Автодуальные связности Янга-Миллса и некоторые интегрируемые системы Иванова, Татьяна Алексеевна

Введение к работе

Актуальность темы. Вариационные задачи - один из наиболее важных классов математических задач, имеющих непосредственное приложение к различным областям знания, в последнее время был достигнут значительный прогресс в изучении многомерных вариационных задач, связанных с функционалами многомерного римано-го объема, с функционалами действия типа функционала Дирихле ' ' , с функционалом Янга-Миллса для формы кривизны F связности А в главном G-рааслоении над четырехмерным римано-вым многообразием м ^4>s>⁶'⁷, современный математический аппарат многомерных вариационных задач включает в себя мощные методы алгебраической топологии, функционального анализа, теории дифференциальных уравнений, теории групп и алгебр Ли. Геометрические методы построения многомерных экстремалей, методы вычисления топологических свойств экстремалей и их явного построения для задач типа Плато (минимизация многомерного функционала объема) детально разработаны А.Т.Фоменко и его учениками.^1_3'^а В работе ⁸ раскрыты глубокие связи качественной картины поведения функционала Дирихле с топологическими свойствами многообразий.

Фоменко А. Т. Вариационные методы в топологии. М. : Наука, 19S2.

Фоменко А.Т. Топологические вариационные задачи. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984.

³ Дао Чонг Тхи, Фоменко А. Т. Минимальные поверхности и
проблема Плато. М.: Наука, 1987.

⁴ Славнов А.А., Фаддеев Л.Д. Введение в квантовую теорию

калибровочных полей, м.: Наука, 1988.

⁵ Дубровин Б. А., Новиков СП., Фоменко А. Т. Современная
геометрия: Методы и приложения, м.: Наука, 1986.

⁶ Монополи: топологические и вариационные методы. Сборник

статей. М.: Мир, 1989.

⁷ Фрид д. , Уленбек К. инстантоны и четырехмерные много
образия. М.: Мир, 1988.

⁸ Плужников А.И: О минимумах функционала Дирихле// ДАН СССР.

1986. Т.290. №2. С.289-293.

Функционал Янга-Миллса привлек к себе особенно пристальное внимание математиков после того, как в 1983 году Саймон До-нальдсон доказал ⁹ несглаживаемость некоторых четырехмерных топологических многообразий, изучая пространство решений уравнений Эйлера-Лагранжа для экстремалей функционала Янга--Миллса, называемых уравнениями Янга-Миллса. Теорема Дональ-дсона показывает, что гладкие структуры в размерности 4 нельзя описать в терминах характеристических классов. Теорема доказывается путем изучения решений системы нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, которые дают абсолютный минимум функционала Янга-Миллса с G=SU(2) и образуют подмножество множества решений уравнений Янга-Миллса. Такая система была введена А.А.Белавиным, А.М.Поляковым, А.С.Шварцем и Ю.С.Тюпкиным ¹⁰ и называется уравнениями автодуальности или автодуальными уравнениями Янга-Миллса.

Не меньший интерес представляют уравнения Янга-Миллса в сочетании с "внешними полями материи" (уравнения Янга-Миллса--хиггса).^б*^ll Они привлекательны не только физической мотивировкой, но и богатым геометрическим и топологическим содержанием (см.также ¹² ).

Пространства решений автодуальных уравнений Янга-Миллса и Янга-Миллса-Хиггса разбиваются на классы относительно некоторого естественного отношения эквивалентности; в результате получается так называемое пространство модулей. ' Наряду с

⁹ Donaldson S.K. An application of Gauge theory to the topo-

logy of 4-manifolds// J.Diff.Geom. 1983. V.18. P.269-316.

¹⁰ Belavin A.A., Polyauov A.M., Schwarz A.S., Tyupkin Yu.S.
Pseudoparticle solutions of the Yang-Hills equations.//
Phys.Lett. 1975. V.59B.N1. P.85-87.

¹¹ Раджараман P. Солитоны и инстантоны в квантовой теории
поля. М.: Мир, 1985.

¹² Atiyah М., Hitchin N. The geometry and dynamics of magnetic
monopoles. Princeton, 1988.

аправлением, где исследуется топология четырехмерного рима-ова многообразия И путем изучения пространства модулей, по-прежнему представляет интерес построение нетривиальных реше-ий уравнений Янга-Миллса и Янга-Миллса-Хиггса (см., напри-

Первые нетривиальные решения автодуальных уравнений Янга-Миллса в случае, когда M=S⁴, G=SU(2), так называемые инстан-оны, были получены в ¹⁰. Полное описание решений на M=S⁴ в :лучае группы G=SU( 2) было получено в работе ^1S. Представляют акже интерес статические решения уравнений Янга-Миллса-Хиг-са типа монополеи, полная классификация которых на R³ для :алибровочной группы G=SU(n) приводится в работе Нама ¹⁶. Важ-[ую роль при нахождении решений указанных уравнений играет требование инвариантности полей относительно той или иной руппы симметрии, обсуждение условий симметрии полей можно іайти, например, в монографиях ^17,18 ,

В последнее время немало работ было посвящено построению ютодуальных решений уравнений янга-Миллса в тривиальном

¹ Actor A. Classical solutions of SU(2) Yang-Mills theories //Rev.Mod. Phys. 1979. V.51. N 3. P.461-525.

¹ Филиппов А.Т. Нетривиальные решения нелинейных задач теории ПОЛЯ.// ЭЧАЯ. 1980. Т.П. ВЫП. 3. С. 735-801.

¹⁵ Atiyah M.F., Drinfeld V.G., Hitchin N.J., Manin Yu.I. Construction of instantons// Phys.Lett.A. 1978.V.65.P.185-187.

Nahm W. All self-dual multimonopoles for arbitrary gauge groups // Preprint CERN TH-3172, 1981.

¹ Лезнов A.H., Савельев M.B. Групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем. М.: Наука, 1985.

Шварц А.С. Квантовая теория поля и топология. М.:Наука,1989.

главном G-расслоении над R^d (da4) (см., например, ¹⁹>^го>²¹-²² _t а также работы автора [1]-[7] и ссылки там).

Известны анзацы (= подстановки для компонент А связности А), сводящие уравнения автодуальности в R⁴ и R²'² к уравнению Кортевега-де Фриза, нелинейному уравнению Шредингера ²³, к уравнениям sin-Gordon, sh-Gordon, Лиувилля ²⁴, к уравнениям конечной непериодической цепочки Тода (см., например, ^2S), Эйлера , обобщенного волчка Ковалевской ²⁷, к уравнениям модели N-волн . Многие интегрируемые уравнения в пространствах Н^г' и R ' можно вложить в уравнения автодуальности в к⁴ и к²'². Соответственно, каждое решение интегрируемых нелинейных уравнений в d=2 дает решение d=4 уравнений Янга-Миллса или Янга-

Ward R.S. Completely solvable gauge field equations in dimension greater than four// Nucl.Phys. 1984. V.236B. №2. P.381-396.

Corrigan E. , Devchand C. , Fairlie D.B., Nuyts J. First-order equations for gauge fields in spaces of dimension greater than four// Nucl.Phys. 1983. V.B214. P.452-464.

Fairlie D.B., Nuyts J. Spherically-symmetric solutions of gauge theories in eight dimensions//J.Phys.A.: Math.Gen.198 V.17. N14. P.2867-2872.

Fubini S. , Nicolai H. The octonionic instanton// Phys. Lett. 1985. V.155B. P.369-372.

²² Попов А. Д. о решениях уравнений Янга-Миллса и янга-Мил-лса-Хиггса//Теор. Мат.Физ. 1991. т.89.№3. с.402-412.

Mason L.J., Sparling G.A.J. Nonlinear Schrodinger and Kor-teweg-de Vries are reductions of Self-Dual Yang-Mills // Phys. Lett.A. 1989.V.137. №1,2. P.29-33.

²⁴ Ward R.S. Integrable and solvable system, and relations
among them//Phil.Trans.R.Soc.Lond. 1985. V.A315. P.451-457

²⁵ Ward R.S. Generalized Nahm equations and classical Yang-
Baxter equations// Phys. Lett. 1985. V.112A. P.3-5.

²⁶ Ward R.S. Multi-dimensional integrable systems// Lect.Notes
Phys.1987. V.280. P. 106-116.

²⁷ Ablowitz M.J., Chakravarty S., Clarkson P.A. Reductions of
Self-Dual Yang-Mills Fields and Classical Systems//
Phys. Rev.Lett. 1990. V.65. P.1085-1087.

²⁸ Ablowitz M.J., Chakravarty S. On Reductions of Self-Dual
Yang-Mills Equations//Painleve Transcendents. Plenum Press
New York, 1992.

-Миллса-хиггса. Наложение условий симметрии на калибровочные поля также редуцирует уравнения автодуальности к интегрируемым системам. Так, условие цилиндрической симметрии полей, например, редуцирует к уравнениям двумеризованной цепочки То-да , условие инвариантности полей относительно сдвигов вдоль одной, двух и трех координат редуцирует уравнения автодуальности в D к уравнениям Богомольного, двумерной кираль-ной модели, к уравнениям Нама, а уравнения автодуальности в к ' —к уравнениям трехмерной киральной модели, к уравнению двумерной главной киральной модели в R¹'¹ и к модифицированным уравнениям Нама соответственно. Это также дает большой запас решений d=4 уравнений Янга-миллса и янга-миллса-Хиггса. отметим, что в отличие от d=4, явных решений уравнений Ян-га-Миллса в ff?^d с Ь>4 к настоящему моменту известно очень мало, это решение в R⁸ с калибровочной группой S0(8)²¹, решение в к⁷ с калибровочной группой SO(7) ²⁹ и решение в R³ с калибровочной группой SU(2)¹⁹ .

Цель работы :

1. Описать новые случаи редукции уравнений автодуальности для полей Янга-Миллса в d>4 к интегрируемым уравнениям в d=i.

2. Получить классы точных автодуальных решений уравнений Янга-Миллса в R^d (da4) с произвольной калибровочной группой.

Методы исследования. В работе используются:

3. Вариационное исчисление.

4. теория расслоенных пространств.

5. Тензорная алгебра.

6. Теория групп и алгебр Ли.

7. Дифференциальное исчисление тензоров.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1) На множестве связностей специального вида уравнения ав-

Семихатов A.M. Октонионы и твисторы в высших размерно-стях//В кн.: "Теоретико-групповые методы в физике.Труды 3 Межд.семинара". И.: Наука, 1985. Т.1. с.156-164.

тодуальности в R и R *² редуцированы к системам обыкновенных дифференциальных уравнений - к уравнениям Нама и к модифицированным уравнениям Нама соответственно, что позволяет получить классы точных автодуальных решений модели Янга-Миллса в К⁴ и IR^Z'² для произвольной калибровочной группы G. Показано, что модифицированные уравнения Нама могут быть редуцированы к гамильтоновым системам, связанным с эрмитовыми симметрическими пространствами. Выписаны классы точных решений для уравнений, получаемых из уравнений автодуальности в К⁴ и К²'² размерной редукцией к трем и двум координатам.

2. Уравнения автодуальности модели Янга-Миллса в R⁸ редуцированы к обобщенным уравнениям Нама (уравнениям Уорда) на алгебре Ли Jf=so(8). Такая редукция дает возможность строить автодуальные решения модели Янга-Миллса в R⁸ с произвольной калибровочной группой, используя решения уравнений Уорда.

3. Введены уравнения автодуальности для калибровочных полей в пространстве R^d=«R, где П - произвольная простая компактная алгебра Ли. Показано, что уравнения автодуальности модели Янга-Миллса в R^d с произвольной калибровочной группой G для связностей, зависящих от х^й, совпадают с уравнениями Уорда на К. Это позволяет построить космологические решения уравнений Янга-Миллса в R^d=KR, используя решения уравнений Уорда.

4. Введен анзац для компонент связности, позволяющий редуцировать уравнения Янга-Миллса в R^P4 (р,q=2,3,...) к уравнениям Янга-Миллса в R^p. Это дает возможность строить новые классы решений уравнений Янга-Миллса в R^pq из решений уравнений Янга-Миллса в R^p.

Научная и практическая ценность. Работа носит теоретический характер, однако построенные решения могут найти применение в физике элементарных частиц, теоретической основой которой является теория полей Янга-Миллса. Результаты диссертации могут быть полезны специалистам, работающим в области приложения методов дифференциальной геометрии к задачам математической и теоретической физики (МГУ, ЛГУ, МИРАН, ЛТФ ОИЯИ,

-1ТФ им. л. Д. Ландау и др.).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Московском семинаре по тензорному и векторному анализу (1989 ~. ) , на конференции молодых ученых МГУ (1990 г.), на семинаре *1ГУ по современным геометрическим методам под руководством профессора А.Т.Фоменко (1991 г., 1992 г.), на научном семинаре в ЛТФ ОИЯИ (Дубна 1992 г. ) и на Восьмой Международной Конференции "Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems" (Дубна 1992 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ ([13-е?]).

Структура работы. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Текст изложен на 79 страницах, список литературы содержит 66 наименований.