических системах 9
1.2 Меры запутанности 12
1.3 Свидетель запутанности 21
1.4 Запутанность как ресурс в квантовых вычислениях и квантовой теории информации 22
1.5 Запутанность в одномерных спиновых системах 24
1.5.1 Модели 24
1.5.2 Запутанность спиновых систем в основном состоянии при температуре Т = 0 26
1.5.3 Запутанность спиновых систем в термодинамическом равновесии (Т > 0) 27
1.6 Экспериментальные и теоретические результаты, основан ные на использовании свидетеля запутанности 34
2 Запутанность спиновых пар в альтернирован ной открытой цепочке ядерных спинов s = 1/2 с XY-гамильтонианом в условиях термодинами ческого равновесия 38
2.1 Альтернированная открытая цепочка ядерных спинов s = 1/2 с XY-гамильтонианом 39
2.2 Редуцированная матрица плотности спиновой пары в аль тернированной открытой цепочке ядерных спинов s = 1/2 с XY-гамильтонианом 41
2.3 Запутанные состояния спиновых пар 53
3 Возникновение запутанных состояний в системе дипольно связанных спинов при адиабати ческом размагничивании 61
3.1 Матрица плотности спиновой системы в условиях адиабатического размагничивания во вращающейся системе координат 62
3.2 Численный анализ запутанности в девятиспиновой цепочке в процессе адиабатического размагничивания во вращающейся системе координат 64
3.3 Запутанность в плоском кластере из девяти спинов 67
4 Эволюция спиновой запутанности и свидетель запутанности в многоквантовых экспериментах ЯМР 71
4.1 Многоквантовая динамика ЯМР дипольно связанных спиновых пар при низких температурах 72
4.2 Согласованность и свидетель запутанности в многокваи-товых экспериментах ЯМР 78
Выводы 84
- Меры запутанности
- Экспериментальные и теоретические результаты, основан ные на использовании свидетеля запутанности
- Запутанные состояния спиновых пар
- Согласованность и свидетель запутанности в многокваи-товых экспериментах ЯМР
Введение к работе
Одним из наиболее удивительных явлений, существование которого предсказывает квантовая механика, является запутанность. Это понятие было введено Шредингером [1] для необычных квантовых корреляций, проявляющихся в мысленном эксперименте Эйнштейна, Подольского и Розепа (ЭПР-эксперимент) [2]. В этом мысленном эксперименте авторы показали (на основе формализма квантовой механики) существование нелокальных квантовых объектов, состоящих из 2-х и более частей, что привело к скепсису относительно состоятельности самой квантовой механики. Путь к решению возникшего парадокса (ЭПР— парадокса) указал Белл [3]. Он предложил свои знаменитые статистические неравенства, которые выполняются для любой локальной теории и не выполняются для нелокальной теории. Таким образом, Белл перевел решение вопроса о справедливости квантовомеханического описания в область эксперимента [3]. Эксперименты поставленные для проверки неравенств Белла и выполненные до сих пор [4, 5, 6], находятся в согласии с предсказаниями квантовой механики. Таким образом, 11 запутанность "стала физической реальностью, которая не может быть смоделирована любой "классической"системой.
Новый всплеск интереса к проблеме запутанности возник с развитием квантовой теории информации [7, 8]. Запутанные состояния стали основным ингредиентом в таких явлениях как квантовая телепорта-ция [9], квантовая криптография [10], и т. д. Также согласно современным представлениям запутанность является основным источником ускорения в квантовых вычислениях и передаче данных [11]. Таким образом, стало ясно, что запутанность не только предмет философских
дебатов относительно начал квантовой теории, но и новый квантовый ресурс для решения задач, которые не могут быть решены с помощью любого классического устройства [12]. Роль запутанности как ресурса стала импульсом к новым крупномасштабным как экспериментальным, так и теоретическим исследованиям этого явления [12, 13]. В настоящее время из-за того, что теория запутанных состояний базируется на наиболее фундаментальных идеях квантовой механики, исследование запутанных состояний охватывает почти все области современной физики: атомную физику, квантовую оптику, химическую физику, спектроскопию ядерного и электронного магнитного резонанса, физику сверхпроводников и другие.
Методы ЯМР [14] оказались наиболее эффективными для экспериментальной реализации квантовых вычислений [8, 15, 16] из-за хорошо развитых методов управления и контроля с помощью резонансных импульсов ВЧ поля, а также благодаря хорошей изоляции спиновых степеней свободы от других, что приводит к большим временам деко-геренизации [14]. Именно на основе ЯМР в жидкости был построен первый семикубитный квантовый компьютер, реализовавший на практике основные квантовые алгоритмы [17, 18]. Однако, квантовые вычисления на основе ЯМР в жидкости оперируют с псевдочистыми состояниями [19], которые в условиях, в которых проводились жидкофазные эксперименты ЯМР (при комнатной температуре) являются незапутанными [20, 21]. Отсутствие запутанности в таких экспериментах вызывает сомнение в возможностях этого метода для реализации преимуществ квантовых компьютеров по сравнению с классическими. К тому же оказалось, что в жидкофазном ЯМР едва ли можно организовать квантовый компьютер, в котором число кубитов значительно больше 10 [22].
Новые перспективы в развитии теории квантовой информации на основе методов ЯМР открывают твердотельные системы при низких температурах. Важные результаты получены в однородных одномер-
ных моделях [13, 23, 24, 25] (цепочки, кольца), когда гамильтониан многочастичной системы можно точно диагонализовать. В то же время однородные системы не позволяют решить вопрос адресации куби-тов. Запутанность в них возникает лишь между соседними спинами и передача квантовых состояний возможна лишь в коротких цепочках, содержащих не более трех спинов [26]. Ситуация существенно меняется при использовании неоднородных спиновых систем. В одномерном случае такие системы представляют собой те же цепочки и кольца, в которых, однако, расстояния между ближайшими спинами различны. Важное значение имеет также неоднородное магнитное поле, которое позволяет организовать адресацию кубитов [27]. Одной из простейших неоднородных систем является альтернированная цепочка спинов 1/2, XY-гамильтониан которой удалось диагонализовать [28, 29]. Знание спектра XY-гамильтониана альтернированной цепочки позволило установить, что в таких цепочках удается точная или с высокой вероятностью передача квантовых состояний между различными кубита-ми [29, 30]. Таким образом, исследование запутанности в альтернированной цепочке является важной и актуальной задачей.
Целью настоящей работы является исследование запутанных состояний и их свойств в неоднородных системах ядерных спинов 1/2, а также развитие методов ЯМР, с помощью которых можно проследить за возникновением и эволюцией запутанных состояний в эксперименте.
Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав и выводов.
Первая глава носит обзорный характер.
Во второй главе исследована запутанность в простейшей неоднородной модели-открытой альтернированной цепочке ядерных спинов 1/2 с XY-гамильтонианом в условиях термодинамического равновесия [27, 31]. Основной мотивацией этого исследования были возможность адресации кубитов в неоднородных моделях с помощью различных лар-моровых частот [27] и преимущества неоднородных спиновых систем для создания запутанных состояний удаленных спинов [32] и передачи
квантовых состояний вдоль длинных цепочек [29, 30]. В этой главе также описан оригинальный метод получения редуцированной матрицы плотности произвольной подсистемы многочастичной системы, необходимый для вычисления запутанности.
В третьей главе изучено возникновение запутанных состояний различных одномерных и двумерных систем в эксперименте по адиабатическому размагничиванию [33]. Численно исследована запутанность в одномерной цепочке и двумерном квадратном кластере в ходе этого эксперимента. Показано, что запутанность двух различных подсистем возникает при приблизительно одинаковой температуре. Эта температура, однако, зависит от пространственной размерности рассматриваемой системы.
Четвертая глава посвящена исследованию запутанности в многоквантовом (МК) эксперименте ЯМР в системах, содержащих пары близко расположенных спинов (димеры) [34]. Показано, что величина запутанности связана с интенсивностью МК когерентности второго порядка, которая наблюдается в МК эксперименте ЯМР. Предложен свидетель двухспиновой запутанности в МК эксперименте ЯМР, который позволяет установить по интенсивности МК когерентности ЯМР второго порядка, имеется ли в системе запутанность и найти ее количественную меру.
В выводах сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.
Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [27, 31] (глава 2), [33] (глава 3), [34] (глава 4) pi доложены на Первой европейской конференции молодых ученых по квантовой информации (Вена, 2007), международной конференции "Новые достижения магнитного резонанса. Завойский - 100"(Казань, 2007), международном симпозиуме "Квантовая информатика - 2007"(Липки, 2007), X международной школе молодых ученых "Actual Problems of Magnetic Resonance and Its Application" (Казань, 2006), 4-ой международной кон-
ференции "Quantum Physics and Communication" (Дубна, 2007), а также на научных семинарах и конкурсах научных работ в ИПХФ РАН.
Меры запутанности
При решении многих задач (например, очищение запутанности [40], коррекция ошибок [7]) важно знать не только запутано ли данное состояние или нет, но и то, насколько сильно оно запутано. Для этого вводятся количественные характеристики запутанности, называемые мерами. В данном параграфе будут введены условия [41], которым должна удовлетворять любая мера запутанности, и сделан краткий обзор наиболее используемых сейчас мер запутанности [42]. Мы рассматриваем здесь, меры запутанности двухсоставных систем, т. е. систем, состоящих только из двух подсистем. Меры запутанности двухсоставных систем разработаны наиболее детально [42] и могут служить базой для построения мер запутанности более сложных систем, состоящих из произвольного числа подсистем. По определению двухсоставная система незапутана, если ее матрица плотности может быть представлена в следующей форме Состояние двухсоставной системы, описываемое матрицей плотности (1.8), является наиболее общим состоянием, которое могут создать наблюдатели, Алиса и Боб, с помощью локальных операций и классической связи (ЛОКС). Запутанные состояния могут быть созданы только с помощью нелокальных операций. Все состояния, которые не представляются в виде (1.8) обладают некоторым количеством запутанности, которое необходимо оценить количественно. Из очевидных свойств запутанности вытекают следующие условия [40, 42, 43], которым должна удовлетворять любая мера запутанности: (Е1) Для любого сепарабельного состояния мера запутанности должна равняться 0: Локальные изменения базиса при унитарных преобразованиях не должны приводить к изменению количества запутанности в системе, поскольку запутанность не должна зависеть от выбора базиса. Таким образом, запутанность сохраняется при произвольных локальных унитарных операциях: (Е2) Для любого состояния р и любой локальной унитарной операции UA S Uв запутанность остается неизменной Третье условие для меры запутанности относится к связи запутанностей до и после неунитарного преобразования, например, измерения. Это условие также требует, чтобы запутанность не могла быть увеличена с помощью классической связи. (ЕЗ).
Мера запутанности Е не может быть увеличена с помощью локальных неунитарных преобразований и классической связи: если двух-составиое состояние р подвергается локальной неунитарной операции приводящей его в смешанное состояние pi, і — 1, 2,..., N с соответствующими вероятностями pi, і — 1,2,.., N, то где рг- = Л g ДрД 5+/рг- и pi = Тг(Д- 8 Д-Mf 8 # ) Здесь форма Л 5 показывает, что операции выполняются локально (Алиса не может влиять на систему Боба и наоборот). Это условие является следствием предположения, что квантовые корреляции в сепарабельной системе могут возникнуть только с использованием нелокальных операций. С другой стороны, классические корреляции можно увеличить и с помощью локальных операций и классической связи. Простой пример [43] иллюстрирует, что запутанность системы не может быть увеличена с помощью классической связи. Предположим, что наблюдатели, Алиса и Боб, делят между собой п некоррелированных пар кубитов, каждый из которых находится в состояни (0). При этом устройство, находящееся в распоряжении Алисы, взаимодействует с каждым ее кубитом так, что случайно переворачивает каждый кубит с вероятностью 1/2. Затем устройство Алисы связывается с устройством Боба по классическому каналу и информирует его, перевернут кубит или нет. После этого устройство Боба также либо переворачивает свой кубит, либо оставляет неизменным. Проделав это со всеми кубитами, Алиса и Боб делят между собой п классически скоррелированных кубитов в состоянии 1/2(00)(00 + 11)(11). Теперь, если кубит Алисы находится в состоянии 0), то кубит Боба также находится в состоянии 0), а когда кубит Алисы находится в состоянии 1), кубит Боба также находится в состоянии 1). Однако полученное состояние незапутано потому, что Алиса не может влиять на кубиты Боба и наоборот. Следующее условие определяет меру запутанности чистых состояний и позволяет связать меру запутанности чистого состояния с мерами запутанности смешанных состояний.
Единственной мерой запутанности чистого состояния двухсоставной системы, удовлетворяющая приведенным выше условиям Е1-ЕЗ, является энтропия фон Неймана редуцированной матрицы плотности [40]: где PA/B одна из редуцированных матриц плотности, рА или рв- Таким образом, мы приходим к последнему условию, которому должна удовлетворять мера запутанности: (Е4)- Мера запутанности для чистого состояния равна энтропии фон Неймана редуцированной матрицы плотности чистого состояния. Весьма полезным является анализ запутанности в двухкубитных системах описываемых вектором состояния, с помощью разложения Шмидта [36]. Для любого чистого двухсоставного состояния волновая функция этого состояния \ФАВ) может быть записана в виде [36] где \ФА,І) И в )-ортонормированные базисы в подпространствах НА и Нв соответственно и CKj-положительные коэффициенты (0 Qli 1). Это разложение называется разложением Шмидта [36] и базисы этого разложения—собственные базисы соответствующих редуцированных операторов плотности где Двд4—одна из редуцированных матриц плотности, РА или рв- Можно показать, что ненулевые собственные значения редуцированных матриц плотности с невырожденными собственными значениями равны. При этом размерности матриц РА и рв могут быть разными и, значит, у них различное число нулевых собственных значений. Для выяснения вопроса, запутанно ли данное двухсоставное чистое состояние или нет, удобно ввести число Шмидта [36]. Числом Шмидта для двухсоставного чистого состояния называется число ненулевых собственных чисел редуцированных матриц плотности рА и рв- Чистое двухсоставное состояние сепарабельно, если число Шмидта равно единице [36]. В этом случае волновая функция [флв) выражается через тензорное произведение где \(РА) И \ХВ) относятся к системам А и В соответственно. Если число Шмидта больше единицы, то двухсоставное чистое состояние является запутанным.
Экспериментальные и теоретические результаты, основан ные на использовании свидетеля запутанности
Как уже говорилось ранее, СЗ позволяет делать заключения о запутанности в системе на основе термодинамических величин, полученных экспериментально [13, 96]. Эти теоретические результаты стали фундаментом для исследования запутанности в реальных веществах. Начало было положено в работе [97]. В этой работе авторы, на основе ранее полученных данных по магнитной восприимчивости [98], показали, что в парамагнитных кристаллах Си(] Юз)2 2.5 Н О и Си(гЮз)2-2.5 D2O температура, при которой возникает запутанность, ТЕ ЪК. Кроме того, в этой работе проанализрірованьї результаты измерений нейтронного рассеивания [99] и показано, что эти результаты являются прямым подтверждением существования запутанности в твердых телах. Вертиси и Бене в работе [100] изучили магнитную восприимчивость NaV307 и на ее основе нашли температуру ТЕ 365 if, ниже которой существует запутанность. В другой работе [101] были представлены свидетельства, указывающие на возникновение квантовой запутанности в кристаллах Na2Cii5Si40i4, содержащих цепочки пятиядерных спиновых кластеров меди, при температурах ниже ТЕ 200 — 240 К. Кроме того, стоит отметить экспериментальную работу [102], в которой на основе измерений намагниченности представлены зависимости запутанности от магнитного поля и температуры в соединениях MgMnB220s и MgTiOB03. В совсем свежей работе сотрудников ИПХФ РАН [59] рассмотрены не так давно синтезированные нитрозильные комплексы железа (НКЖ) [103,104]. На основе зависимости магнитных восприимчивостей и эффективного магнитного момента от температуры [103, 104] была исследована запутанность димера, возникающего в этих комплексах. В этой работе на основе уравнения Блини-Бауэрса [105, 106] и выражения для согласованности антиферромагнитного димера Гейзенберга (1.32), когда магнитное поле отсутствует и температура Т ТЕ, выявлена следующая связь запутанности с магнитной восприимчивостью: есть закон Кюри для двух спинов с S = 1/2 (уравнение Блини-Бауэрса при высоких температурах). Эти соотношения позволяют определять квантовую запутанность по измеряемой в эксперименте магнитной восприимчивости системы гейзенберговских димеров.
Из формулы (1.40), следует, что запутанность в димере существует, когда его восприимчивость (СЗ) На рис. 1.6 светлыми кружками представлены значения /іе//(Т) для комплекса [Fe2(C3H3N2S)2(NO)4]. На этом рисунке [59] пунктиром проведена горизонтальная прямая 2 по уровню gy/nS = 2 (поскольку д = 2, n = 2mS = 1/2). Из рисунка 1.6 видно, что значение абсциссы точки пересечения согласуется с температурой ТЕ, найденной выше. Представленный обзор демонстрирует методы вычисления запутанности в одномерных однородных системах, когда константы спин-спинового взаимодействия для всех пар ближайших соседей одинаковы, а внешнее магнитное поле - однородно. Хотя полученные в однородных моделях результаты оказались чрезвычайно важными для исследования кван-товомеханической запутанности и ее применениям, возможности таких моделей ограничены. В частности, в рамках однородных моделей невозможно организовать адресацию различных кубитов. Неоднородные цепочки (с различными константами спин-спиновых взаимодействий различных пар ближайших соседей и в неоднородном магнитном поле) дают большие возможности для передачи квантовых состояний по цепочке и реализации квантовой телепортации. Поэтому мы исследовали запутанность в альтернированной цепочке спинов, которая является простейшей одномерной неоднородной системой. Соответствующие исследования описаны в Главе 2. Хотя методы исследования двухсоставной запутанности к настоящему времени достаточно хорошо разработаны, практически отсутствуют экспериментальные методы для ее исследования. В настоящей диссертации мы разрабатываем методы для изучения запутанности, используя хорошо развитые методы ЯМР. В третьей Главе мы изучаем возникновение запутанности при адиабатическом размагничивании во вращающейся системе координат. Развитый нами подход позволяет исследовать возникновение запутанности не только в одномерных системах, но и в кластерах большей размерности. Новые возможности для физико-химических исследований в твердых телах открывают методы многоквантовой (МК) спектроскопии ЯМР. В настоящей работе мы использовали для исследования парной запутанности методы МК ЯМР при низких температурах. Оказалось, что интенсивность МК когерентности второго порядка может быть использована для оценки величины запутанности в соединениях, содержащих пары близких ядерных спинов. В Главе 4 мы показываем, что интенсивность МК когерентности второго порядка может рассматриваться как свидетель запутанности. Мы также установили, что в МК экспериментах ЯМР существует барьер, зависящий от температуры и величины внешнего магнитного поля, разделяющий запутанные и сепарабельные состояния. Запутанность спиновых пар в альтернированной открытой цепочке ядерных спинов s = 1/2 с XY-гамильтонианом в условиях термодинамического равновесия В этой главе изучена запутанность спиновых пар в открытой альтернированной цепочке ядерных спинов (s=l/2), связанных спин-спиновыми взаимодействиями (ССВ), во внешнем магнитном поле в состоянии термодинамического равновесия.
Вычислена редуцированная матрица плотности произвольно выбранной спиновой пары. Запутанность спиновой пары оценена с помощью критерия Вуттерса. Найдена температура, при которой в выбранной паре возникает запутанное состояние. Показано, что количественная характеристика запутанности (согласованность) имеет осциллирующий характер в зависимости от положения спиновой пары в цепочке. Найдены зависимости запутанности произвольно выбранной пары соседних спинов от температуры, положения пары спинов в цепочке, длины цепочки, отношения констант ССВ и даны качественные объяснения этих зависимостей. Объяснена роль концевых спинов открытой цепочки в формировании запутанности. Альтернированная открытая цепочка ядерных спинов s = 1/2 с XY-гамильтонианом Рассмотрим конечную открытую альтернированную цепочку спинов (s=l/2), описываемую XY-гамильтонианом, в сильном внешнем магнитном поле [28, 29]. Гамильтониан этой системы может быть представлен в следующем виде: где 1па - проекция оператора углового момента n-го спина на ось а (a = XiUiZ), N - число спинов в цепочке, ларморова частота шп равна ш\ при нечетном nnw2 при четном, константа ССВ Аг)Тг+і равна Di при нечетном п и 1 при четном. Для упрощения нижеследующих формул мы рассматриваем цепочку с нечетным числом спинов [28]. Преобразование Иордана-Вигнера [107, 108], позволяющее перейти от системы взаимодействующих спинов к системе невзаимодействующих фермионов, может быть записано как где с и cn операторы рождения и уничтожения фермионов, удовлетворяющие следующим антикоммутационным соотношениям Выполняя преобразования (2.2)-(2.4) гамильтониана (2.1) и переходя к фермионным операторам 7І? 7& с помощью преобразований получим диагональное представление гамильтониана с однофермионными энергиями l/2Afc (к = 1,..., N). Собственные значения Xk и собственные векторы \uk) = (uik, U2k, , uxk)T (к = 1,... ,N; индекс T обозначает транспонирование) этого гамильтониана (2.7) даются следующими выражениями (при нечетном N) [28]: Редуцированная матрица плотности спиновой пары в альтернированной открытой цепочке ядерных спинов s = 1/2 с XY-гамильтонианом В этой главе будет получена редуцированная матрица плотности произвольной спиновой пары в многочастичной системе, в которой спины связаны различными спин-спиновыми взаимодействиями (ССВ).
Запутанные состояния спиновых пар
Выражения (2.72) содержат всю информацию; необходимую для анализа запутанности пары спинов в открытых альтернированных цепочках с помощью критерия Вуттерса [45]. Согласованность (1.19) . используется как мера запутанности. Формула (2.38) показывает, что при отсутствии в системе попереч ных корреляций (х. = ajj/2 = 0), редуцированная матрица плотности спиновой пары диагональна. При этом из выражений (1.19),(2172) сле дует, что запутанности.в.системе нет: Запутанные состояния спиновой пары возникают только при ajj =fi О, когда-в системе существуют, по перечные спиновые корреляции, {{Iixljx) — TtiiPlixIjx) 7 0)- Численные расчеты, проведенные для девятиспиновойоткрытой неоднородной це почки при учете ССВ удаленных спинов, показали, что; даже в. этом случае запутанность возникает только между ближайшими соседями. Ниже мы остановимся на запутанности ближайших соседей в откры тых альтернированных цепочках с XY-гамильтонианом при нулевых, ларморовых частотах. . На Рис. 2.1 показана зависимость согласованности второго и третьего спинов .от. температуры. Запутанность возникает при f3D\ « 1, т.е при Т«0;5мкК, когда )i « 27Г 104 с-1. Температура, при которой появляется запутанность в парах ближайших спинов зависит от отношения констант ССВ длины цепочки и удаленности спиновой:пары от концов цепочки. Отметим, что именно при микрокельвиновых температурах в монокристалле CaF2,-когда ядерные спины связаны диполь-дипольным взаимодействием, наблюдались упорядоченные состояния ядерных спинов [ПО]. Численные расчеты (Рис. 2.2) показывают, что согласованность, количественно характеризующая парную запутанность, осциллирует. Качественное объяснение этих осцилляции состоит в следующем. Спины1 и N находятся на концах цепочки и являются выделенными. Поскольку ненулевой запутанностью обладают только ближайшие соседи, пара спинов 1 и 2 и пара спинов N-1 и N имеют максимальную запутанность в однородной цепочке.
Спин 2 может быть запутан, как со спином 1, так и со спином 3. Увеличение запутанности между двумя спинами приводит к уменьшению запутанности между каждым из этих спинов и любым другим спином цепочки. Поскольку спин 2 сильно запутан со спином 1, запутанность спинов 2 и 3 слабее. В результате спин 3 сильно запутан со спином 4 и т.д. Осцилляции затухают, когда спиновая пара удаляется от концов цепочки. Зависимость согласованности от положения пары спинов в цепочке при различных значениях отношения констант ССВ показана па Рис. 2.3. Осцилляции согласованности не затухают при удалении пары от концов альтернированной цепочки (Рис. 2.3). Осцилляции согласованности, при которых она изменяется от нуля почти до единицы, происходят из-за различия констант ССВ в альтернированной цепочке. Зависимость согласованности от отношения констант ССВ, представлена на Рис. 2.4. С ростом отношения D2/D1 согласованность пары спинов с меньшей константой ССВ убывает, а согласованность пары спинов, с большей константой ССВ возрастает. Фактически получается димеризованная спиновая цепочка (Рис. 2.3с), которая качественно может рассматриваться, как система невзаимодействующих спиновых пар при D2/D1 2. Зависимость согласованности С\2 спинов 1 и 2 от температуры для однородных цепочек разной длины дана на Рис. 2.5. Для небольших цепочек (небольших N) согласованность С\ч возрастает при увеличении длины цепочки, когда N остается нечетным, и убывает при четных N. Простой анализ показывает, что это различие обусловлено влиянием удаленного конца цепочки на согласованность Си. Учитывая влияние удаленного конца цепочки, можно показать, что он уменьшает запутанность между первым и вторым спином для цепочек с нечетным числом 1 и N находятся на концах цепочки и являются выделенными. Поскольку ненулевой запутанностью обладают только ближайшие соседи, пара спинов 1 и 2 и пара спинов N-1 и N имеют максимальную запутанность в однородной цепочке. Спин 2 может быть запутан, как со спином 1, так и со спином 3. Увеличение запутанности между двумя спинами приводит к уменьшению запутанности между каждым из этих спинов и любым другим спином цепочки. Поскольку спин 2 сильно запутан со спином 1, запутанность спинов 2 и 3 слабее. В результате спин 3 сильно запутан со спином 4 и т.д. Осцилляции затухают, когда спиновая пара удаляется от концов цепочки. Зависимость согласованности от положения пары спинов в цепочке при различных значениях отношения констант ССВ показана па Рис. 2.3. Осцилляции согласованности не затухают при удалении пары от концов альтернированной цепочки (Рис. 2.3). Осцилляции согласованности, при которых она изменяется от нуля почти до единицы, происходят из-за различия констант ССВ в альтернированной цепочке. Зависимость согласованности от отношения констант ССВ, представлена на Рис. 2.4. С ростом отношения D2/D1 согласованность пары спинов с меньшей константой ССВ убывает, а согласованность пары спинов, с большей константой ССВ возрастает. Фактически получается димеризованная спиновая цепочка (Рис. 2.3с), которая качественно может рассматриваться, как система невзаимодействующих спиновых пар при D2/D1 2. Зависимость согласованности С\2 спинов 1 и 2 от температуры для однородных цепочек разной длины дана на Рис. 2.5. Для небольших цепочек (небольших N) согласованность С\ч возрастает при увеличении длины цепочки, когда N остается нечетным, и убывает при четных N.
Простой анализ показывает, что это различие обусловлено влиянием удаленного конца цепочки на согласованность Си. Учитывая влияние удаленного конца цепочки, можно показать, что он уменьшает запутанность между первым и вторым спином для цепочек с нечетным числом спинов и увеличивает запутанность между первым и вторым спином в цепочках из четного числа спинов. При увеличении N влияние удаленного конца цепочки уменьшается, что ведет к увеличению запутанности между первым и вторым спином при увеличении длины цепочки, состоящей из нечетного числа спинов и уменьшению Си при увеличении длины цепочки состоящей из четного числа спинов. Для согласованности Сгз спинов 2 и 3 наблюдается обратная ситуация (Рис. 2.6), которая также объясняется влиянием удаленного конца цепочки. При переходе к альтернированной цепочке при увеличении отношения констант ССВ DijD\ влияние эффекта димеризации цепочки доминирует по сравнению с влиянием удаленного конца цепочки, и поведение парной запутанности соседних спинов не зависит от четности (нечетности) числа спинов в цепочке при D2/Di 3. В этой главе мы сделали первый шаг в изучении квантовых регистров, на основе многоспиновых систем, которые позволяют провести адресацию кубитов в регистре. Мы исследовали запутанность в открытых альтернированных цепочках. Развитые методы точной диагонали- зации открытых альтернированных спиновых цепочек позволили нам изучить запутанность спиновых пар при различных параметрах системы и разных температурах цепочки. Мы нашли температуру, при которой в спиновой паре возникает запутанность; показали, что при сильной разнице в константах ССВ происходит димеризация цепочки и объяснили роль концевых спинов цепочки в формировании запутанных состояний. Аналогичные методы могут быть применены для исследования парной запутанности и в более сложных моделях открытых цепочек с периодически меняющимися константами ССВ [111]. Методы точной диаго-нализации в таких цепочках [111] полезны для различных задач квантовой теории информации, решаемых с помощью модельных квантовых регистров, когда введена адресация кубитов. Для реализации адресации кубитов необходимо, чтобы разность ларморовых частот различных спинов существенно превосходила константы ССВ.
Согласованность и свидетель запутанности в многокваи-товых экспериментах ЯМР
Начальное состояние описываемой системы (4.1) является сепарабель-ным. Запутанность возникает на подготовительном периоде МК эксперимента ЯМР, когда МК когерентности второго порядка имеют достаточно большую интенсивность. Для того, чтобы оценить количественно запутанность в рассматриваемой системе используем критерий Вуттер-са [45]. Для этого необходимо получить спин-флип преобразованную В начальный момент времени G2(0) -+- (2-2(0) = 0, EW 0 и рассматриваемая система находится в сепарабельном состоянии. В процессе МК эксперимента ЯМР интенсивности МК когерентностей второго порядка возникают и растут, а свидетель запутанности, EW, меняет свой знак. В этот момент рассматриваемая система становится запутанной. В соответствии с (4.24) интенсивности МК когерентностей меняются периодически во времени. Знак свидетеля запутанности EW также меняется периодически. Таким образом, запутанность в системе возникает периодически в зависимости от времени подготовительного периода. Эволюция интенсивностей МК когерентностей во времени вместе с соответствующей согласованностью представлена на Рис. 4.2 при /3 = 3. Можно заметить, что при достаточно низких температурах согласованность близка к сумме МК когерентностей плюс/минус второго порядков, G2(r) + G_2(r), почти на протяжении всего подготовительного периода МК эксперимента ЯМР. При больших (3 (низких температурах) выражение [2sinh/5cosh2 ]-1 стремится к нулю и максимальная величина G2(T)-\-G-2{т) стремится к единице. Это означает, что согласованность равна максимальной величине С?2(т) + G-2{T) при низких температурах. Соответствующие зависимости согласованности и максимальной величины С?2(т) + G_2(T) ОТ параметра (3 представлены на рис. 4.3. В отличие от работы [101] мы исследовали запутанность в системе ядерных спинов, а не электронных.
Такие системы являются более устойчивыми к декогеренизации, которая приводит к потере квантовой информации, полученной в процессе квантовой обработки. Проблема, связанная с рассмотренной в этой главе, для высоких температур была изучена в [117]. Запутанность, найденная в этой статье при высоких температурах получена из-за неверного начального условия. Приведенный здесь анализ устанавливает температурную область и величину внешнего магнитного поля, необходимые для возникновения запутанности в системе. 1. Разработаны аналитические и численные методы получения редуцированной матрицы плотности произвольной подсистемы многоспиновой системы взаимодействующих спинов. Соответствующие алгоритмы реализованы с помощью специальных компьютерных программ. 2. Получены зависимости запутанности спиновых пар в альтернированной цепочке от длины цепочки, температуры, отношения констант спин-спинового взаимодействия и положения пары внутри цепочки. Установлен осциллирующий характер запутанности в парах, находящихся вблизи концов альтернированной цепочки. 3. Показано, что в одномерных и двухмерных спиновых кластерах в процессе адиабатического размагничивания во вращающейся системе координат возникают запутанные состояния между различными подсистемами в кластерах. Температура, при которой возникает запутанность, зависит от размерности кластера, но примерно одинакова для его любых подсистем. 4. Предложен метод для экспериментального наблюдения возник новения запутанности в многоквантовом эксперименте ЯМР. Введен свидетель запутанности на основе экспериментально наблюдаемой ин тенсивности многоквантовой когерентности второго порядка. Показа но, что запутанное состояние отделено от сепарабельных состояний ба рьером, зависящим от температуры и внешнего магнитного поля.
