Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Многозначные динамические системы с весами . 15
1.1. Основные понятия 15
1.2. Оператор Купмана 24
1.3. Оператор Фробениуса-Перрона 30
1.4. Эргодичность 36
Глава 2. 2-значные динамические системы на отрезке 47
2.1. Динамические системы, связанные с арифметическими разложениями 47
2.2. Критерий инвариантности меры 51
Глава 3. Системы двух итерированных линейных функций на комплексной плоскости 68
3.1. Системы итерированных функций 68
3.2. Адресная структура для систем итерированных функций . 72
3.3. Достаточные условия для вычисления адресной структуры . 80
Глава 4. Системы двух итерированных линейных функций над телом кватернионов 88
4.1. Общий случай: вращения в!4 89
4.2. Частный случай: вращения вМ3 96
4.3. Частный случай: вращения в!2 101
Литература 103
- Оператор Купмана
- Критерий инвариантности меры
- Адресная структура для систем итерированных функций
- Частный случай: вращения вМ3
Введение к работе
Актуальность темы
В настоящее время теория многозначных динамических систем и теория систем итерированных функций являются интенсивно развивающимися разделами эргодической теории и фрактальной геометрии, тесно связанными со многими областями математики: топологией, алгеброй, дифференциальной геометрией, теорией чисел, теорией меры, теорией случайных процессов, теорией особенностей, функциональным анализом и вариационным исчислением (см., например, монографии Х.В. Брура, Ф. Дюмортье, С.Дж. ван Стринга и Ф. Такенса1, Ю.Г. Борисовича, Б.Д. Гельмана, А.Д. Мышкиса и В.В. Обу-ховского2, А.Б. Катка и Б. Хасселблата3, P.M. Кроновера4, М.Ф. Барнсли5, Дж. Кигами6).
Многозначные (обобщенные) динамические системы возникли при рассмотрении дифференциальных уравнений, не удовлетворяющих условию единственности решения, дифференциальных уравнений с параметрами и дифференциальных включений (работы Б.М. Будака7 и ЕА. Барбашина8), с топологической точки зрения многозначные отображения рассматривались еще К. Куратовским9. Свое применение такие динамические системы нашли так-
1 Брур X. В. [и др.]. Структуры в динамике. Конечномерные детерминированные системы. М.; Ижевск:
Институт компьютерных исследований, 2003. 336 с.
2 Борисович Ю. Г. [и др.]. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных вклю
чений. М.: КомКнига, 2005. 216 с.
3Каток А. Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал,
1999. 768 с.
4Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000.
352 с.
5Barnsley М. F. Fractals everywhere. Boston: Academic Press, 1988. 394 p.
eKigami J. Analysis on fractals. Cambridge: Cambridge univ. press, 2001. 226 p.
7Будок Б. M. Дисперсные динамические системы // Вестник МГУ. 1947. Т. 8. С. 135-137.
8Барбашин Е. А. К теории обобщенных динамических систем // Учен. зап. МГУ. Сер. Математика.
1948. Т. 135, вып. 2. С. 110-113.
9"Kuratowski С. Les fonctions semi-continues dans i'espace des ensembles fermes // Fund. Math. 1931. Vol. 18.
же в теории игр и математической экономике, в выпуклом и нелинейном анализе (см. монографии К. Бержа10, В. Гильденбранда11, Дж. Юана12).
Отметим монографию К.С. Сибирского и А.С. Шубэ13, в которой подробно изучаются топологические свойства многозначных динамических систем, а также работу Э. Роксина по исследованию их устойчивости. В работе A.M. Вершика15 дано систематическое изложение основных понятий теории многозначных отображений пространств с инвариантной мерой и их функциональных эквивалентов — марковских операторов. Многозначным динамическим системам и их связи с задачами фрактальной геометрии посвящена работа К.Б. Игудесмана16.
Для исследования нелинейных динамических систем наряду с явным или приближенным «вычислением» индивидуальной траектории все более внедряются геометрические и алгебраические методы: вместо эволюции точек изучаются эволюции плотностей распределения точек системы, вместо эволюции плотностей — эволюции меры (монография А. Ласоты и М. Макея17, работы А. Ласоты, Ж. Мижака и Т. Жарека18, Дж.Э. Хатчинсона19). При этом рассматриваются различные критерии асимптотической стабильности оператора
Р. 148-159.
10Берж К. Общая теория игр нескольких лиц. М.: Физматгиз, 1961. 128 с.
11 Гильденбранд В. Ядро и равновесие в большой экономике. М.: Наука, 1986. 200 с.
12 Yuan G. X.-Z. ККМ theory and applications in nonlinear analysis. New-York: Marcel Dekker, 1999. 648 p.
13 Сибирский К. С, Шубэ А. С. Полудинамические системы. Кишинев: Штиинца, 1987. 271 с.
14Roxin Е. On generalized dynamical systems defined by contingent equations // J. Differential Equations.
1965. Vol. 1, no. 2. P. 188-205. 15Вершик A. M. Многозначные отображения с инвариантной мерой (полиморфизмы) и марковские
операторы // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1977. Т. 72. С. 26-61.
leIgudesman К. В. Dynamics of finite-multivalued transformations // Lobachevskii Journal of Mathematics.
2005. Vol. 17. P. 47-60.
17Lasota A., Mackey M. C. Chaos, fractals, and noise: stochastic aspects of dynamics. New York: Springer-
Verlag, 1994. 472 p.
18Lasota A., Myjak J., Szarek T. Markov operators and semifractals // Fractal Geometry and Stochastics 3 /
ed. by С Bandt [et al.]. Basel, 2004. P. 3-22.
19Hutchinson J. E. Fractals and self-similarity // Indiana Univ. Math. J. 1981. Vol. 30. P. 713-747.
Фробениуса-Перрона, характеризующего преобразование мер под действием трансформации. В терминах систем итерированных функций аттрактор может быть представлен как носитель меры, инвариантной относительно этого оператора.
Вопрос о существовании и нахождении инвариантных относительно заданной трансформации мер является одним из основных в теории динамических систем. Как показал П.Р. Халмош20, без ограничения общности меру можно считать конечной, а трансформацию — несингулярной. Для некоторых семейств одномерных динамических систем этот вопрос рассматривался в работах М.В. Якобсона21, М. Мизиуревича22, Р. Боуэна23, А. Боярского и П. Горы24.
Из специальной символической реализации многозначных динамических систем возникает связь эргодической теории и теории арифметических разложений: одномерная 2-значная динамическая система особого вида задает разложения чисел из отрезка [0,1] по основанию /З Є (1,2]. Основной целью работ в этой области послужила еще не решенная проблема сингулярности бесконечной свертки распределений Бернулли, поставленная П. Эрдешем25. С этой проблемой непосредственно связано понятие /^-представления чисел, введенное в работе А. Реньи26 и изучаемое Б. Парри27, П. Эрдешем, И. Жу
20Халмош П. Р. Лекции по эргодической теории. Ижевск: РХД, 2000. 136 с.
21 Jakobson М. V. Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional
maps II Comm. Math. Phys. 1981. Vol. 81. P. 39-88.
22 Misiurewicz M. Absolutely continuous measure for certain maps of an interval // Publ. Math. IHES. 1981.
Vol. 53. P. 17-51.
23Bowen R. Invariant measures for Markov maps of the interval // Comm. Math. Physics. 1979. Vol. 69.
P. 1-17.
24Boyarsky A., Gora P. Laws of chaos: invariant measures and dynamical systems in one dimension. Boston:
Birkhauser, 1997. 399 p.
25Erdos P. On a family of symmetric Bernoulli convolutions // . J. Math. 1939. Vol. 61. P. 974-975. 26Renyi A. Representations for real numbers and their ergodic properties // Acta Math. Acad. Sci. Hung.
1957. Vol. 8. P. 477-493. 27Parry W. On the /3-expansions of real numbers // Acta Math. Acad. Sci. Hung. 1960. Vol. 11. P. 401-416.
и В. Коморником28, A.M. Вершиком и Н.А. Сидоровым29, Н. Сидоровым30, Ю. Пересом, В. Шлагом и Б. Соломяком31.
Важный частный случай многозначных динамических систем со сжимающими трансформациями представляют системы итерированных функций (СИФ). Они стали пристально изучаться сравнительно недавно, начиная с 1981 г., после работ Дж.Э. Хатчинсона32 и М. Хаты33, уже ставших классическими в области фрактальной геометрии монографий М.Ф. Барнсли34, К.Дж. Фальконера35 и патентования М.Ф. Барнсли и А. Слоуном алгоритма фрактального сжатия изображений на их основе (1991 г.).
В работах М.Ф. Барнсли, С.Г. Демко, Дж.Х. Элтона и Дж.С. Джерони-мо36, А. Ласоты, Ж. Мижака и Т. Жарека37, в монографии М. Йозифеску и С. Григореску38 рассматриваются СИФ с вероятностями, зависящими от точки пространства, исследуются вопросы существования инвариантной меры и асимптотической стабильности оператора Фробениуса-Перрона при различных условиях на вероятности и трансформации («условие Дини», «условие усредненного сжатия», «условие ограниченной положительности»).
28Erdos Р., Joo I., Komornik V. Characterization of the unique expansions 1 = Y^LiQ Пі and related problems II Bull. Soc. Math. France. 1990. Vol. 118. P. 377-390.
29Вершик A. M., Сидоров H. А. Арифметические разложения, ассоциированные с поворотом окружности и непрерывными дробями // Алгебра и анализ. 1993. Т. 5, вып. 6. С. 97-115.
30Sidorov N. Expansions in поп-integer bases: lower, middle and top orders // J. Number Theory. 2009. Vol.
129, no. 4. P. 741-754. 31 Peres Y., Schlag W., Solomyak B. Sixty years of Bernoulli convolutions // Fractal Geometry and
Stochastics 2 / ed. by С Bandt [et al.]. Basel, 2000. P. 39-65. 32Hutchinson J. E. Fractals and self-similarity // Indiana Univ. Math. J. 1981. Vol. 30. P. 713-747. 33Hata M. On the structure of self-similar sets // Japan J. Appl. Math. 1985. Vol. 2. P. 381-414. 34Barnsley M. F. Fractals everywhere. 394 p.
35Falconer K. J. The geometry of fractal sets. Cambridge: Cambridge univ. press, 1985. 162 p. 36Barnsley M. F. [et al]. Invariant measures for Markov processes arising from iterated function systems
with place-dependent probabilities // Ann. Inst. Henri Poincare. Ser. Probab. Statist. 1988. Vol. 24, no. 3.
P. 367-394.
37Lasota A., Myjak J., Szarek T. Op. cit.
38Iosifescu M., Grigorescu S. Dependence with complete connections and its applications. Cambridge:
Cambridge univ. press, 1990. 324 p.
В работах М.Ф. Барнсли и А.Н. Харрингтона39, К. Бандта40, Б. Соло-мяка вводится и изучается множество Мандельброта для СИФ, состоящей из пары линейных отображений на комплексной плоскости. К. Бандтом и Н.В. Хунгом для такой СИФ исследовался вопрос о выполнении «условия открытого множества», введенного П. Мораном .
Вычислению хаусдорфовой размерности аттракторов СИФ, когда не выполняется «условие открытого множества», посвящены работы Ю. Переса и Б. Соломяка44, Т. Жордана45, СМ. Нгаи и Ю. Ванга46, К.Б. Игудесмана47'48.
М.Ф. Барнсли '50 введены понятия верхних адресов, верхней динамической системы и адресной структуры для СИФ. Эти объекты изучаются также в работе К.Б. Игудесмана51.
39Barnsley М. F., Harrington A. A Mandelbrot set for pairs of linear maps // Phisica. 1985. Vol. 15 D. P. 421-432.
40Bandt С On the Mandelbrot set for pairs of linear maps // Nonlinearity. 2002. Vol. 15. P. 1127-1147. 41 Solomyak B. On the Mandelbrot set for pairs of linear maps: asymptotic self-similarity // Nonlinearity.
2005. Vol. 18. P. 1927-1943.
i2Bandt C, Hung N. V. Self-similar sets with open set condition and great variety of overlaps // Proc. Amer.
Math. Soc. 2008. Vol. 136. P. 3895-3903. 43Moran P. Additive functions of intervals and Hausdorff measure // Proc. Cambridge Philos. Soc. Vol. 42.
1946. P. 15-23. AiPeres Y., Solomyak B. Self-similar measures and intersections of Cantor sets // Trans. Amer. Math. Soc.
1998. Vol. 350. P. 4065-4087. 45 Jordan T. Dimension of fat Serpifiski gaskets // Real Anal. Exchange. 2005. Vol. 31, no. 1. P. 97-110. 4eNgai S. M., Wang Y. Hausdorff dimension of self-similar sets with overlaps // J. bond. Math. Soc. 2001.
Vol. 63. P. 655-672.
47Игудесман К. Б. Фрактальная размерность пересечения стандартных канторовых множеств // Изв.
вузов. Сер. Математика. 2002. Т. 11. С. 32-35. 48Igudesman К. В. Lacunary self-similar fractal sets and intersection of Cantor sets // Lobachevskii Journal
of Mathematics. 2003. Vol. 12. P. 41-50. 49Barnsley M. F. Superfractals. Cambridge: Cambridge univ. press, 2006. 453 p. 50Barnsley M. F. Transformations between self-referential sets // Amer. Math. Monthly. 2009. Vol. 116.
P. 291-304.
51 Игудесман К. Б. Верхние адреса для одного семейства систем итерированных функций на отрезке // Изв. вузов. Сер. Математика. 2009. Т. 9. С. 75-81.
Цели диссертационной работы:
Изучение связи между многозначными динамическими системами и системами итерированных функций.
Нахождение инвариантных мер для специальной динамической системы, связанной с арифметическими разложениями.
Нахождение адресной структуры для системы двух итерированных линейных функций на комплексной плоскости.
Классификация аттракторов для системы двух итерированных линейных функций над телом кватернионов.
Методы исследования. В работе используются методы теории динамических систем и фрактальной геометрии.
Научная новизна. Результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми и получены автором самостоятельно.
Теоретическая и практическая значимость работы. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применение при проведении научных исследований и чтении спецкурсов по теории динамических систем и фрактальной геометрии в Казанском, Московском, Нижегородском, Новосибирском и Саратовском государственных университетах.
На защиту выносятся следующие основные результаты:
Доказано, что при специальном оснащении n-й итерации ш-трансфор-мации Sn операторы Купмана и Фробениуса-Перрона для нее совпадают с п-ми итерациями соответствующих операторов для ш-трансформации S: JJSn = Щ, Psn = Pg.
Найден критерий инвариантности меры Лебега для специального семейства одномерных 2-значных динамических систем. Построено семейство инвариантных мер с непостоянными плотностями.
Для системы двух итерированных линейных функций над полем ком-
плексных чисел найдено семейство параметров, при которых пересечение двух подобных подмножеств аттрактора имеет любую конечную мощность вида 2n, п = 0,1,..., либо мощность континуума. Для этого семейства параметров найдена адресная структура данной системы итерированных функций.
4. Дана классификация аттракторов для системы двух итерированных линейных функций над телом кватернионов. Выяснена структура аттракторов в важных частных случаях.
Апробация работы. По результатам диссертации были сделаны доклады на следующих конференциях и семинарах:
всероссийские молодежные научные конференции «Лобачевские чтения» (Казань, Казан, гос. ун-т, 2006, 2009 гг.);
международные школы-семинары по современным проблемам теоретической и математической физики «Петровские чтения» (Казань, Казан, гос. ун-т, 2007, 2008 гг.);
международная конференция «Fractals and Stochastics 4» (Грайфсвальд, Германия, ун-т Эрнста-Моритца-Арндта, 2008 г.);
научный семинар программы «Михаил Ломоносов» (Москва, ДААД, 2008г.);
научный семинар «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике» (Фря-зино, НИИ Гиперкомплексных систем в геометрии и физике, 2008 г.).
Результаты работы регулярно докладывались на научных семинарах кафедры геометрии и итоговых научных конференциях Казан, гос. ун-та (2006-2009 гг.), а также на семинаре «Fractals» профессора К. Бандта (Грайфсвальд, Германия, ун-т Эрнста-Моритца-Арндта, 2007-2008 гг.).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы общим объемом 44 страницы в шести тезисах [1]-[6] и трех статьях в рецензируемых журналах [7]-[9], включая две статьи в журналах из списка ВАК [7], [9].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, списка условных обозначений, четырех глав и списка литературы. Работа
Оператор Купмана
В представленной работе мы ограничиваемся случаем конечных мер. Всюду ниже будем считать, что (X, Z3, /І) — пространство с нормированной мерой, то есть t-i(X) = 1, В — сг-алгебра измеримых множеств, S: X — X — то-трансформация, снабженная оснащением { j{x)}1jLl е 21. Мы будем пользоваться далее следующими обозначениями: М(Х, В, fi) — множество всех классов эквивалентности (по мере /z) измеримых функций, действующих из X в Ш; D = U {X,B,ii) = {/ Є М(Х,В,д) Sx\f\pdfi +со}, р 1; = II Ції L = L(X, В, /І) = {/ Є М(Х, Б, //) 3& 0 ess sup / к}. Поскольку мера X конечна, то L С Lq С LP при 1 = р q оо. Пусть S — несингулярна. Определим оператор U: М(Х, В, /І) — М(Х, В, ) следующим образом. Пусть a j(x), f (x) — представители классов OLJ{X)J{X) Є М(Х,В,ц) соответственно (j = l,m). Тогда Uf — класс функций, равных /і-почти всюду функции Лемма 1.4. Функция Uf определена корректно как класс функций. Доказательство. Пусть а"(х) и f"{x) — произвольные представители классов aj{x) и f(x), Fj = {х\ Ы5{х) ф a j(x)}, R = {а; f (x) ф fix)} и fx(Fj) = О, /х(Д) = 0, тогда Dj = {аг ДЗД) ф f"(Sj(x))} С Sr\R). Очевидно, Dj Є ІЗ, и, учитывая несингулярность трансформации (а именно, Лемму 1.2), получаем //(2 = 0. Обозначим A = (\Jf=1(Fj U Dj))c, тогда /л(Ас) = 0 и Тем самым мы получили оператор U: M(X,B,fi) —+ М(Х,В,ц), называемый оператором Купмана. В дальнейшем при упоминании оператора U будем полагать, что S несингулярна. Мы будем писать Uf(x) = Еь=1 (ж) / о Sj(x), подразумевая равенство функций /л-почти всюду. 2) Рассмотрим простую конечнозначную функцию / = 5Zf=1 \ххг- Тогда Uf = X)?=i iUxXi (очевидно, U — линейный оператор), / и Uf интегрируемы как суммы интегрируемых функций и Р п v fdfis = 2 Xi Хх (ж) d№ = ]С Xi г=1 3) Пусть f — ограниченная измеримая функция. Тогда существует неубывающая последовательность простых конечнозначных функций fn, равномерно сходящаяся к / (fn =4 /) (очевидное видоизменение Теоремы 2 из [8, с. 292], или [13, с. 144]). Тогда функции fn -интегрируемы (поскольку 3NVn N /„ / + 1)и x Ufdfi.
Переход в) обосновывается теоремой Лебега или непосредственно определением интеграла Лебега. Из //s-интегрируемости функций fn следует, как уже было показано, //-интегрируемость функций Ufn. Равенство г) обоснуем с помощью теоремы Леви: последовательность Ufn не убывает и стремится к 17/, поскольку и интегралы JxUfndfi ограничены в совокупности (так как существует lim $xUfnd(i). 4) Произвольную /і -интегрируемую функцию можно представить в виде предела неубывающей последовательности ограниченных измеримых функ ций / = lim fh где Воспользуемся теоремой Лебега (поскольку \f\ / Є (X B fis)) и теоремой Леви (для последовательности Uff). Тогда Замечание. Обратное, вообіце говоря, неверно: из -интегрируемости Uf не следует fis-интегрируемость /. Достаточно в Примере 1.1, с. 19, взять оснащение а\ = ач = \ и функцию Очевидно, /єМ(,»,А). rogao«7/(a;) = (/(5i(a:) f f(S2(x))) = 5(/(я) + /(1 — ж)) = 0. Таким образом, Рис. 1.5. График /(ж). // Х-интегрируема, a f, очевидно, не Х-интегрируема, значит, и не Xs-интегрируема (А = As). Введем обозначение: f+(x) = max{0,/(ж)} , f (x) = max{0, — f(x)}. Заметим, что тогда / = /+-/-, 1/1=/+ + /-. Заметим, что если / = /z, то С// е Ьг(Х, В, (і) при / Є Ll(X,B,fi) (Теорема 1.1). Следствие 1.2. Следующие условия эквивалентны: 1) = м; Доказательство. Условие 1) влечет условие 2) по Теореме 1.1. Обратно, условие 2) влечет условие 1), если взять / = ХВ: В Є В. Очевидно, условие 2) влечет 3). Обратно, если / 0, то Uf 0и условие 3) повлечет условие 2). Для произвольной функции /
Напомним, что линейный оператор М: L1 —» L1 называется марковским, если для любой / 0 Mf 0 {положительность оператора) и для любой / 0 ЦМ/Ц = /. Мы называем оператор М: LP — LP сжатием, если для любой/ Є LP ЦМ/Ц, Ц/Ир, 1 р оо. Заметим, что любой марковский оператор является сжатием ([73, с. 38]). Лемма 1.5. 1) U: M(X,B,fi) —-» M(X,B,fi) — полооюителъный линейный оператор; 2) Для любой / Є L Uf Є L UU\L - L —» L является сжатием, причем Г/"ь оо = 1 Доказательство. Положительность и линейность оператора очевидны из его определения. Для любой / Є L 1/1 ІІ/Цоо, откуда / о Sj\ /то (мы учитываем несингулярность S). Тогда \Uf\ J2T=iaj\f Sj\ II/IUE - = 11/11«, и ї7/оо = inf{C : \Uf\ С} /оо? то есть U — сжатие. Поскольку Ul = 1, ТО C/U-oo = 1- Теорема 1.2. .ЁЬш 5 сохраняет меру ц, то оператор U: M(X,B,fi) — М(Х, В, /І) обладает следующими свойствами: 1) Для любой / Є LP Uf Є LP и U\& : LP — LP является сжатием при любом 1 р оо; причем \\(U\ip)k\\p = 1, к Є N; Ю U\i,i является марковским оператором. Доказательство. Случай р — со разобран в Лемме 1.5. Пусть 1 р оо. Используя неравенство Иенсена (поскольку функция \р: Ж. Э х \- \х\р Є Ж — выпуклая), получим следующее:
Критерий инвариантности меры
Итак, зафиксируем три параметра: а Є (0, ], a = {ai(x), а2(х)} и р(х). Условие инвариантности меры fis = /І характеризует следующая Лемма 2.1. /is = А тогда и только тогда, когда почти для всех х Є [0,1] (по мере X) Доказательство. Пусть Ci = [i f,l], С2 = [О, jz )- Тогда, сделав замену переменных в интеграле Лебега, мы получим, что для любого В Є Если [is = A4, TO ввиду произвольности множества В Є 05 из формулы (2.2) следует (2.1). И наоборот, подставляя равенство (2.1) в (2.2), мы полу чаем fis = Ц- Следствие 2.1. Пусть cti(x),ct2(x) 0 и / Є ([0,1], 05, fi). Тогда где P — оператор Фробепиуса-Перрона (1.15), Ai(z) = f(z)Ai(z), і = 1,2. Доказательство. Достаточно провести рассуждения Леммы 2.1, в которых в уравнении (2.2) вместо /is(-B) находится jB Pf(x)p(x) dX, а вместо АІ — АІ, г = 1,2. П Пусть в дальнейшем Лемма 2.2. p,s = А тогда и только тогда, когда выполняются условия: гдех+та є[(т+1)а, (m-f 2)а) прит = 0,n—3, х+(п—2)а є[(п—1)а, 1—а).
На промежутках [0,а) w [1 — а, 1] на функцию а\(х) ограничений нет. Доказательство. Рассмотрим два случая. 1. Пусть сначала 0 а . Тогда у f и формула (2.1) запишется в следующем виде: 1-а = р((1 - а)х) + Л2((1 - а)я + а), ж Є [0, ) ; А1((1-а)х)+А2((1-а)х + а), хе [ , f) ; р((1 - а)х + а) + Лі((1 - а)х), ж Є [ , l] . (2.6) Рассмотрим первое уравнение системы: у =р((1— а)ж)+А2((1 —а)ж+а), ж Є [О, yz ). Сделаем замену / = (1 — а)ж + а, тогда при / Є [а, 2а) т Р\ г. ) =р(у-а) + А2(у) = р{у - а) +р(у) - Аг(у). 1-а \1 — a J Рассмотрим второе уравнение системы: j& = AL((1 — а)х) + ((1 — а)х + ) х е [т=о "b cf ) Сделаем замену у = (1 — а)х, тогда при у Є [а, 1 — 2а) у Га" Р(ЇЗ ) = Лі + А У + а)= РІУ + а) + МУ) -МУ + а) Рассмотрим третье уравнение системы: yf = p((l—a)x+a)-\-Ai((l--a)x), х Е /yzf, і] - Сделаем замену у — (1 — а)ж, тогда при г/ Є [1 — 2а, 1 — а] 1 / г/ 1-а \ 1 — а = р(2/ + а) + і4і(з/). Итак, получаем: Mv) = Р(У - «) +РЫ - ї=5 Р(Ю . 2/ Є К 2а); А1(у + а) = А1(у)+р(у + а)-1 р{1 )1 2/Є [а, 1-2а); (2.7) i(lO = IZ5 Р(ї=г) -Pfe + ), 2/ Є [1 - 2а, 1 - а]. Заметим, что при 0 у а или 1 — а у 1 функция а.\(у) может быть произвольной, поскольку уравнением (2.1) на нее не накладывается никаких условий. Пусть у Є [а, 2а), тогда Лі(у)=р(у-а)+р(у)- — рГ - \ = у + ка -і = Е »+ »)-гг ЕНт fc=-l к=-1 Используя второе уравнение системы (2.7), по индукции можно получить: -1 1 vA /у + Ц , „,., , _ч Р(Т ) fc=-i і fc=-i у + ка г- . 1-а — VI — а/ 1-а fc=-i где т — 1,2,... такое, что / + ma — а Є [a, 1 — 2a), то есть [(2 - m)a, 1 - (m + l)a) П [a, 2a). Тем самым значения функции А\ (у) переносятся с промежутка [а, 2а) на промежутки [2а,За), [За,4а),... Систему (2.7) можно описать схемой, изображенной на рис. 2.3, в которой j = 1 — [ ]a ([#] — целая часть х Є Пусть -j- а , п = 3,4,... Заметим, что у = 1 — {п — 1)а (п п + 1, [ ] = n, [ ] = [ ] - 1 = п - 1) и а 7 2fl- Воспользуемся далее системой (2.7).
Для удобства будем выделять интересующее нас выражение в цепочке неравенств жирным шрифтом. Возьмем уо Є [а, 7), тогда при т=п—2 а (п-2)а = а+(п-3)а у0 + (п - 2)а - а 1-(п-1)а+(п-3)а = 1—2а. С другой стороны, поскольку 1 - 2а (п - 1)а у0 + (п - 2)а 1 - а, то можно использовать формулу (2.8) и третье уравнение системы (2.7): 1 ґуо + (п-2)а\ _рЫ + (п _ 1)в) = Муо + {п _ 2)fl) = 1-а \ 1-а п-2 _, п-3 «=-1 Л=—1 N откуда следует формула (2.3). Возьмем теперь у\ Є [7, 2а). Если п 4, то при m = п — 3 а 1 — За = 7 + (ті — 3)а — а yi + (п — 3)а — а 2а + (п — 3)а — а 1 — 2а. С другой стороны, поскольку 1 - 2а уі + (п - 3)а 1 - а, то можно записать: 1 /У1 + (п-3)а\ _ + (п _ 2)а) = Мш + (п _ 3)а) = 1-а \ 1-а к=—1 к=—1 ч откуда следует формула (2.4).
Адресная структура для систем итерированных функций
Следуя М.Ф. Барнсли [27, 28], заметим, что4 7г_1(гг) = {сг є П\ 7г(сг) = х}, — множество адресов точки х Є А, — замкнуто и ограничено сверху элементом 1 Є Q. Следовательно, оно обладает наибольшим элементом, обозначим его т(х). Поскольку в упомянутых работах М.Ф. Барнсли на этот факт указано как на очевидный, мы приведем его доказательство в следующей лемме. Лемма 3.1. Отображение т: А —» Q определено корректно: для любой точки х Є А существует т(х) Є 7t 1(x) такой, что для любого С Є 7г-1(а;) С т(х). Доказательство. Рассмотрим на пространстве Г2 следующую метрику: Пусть Т = {[0,1]; wn(x) = Ї+ Ї? n = 1,..., 77г} — система итерированных функций. Как показано в [26], адресное отображение для СИФ Т имеет вид: 0:П-+[О,1], (таким образом, сг — запись точки ф{ст) в системе счисления с основанием тп + 1). Пусть К — аттрактор СИФ Т (подмножество чисел отрезка [0,1], в записи которых по основанию тп + 1 не содержатся нули, — множество Кантора). Тогда 1) Е( / (СГ), ф{из)) = dc(cr, с ), где с?к — евклидова метрика на [0,1]. 2) ф: Q — К С [0,1] — биекция (например, см. [26]). 4 Для простоты будем писать тг 1{х) вместо 7Г х({х}) (при х е А) 3) ф согласовано с отношениями порядка: если т и;, то ф( т) ф(ш), и наоборот: если х у, то ф 1(х) ф 1(у). Действительно, пусть Тогда oo 4) Если В с О замкнуто в пространстве (fi, dc), то и / (-В) — замкнутое подмножество в ([0,1], C?R). Действительно, если х Є ф{В), то существует последовательность хп, сходящаяся к ф 1{х) в метрике dc, стп ф ф-1(х) (поскольку К — канторово множество, оно не имеет изолированных точек), но тогда ф(сгп) сходится к х в метрике d . 5) Если В замкнуто в (l,dc), то оно обладает наибольшим элементом. Действительно, ф(В) С [0,1] — замкнуто и ограничено снизу 0.
Тогда в ф{В) существует наименьший элемент х и ф 1{х) — наибольший элемент в В. 6) 7г-1(ж) — замкнуто в (Q, dc)- Действительно, {х} С Л — замкнуто в метрическом подпространстве (A,d) С (X, d). Множество А\ {х} открыто, тогда 7г-1(Л \ {х}) = 7г-1(Л) \ тх 1{х) — Q \ 7г_1(а;) — также открыто, откуда 7г-1 (х) — замкнуто. Таким образом, мы получаем функцию верхних адресов т: А — Q, и т(ж) = тах{сг Є fi 7г( х) = ж} — верхний адрес точки х Є Л. Пусть Г2Г = {т(ж) ж Є Л} С П - множество всех верхних адресов для данной СИФ. Кроме того, в монографии М.Ф. Барнсли [28] для СИФ введено понятие адресной структуры — следующего набора подмножеств из Q (здесь черта над QT означает замыкание): Ввиду относительной новизны этого понятия представляется актуальным рассмотреть его по отношению к известной СИФ5 {С; fo, /і}, где 5, Є С, 0 g 1 — фиксированное число. СИФ (3.4) была впервые рассмотрена М.Ф. Барнсли и А. Харрингто-ном [31] при исследовании множества Мандельброта Л4 для пары линейных отображений (множество параметров q Є С, при которых аттрактор СИФ (3.4) связен) и активно изучается в настоящее время [21, 26, 36, 96, 97]. В случае СИФ (3.4) адресное отображение имеет следующий вид (см. [31]): Действительно, формула (3.5) доказывается предельным переходом в следующей формуле, легко получаемой методом математической индукции: для любых п Є N, аг Є П , z Є С Аттрактор СИФ (3.4) A = fo(A) \Jfi(A) связен тогда и только тогда, когда D(q) = fo(A)f]fi(A) Ф 0 (см. [26, с. 129]). Мы рассмотрим случай, когда D(q) состоит из 2т точек, т = 0,1,..., а также когда D(q) — канторово множество. Как показано в [23], существует континуум значений q, при которых каждый из этих двух случаев имеют место. Будем называть адрес ьо Є Г2 точки х Є А симметричным адресу сг Є Q точки у Е/А, если Wfc = 1 — crfc для всех к = 0,1, — При этом будем писать ш = т и и)к = Щ- Точки х и у действительно симметричны относительно 5Для удобства изложения (а также согласно принятой традиции) будем использовать алфавит из символов 0 и 1 вместо 1 и 2. центра симметрии z = 2, _ ч фрактала
А, поскольку применение симметрии s(z) = —z + (1 — 5)-1 переводит х в Это рассуждение показывает, что фрактал А — центрально-симметричен (см. также [21]). Пусть D{q) = fo(A)f]fi(A). Структура этого пересечения рассмотрена К. Бандтом в статье [23], нам же понадобятся следующие схожие с этой статьей рассуждения. Если D{q) ф 0, произвольная точка х Є D(q) имеет по крайней мере два адреса: /3 = 1/ ... и ос = Ос і — Эти адреса удовлетворяют уравнению Решив это уравнение относительно ик (при данном ?), мы восстановим все возможные адреса всех точек из D(q): поскольку если ик = 1, то / = 1, c fc = 0; если ик = —1, то / = 0, о: = 1; если ик = 0, то возможны два случая: (Зк = ак = 1, (Зк = ак = 0. Пусть u = liuiOu Ow O..., где Wi - слова из символов {—1,1} (возможно, пустые или бесконечные). Тогда, учитывая формулу (3.6), ( Лемма 3.2. D(q) центрально-симметрично. Доказательство. Ввиду симметрии фрактала двум различным адресам про извольной точки из D(q) соответствуют два различных адреса симметричной ей точки (возможно, эти точки совпадают), принадлежащей, следовательно, также D(q). Всюду ниже в этом разделе будем предполагать, что уравнение (3.7) имеет единственное решение и. Примеры таких параметров q можно найти в разделе «3.3. Достаточные условия для вычисления адресной структуры». Там же, на рис. 3.1, с. 87, показаны аттракторы СИФ (3.4) при двух различных таких параметрах q (в этих примерах D(q) = 2іі-а) [) Теорема 3.4. Если в и есть ровно т 0 нулей, то D{q) состоит из 2т различных точек Z\. Каоюдая точка Zi имеет ровно два адреса: OL = QW1V1W2V2 ... U (3 = lWiV\W2V2 Доказательство. Если Uk — 0 лишь при к = к\,..., fcm, т 0 (при т = О щ ф 0 для любого к), то D(q) состоит из (возможно, совпадающих) 2ТО точек zi с парами адресов (/Зг,а:г). Покажем, что 2 ф Zj (i j), г, j = 1,..., 2ТО, от противного. Пусть /З1 ф (У представляют одну и ту же точку, причем они различаются не более чем в т позициях. Тогда а (го) тг(/Зг ) - 7г(/У) = J] а 9 = О, Jb=l где otk = 0, ±1, а(т) — наибольший номер отличающихся символов. Пусть ak0 — первый отличный от нуля коэффициент (если все otk = 0, то /Зг = /З-7), тогда разделим получившееся равенство на ock0qk и получим, что уравнение (3.7) имеет решением строку с бесконечным количеством нулей, что противоречит условию.
Частный случай: вращения вМ3
Следуя М.Ф. Барнсли [27, 28], заметим, что4 7г_1(гг) = {сг є П\ 7г(сг) = х}, — множество адресов точки х Є А, — замкнуто и ограничено сверху элементом 1 Є Q. Следовательно, оно обладает наибольшим элементом, обозначим его т(х). Поскольку в упомянутых работах М.Ф. Барнсли на этот факт указано как на очевидный, мы приведем его доказательство в следующей лемме. Лемма 3.1. Отображение т: А —» Q определено корректно: для любой точки х Є А существует т(х) Є 7t 1(x) такой, что для любого С Є 7г-1(а;) С т(х). Доказательство. Рассмотрим на пространстве Г2 следующую метрику: Пусть Т = {[0,1]; wn(x) = Ї+ Ї? n = 1,..., 77г} — система итерированных функций. Как показано в [26], адресное отображение для СИФ Т имеет вид: 0:П-+[О,1], (таким образом, сг — запись точки ф{ст) в системе счисления с основанием тп + 1). Пусть К — аттрактор СИФ Т (подмножество чисел отрезка [0,1], в записи которых по основанию тп + 1 не содержатся нули, — множество Кантора). Тогда 1) Е( / (СГ), ф{из)) = dc(cr, с ), где с?к — евклидова метрика на [0,1]. 2) ф: Q — К С [0,1] — биекция (например, см. [26]). 4 Для простоты будем писать тг 1{х) вместо 7Г х({х}) (при х е А) 3) ф согласовано с отношениями порядка: если т и;, то ф( т) ф(ш), и наоборот: если х у, то ф 1(х) ф 1(у). Действительно, пусть Тогда oo 4) Если В с О замкнуто в пространстве (fi, dc), то и / (-В) — замкнутое подмножество в ([0,1], C?R). Действительно, если х Є ф{В), то существует последовательность хп, сходящаяся к ф 1{х) в метрике dc, стп ф ф-1(х) (поскольку К — канторово множество, оно не имеет изолированных точек), но тогда ф(сгп) сходится к х в метрике d . 5) Если В замкнуто в (l,dc), то оно обладает наибольшим элементом. Действительно, ф(В) С [0,1] — замкнуто и ограничено снизу 0.
Тогда в ф{В) существует наименьший элемент х и ф 1{х) — наибольший элемент в В. 6) 7г-1(ж) — замкнуто в (Q, dc)- Действительно, {х} С Л — замкнуто в метрическом подпространстве (A,d) С (X, d). Множество А\ {х} открыто, тогда 7г-1(Л \ {х}) = 7г-1(Л) \ тх 1{х) — Q \ 7г_1(а;) — также открыто, откуда 7г-1 (х) — замкнуто. Таким образом, мы получаем функцию верхних адресов т: А — Q, и т(ж) = тах{сг Є fi 7г( х) = ж} — верхний адрес точки х Є Л. Пусть Г2Г = {т(ж) ж Є Л} С П - множество всех верхних адресов для данной СИФ. Кроме того, в монографии М.Ф. Барнсли [28] для СИФ введено понятие адресной структуры — следующего набора подмножеств из Q (здесь черта над QT означает замыкание): Ввиду относительной новизны этого понятия представляется актуальным рассмотреть его по отношению к известной СИФ5 {С; fo, /і}, где 5, Є С, 0 g 1 — фиксированное число. СИФ (3.4) была впервые рассмотрена М.Ф. Барнсли и А. Харрингто-ном [31] при исследовании множества Мандельброта Л4 для пары линейных отображений (множество параметров q Є С, при которых аттрактор СИФ (3.4) связен) и активно изучается в настоящее время [21, 26, 36, 96, 97]. В случае СИФ (3.4) адресное отображение имеет следующий вид (см. [31]): Действительно, формула (3.5) доказывается предельным переходом в следующей формуле, легко получаемой методом математической индукции: для любых п Є N, аг Є П , z Є С Аттрактор СИФ (3.4) A = fo(A) \Jfi(A) связен тогда и только тогда, когда D(q) = fo(A)f]fi(A) Ф 0 (см. [26, с. 129]). Мы рассмотрим случай, когда D(q) состоит из 2т точек, т = 0,1,..., а также когда D(q) — канторово множество. Как показано в [23], существует континуум значений q, при которых каждый из этих двух случаев имеют место. Будем называть адрес ьо Є Г2 точки х Є А симметричным адресу сг Є Q точки у Е/А, если Wfc = 1 — crfc для всех к = 0,1, — При этом будем писать ш = т и и)к = Щ- Точки х и у действительно симметричны относительно 5Для удобства изложения (а также согласно принятой традиции) будем использовать алфавит из символов 0 и 1 вместо 1 и 2. центра симметрии z = 2, _ ч фрактала
А, поскольку применение симметрии s(z) = —z + (1 — 5)-1 переводит х в Это рассуждение показывает, что фрактал А — центрально-симметричен (см. также [21]). Пусть D{q) = fo(A)f]fi(A). Структура этого пересечения рассмотрена К. Бандтом в статье [23], нам же понадобятся следующие схожие с этой статьей рассуждения. Если D{q) ф 0, произвольная точка х Є D(q) имеет по крайней мере два адреса: /3 = 1/ ... и ос = Ос і — Эти адреса удовлетворяют уравнению Решив это уравнение относительно ик (при данном ?), мы восстановим все возможные адреса всех точек из D(q): поскольку если ик = 1, то / = 1, c fc = 0; если ик = —1, то / = 0, о: = 1; если ик = 0, то возможны два случая: (Зк = ак = 1, (Зк = ак = 0. Пусть u = liuiOu Ow O..., где Wi - слова из символов {—1,1} (возможно, пустые или бесконечные). Тогда, учитывая формулу (3.6), ( Лемма 3.2. D(q) центрально-симметрично. Доказательство. Ввиду симметрии фрактала двум различным адресам про извольной точки из D(q) соответствуют два различных адреса симметричной ей точки (возможно, эти точки совпадают), принадлежащей, следовательно, также D(q). Всюду ниже в этом разделе будем предполагать, что уравнение (3.7) имеет единственное решение и. Примеры таких параметров q можно найти в разделе «3.3. Достаточные условия для вычисления адресной структуры». Там же, на рис. 3.1, с. 87, показаны аттракторы СИФ (3.4) при двух различных таких параметрах q (в этих примерах D(q) = 2іі-а) [) Теорема 3.4. Если в и есть ровно т 0 нулей, то D{q) состоит из 2т различных точек Z\. Каоюдая точка Zi имеет ровно два адреса: OL = QW1V1W2V2 ... U (3 = lWiV\W2V2 Доказательство. Если Uk — 0 лишь при к = к\,..., fcm, т 0 (при т = О щ ф 0 для любого к), то D(q) состоит из (возможно, совпадающих) 2ТО точек zi с парами адресов (/Зг,а:г). Покажем, что 2 ф Zj (i j), г, j = 1,..., 2ТО, от противного. Пусть /З1 ф (У представляют одну и ту же точку, причем они различаются не более чем в т позициях. Тогда а (го) тг(/Зг ) - 7г(/У) = J] а 9 = О, Jb=l где otk = 0, ±1, а(т) — наибольший номер отличающихся символов. Пусть ak0 — первый отличный от нуля коэффициент (если все otk = 0, то /Зг = /З-7), тогда разделим получившееся равенство на ock0qk и получим, что уравнение (3.7) имеет решением строку с бесконечным количеством нулей, что противоречит условию.
