Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Приложения основных результатов 8
1.1. Приложения к инвариантам комплексных особенностей 8
1.2. Приложения к инвариантам вещественных особенностей 21
1.3. Приложения к обобщенным результантам 29
Глава 2. Предварительные сведения 38
2.1. Индексы пересечения 38
2.2. Вееры, многогранники и объемы 40
2.2.1. Определения 40
2.2.2. Некоторые вычисления 44
2.2.3. Смешанный объем пар многогранников 51
2.3. Гладкие торические многообразия 54
2.3.1. Определения 54
2.3.2. Главные части сечений линейных расслоений . 59
2.3.3. Индексы пересечения на торических многообразиях 63
Глава 3. Результантные циклы 70
3.1. Определение 70
3.2. Торические результантные циклы 72
3.3. Основные результаты 77
3.3.1. Индекс пересечения результантных циклов . 77
3.3.2. Разрешение особенностей результантного цикла 80
3.3.3. Результантные циклы и индексы 1-форм 88
Литература
- Приложения к инвариантам вещественных особенностей
- Приложения к обобщенным результантам
- Смешанный объем пар многогранников
- Индекс пересечения результантных циклов
Введение к работе
В этой работе индексы пересечения аналитических множеств некоторого специального вида (результантные циклы, определение 3.1) выражаются через многогранники Ньютона определяющих их наборов функций при условии, что главные части функций находятся в общем положении. Частными случаями результантных циклов являются полные пересечения и множества максимальной коразмерности точек вырождения голоморфных матриц. Частными случаями индексов пересечения таких множеств являются индекс Пуанкаре-Хопфа особенности векторного поля, индекс Гусейн-Заде-Эбелинга набора ростков 1-форм на изолированной особенности полного пересечения ([1], [2]) и вычет Сувы набора сечений векторного расслоения в изолированной точке их линейной зависимости ([10]). Основные результаты работы позволяют вычислять эти инварианты особенностей в терминах многогранников Ньютона, дают описание многогранника Ньютона обобщенного результанта, дополняющее [19] и [26], а также позволяют получить новую форму ответа в некоторых известных формулах для инвариантов особенностей в терминах многогранников Ньютона.
Результаты работы основаны на торическом разрешении особенностей ростка результантного цикла, обобщающем конструкции Хованского [13] в случае гиперповерхности и Ока [9] в случае полного пересечения. Кроме индекса пересечения результантных циклов, с помощью этого обобщения выражены в терминах многогранников Ньютона С-функция монодромии голоморфной функции на ростке результантного цикла (что обобщает результаты [5], [7] и [9] в случае полного пересечения), радиальный индекс ростка 1-формы на особенности результантного цикла ([3], [4]), а также перенесены на результантные циклы результаты работы [14] о полных пересечениях в комплексном торе. Получены также вещественные аналоги некоторых методов и результатов работы.
История темы работы такова. В начале семидесятых годов В. И. Арнольд возродил интерес к следующему обобщению понятия старшего члена ряда Тейлора аналитической функции одной переменной. Множество степеней мономов от п переменных - положительный октант Z" решетки Z". Для ростка аналитической функции / : (Кп, 0) —> (К, 0), где К = С или R, рассмотрим множество А С Z" степеней мономов, входящих в ряд Тейлора / с ненулевыми коэффициентами. Выпуклая оболочка всех степеней вида а + Ь, а Є Л, Ь Є Щ. называется многогранником Ньютона функции /. Объединение его ограниченных граней называется диаграммой Ньютона функции / и является обобщением степени старшего члена ряда Тейлора одной переменной. Сумма всех мономов ряда Тейлора / со степенями из диаграммы Ньютона называется главной частью функции / (это по определению многочлен) и является обобщением старшего члена ряда Тейлора одной переменной. (Ньютон рассматривал случай п = 2 - многоугольники Ньютона; после этого многоугольники Ньютона использовались при изучении кривых на плоскости.)
Анализируя эмпирический материал, накопленный теорией особенностей, Арнольд предположил, что целочисленные характеристики диаграмм Ньютона (количества целых точек, объемы граней) геометрически связаны с инвариантами особенностей функций. В 1975 г. А. Г. Кушниренко получил первые общие результаты в этом направлении - в работе [5] он нашел число Милнора ростка аналитической функции с данным многогранником Ньютона и главной частью общего положения. Он также рассматривал глобальный аналог поставленной задачи, когда вместо ростка функции рассматривается многочлен Лорана на комплексном торе, а его многогранником Ньютона называется выпуклая оболочка степеней его мономов. Кушниренко нашел эйлерову характеристику неособого множества уровня многочлена Лорана общего положения с данным многогранником Ньюто-
на, а Д. Н. Бернштейн обобщил этот результат, вычислив эйлерову характеристику совместного множества уровня нескольких многочленов Лорана общего положения с данными (может быть различными) многогранниками Ньютона.
Кушниренко использовал алгебраическую технику. Например, число Милнора в [5] он искал как размерность соответствующего локального кольца. Бернштейн использовал более геометрический подход. Например, в [12] он рассматривал однопараметрическое шевеление исходной системы полиномиальных уравнений, что позволяло от подсчета суммарной кратности решений системы перейти к подсчету однократных кривых, по которым решения распадаются. Количество этих кривых можно найти, подсчитав количество "концов этих кривых на бесконечности", что сводится к решению задачи, аналогичной исходной, в размерности, на единицу меньшей. Поэтому можно применить индукцию по размерности.
Очень полезной оказалась идея А. Г. Хованского решать задачи, связанные с многогранниками Ньютона, на языке торических многообразий. Торические многообразия можно рассматривать как обобщение проективных пространств - они получаются склейкой карт с помощью мономиальных отображений. В работе [13] Хованский построил такое разрешение особенности функции с главной частью общего положения, что пространство разрешения является гладким торическим многообразием и строится по многограннику Ньютона функции (в [13] описан также глобальный аналог этой конструкции). С помощью этой конструкции в глобальном случае Хованский провел подробное исследование [14] полных пересечений на комплексном торе, заданных уравнениями с главными частями общего положения (это исследование далеко обобщает выражение эйлеровой характеристики полного пересечения через многогранники Ньютона уравнений, найденное Берн-штейном).
Торические разрешения Хованского [13] помогают выражать через многогранники Ньютона инварианты особенности, которые можно определить в терминах разрешения особенности: торическое разрешение сводит локальную задачу к соответствующей глобальной задаче на компонентах исключительного дивизора, которая обычно решается легче исходной. Например, формула Н. А'Кампо [6] выражает число Милнора и ^-функцию монодромии особенности функции в терминах топологии разрешения особенности. С помощью этой формулы и то-рических разрешений А. Н. Варченко в работе [7] вычислил ^-функцию монодромии особенности функции с главной частью общего положения в терминах ее многогранника Ньютона, а затем М. Ока обобщил этот результат на изолированные особенности полных пересечений в работе [9]. Также с помощью торических разрешений были выражены через многогранники Ньютона многие другие инварианты особенностей - асимптотика осциллирующих интегралов [8] и т. д.
Глобальный вариант идей Арнольда (многогранники Ньютона) и Хованского (торическая компактификация комплексного тора по многограннику Ньютона) был также использован Гельфандом, Капрановым и Зелевинским при изучении многомерных результантов. В книге [19] о многомерных результантах и дискриминантах описан, например, многогранник Ньютона N' некоторого обобщения дискриминанта многочлена с данным многогранником Ньютона N. Оказывается, N' - вторичный многогранник многогранника N (грубо говоря, вершины N' - это триангуляции N). Доказательство проводится с помощью алгебраической техники. Штурмфельс провел аналогичное исследование [26] для обобщенного результанта п многочленов от п — 1 переменной с данными многогранниками Ньютона.
Последнее время в разных работах (например, [1], [2], [3], [4], [10]) рассматриваются инварианты особенностей наборов сечений векторных расслоений, которые обобщают индекс Пуанкаре-Хопфа особой
точки векторного поля (в том смысле, что участвуют в обобщениях формул типа Пуанкаре-Хопфа на многообразия с особенностями, произвольные характеристические числа, произвольные векторные расслоения и т. д.) Исходная цель данной работы состояла в том, чтобы научиться вычислять инварианты такого типа по многогранникам Ньютона компонент ростков сечений.
Идея такого вычисления состоит в следующем. Искомый инвариант особенности набора сечений представляется как индекс пересечения некоторых дивизоров на проективизации расслоения, двойственного к данному - эти дивизоры состоят из гиперплоскостей, ортогональных данным сечениям. Найти индекс пересечения этих дивизоров можно за счет того, что тотальное пространство проективизации ростка векторного расслоения является ростком торического многообразия. Индексы пересечения ростков дивизоров на торическом многообразии можно искать с помощью шевелений, похожих на метод Д. Н. Берн-штейна, при которых пересечения этих дивизоров уходят с "абсолюта" торического многообразия по однократным кривым. Кривые, по которым они уходят, можно подсчитать, найдя количество их "концов" на исключительном дивизоре подходящего торического разрешения "абсолюта".
Работа состоит из следующих частей. В главе 1 сформулированы следствия основных результатов работы для некоторых известных инвариантов особенностей и многомерных результантов. В разделе 2.1 определяется топологический аналог групп алгебраических циклов многообразий над С, с помощью которого удобно будет проводить некоторые вычисления с индексами пересечений (подробности см. в [18]). В разделах 2.2 и 2.3 вводятся необходимые обозначения и одновременно напоминаются в удобной нам форме и общности некоторые факты о многогранниках и торических многообразиях из работ Хованского [14], [13] и Данилова [16] (факты, которые приводятся
без доказательства, доказаны в этих работах). В частности, в разделе 2.2.3 определяется "относительный" вариант смешанного объема, с помощью которого в разделе 2.3.3 (теорема 2.3) индексы пересечения дивизоров на некомпактных торических многообразиях выражаются в терминах многогранников Ньютона.
В разделах 3.1 и 3.2 определяются результантные циклы и изучаются их простейшие свойства. В разделе 3.3.1 индексы пересечения торических результантных циклов представляются как индексы пересечения дивизоров на некомпактных торических многообразиях (лемма 3.6). Применение к этому случаю теоремы 2.3 дает основной результат работы - теорему 3.1. В разделе 3.3.2 строится торическое разрешение изолированной особенности результантного цикла (теорема 3.2) и дается его приложение к вычислению числа Милнора и ^-функции мо-нодромии функции на особенности результантного цикла (лемма 3.8), а также некоторых дискретных инвариантов результантных циклов в комплексном торе (лемма 3.10). В разделе 3.3.3 объясняется связь индексов пересечения результантных циклов с индексами Гусейн-Заде — Эбелинга, и с помощью результатов разделов 3.3.1 и 3.3.2 выражаются в терминах многогранников Ньютона индекс 1-формы на изолированной особенности полного пересечения (теорема 3.3) и радиальный индекс 1-формы на особенности результантного цикла (теорема 3.4 и замечание после нее).
Я благодарен своему научному руководителю профессору С. М. Гусейн-Заде за постановку задачи, полезные обсуждения и постоянное внимание к работе.
Приложения к инвариантам вещественных особенностей
Вопрос о связи инвариантов вещественных особенностей с многогранниками Ньютона задающих их функций был сформулирован В.И.Арнольдом ([27], задача 1968-2). Все определения, результаты и доказательства из предыдущего раздела дословно переносятся на вещественный случай, если индексы пересечения, индексы Пуанкаре-Хопфа, числа Милнора, объемы многогранников и значения их опорных функций рассматривать по модулю 2.
Выражение целочисленных инвариантов вещественных особенностей в терминах многогранников Ньютона, вообще говоря, не существует, так как в пространстве R{A} всех особенностей с данным многогранником Ньютона А особенности с вырожденной главной частью образуют множество Е вещественной коразмерности один, разделяющее R{A}. Поэтому локально постоянный на R{A}\E инвариант особенности, вообще говоря, не равен константе, а зависит от коэффициентов главной части особенности. Тем не менее в случае многогранника простого вида множество пусто, и в этом случае выражение в терминах многогранника Ньютона существует. Ниже приведен пример выражения такого типа, полученного переносом на вещественный случай методов раздела 3.3.2. Другой пример можно получить из результатов работы [11], доказанных способом, более близким к вещественному аналогу методов работы [5].
Пусть fi,...,fn9 ростки вещественно-аналитических функций на (Kn,0). Теорема 1.2, сформулированная ниже, выражает радиальный индекс ростка 1-формы dg на полном пересечении {/i = ... = fr = 0} через многогранники Ньютона функций д, /i,..., /г и знаки коэффициентов при мономах из главных частей д, /i,..., /г, если многогранники Ньютона имеют достаточно простой вид. Чтобы сформулировать теорему, определим некоторые вспомогательные понятия.
Простым симплексом в Z" будем называть выпуклую оболочку п-Ы целой точки, имеющую минимальный возможный положительный объем, а также любую грань такой оболочки. Симплициальным назовем многогранник, у которого все компактные грани являются простыми симплексами. Набор многогранников Фі,..., Ф называется трансвер-сальным, если для любого ковектора а объединение базисов аффинных оболочек граней Ф?,..., Ф будет линейно независимым набором векторов.
Образом в (йг)" симплекса из Zn с целыми вершинами назовем множество образов его вершин при естественной факторизации Z" — (Z2)n. Аналогично определим образ в (Z2)n Ф Ъч симплекса, каждой вершине которого поставлен в соответствие знак -f- или — ((n + 1)-ая координата образа каждой вершины будет равна знаку, соответствующему этой вершине). Рассмотрим набор симплексов Е, Si,..., Ег со знаками на вершинах.
Определение 1.6. Если образ симплекса Е в (Z2)" равен ,...,0)} по модулю суммы линейных оболочек образов симплексов Ei — А\,..., Er — Ar, E — А, где Aj Є Ej, А Є E, то набор симплексов (E, Ei,..., Ег) называется четным. Положим c(E, Ei,..., Er) = 0, если то же верно для образов этих симплексов в (Z2)" ф Z2, положим с(Е, Ei,..., Ег) =2, если не верно, но набор симплексов четный. Если набор нечетный, положим с(Е, Ei,..., Er) = 1.
Определение 1.7. Размерность суммы линейных оболочек образов симплексов Si—Лі,..., Er — Аг и E — Л e () где Л - Є Ej, Л Є Е, обозначим dim2(S, Ei,..., Er).
Если она равна аналогичной размерности для пространства ()71 Ф 2, положим d(E, Ei,..., ЕГ) = 1, иначе положим d(Е, Ei,..., Er) = 0.
Пусть Фі,..., Фг и Г - многогранники Ньютона функций /i,..., fr и # соответственно. Набор (открытых) граней Ео С Г, Ei С Фі,..., Ег С Фг отнесем к множеству Г х Ф-7, если их сумма является гранью многогранника Фі + ... + Фг + Г и у всех точек суммы этих граней ровно j ненулевых координат. Вершине (mi,..., тп) многогранника Ньютона функции поставим в соответствие знак коэффициента при мономе х1 ... хп из степенного ряда этой функции.
Теорема 1.2. Если набор диаграмм Ньютона ростков д, /і,..., /г на К" трансе ерсалъный, симплициалъный, и каждая диаграмма пересекается со всеми координатными осями, то радиальный индекс ростка 1-формы dg на полном пересечении {/і = ... = /г = 0} корректно определен и равен
Доказательство получается явным вычислением выражения из приведенной ниже леммы 1.3, примененной к торическому разрешению, построенному по простому вееру, совместимому с многогранниками Ньютона ростков д, /і,..., /г (определения и конструкции см. в главе 2). Можно сказать, что величины с(Е,Ei,.. .,ЕГ) и d(E, Ei,..., Er), связанные с геометрией над Z2, играют здесь роль целочисленных объемов и расстояний, с помощью которых инварианты комплексных особенностей выражаются через геометрию многогранников Ньютона. При г = О получаем формулу для индекса Пуанкаре-Хопфа нуля 1-формы dg в (Кп,0).
Приложения к обобщенным результантам
В [19] выводится явная формула (теорема 1.5 ниже) для опорной функции многогранника Ньютона Л-детерминанта (многомерного обобщения дискриминанта многочлена одной переменной), а из этой формулы получается "двойственное" описание - перечисление вершин многогранника Ньютона А-детерминанта. В работе [26] перечислены вершины многогранника Ньютона обобщенного результанта (следствие 1.10 ниже), но "двойственное" описание - явная формула для его опорной функции - отсутствует. В этом разделе получены явные формулы для опорных функций многогранников Ньютона Л-детерминанта (теорема 1.5) и обобщенного результанта (теорема 1.4), и с их помощью получены "двойственные" описания.
Сначала дадим необходимые комбинаторные определения. Через Vm(N) будем обозначать объем многогранника N С Rm (нормированный так, что объем единичного куба равен 1). Через С[Л] обозначим множество многочленов Лорана от т переменных со степенями мономов из конечного множества А С Zm. Через ША обозначим пространство функций А — R, и значение х Є R"4 в точке а Є А будем обозначать ха. Выпуклую оболочку А будем обозначать Span А. Для х Є Шл рассмотрим максимальную выпуклую вниз кусочно линейную функцию на множестве Span А, которая не больше ха в каждой точке а. Область над графиком этой функции обозначим N$ С Span Л х R1. Область определения опорной функции этого многогранника - Rm х R}..
Определение 1.8. Пусть А С Ът - конечное множество. Его триангуляцией Т = {Т{} назовем симплициалъное разбиение многогранника Span А на симплексы ТІ, такое что нульмерные симплексы из Т содержатся в А. Когерентной триангуляцией назовем триангуляцию, симплексы которой являются проекциями на Span А вдоль R1 ограниченных граней многогранника Ns С Span Лх!1 для некоторой точки х Є R"4.
Каждой триангуляции Т = {ТІ} множества А, не лежащего в гиперплоскости, поставим в соответствие точку х(Т) Є ША с координатами ха{Т), равными 2 mWolTi для каждого а Є А (через Vert(T) ТІЄТ aeVert(Ti) обозначено множество вершин симплекса Т). В частности ха(Т) = О, если {а} ф Т. Определение 1.9. Вторичным (secondary) многогранником множества А назовем выпуклую оболочку точек х(Т) для всех триангуляции А.
Лемма 1.4 ([19]). 1) Значение опорной функции вторичного многогранника множества А на ковекторе х Ш.Л с положительными компонентами равно (т + 1)! +і((8рапА х R+) \ Ns) (мы не различаем пространство RA и двойственное к нему, так как в RA зафиксирована система координат).
2) Точки х Т), соответствующие когерентным триангуляциям Т , и только они являются вершинами вторичного многогранника множества А.
Пункт 2 дает способ перечислить все когерентные триангуляции данного множества. Определение 1.10 (подробности в [19]). Пусть AQ, ...,Ат С Ът - конечные множества. (AQ,...,Ат)-результантом называется (единственный) неприводимый многочлен RA0,...,Am на пространстве С[Ао] ф ... ф С[Лт], который равен нулю на множестве {(/о,...,/т) 3fG(C\{0}r : /0(t) = ... = /m( ) = 0}c сС[Л0]ф...фС[Лт], если это множество коразмерности 1 (иначе RA0,...,Am не определен). Через d(Ao,..., Ат) обозначим количество таких {t\,..., tm) Є (С \ {0})т; что /o( i,...,tm) = ... = fm(ti, ..., т) = 0 для набора многочленов Лорана (/о,..., /т) Є {RAo,...,Am = 0} общего положения (если RAo,...yAm не определен, положим d(Ao,. . . , Ат) — 0).
Если конечное множество А С Zm не лежит в гиперплоскости, то А-резулътантом называется многочлен В,д = Яд д на про т+1 странстве С[А](т+1\ а А-детерминантом называется (вообще говоря, приводимый) многочлен Ед на пространстве С[ 1] многочленов Лорана от переменных t\,..., tm, заданный равенством
Неприводимый делитель А-детерминанта, обращающийся в ноль на многочленах Лорана с особым нулевым уровнем, называется А-дис-криминантом.
Свойства величины d(Ao,..., Ат) описаны в лемме 3.3, алгоритм вычисления приведен в лемме 3.5. В простейшем случае, когда А С Ът состоит изт+1 точек, не лежащих в гиперплоскости, RA = Rд Д 4 V т+1 - определитель, и d(A,..., A) = (m — l)!K„(SpanA). т+1 Очевидно, что множество нулей (Лі,..., Ат)-результанта RAu...,Am C[Ai] ф ... ф С[Ат] — С - торический результантный цикл коразмерности 1 (определение 3.2): Лемма 1.5. R(Ai,..., Ат) = d(Ai,..., Am)[RAu...tAm], определения 3.3 и 1.10 величины d(Ai,..., Ат) равносильны. С помощью этой леммы из теоремы 3.1 можно получить описание многогранника Ньютона (AQ,..., Лт)-результанта.
Смешанный объем пар многогранников
Торическим многообразием называется n-мерное комплексное многообразие с действием комплексного тора (С\{0})п, имеющим открытую всюду плотную орбиту. По каждому вееру Гв1" можно построить п-мерное торическое многообразие Тг (конструкция в [16]). В случае простого веера Г получается гладкое многообразие, которое можно склеить из карт подобно проективному пространству (подробности см. в [8]). Для любого 7 = Con(ai,... ,ап) Є Г рассмотрим карту С" с координатами xj ... ,xjn. Для карт, соответствующих конусам 7 = Con(ai,..., ап) Є Г и S = Con(6i,..., bn) Є Г определим отображение склейки xj. = (xlj 1 ... (xf ) , j = 1,..., n, где С - целочисленная матрица перехода 6г- = с}а\ + ... + cfan. Если j и S пересекаются многообразия Тг) этот изоморфизм переводит целочисленную функцию ф на Г П Z" в линейное расслоение X с мероморфным сечением s, дивизор нулей которого равен 7GZn, Соп(7)ЄГ "f - неприводимый (расслоение и сечение однозначно определены этим условием).
Если носитель веера Г выпуклый, а функция ф выпукла вверх (и следовательно, в случае простого Г, является опорной функцией некоторого целочисленного многогранника, совместимого с Г), то X порождается глобальными сечениями. Опишем в этом случае группу глобальных сечений (группу глобальных сечений расслоения X на многообразии М будем обозначать Г(М,Х)).
Для целочисленного многогранника Д СІ" обозначим через С[Д] аддитивную подгруппу группового кольца C[Zn], порожденную целыми точками Д. Пусть Г - совместимый с Д веер в (Rn) (имеющий выпуклый носитель), Тг - соответствующее гладкое торическое многообразие, Хд - соответствующее (выпуклой вверх) опорной функции многогранника Д линейное расслоение на Тг с тривиализацией s ограничения на большой тор. Тогда сопоставление каждому глобальному сечению д Є JP(Tr,X) функции на большом торе будет изоморфизмом группы глобальных сечений расслоения Хд и подгруппы С[Д] кольца функций на большом торе C[Zn] (доказательство в [16]).
Этот естественный изоморфизм обозначим так же, как и линейное расслоение, Хд : С[Д] — Г(ТА,Х&). В частности, если Ас А- многогранники, Г - совместимый с ними веер, и Хд,Хд - соответствующие им линейные расслоения с тривиализациями s, s на большом торе, то имеется естественное вложение ХдХ-1 : Г(Тг,Хд) — Г"(Тг,Хд), заданное домножением на 4.
Лемма 2.13. Пусть А{ С Ж", і = 1,..., п - г елочислеммые многогранники, Г б (R") - совместимый с ними простой веер, Sj Є Хд.С[Дг-] - сечения соответствующих расслоении на ТГ. Тогда іпфі]П.. .n[s„] ме зависит от выбора Г.
Эта лемма позволяет корректно работать с индексами пересечения множеств нулей сечений Хд без указания конкретного веера Г, совместимого с Д.
Доказательство. Рассмотрим сначала простой веер Г - подразбиение Г. Естественное собственное отображение 7Г : Тг — Тг би-голоморфно на большом торе. Линейное расслоение Хд и его сечение s Є ХдС[Д] на многообразии Тг - поднятие линейного расслоения Хд и его сечения s Є ХдС[Д] на Тг. Совпадение ind[si] П ... П [sn] для Г и Г следует из того, что степень отображения разрешения равна 1, и поэтому индекс пересечения циклов равен индексу пересечения их поднятий. Доказательство следует теперь из того, что любые два веера с одинаковым носителем имеют общее простое подразбиение.
У рассмотренных полиномиальных объектов есть аналитические аналоги. Максимальное компактное объединение орбит торического многообразия Тг назовем его компактной частью и обозначим ТЫьГ (в него входят орбиты, соответствующие конусам веера Г из внутренности его носителя).
Легко видеть, что это определение не зависит от выбора веера Г: по теореме об устранимой особенности при отображении торических многообразий, соответствующем подразбиению веера, группа ХдС{А} сохраняется. Для любых двух вееров можно рассмотреть их общее подразбиение.
Дальше многообразие Тг везде будем рассматривать как росток (Tr,TIntr), группу ХдС{Д} - как группу ростков сечений ростка линейного расслоения Хд на (Тг, TIntr). При этом для компактных торических многообразий (т. е. для полных вееров и ограниченных многогранников) Тг = TIntr и С{А} = С[Д].
Напомним в удобной нам форме несколько фактов о характеристических классах линейных расслоений на торических многообразиях.
Лемма 2.14. Пусть целочисленные многогранники А С А С 1" совместимы с простым веером Г в (Rn) . Пусть s Є ХдС{Д} и s = ХдХ-1? Є ХдС{Д} - сечения соответствующих линейных расслоений на Тг. Тогда Н = Н+ Е (A(7)-A(7))[T{ConW ]. ТЄЄІДІ+Е,-ДО-Доказательство. Носители левой и правой частей, очевидно, совпадают. Равенство соответствующих классов когомологий следует из результатов [16]. D
Определение 2.6. Пусть А - многогранник, и s Є С{А}. Глав-ной частью ряда s относительно А называется полином s\d Є С[дД]. (Напомним, что диаграмма Ньютона дА - объединение ограниченных граней многогранника А.)
Для данного s Є С{А} многогранником Ньютона А3 сечения s назовем минимальный совместимый с А многогранник А, такой что s Є С{А}. (Напомним, что многогранники называются совместимыми, если области определения их опорных функций совпадают.) Дальше сформулируем несколько утверждений о сечениях линейных расслоений на торическом многообразии с главными частями общего положения.
Индекс пересечения результантных циклов
Вычислим также в терминах многогранников Ньютона радиальный индекс 1-формы с главной частью (определение 1.4) общего положения на особенности результантного цикла (не обязательно изолированной). Для этого будем использовать определение радиального индекса ростка 1-формы на многообразии с особенностями, введенное в работе [4]. Это определение обобщает определение 1.3, и утверждения леммы 1.1 остаются для него верными.
Определение 3.6. Пусть и Є С:г.{ІУо} в условиях леммы 3.8 - росток 1-формы. Будем говорить, что главные части 1-формы ш и функций fz, z Є Z образуют невырожденный набор главных частей, если главные части функций fz, z Є Z находятся в общем положении в смысле леммы 3.7 (при М = iS(Si,..., Е/) в обозначениях леммы; определение множества S - перед леммой 3.4), для любого ковектора 7 №N х Int(M") ноль - неособое значение отображения (Fi\fr,..., Filfr») : (С \ {0})n+iV — С1, и ограничениене имеет нулей.
Обозначим через Е множество наборов (UJ, /) Є Сг»{ЛГо} 0 C{NZ} с вырожденными наборами главных частей (очевидно, в условиях леммы 3.8 оно имеет ненулевую коразмерность). как функция на Ст {Щ] Ф ф C{iVz} \ Е корректно zez определен и равен константе.
Замечание. Эту константу легко найти: подставив в качестве 1-формы дифференциал комплексно-аналитической функции g Є C{iVo} с главной частью относительно No общего положения, мы можем найти эйлерову характеристику неособого слоя ростка g с помощью леммы 3.8, и получить из пункта 2 леммы 1.1, что радиальный индекс равен
(-1) +»- (1-Е(лГо;Дь...,Д/)).
При доказательстве теоремы 3.4 мы будем пользоваться обозначениями теоремы 3.2, и будем рассматривать F{ как сечения линейных расслоений 2д{ на торическом многообразии TrFan(K+) или как многочлены Лорана на его большом торе, не оговаривая это специально. Если (?i,..., Gi - гладкие сечения линейных расслоений на комплексном многообразии V, то слова "система уравнений G\ = ... = Gi = О невырождена в U С V" дальше будут означать "dG\,..., dGj линейно независимы в каждой точке множества {G\ = ... = Gj = 0} П U".
Доказательство. Идея доказательства основана на том, что Е -замкнутое подмножество комплексной коразмерности 1. Поэтому достаточно доказать, что индекс - локально постоянная функция на Cg r {No} х ( zez iNz} \ Единственная проблема в том, что это пространство бесконечномерно, так что мы будем рассматривать вместо него следующие конечномерные "аппроксимации".
Для любого Fi Є С{Лг} обозначим через B{F{) множество {G\G Є C{A{},G - G\dK_ = X(Fi - Fi\dKi),X Є С} С C{Aj}. Аналогично для 1-формы to Є C(g,:r {iVo} определим множество B(UJ) = {v\v Є Cer {Wo},« - V\BN0 = Ч" -jjj\dN0), Є С} С CT {No}. Для любых и) є Ст {Л о} n F{ Є C{Aj} множество наборов с вырожденными главными частями Е П В(ш) х B(F{) х ... х B{F{) - замкнутое по Зарискому собственное подмножество в конечномерном множестве B(w)xB(Fi) x...xB(Fi).
Рассмотрим торическое разрешение р : (M,D) —у (С",0), М = Тг, D = р( г\0) = TIntr, описанное в пункте 1 теоремы 3.2, с тем дополнительным условием, что веер Го совместим с многогранником {0} х No С №.N ф Шп. Будем называть его торическим разрешением набора (u,Fi,..., Fj). Выберем систему координат в пространстве M.N, содержащем множества Sj, и не будем дальше различать M.N и (К. ) .
Теперь теорему 3.4 можно переформулировать в следующей форме: Лемма 3.12. Для любой точки у Є D существуют окрестности Uy С В(ш) х B(Fi) х ... х B(Fi) вокруг набора (и , Fu. ..,Fi) uVy С М вокруг точки у, такие что для любого набора (v, C?i,..., Gj) Є Uy система уравнений p G\ = ...= p Gj = 0 невырождена в (Vy \ D) и ограничение p v\{P Gi=...=p GI=o}n(V \D) не имеет особых точек.
Доказательство основано на устойчивости ростка р (ш, F\,..., Fi) около точки у к шевелениям набора (CJ, JFI,. .. ,Fi) в В(и) х B(Fi) х ... х B(Fi). M - торическое многообразие, поэтому определено естественное действие тора (С \ {0})(iV -f п) на М, и исключительный дивизор D инвариантен относительно него. Обозначим через Dy орбиту точки у. Рассмотрим минимальную стратификацию исключительного дивизора D (разбиение на непересекающиеся гладкие многообразия). Обозначим через D минимальный страт Z), содержащий у (если у находится в замыкании множества р 1 (координатный крест \ {0}), то Dy С Dy). Если а Є Т М ортогонально орбите точки z Є М действия стабилизатора всех точек из D, то будем (формально) обозначать это a.Dy. Теперь мы рассмотрим три случая поведения ростка около точки у.
Чтобы доказать лемму 3.12 в этих трех случаях, введем систему координат около Dy. Пусть т = N-\-n —dim Dy. По определению ториче-ского многообразия орбита Dy соответствует некоторому т-мерному конусу Гу из веера Го в пространстве RN@Rn. Обозначим через s количество образующих конуса Гу, которые лежат на границе носителя веера Го. Тогда s = dim D — dim Dy т. Среди граней конуса Гу есть і-мерная грань конуса {0}фМ" и (s — )-мерный конус из веера Го{0} для некоторого t. Ту - грань некоторого iV-fn-мерного конуса из Г. Координаты образующих векторов этого конуса как вектор-строки образуют целочисленную матрицу В с неотрицательными компонентами и единичным (с точностью до знака) определителем. После подходящей перенумерации переменных ее первые m строк будут соответствовать образующим векторам конуса Гу, причем первые t строк будут первыми строками единичной матрицы, а в каждой из следующих s — t строк первые п компонент будут нулевыми. (N -f п)-мерный конус, примыкающий к Гу, дает также систему координат z\, . . . , z/v+n на открытой (по Зарискому) окрестности Dy, удовлетворяющую условию (z\,... ,ZN+n)B — {х\,.. .хп) о р. Опишем / (р шУ \ Dy, p F\,... ,p Fj и компоненты р и = J ... в этой системе координат (о обозначает гладкую функцию на открытой окрестности Dy, равную нулю на Dy):
![«Синтез прекурсоров рецепторных самоорганизующихся систем: амфифильных производных каликс[4]аренов в стереоизомерной форме 1,3-альтернат»](/i/i/5410/615830.png "«Синтез прекурсоров рецепторных самоорганизующихся систем: амфифильных производных каликс[4]аренов в стереоизомерной форме 1,3-альтернат» Нугманов Рамиль Ирекович")
