Введение к работе
Актуальность темы
В работе рассматриваются многообразия корней систем матричных функций голоморфных представлений комплексной группы Ли (матричная функция - ограниченная на рассматриваемую группу линейная функция на пространстве операторов представления). Нас интересуют свойства многообразий, зависящие только от выбранных представлений группы. Например, в случае алгебраических групп таким свойством является количество корней полной системы матричных функций общего положения.
Первым результатом такого рода является теорема Кушниренко1 о том, что количество корней общей системы матричных функций конечномерного представления n-мерного комплексного тора равно объему весового многогранника представления, умноженному на п\ Затем последовали работы, в которых вычислялись инварианты алгебраического подмногообразия комплексного тора, заданного как множество корней системы уравнений с фиксированными многогранниками Ньютона2.
1 А.Г. Кушниренко. Многогранник Ньютона и число решений системы к уравнений с к
неизвестными. - УМН, 30:266-267, 1975.
2Д.Н.Бернштейн, А.Г.Кушниренко, А.Г.Хованский. Многогранники Ньютона. - УМН, 1976,
т. 31, вып. 3, с. 201-201.; А.Г.Хованский. Многогранники Ньютона и торические многообразия.
Все эти работы идентифицировались (так же как современные работы на эту тему) как вычисления с многогранниками Ньютона. Слово "представление"в них не упоминалось. Дело в том, что матричная функция представления тора - это полином Лорана, а весовой многогранник представления - выпуклая оболочка набора степеней полинома Лорана, т.е. его многогранник Ньютона.
Важной особенностью вычислений с многогранниками Ньютона является их связь с геометрией выпуклых многогранников. Результаты вычислений формулируются на языке геометрии, что делает их более ясными. Кроме того, эти вычисления часто приводят к новым результатам геометрии многогранников. Интересные и неожиданные результаты в этом направлении были получены в работах А.Г. Хованского, А.В. Пухликова, П. МакМаллена, Р. Стэнли и других авторов.
В указанных выше работах А.Г. Хованского впервые была применена теория торических многообразий3 (т.е. результаты классификации и исследования эквивариантных пополнений тора), оказавшаяся эффективным инструментом вычислений с многогранниками Ньютона.
В 80-х годах два обстоятельства привели к предположению о теоретико-групповой природе вычислений с многогранниками
- Функц. Анал. Прил., 1977, т.11, вып.4, с.56-64.; А.Г.Хованский. Многогранники Ньютона и
род полных пересечений.- Функц. Анал. Прил., 1978, т.12, вып.1, с.51-61.
3G.Kemph, F.Knudsen, D.Mamford, B.Saint-Donat. Toroidal embeddings, 1. - Lect. Notes Math.,
No.339, Springer-Verlag, 1973; В.И.Данилов. Геометрия торических многообразий. - УМН., 1978,
т.ЗЗ, вып.2, с.85-134.
Ньютона. Т.е. к гипотезе о том, что, если рассматривать эти вычисления как результаты об алгебраических подмногообразиях тора, то аналогичные вычисления возможны при замене тора на другие группы Ли (например, на любую комплексную редуктивную группу).
Первое из этих обстоятельств - появление теории сферических пространств4, т.е. аналога теории торических многообразий для любых комплексных редуктивных групп.
Второе - перенос простейших вычислений с многогранниками Ньютона на случай экспоненциальных сумм5 (см. также [1]). Экспоненциальные суммы являются матричными функциями конечномерных диагонализуемых представлений аддитивной группы комплексного векторного пространства. В этой ситуации весовой многогранник представления - выпуклый (в общем случае) 2п-мерный многогранник в Сп. Аналог теоремы Кушниренко состоит в том (см. разд. 2.5 диссертации), что плотность множества нулей системы п матричных функций равна "контактному объему"границы весового многогранника. Если веса представления лежат в пространстве Re Сп, то плотность множества нулей равна (как в теореме Кушниренко) объему весового многогранника.
Первый результат в направлении переноса подобных вычислений в контекст теории групп - вычисление числа решений общей
4M.Brion, D.Luna, Th.Vust, Espaces homogenes spheriques, Invent. Math. 84 (1986), 617-632 5Б.Я.Казарновский О нулях экспоненциальных сумм. - ДАН СССР, 1981, т. 257, вып. 4, с.
804-808; О.А. Гелъфонд. Корни систем почти периодических полиномов. - Препринт ФИАН N
полной системы матричных функций конечномерных представлений комплексной редуктивной группы [2]. Компоненты формулы для числа решений - система корней и весовые многогранники представлений. Широко известно аналогичное вычисление числа решений полиномиальной системы на произвольном сферическом многообразиии6. Далее было показано7, что для случая классических групп полином Гильберта проективной сферической компактификации редуктивной группы совпадает с полиномом Эрхарда некоторого выпуклого многогранника, расположенного в "пространстве диаграмм Гельфанда-Цетлина".
Вычисление числа решений в [2] рассматривалось как первый шаг в распространении известных в случае тора вычислений на произвольные редуктивные группы. Следующий шаг должен был состоять в вычислении эйлеровой характеристики многообразия решений. Однако выяснилось8, что формула, аналогичная торической, неверна. Прогресс был достигнут недавно в работе В. Кириченко9, где найдена формула эйлеровой характеристики многообразия решений общей системы матричных функций представлений редуктивной группы. Компоненты формулы (так же как в [2]) - система корней и весовые многогранники представлений. С
eM.Brion. Groupe de Picard et nombres caracteristiques des varietes spheriques. - Duke Math J.
58, N 2 (1989), 397-424
7А.Окуньков. Замечание о полиноме Гильберта сферического пространства. - Функц. Анал.
Прил., 1997, т.31, вып.2, с.82-85
8Kuimars Kaveh. Morse theory and Euler characteristic of sections of spherical varieties. - Transformation Groups, 9, N.l (2003), 47-63
9 V. Kiritchenko On intersection indices of subvarieties in reductive groups. - Mosc. Math. Journ.,
2007, vol. 7, N 3 (также см. )
некоммутативностью группы связаны некоторые топологические препятствия, усложняющие как саму формулу эйлеровой характеристики, так и ее вывод. Эти препятствия найдены В. Кириченко10 в виде циклов вырождения общего набора векторных полей вида а—/3, где а и /3 - соответственно левоинвариантное и иравоинвариантное векторные поля на редуктивной группе. Эти препятствия могут интерпретироваться как классы Чжэня логарифмического касательного расслоения над некоторой компактификацией исходной группы.
Настоящая работа относится к описанной выше деятельности по описанию тех свойств многообразия решений системы матричных функций представлений группы Ли, которые зависят только от выбранных представлений.
Цель работы
Цель работы состоит в построениии и вычислении асимптотических плотностей многообразий решений систем матричных функций голоморфных представлений групп Ли.
Основные методы исследования
В работе используется теория групп, алгебраическая геометрия, плюрисубгармонические функции, бесконечномерное интегрирование, интегральная геометрия и теория меры.
10 V. Kiritchenko. Chern classes of reductive groups and an adjunction formula. -
Научная новизна
Понятие усредненной асимптотической плотности многообразия решений системы матричных функций впервые появилось в работе автора по теме диссертации. Основные результаты работы состоят в вычислении таких плотностей в разных ситуациях. Эти результаты являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность
Работа носит теоретический характер. Один из результатов работы относится к бесконечномерной интегральной геометрии. Этот результат может оказаться полезным в разных областях математики. Например, он позволяет придать точный смысл утверждению о том, что нули голоморфных функций на единичном круге в среднем равномерно распределены по площади геометрии Лобачевского в модели Пуанкаре.
Апробация результатов
Результаты работы неоднократно являлись темами докладов на научных семинарах, в том числе, на семинарах акад. В. И. Арнольда, проф. Э. Б. Винберга и проф. В. Л. Попова, проф. С. М. Гусейн-Заде на мех-мате МГУ.
Публикации
Основные результаты опубликованы в четырех работах, список
которых приведен в конце реферата.
Структура диссертации
Диссертация состоит из трех глав и списка литературы. Первая глава является вводной - она содержит описание предмета исследования и краткое описание полученных результатов. Формулировки результатов и комментарии к ним содержатся в главе 2. Вывод результатов помещен в третьей главе. Полный объем диссертации - 62 страницы, библиография включает 37 наименований.
