Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Задача о непрерывных функциях на сфере (задача Кнастера) в евклидовом пространстве 16
1. Лемма о непрерывной функции на многообразии Штифеля 2-реперов 17
2. Применение к задаче Кнастера 19
3. Инфинитезимальная задача Кнастера 22
4. Решение задачи Кнастера для многочленов второй степени на двумерной сфере 24
5. Обобщение задачи о непрерывных функциях на сфере евклидова пространства 26
6. Контрпример к гипотезе Кнастера 29
ГЛАВА 2. Многоугольники, вписанные и описанные вокруг выпуклой фигуры (или тела) 31
1. Введение и метод доказательства 31
2.О четырехугольниках, вписанных в замкнутую кривую 33
3. Опятиугольниках, вписанных в замкнутую кривую 37
4. Вписанные и описанные шестиугольники для выпуклой фигуры 45
5. О многоугольниках, вписанных в сечение и описанных вокруг проекции выпуклого тела
6. Применение к универсальным покрышкам
ГЛАВА 3. Подобно вписанные и описанные многогранники в М
1. Подобно вписанные и описанные трехмерные четырех и пятивершинники и пятигранники
2. Подобно вписанные шестивершинники и описанные шестигранники
3. Многогранники, описанные вокруг выпуклых тел постоянной ширины
4. Подобно вписанные пятивершинники
5. О симплексах, вписанных в выпуклое тело
6. Вписанные и описанные многогранники для центрально симметричного выпуклого компакта
ГЛАВА 4. Аффинно вписанные и описанные многогранники
1. О возможности вписать аффинный образ кубооктаэдра в трехмерное выпуклое тело
2. Вписанные и описанные многогранники для центрально симметричного тела.1
3. Вписанные и описанные многогранники для центрально-симметричного выпуклого тела .
4. Эквидистанционная проблема 39
5. Кубы и октаэдры в нормированном пространстве
ГЛАВА 5. О плоских сечениях выпуклых тел
1.0 плоских сечениях трехмерного и четырехмерного выпуклого тела МО
2. Асимптотически точная оценка асферичности двумерного сечения многомерного выпуклого тела
3. Об одновременном приближении сечения нескольких выпуклых тел эллипсоидами или кругами
4. О двумерных подпространствах нормированного пространства "Y23
5. Финслеровы метрики на векторных расслоениях над грассмановыми многообразиями 12 7
ГЛАВА 6 . О делении непрерывно распределенной массы в евклидовом, про ективном пространстве и на сфере
1.О делении непрерывно распределенной массы на плоскости
2. О делении плоскостями на равные части массы, непрерывно распреде ленной в трехмерном евклидовом пространстве
3. Теоремы о делении плоскостями нескольких масс, непрерывно распределенных в евклидовом пространстве
Литература 45Z
- Инфинитезимальная задача Кнастера
- Опятиугольниках, вписанных в замкнутую кривую
- Многогранники, описанные вокруг выпуклых тел постоянной ширины
- Вписанные и описанные многогранники для центрально-симметричного выпуклого тела
Введение к работе
ВВЕДЕНИЕ
В комбинаторной и выпуклой геометрии, для которой по замечанию Хопфа [(1953)] характерна взаимосвязь чисто метрических и топологических соображений, имеется немало задач для решения которых используются топологические соображения. Для решения задач на плоскости нередко достаточно элементарного свойства непрерывных функций принимать на отрезке все промежуточные значения ([Яглом, Болтянский, 1951], гл.З), но в более высоких размерностях задачи резко усложняются, и для их решения по-видимому следует использовать более серьезные топологические соображения.
Во многих задачах выпуклой и комбинаторной геометрии при попытке перенести двумерный результат на более высокие размерности уже в размерности три мало законченных результатов, а в более высоких размерностях почти ничего не известно [(Болтянский,Гохберг,1965), (Грюнбаум,1963), Яглом, Болтянский, 1951].
В данной диссертации топологические средства используются для поиска многомерных (чаще всего трехмерных) аналогов некоторых теорем из двумерной геометрии и для решения некоторых экстремальных, задач выпуклой геометрии в евклидовых и нормированных пространствах.
Первая глава содержит нижеследующую топологическую лемму и ее применение к известной задаче о непрерывных функциях на сфере в евклидовом пространстве [(Макеев, 1989)].
На многообразии Штифеля V2,n 2-реперов в евклидовом пространстве Шп свободно действуют циклические группы Zm поворотами реперов в их плоскости на кратные ^ углы. Имеются в виду повороты в направлении от первого вектора репера ко второму. Ниже мы будем рассматривать на многообразии V^n вышеописанное действие циклической группы Zp простого нечетного
порядка р, образующую которой обозначим через t.
— А—
Введение
Лемма 1.1.1 [(Макеев, 1989)]. Если f Є CVi^ п > 3, а простое р > 2п — 2, то найдутся такие х Є V^n и числа 0 < і < < ііп-і < Р ~ 1, ^^м f(t4(x)) = ... — f(t%2n-2(x)). Если же р < 2п — 2, то орбита некоторой точки х Є V2,n отображается функцией f в одну точку.
Откуда непосредственно следует [(Макеев,1989)].
1. Теорема 1.2.1.Пусть точки Ai,...,Ap лежат в вершинах правильного р-угольника, вписанного в большую окружность стандартной сферы Sn~l С R, п > 3, а р — простое число > 2п — 2. Тогда для произвольной функции f Є C(Sn~l) найдутся такие номера 1 < і < < г2п-2 < Р и поворот а сферы, что /(а(Лгх)) = = /(а(Д2п_2))- Если же р < 2п — 2, то для произвольной функции f Є C(Sn~l) найдется такой поворот а сферы, что f(a(Ai)) = = f{a(Ap)).
Лемма 1 в дальнейшем применяется при доказательстве различных геометрических теорем.
Вторая, Третья и четвертая главы диссертации посвящены задаче о вписанных и описанных многоугольниках и многогранниках для выпуклого тела.
Многогранник А С R" называется вписанным в выпуклое тело К С Ш.п, если все его вершины принадлежат границе дК тела К. Многогранник А описан вокруг К, если К С А и К имеет общие точки со всеми гранями многогранника А.
Пусть G — замкнутая подгруппа группы Aff* сохраняющих ориентацию аффинных преобразований пространства Ж71. Многогранник А назовем G-вписанным в выпуклое тело К (G-описанным вокруг К), если для некоторого g Є G многогранник gA вписан в К (описан вокруг К). В случае, когда G = Д//^, будем говорить об аффинно-вписанных и аффинно-описанных многогранниках. Если G — группа подобий, то будем говорить о подобно-вписанных и подобно-описанных многогранниках.
Инфинитезимальная задача Кнастера
Старая задача, называемая иногда задачей Кнастера [Кнастер, 1935, 1947] может быть сформулирована следующим образом: на стандартной сфере Sn l С MP выявлять возможно более богатые конфигурации точек А і,..., Ак такие, что для любого непрерывного отображения / : Sn l — Шт найдется вращение а сферы, при котором f(a(Ai)) = ... = f(a(Ak)). Обзор известных результатов по этой задаче имеется в [3] - [5]. В данной работе (если не оговаривается противное) будем считать т = 1, / Є C(5n_1). Каждую конфигурацию точек А\,...,Ак, удовлетворяющую сформулированному выше условию, будем называть решением задачи Кнастера. Уже при п = 3 задача Кнастера решена далеко не полностью. Флойд [1955] доказал, что любое троеточие на думерной сфере S2 является решением задачи Кнастера. По соображениям общего положения никакие пять точек (и более) не могут быть решением задачи Кнастера на двумерной сфере. Ливси [1954] доказал, что четыре конца двух диаметров сферы S2 являются решением задачи Кнастера. Рассмотрение на двумерной сфере функций с плоскими уровнями показывает, что лишь лежащие на одной окружности четверки точек могут быть решением задачи Кнастера. Возникает естественная гипотеза, что все такие четверки точек в действительности являются решениями задачи Кнастера. Ниже доказываются некоторые частные случаи этой гипотезы, а также их обобщения на многомерный случай. Доказательства будут основаны, как и в работах [Bourgin 1959, Какута ни 1942, Макеев 1984,1986], на несуществовании некоторых эквивариантных Глава 1. Задача о непрерывных функциях на сфере (задача Кнастера) отображений многообразий Штифеля в сферы. Поэтому основная техническая лемма 1 данной главы формулируется для функций на многообразии Штифеля, а не на сфере, и применима к некоторым комбинаторногеометри-ческим задачам. В первую очередь это задачи о делении непрерывно распределенной массы и универсальных покрышках [Макеев 1981, 1982, 1984, 1986]: Дальнейшим результатам в этом направлении будут посвящены последующие главы работы. О более поздних продвижениях в задаче о непрерывных функциях на сфере см. [Воловиков]. На многообразии Штифеля V in 2-реперов в евклидовом пространстве Rn свободно действуют циклические группы Zm поворотами реперов в их плоскости на кратные углы. Имеются в виду повороты в направлении от первого вектора репера ко второму.
В данной работе мы будем рассматривать на многообразии р2іП вышеописанное действие циклической группы Zp простого нечетного порядка р, образующую которой обозначим через t. Лемма 1.1.Г [Макеев, 1989]. Если / Є CV n, п 3, а простое р 2п — 2, то найдутся такие х Є Vi,n и числа 0 г І2п-2 Р 1, что f(tH(x)) = = f(tl2n-2(x)). Если же р 2п — 2, то орбита некоторой точки х Є Vi,n отображается функцией f в одну точку. Доказательство. Определим непрерывное отображение F : V2 n — Мр, положив F(x) = (f(x),..., /(р-1(я)). Рассмотрим в W действие группы Zp циклическими перестановками координат. По построению F эквивариантно относительно указанных действий группы Докажем, что F(V2,n) задевает какое-нибудь подпространство пространства Мр вида ж», = = ХІ2П_2. Пусть это не так. Тогда F(V2)n) тем более не задевает прямую L : х\ = = хр. Пусть р\ : W \ L —» Sp 2 — ретракция р на сферу х\-\ Ь хр = О, Y1 х1 — 1: сначала вдоль прямой L на плоскость г=1 Х\-\ Ь хр = 0, а затем вдоль исходящих из 0 лучей на единичную сферу. Сквозное отображение р\ о F : 2іП —» S -2 также сохраняет действие Zp, Гиперплоскости вида Х{ = ж, определяют Zp-инвариантное клеточное разбиение сферы Sp 2, причем пересечения гиперплоскостей вида Xix = = ХІ2П_2 (все нижние индексы различны) составляют остов L\ коразмерности 2п — 3. Пусть р2 (Sp 2 \ L\) — 1/2 — сохраняющая действие группы Zp ретракция на (2п — 4)-мерный остов двойственного клеточного разбиения. Сквозное отображение р2 Р\ F У2,п — L 2 сохраняет действие группы Zp. Пусть Fi : V2,rJZP — Lo/Zp — индуцированное отображение и Fx : Н (L?/Zp; Zv) —+ Н {У2,п/Zp\ Zp) — индуцированный гомоморфизм. Гомоморфизм F{ : Hl{L,2/Zp\Zp) —» Я1 (V , /Zv\ Zp) нетривиален, так как F\ сохраняет действие Zp. Обозначим через а элемент Hl{Lz/Zp\Zp), отображаемый Fj в образующую группы Hl(V2,n/ZpyZp). Рассмотрим элемент Fi(a U ((За)п 2), где /? — гомоморфизм Бокштейна Н1{ ; Zp) — Я2( ; 2р), возникающий в точной последовательности коэффициентов 0 — Zp —+ Z2 — Zp- 0. С одной стороны, F aU c )71-2) = 0, так как aU{pa)n 2 Є Я271"3 ; Zp), a H2n 3(L2/Zp; Zp) = 0, поскольку dimL2 = 2n — 4. С другой стороны, F aU (/fa)"-2) = Ff(a) U (/ (a))""2, a Fj a) - образующая Hl{V2 Zp] Zp), которую для краткости обозначим а\. Докажем, что ai U (ра -2 ф 0. Пусть п 4. Тогда Т 2-связно и «2 = /fai — образующая группы H2(V2,rJZp;Zp) = Zp [13, теорема 5.2]. Если мы докажем, что а7/-2 ф 0, то а\ U о?\ 2 ф 0 по двойственности Пуанкаре для ориентированного замкнутого многообразия V Zp. Для доказательства того, что о -2 0 воспользуемся тем, что кольцо когомологий изоморфно кольцу пересечений гомологических классов. Рассмотрим класс гомологии из Ы.2п—ъ{ 2,п/ р] p)i реализованный профакторизованным по действию Zp многообразием реперов, содержащихся в (п — 1)-мерном подпространстве. Пересечение п — 2 таких классов есть профакторизованное по действию Zp многообразие реперов, содержащихся в проходящей через начало координат плоскости, т.е. образующая группы Hi(V2,rJZp ,ZP). Полученное противоречие доказывает лемму 1 при п 4. При п = 3,4 доказательство без труда получается с учетом того, что V2,3 S3/Z2 и 1 4 S2xS3. Например, при п = 3 V2,?JZP SZ/Z2P и приклеиванием клеток размерности 4 указанное пространство превращается в комплекс Эйленберга-Маклейна ./ (.) 1). А значит, j3a\ ф О [13, теорема 5.2] и а.\ U (За\ ф 0 по двойственности Пуанкаре.
Опятиугольниках, вписанных в замкнутую кривую
В [Bohme 1958, Grunbaum 1959] доказано, что в любую выпуклую фигуру К можно вписать аффинный образ правильного пятиугольника с вершиной в наперед заданной точке границы дК. Нечнем с теоремы, которая обобщает сформулированное утверждение, а также теорему 1 работы [Макеев 1996]. Теорема 2.3.1[Макеев 1997] Пусть сумма любых двух соседних углов выпуклого пятиугольника Л1Л2Л3Л4Л5 больше ir, a AQ - фиксированная точка границы дК выпуклой фигуры К С Ш2. Тогда существует аффинный образ пятиугольника, вписанный в К так, что вершина А\ лежит в точке AQ. Обозначим Afr J группу сохраняющих ориентацию аффинных преобразований плоскости. Рассмотрим множества и. В = (дК)5 С R2x5. Пусть 7г : В = (дК)5 — дК проекция на первый сомножитель. Мы должны доказать, что ТТ{А П В) — дК. Докажем это сначала для некоторого плотного в С -топологии множества выпуклых фигур К с гладкой границей дК. Для выпуклой фигуры К с гладкой границей дК множество В есть гладко вложеннный в R2 5 пятимерный тор Т5. Множество Л есть гладко вложенный вЛ2х5 образ группы AffJ. Для Глава 2. Многоугольники, вписанные и описанные вокруг выпуклой фигуры (или тела) плотного в С -топологии множества выпуклых фигур К с гладкой границей, которые мы будем называть фигурами общего положения, подмногообразия А и В трансверсальны, и, если А П В непусто, то оно является одномерным ориентированным и, как мы увидим ниже, компактным многообразием. Докажем, что элемент группы гомологии Hi(B]Z), который реализуется подмногообразием А П В, не зависит от выбора фигуры К общего положения. Любые две выпуклые фигуры KQ, К\ С R2 общего положения гладко изотопны и пусть {Kt \ 0 t 1} соответствующая изотопия в классе выпуклых фигур с гладкой границей, и пусть F : Т5 х [0,1] — R2x5 соответствующая изотопия пятимерного тора. Малым возмущением изотопии {Kt\0 t l}, тождественным вблизи краев Ко и К\, приведем изотопию F в общее положение с подмногообразием А. Тогда F 1(A) есть ориентированная двумерная пленка, соограничивающая F 1(A) П (Г5 х 0) и F l(A) П (Т5 х 1). Покажем, что множество F l(A) компактно.
Для этого нам понадобится Лемма 1. Пусть сумма любых двух соседних углов выпуклого пятиугольника А\... Л5 больше 7г. Тогда существует такое С 0, что для всякой выпуклой фигуры К, в которую этот пятиугольник вписан, выполняется S CS{K), где S - площадь пятиугольника, a S{K) - площадь фигуры К. Действительно, если пятиугольник вписан в выпуклую фигуру К, то К содержится в невыпуклом десятиугольнике, полученном продолжением сторон пятиугольника (рис. 1) Глава 2. Многоугольники, вписанные и описанные вокруг выпуклой фигуры (или тела) Рассматриваемый десятиугольник будет ограниченным в силу того, что сумма любых соседних углов исходного пятиугольника больше 7г. Тогда в качестве С можно взять S/S\, где Si - площаль десятиугольника на рис. 1. Из леммы следует, что множество аффинных образов пятиугольника А\.. .А$, вписанных в компактное семейство выпуклых фигур, само компактно, так как оно замкнуто и диаметры этих пятиугольников равномерно ограничены сверху, а площади по лемме равномерно ограничены снизу положительным числом. Докажем, что гомологический класс, реализуемый АПВ в Н\(В] Z), равен классу диагонали тора (дК)5 для фигуры К общего положения. Кривая второго порядка, проходящая через точки Лі,..., As, является эллипсом, Действительно в силу выпуклости пятиугольника все пять точек должны лежать на одной ветви кривой, если это гипербола. Пусть точки занумерованы в порядке их следования на кривой, тогда Z Ai + Z Л5 тг, если кривая есть парабола или гипербола, что противоречит условию теоремы 1. Пусть точки Лі,..., Лз, лежат на границе дК эллипса К. Если эллипс К - круг, то множество преобразований из Aff , вписывающих пятиугольник Лх... А , в К, есть группа поворотов К вокруг его центра. Пусть а Є Aff - преобразование, переводящее эллипс К в круг К1. Тогда множество преобразований из Aff2, вписывающих Лі... Л5 в эллипс К, есть подгруппа Aff ,
Многогранники, описанные вокруг выпуклых тел постоянной ширины
Пусть - некоторая норма на плоскости К2. Известно, что в единичный -круг К можно вписать аффинный образ правильного шестиугольника с вершиной в наперед заданной точке границы дК, а также аффинный образ некоторого правильного восьмиугольника. Из результатов работы [Макеев 1996] (ср. [Petty 1971]) легко следует, что в шар в трехмерном пространстве Минковского можно вписать аффинный образ кубооктаэдра с вершиной в любой наперед заданной точке границы шара, или же через эту точку проходит интегральное сечение шара, являющееся параллелограммом. Полным ориентированным флагом в Шп назовем набор вложенных ориентированных подпространств возрастающей размерности О Є L\ с І2 С С Ln = R, где ориентация последнего пространства фиксирована (через О мы обозначаем начало координат). Множество всех флагов обозначим через Flag(Rn). Теорема 4.2.1. [Макеев 2000] Пусть М - выпуклый центрально-симметричный (п2+п)-вершинник, вписанный в единичную сферу Sn l С Rn, причем Sn l -единственная квадрика, содержащая его вершины, и пусть открытые опорные конусы его вершин после сдвига всех вершин в точку О = (0,..., 0) ЄЙ" покрывают дополнение Rn\ 9. Пусть L\, L2 Є Flag(Rn) - произвольные флаги и [- - произвольная норма в Шп. Тогда найдется линейное преобразование aRn —» R" такое, что многогранник а(М) вписан в единичный \\-шар и a{Li) = L2. Доказательство. Докажем теорему для случая, когда единичный -шар К имеет гладкую границу дК. В остальных случаях теорема получается простым предельным переходом. Рассмотрим многообразие где вершины Лі, Лг, ..., А(п2+пу2 выбраны по одной из каждой пары симметричных, a GL+(n) - группа сохраняющих ориентацию линейных изоморфизмов пространства Rn. Мы должны доказать, что {g{Li) \ g Є GK} = Flag(Mn). Мы докажем это для открытого и всюду плотного в С топологии множества центрально-симметричных выпуклых компактов К. В остальных случаях доказательство получается предельным переходом. Для открытого и всюду плотного в С -топологии множества "шаров" К многообразия G и (dKYn +п 2 пересекаются трансверсально, поэтому GK пусто или является гладким компактным подмногообразием в GL+(n) размерности (п2 — п)/2.
Компактность множества GK следует из условия на открытые опорные конусы вершин многогранника М. Этим условием гарантируется существование такой постоянной с 0, что объем Vol(M) cVol(K) для произвольного выпуклого компакта К, описанного вокруг М (лемма 4 4 гл.2). Покажем, что в случае, когда G и (дК)(п +п 2 трансверсальны, отображение имеет степень 1. Так как граница дК определена с точностью до регулярной гомотопии, то многообразие GK определено с точностью до внутреннего кобордизма в GL+(n) и соответственно однозначно определен класс сингулярного бордизма отображения F. Рассмотрим случай, когда К - стандартный евклидов шар, а вершины многогранника М лежат на его границе. В этом случае трансверсальность пересечения многообразий G и {дК) п +п 2 следует из того, что по условию дК - единственная поверхность второго порядка, содержащая вершины многогранника М. Очевидно, что в этом случае GK = SO{n) и F - гомеоморфизм. Замечания. 0. Разумеется, в формулировке теоремы 1 сферу S71 1 можно заменить произвольным эллипсоидом с центром в О. 1. При п = 2 условиям теоремы 1 удовлетворяют вершины любого центрально-симметричного выпуклого шестиугольника, и мы получаем обобщение результата работы [Макеев 1996]. 2. При п = 3 условиям теоремы 1 удовлетворяют, например, вершины правильного икосаэдра и, следовательно, все достаточно близкие к ним центрально-симметричные наборы точек. Кубооктаэдр не удовлетворяет условию теоремы 1, так как не выполняется условие на открытые конусы вершин, но он может быть рассмотрен как ее предельный случай. 3. Вероятно, при п 3 теорема 1, вероятно, ничего не дает, поскольку отсутствуют наборы точек, удовлетворяющие ее условию. 4. Флаги L\ и L2 в формулировке теоремы 1 - показатель свободы, с которой многогранник М может быть аффинно вписан в единичный -шар. 5. Пусть, в условиях теоремы 1, М - многогранник, ограниченный касательными гиперплоскостями к сфере Sn l в вершинах многогранника М. Тогда при некотором аффинном преобразовании а пространства R" многогранник а{М ) описан вокруг единичного -шара и a(L\) = L2. Для доказательства нужно провести полярное преобразование относительно евклидова единичного шара в!пи применить теорему 1. Например, в R3 таким многогранником является правильный додекаэдр или любой достаточно близкий к нему центрально-симметричный 12-гранник.
Вписанные и описанные многогранники для центрально-симметричного выпуклого тела
Обсудим возможные обобщения понятия куба и правильного октаэдра на случай конечномерного вещественного нормированного пространства. Кубы. Назовем кубом параллелепипед с попарно равными диагоналями и попарно равными ребрами. Пусть Е — n-мерное нормированное пространство. Многообразие М п-мерных параллелепипедов с центром в нуле пространства Е имеет размерность п2. Кубы с единичной диагональю выделяются в нем при помощи 2П-1 + п — 1 независимых условий: 2n_1 условий на длины диагоналей и п — 1 условий на длины ребер. Следовательно, необходимым условием существования куба для типичной нормы является неравенство п2 2n_1 + п — 1, выполняющееся лишь при п. Ъ. Таким образом, в типичных нормированных пространствах размерности 6 кубы отсутствуют. Ниже мы покажем, что в размерности 2 и 3 вопрос решается положительно. Остается открытым вопрос: существуют ли кубы в нормированных пространствах размерности 4 и 5? Теорема 4.5.1. (Макеев, 2001) Пусть Е — двумерное нормированное пространство. Тогда (1) В Е имеется квадрат с диагональю (или стороной), параллельной наперед заданной прямой. (2) Во всякую регулярную жорданову кривую в Е можно вписать квадрат. Замечание. Легко видеть, что если единичный шар в нормированном пространстве — строго выпуклый, то искомый квадрат с заданной диагональю АС в п. (1) — единственный. Доказательство. (1) Зафиксируем диагональ АС искомого квадрата ABCD, и пусть О — ее середина. Рассмотрим на границе -круга с центром О и радиусом ЛС/2 непрерывную функцию По определению f(A) = \\СА\\ = —/(С). Значит, f(B) = 0 в некоторой точке В границы рассматриваемого шара. Пусть D — точка, симметричная В относительно О. Тогда ABCD — искомый квадрат. (2) Теорема Шнирельмана [1944] о возможности вписать квадрат в наперед заданную регулярную жорданову кривую на евклидовой плоскости переносится на заданную нормированную плоскость вместе с доказательством.
Поскольку любые две гладкие нормы гладко деформируемы друг в друга, то для типичной гладкой нормы на плоскости корректно определена четность числа квадратов, вписанных в типичную регулярную жорданову кривую. В [Шнирельман 1944] доказано, что это число нечетно. В остальных случаях теорема получается предельным переходом. Теорема 4.5.2. (Макеев, 2001) Пусть Е — трехмерное нормированное пространство. Тогда (1) В пространстве Е существует куб. (2) Во всякий шар, гладко и центрально-симметрично вложенный в Е, можно вписать куб с тем же центром симметрии. Отождествим fid3. Обозначим через М многообразие -кубов с единичной диагональю и центром в точке О Є М3. Из вышесказанного ясно, что для типичной гладкой нормы в!3 многообразие М является трехмерным (возможно, пустым) подмногообразием девятимерного некомпактного многообразия параллелепипедов с центром О. Лемма. М компактно. Доказательство. Очевидно, М ограничено; оно компактно, если пространство не содержит вырожденных кубов. Вырождаться параллелепипед с единичными диагоналями может лишь в параллелограмм или отрезок при условии, что его вершины остаются на границе образа, но это противоречит условию равенства длин ребер параллелепипеда. Доказательство теоремы 5.2. (1) Если норма — евклидова, то М — SO(3) в многообразии GL+(M.3) положительно ориентированных параллелепипедов с занумерованными вершинами и центром О. Таким образом, для евклидовой нормы, которая является типичной, М реализует образующую группы #3(C?L+(R3);Z) = Z. Поскольку любые две гладкие нормы гладко гомотопны, то для типичной гладкой нормы многообразие М определено с точностью до внутреннего бордизма в GL+(M.3). Поэтому оно всегда реализует образующую группы Hz(GL+(M.3);Z) и, следовательно, непусто. (2) Теорема о возможности вписать куб в центрально-симметричное выпуклое тело в R3 [Hansel 2000], доказанная по существу в [Гриффите 1991], переносится в заданное трехмерное нормированное пространство вместе с доказательством. В [Гриффите 1991] доказано, что эллипсоид с различными осями в Е3 является типичным телом и в него вписан ровно 1 куб. Поэтому во всякий типичный центрально-симметричный гладко вложенный в Ш.3 шар вписано нечетное число кубов. В остальных случаях п. (2) получается предельным переходом. Правильные октаэдры. Один из способов определения правильного октаэдра в Rn состоит в том, что это — выпуклая оболочка п взаимно перпендикулярных отрезков равной длины и с общей серединой. Назовем векторы а и b в нормированном пространстве перпендикулярными, если при любом t Є R. выполняются неравенства При таком определении во всяком конечномерном нормированном пространстве существуют правильные октаэдры. Сопоставим п единичным отрезкам с общей серединой в n-мерном нормированном пространстве евклидов объем их выпуклой оболочки. Очевидно, что все точки локального максимума функционала объема являются правильными октаэдрами. Рассмотрим другое определение. Назовем правильным октаэдром в п-мерном пространстве выпуклую оболочку п отрезков с общей серединой и равной длины таких, что все расстояния между концами (разных) отрезков попарно равны. Теорема 4.5.3. (Макеев, 2001) Пусть \\-\\\ и\\-Цг — две нормы в трехмерном пространстве Е. Тогда найдется \\\-правильный октаэдр ABC А В С с диагоналями АА , В В , С С такой, что (или, по нашему выбору, ЦЛЛ Цг = 5Б 2 СС"І2,). Полным (неориентированным) флагом в n-мерном векторном пространстве Е назовем последовательность подпространств 0 = Е0 С Е\ С С Еп = Е, где dim ЕІ = і. Нам потребуется следующая лемма. Лемма. Пусть Е — n-мерное нормированное пространство. Для всякого полного флага {ЕІ} в Е найдется такой набор единичных векторов
