Содержание к диссертации
Введение
1. Сильно симметричные.многогранники первого класса ... 18
1.1 Эквивалентность локального и глобального определений, перечисление... 18
1.2 Доказательство теоремы перечисления 19
1.3 Многогранники, двойственные многогранникам. 1-го класса 27
2. Сильно симметричные многогранники второго класса ... 32
2.1 Определения, теорема перечисления 32
2.2. Доказательство теоремы перечисления 33
3. Многогранники, сильно симметричные относительно вращения 39
3.1 Эквивалентность локального и глобального определений 39
3.2 Многогранники с ограниченным вращением 43
З.З.Основные теоремы о сильно симметричньгхмногогранниках 3-го и 4-го классов 45
Литература 74
- Доказательство теоремы перечисления
- Многогранники, двойственные многогранникам. 1-го класса
- Доказательство теоремы перечисления
- Многогранники с ограниченным вращением
Введение к работе
Работа относится к тому разделу теории многогранников, в котором изучаются обобщения правильных (платоновых) многогранников. Этот раздел к настоящему времени сформировался в самостоятельный раздел теории многогранников. Особенностью работы является то, что в основу предлагаемых обобщений положены свойства симметрии элементов многогранника.
Группы симметрии многогранников изучались многими математиками и
кристаллографами. После того, как Лежандр (1833) впервые ввёл математиче-
щ ское понятие симметрии в геометрию, Р.-Ж. Гаюи применил это понятие в кри-
сталлографии. В дальнейшем изучение возможных видов симметрии много-
' гранников было продолжено И.Ф.Х. Гесселем и О.Браве. Простой и полный
вывод всех видов симметрии кристаллографических многогранников дал А.В.Гадолин. Начиная с работ О. Браве, группы самосовмещений многогранников в трёхмерном евклидовом пространстве полностью перечислены вместе со всеми своими подгруппами. В Е3 существует только пять конечных групп вращений: две бесконечные серии циклических Ср и диэдральных Dp групп; тетраэдральная группа, октаэдральная группа и икосаэдральная группа. Циклическая группа Ср изоморфна группе вращений правильной р-угольной пирамиды .
Группа Dp -это группа вращений правильной р-угольной призмы. Этой же
группе изоморфна группа вращений дважды покрытого правильного р-
угольника.
Известно, что совпадение групп симметрии многогранников не означает, вообще говоря, одинаковости строения этих многогранников. Группа симметрии не определяет однозначно даже комбинаторную структуру многогранника. Однако, действующая на элементах многогранника группа симметрии накладывает на его строение определённые ограничения.
В качестве примера укажем на теорему А.Д.Александрова [5]: если все
і грани выпуклого многогранника центрально симметричны, то сам многогран-
ник является центрально симметричным. Заметим, что соответствующая теорема для осей симметрии неверна. Действительно, рассмотрим треугольную пирамиду, основанием которой является равнобедренный, но не равносторонний треугольник, а высота проецируется в центр описанной около треугольника окружности. Все грани такой пирамиды имеют оси симметрии, но сама пирамида, очевидно, не обладает нетривиальной осью симметрии.
Совокупность вершин многогранника может характеризоваться условиями симметрии в классе дискретных точечных систем. Как замечено в [17], если на евклидовой плоскости задано такое дискретное ограниченное множество точек, что ось симметрии любой пары точек является осью симметрии всего множества, то это множество представляет собой совокупность вершин правильного выпуклого многоугольника. Обобщение этого утверждения на случай трёхмерного евклидова пространства приводит лишь к двум правильным многогранникам. Из работы [50] следует, что если конечное дискретное множество точек в Е3 удовлетворяет тому условию, что плоскость симметрии любых двух точек одновременно является плоскостью симметрии всего множества, то это множество является либо совокупностью вершин правильного плоского многоугольника, либо правильных тетраэдра или октаэдра. В [50] показано также, что и в случае Еп аналоги этих двух многогранников исчерпывают класс конечных дискретных точечных систем, удовлетворяющих аналогичному условию симметрии.
Обобщением плоских правильных многоугольников являются равноугольно полуправильные и равносторонне полуправильные многоугольники. Выпуклый плоский многоугольник с четным числом сторон называется равноугольно полуправильным, если все его углы равны между собой, а стороны равны через одну [3, ч.1, с.39]. Этот класс многоугольников, как легко видеть, характеризуется тем, что ось симметрии любых двух его соседних вершин является осью симметрии всего многоугольника. Равносторонне полуправильным называется плоский выпуклый многоугольник с четным числом сторон, все
стороны которого равны между собой, а углы равны через один [3, ч.1, с.40]. Равносторонне полуправильный многоугольник характеризуется тем, что биссектриса каждого его внутреннего угла является осью симметрии всего многоугольника. Некоторые свойства многогранников в настоящей работе можно рассматривать как перенос на пространственный случай свойств симметрии полуправильных многоугольников.
Как известно, замкнутым выпуклым многогранником в Е3 называется фигура, состоящая из конечного числа плоских многоугольников {граней), расположенных так, что:
каждая сторона каждой грани есть сторона ещё только одной грани {смежной с первой гранью);
для любых двух граней аир существует такая последовательность граней аь....,ап, что грань а смежна с щ , а\ смежна с а2, ,ап смежна с Р;
если аир имеют общую вершину А, то указанную последовательность граней можно выбрать так, чтобы они все имели общую вершину А.
вся фигура расположена по одну сторону от плоскости каждой грани.
Если грани рассматривать как плоские области, то многогранник есть некоторая поверхность {без края1.—согласно 1))
Два многогранника называются изоморфными (комбинаторно эквивалентными), если между их гранями, рёбрами и вершинами можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее инцидентность.
Если между двумя многогранниками М и Р установлено такое соответствие, что граням многогранника М соответствуют вершины многогранника Р, рёбрам М —рёбра Р, вершинам М — грани Р, причём, инцидентным элементам
многогранника М отвечают инцидентные элементы многогранника Р, то многогранники М и Р называют комбинаторно двойственными друг другу.
Если М—выпуклый многогранник, О—точка внутри него, то можно построить выпуклый многогранник Р, грани которого перпендикулярны к лучам, идущим из О через вершины многогранника М, а вершины лежат на лучах, идущих из О перпендикулярно к граням многогранника М. Находящиеся в таком соответствии многогранники М и Р называются полярными, или метрически двойственными друг другу. Всякому многограннику М, описанному около шара, отвечает в качестве метрически двойственного многогранник Р, вписанный в шар, с вершинами в точках касания шара с гранями многогранника М.
Звездой вершины многогранника называется совокупность граней, инцидентных этой вершине. Реберной звездой вершины многогранника называется фигура, состоящая из ребер, инцидентных этой вершине.
Обобщения правильных многогранников долгое время ограничивались тринадцатью равноугольно полуправильными {архимедовыми) многогранниками. Если для любых двух вершин выпуклого многогранника существует его самосовмещение, совмещающее эти вершины между собой и грани многогранника — правильные (не обязательно равные) многоугольники, то многогранник называется полуправильным изогоном. Полуправильные изогоны исчерпываются двумя бесконечными сериями изогональных призм и антипризм и известными с древности тринадцатью телами Архимеда. Метрически двойственные к полуправильным изогонам называются полуправильными изоэдрами. Они были рассмотрены И.Ф.Х.Гесселем в 1830 году. У полуправильных изоэдров любые две грани могут быть совмещены самосовмещением многранника, а все много-граннные углы - правильные. Среди изоэдров метрически двойственными к призмам и антипризмам являются бипирамиды и дельтоэдры. Если требовать лишь комбинаторную эквивалентность звёзд всех вершин, то получим 14 комбинаторно различных многогранников ([3], [5], [10]). Их называют топологически равноугольно полуправильными. Каждый тип топологически равноугольно
полуправильных многогранников единственным с точностью до подобия образом может быть реализован в виде выпуклого многогранника с равными многогранными углами и правильными, но не обязательно равными гранями. Топологически равногранно полуправильными называются многогранники, комбинаторно двойственные к топологически равноугольно полуправильным.
Звёздчатые правильные многогранники можно рассматривать как расширение понятия правильных многогранников на невыпуклый случай. И.Кеплер, впервые восстановивший работу Архимеда по полуправильным телам, нашёл два звёздчатых правильных многогранника. Затем Л.Пуансо открыл четыре звёздчатых правильных многогранника, два из которых уже были найдены Кеплером. Впоследствии О. Коши [38] доказал, что список правильных звёздчатых многогранников исчерпывается четырьмя многогранниками Пуансо.
Другое обобщение правильных многогранников состоит в распространении этого понятия на случай многомерных и неевклидовых пространств. Все правильные выпуклые многогранники в евклидовых пространствах Еп (п>3) перечислены в работе Стрингхема [56].Случай невыпуклых правильных многогранников произвольного рода рассмотрен в работах В.А. Ефремовича [44] и других (см., например, [57]).Некоторые обобщения на случай неевклидовых пространств рассмотрены в [55] ив [58].
Выпуклый многогранник в Е называют правилъногранным, если все его грани — правильные многоугольники. Такой многогранник называется простым, если его нельзя рассечь проходящей только через рёбра плоскостью на многогранники, все грани которых также правильные. В работе В.А. Залгаллера [39] доказано, что кроме правильногранных призм и антипризм, существует ровно 28 таких простых многогранников. Из этих призм и антипризм и 28-ми простых многогранников составляются 92 правильногранных многогранника, отличные от призм и антипризм, которые ранее эмпирически были найдены Н. Джонсоном [40]. В работе В.А. Залгаллера доказано также, что если допустить условные рёбра (т.е. рёбра, для которых смежные грани лежат в одной плоскости), то
число простых правильногранных многогранников остаётся конечным. При этом вершинами считаются только истинные вершины многогранника. Развитию результатов В.А. Залгаллера, связанных с возникновением условных рёбер, посвящены работы Б.А.Иванова, Ю.А.Пряхина (см, например, [46], [54]). Другая задача, возникающая из работы [39], - перечислить выпуклые многогранники с равноугольными вершинами, т.е. такие многогранники, у каждой вершины которых все плоские углы равны между собой. Эта задача решена А. М. Гури-ным и является двойственной задаче, решённой В.А. Залгаллером. В работах Турина [47], [48] найден полный перечень с точностью до комбинаторной эквивалентности выпуклых многогранников с равноугольными вершинами; в перечне 104 замкнутых многогранника, 26 бесконечных многогранников и три бесконечные серии — конусов и многогранников, двойственных призмам и антипризмам.
Во всех этих обобщениях правильных многогранников, помимо некоторых перечисленных бесконечных серий, получается конечное число обобщённых многогранников. Это же справедливо и для следующего обобщения.
Связный многогранник называется однородным, если все его грани являются правильными многоугольниками, а любые две вершины могут быть переведены друг в друга преобразованием симметрии, переводящим многогранник в себя. Гранями могут быть выпуклые и звёздчатые правильные многогранники. Однородный многогранник без кратных вершин и рёбер называется элементарным. В работах Г.С.М.Коксетера, С.П.Сопова и других ( [51],[53]) решены задачи перечисления таких многогранников. В частности, в работе [53] доказано, что существует только 75 элементарных однородных многогранников, отличных от призм и антипризм.
В связи со сказанным является актуальной задача: исследовать влияние условий симметрии, которым подчинены некоторые элементы многогранника, на геометрию многогранника. В настоящей работе получены новые классы выпуклых многогранников в Е3, содержащие, в частности, правильные много-
гранники и некоторые перечисленные бесконечные серии. При этом получены многогранники, не являющиеся даже комбинаторно эквивалентными полуправильным изогонам и изоэдрам.
Определение 1.1.1. Выпуклый многогранник в Ет назовем сильно симметричным многогранником первого класса, если плоскость симметрии любых двух его соседних вершин является одновременно плоскостью симметрии реберных звезд этих вершин.
Определение 2.1.1. Если плоскость симметрии любого плоского угла выпуклого многогранника (т.е. биссекторная плоскость этого угла, ортогональная грани, содержащей этот угол) является одновременно плоскостью симметрии реберных звезд двух вершин, инцидентных сторонам этого угла, то такой многогранник назовем сильно симметричным многогранником второго класса.
Первые две главы работы посвящены изучению этих двух классов многогранников и многогранников, двойственных сильно симметричным многогранникам 1-го и 2-го классов. Дано полное комбинаторное и метрическое перечисление многогранников этих классов. Именно, доказаны следующие теоремы.
Теорема 1.1.1. Первый класс сильно симметричных многогранников помимо пяти правильных содержит одиннадцать полуправильных (архимедовых) многогранников, бесконечную серию прямых призм с правильными основаниями и квадратными боковыми гранями, а также одиннадцать семейств многогранников, среди граней которых имеются равноугольно полуправильные.
. Теорема 2.1.1. Существует только четыре, не считая правильных, сильно симметричных, многогранника 2-го класса: кубооктаэдр, икосододека-эдр, ромбический додекаэдр и ромбический триаконтаэдр.
Мы будем в дальнейшем говорить, что ось симметрии многогранника (или ось симметрии грани) проходит через грань а, если эта ось перпендикулярна а и имеет общую точку с относительной внутренностью rint а. В этом случае будем также говорить, что а обладает осью симметрии многогранника
(или а обладает осью симметрии). Если ось симметрии перпендикулярна ребру многогранника и инцидентна середине этого ребра, то будем говорить, что ось симметрии многогранника проходит через ребро, или, что ребро обладает осью симметрии многогранника. Говоря об оси симметрии многогранного угла, будем иметь в виду более чем двугранный угол.
В главе 3 работы введены классы многогранников, сильно симметричных относительно вращения; и сильно симметричные многогранники 3-го и 4-го классов.
Всюду в дальнейшем порядок оси симметрии означает её максимальный порядок, если не оговорено противное. Мы считаем оси симметрии имеющими порядок не меньший двух.
Определение 3.1.1. Выпуклый замкнутый многогранник в Ег называется сильно симметричным относительно вращения граней, если каждая грань а обладает осью симметрии La и каждая ось симметрии La является одновременно осью симметрии звезды грани а.
Необходимо отметить, что грань а многогранника может иметь ось симметрии, перпендикулярную плоскости этого многоугольника, порядок которой не совпадает с порядком оси симметрии звезды грани а. Определение 3.1.1 предполагает, что каждая такая ось симметрии La имеет порядок, совпадающий
с порядком оси симметрии звезды грани а.
Определение 3.1.3. Выпуклый замкнутый многогранник в Ег называется сильно симметричным относительно вращения многогранных углов, если каждый многогранный угол Р обладает осью симметрии L и L является одновременно осью симметрии фигуры, составленной из рёберных звёзд вершин, лежащих на рёбрах угла Р.
Необходимо отметить, что многогранный угол многогранника может иметь ось симметрии, порядок которой может не совпадать с порядком оси симметрии совокупности рёберных звёзд вершин, смежных с вершиной этого многогранного угла. Определение 3.1.3 предполагает, что порядок каждой та-
кой оси симметрии LA совпадает с порядком оси симметрии совокупности рёберных звёзд вершин, смежных с вершиной А этого угла.
Приведённые выше определения сильно симметричных многогранников 1-го и 2-го классов имеют локальный характер. В главе 1 доказано, что условия симметрии в этих определениях могут быть продолжены на весь многогранник:
Лемма 1.1.2. Для того, чтобы выпуклый многогранник был сильно симметричным многогранником первого класса необходимо и достаточно, чтобы плоскость симметрии любых двух его соседних вершин являлась плоскостью симметрии всего многогранника.
Аналогично, в главе 3 доказана эквивалентность определения 3.1.1 следующему определению:
Определение 3.1.2. Выпуклый замкнутый многогранник в Ег называется сильно симметричным относительно вращения граней, если каждая грань а обладает осью симметрии Ьа и каждая ось симметрии Ьа является одновременно осью симметрии всего многогранника.
Для более подробной классификации многогранников 3-го класса в главе 3 вводятся следующие классы многогранников.
Определение 3.2.1. Выпуклый замкнутый многогранник в Ег называется сильно симметричным многогранником с ограниченным вращением граней, если каждая грань многогранника обладает осью симметрии, причём среди граней найдётся такая грань а, что порядок оси симметрии La всего многогранника меньше порядка оси симметрии грани а.
Определение 3.2.2. Выпуклый замкнутый многогранник в Ег называется сильно симметричным многогранником с ограниченным вращением многогранных углов, если каждый многогранный угол многогранника обладает осью симметрии, причём среди многогранных углов найдётся такой угол А, что порядок оси симметрии La всего многогранника меньше порядка оси симметрии многогранного угла А.
Многогранники, удовлетворяющие двум последним определениям, будем называть сильно симметричными многогранниками с ограниченным вращением.
В главе 3 основной является теорема 3.3.1, в которой перечислены все многогранники, сильно симметричные относительно вращения граней и все многогранники с ограниченным вращением граней. В класс многогранников, сильно симметричных относительно вращения граней, входят все сильно симметричные многогранники 2-го класса, 8 следующих многогранников: 1-й полуусечённый ромбододекаэдр (рис.51) 2-й полуусечённый ромбододекаэдр (рис.52) усечённый ромбододекаэдр (рис.53) 1-й полуусечённый ромбический триаконтаэдр (рис.54) 2-й полуусечённый ромбический триаконтаэдр (рис.55) усечённый ромбический триаконтаэдр (рис.56) полуусечённый куб (рис.57) дважды усечённый куб (рис.58),
а также многогранники 1-го класса, за исключением следующих, являющихся сильно симметричными с ограниченным вращением граней:
усеченный тетраэдр;
усеченный октаэдр;
усеченный икосаэдр;
усеченный куб;
усеченный додекаэдр;
усеченный икосододекаэдр;
ромбокубооктаэдр;
ромбоикосододекаэдр,
расширенный усечённый тетраэдр ( рис.21),
10) расширенные усечённые кубы (рис.27, 28, 29 ),
11) расширенные усечённые икосаэдры (рис.31, 32, 34)
12) прямые изогональные призмы, среди боковых граней которых имеются квадраты.
На основании двойственности можно считать перечисленными многогранники, сильно симметричные относительно вращения многогранных углов и с ограниченным вращением многогранных углов:
Теорема 3.3Л. Класс многогранников, сильно симметричных относительно вращения многогранных углов исчерпывается следующими многогранниками:
многогранники 2-го класса;
класс многогранников, двойственных 1-му классу, за исключением многогранников, двойственных классу с ограниченным вращением граней;
3) 8 многогранников, двойственных многогранникам из теоремы
3.3.1, изображённым нарис. 51-58.
Класс многогранников с ограниченным вращением многогранных углов исчерпывается многогранниками, двойственными многогранникам с ограниченным вращением граней.
Объединение двух классов - класса сильно симметричные многогранников относительно вращения граней и класса сильно симметричных многогранников с ограниченным вращением граней (названное 3-им классом сильно симметричных многогранников) — состоит из тех и только тех многогранников, через каждую грань которых проходит ось симметрии многогранника.^-^ класс— это класс многогранников, через каждую вершину которых проходит ось симметрии. Таким образом, теоремы 3.3.1 и 3.3.4 устанавливают полный список многогранников 3-го и 4-го классов.
Из этих теорем выводятся следующие результаты, которые относятся к закономерностям расположения осей симметрии выпуклых многогранников.
Теорема 3.3.6. Пусть дан многогранник, через каждую грань и через каждую вершину которого проходит ось симметрии многогранника. Тогда этот многогранник принадлежит второму классу сильно симметричных многогранников.
Теорема 3.3.7. Ромбододекаэдр, ромбический триаконтаэдр и прямоугольный параллелепипед с неквадратными гранями исчерпывают класс всех замкнутых выпуклых многогранников, через каждую грань которых проходит ось симметрии 2-го порядка многогранника.
Теорема 3.3.8. Если оси симметрии многогранника, проходят через все грани и через все вершины, но не проходят через ребра, то класс таких выпуклых замкнутых многогранников исчерпывается ромбододекаэдром, ромбическим триаконтаэдром и двойственными им.
Замечание. Для дальнейшего важное значение будут иметь некоторые (только одиннадцать) из равноугольно полуправильных многогранников, с точки зрения их симметрии. Поэтому приведём их рисунки, объединив эти многогранники по группам симметрии. ГРУППА I.
В этой группе только один равноугольно полуправильный многогранник—усечённый тетраэдр, принадлежащий тетраэдральной группе.
Г7\
Рисунок 1
ГРУППА II
Рисунок 2 В этой группе, октаэдральной группе симметрии, пять равноугольно полуправильных многогранников: усечённый куб ( рисунок 2),
Рисунок 3 Рисунок 4
усечённый октаэдр (рисунокЗ), ромбокубооктаэдр ( рисунок4), кубооктаэдр
( рисунок 5 ), усечённый кубооктаэдр ( рисунок 6 ).
Рисунок 5
Рисунок 6
ГРУППА III
В этой группе пять многогранников. Все они обладают икосаэдральной симметрией. Это: усечённый икосаэдр (рисунок 7 ), ромбоикосододекаэдр (ри-сунок8), усечённый икосододекаэдр (рисунок 9 ),усечённый додекаэдр ( рисунок 10 ), икосододекаэдр ( рисунок 11).
Рисунок 7
Рисунок 8
Рисунок 9
Рисунок 10
Рисунок 11
Рисунки скошенного ромбокубооктаэдра, плосконосого куба и плосконосого додэкаэдра приведены в 1-й главе.
Результаты диссертации докладывались автором на следующих конференциях и научных семинарах:
Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова, Абрау-Дюрсо, 5-11.09.1998;
Международная школа-семинар по геометрии и анализу, посвященная 90-летию Н.В .Ефимова, Абрау-Дюрсо, 5-11.09.2000;
4-я Международная конференция по геометрии и топологии, 10-14.09.2001, Черкассы;
Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова, Абрау-Дюрсо, 5-11.09.2002;
Материалы международной конференции по дискретной геометрии и её приложениям, посвященная 70-летиюС.С.Рышкова. Москва,2001.-С88-89.
Труды участников международной школы- семинара по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова.-- Абрау-Дюрсо,5-11 сент.2002г. -Ростов-на-Дону,2002.-С.77-78.
5-я Международная конференция по геометрии и топологии, 10-14.09.2003, Черкассы;
Международная конференция памяти Г.Вороного по аналитической теории чисел и пространственным мозаикам.—Киев, Институт математики НАН Украины, 2003.—С.46.
8-й Международный семинар «дискретная математика и её приложения», Москва, 2-6.02.2004.
семинар кафедры дискретной математики Московского государственного университета (2002г.), руководитель профессор С.С.Рышков.
геометрический семинар ПОМИ РАН (2004), руководитель профессор Ю.Д.Бураго.
семинар кафедры геометрии Российского государственного педагогического университета им. А.И.Герцена, руководитель профессор В .М.Нежинский.
семинар кафедры геометрии Ростовского государственного университета (2003г.), руководитель профессор С.Б.Климентов.
Автор приносит глубокую благодарность всем участникам перечисленных семинаров за ценные советы и полезное обсуждение работы.
Доказательство теоремы перечисления
Из определения 1.1.1 следует, что все многогранники первого класса имеют равные звезды вершин. Таким образом, все звезды вершин изоморфны между собой. Поэтому комбинаторный тип сильно симметричного многогранника первого класса принадлежит к одному из 14 комбинаторных типов топологически равноугольно полуправильных многогранников (см. Введение). Следовательно, комбинаторный тип многогранников первого класса такой же, как у правильных или равноугольно полуправильных многогранников. Условие симметрии определения 1.1.1 не исключает того, что многогранник 1-го класса может иметь вместо правильных четноугольных граней равноугольно полуправильные - и только такие; однако все нечетноугольные грани в силу того же условия должны быть правильными. Таким образом, для того, чтобы перечислить все сильно симметричные многогранники 1-го класса, не являющиеся правильными, достаточно: 1) Среди всех равноугольно полуправильных выпуклых многогранников найти те, которые удовлетворяют условию симметрии реберных звезд любых двух соседних вершин. 2) Перечислить многогранники, которые являются комбинаторно экви валентными соответствующему равноугольно полуправильному, удовлетворя ют условию симметрии определения 1, но вместо всех или некоторых правиль ных четноугольных граней имеют равноугольно полуправильные грани. Прямой проверкой убеждаемся, что из равноугольно полуправильных многогранников определению 1.1.1 удовлетворяют 11 многогранников; и не удовлетворяют: многогранники 1-го класса, среди граней которых имеются равноугольно полуправильные, построив эти многогранники. При этом из самого способа их построения будет видна их принадлежность 1-му классу. 1. Очевидно, призмы, содержащие равноугольно полуправильные грани, исчерпываются следующими: бесконечная серия прямых призм с равноугольно полуправильными основаниями и квадратными или прямоугольными боковыми гранями, а также бесконечная серия прямых призм с правильными основаниями и прямоугольными боковыми гранями. Заметим, что здесь и в дальнейшем удобно различать квадрат и прямоугольник, ромб и квадрат, а также—двугранный и многогранный угол. 2. «Кубооктаэдр», или расширенный тетраэдр с треугольными и прямо угольными гранями. Здесь, ив дальнейшем, названия многогранников взяты в кавычки, т.к. одноименные с ними равноугольно-полуправильные многогранники имеют лишь тот же самый комбинаторный тип.
Этот многогранник можно получить следующим образом: сдвинем параллельно грани правильного тетраэдра в направлении от его центра на одно и то же расстояние так, чтобы ось симметрии, перпендикулярная грани остава лась проходящей через центр соответствующей грани. Выпуклая оболочка полученной фигуры представляет собой многогранник, у которого помимо старых граней появляются правильные треугольные и, в общем случае, прямоугольные грани. В дальнейшем такое преобразование многогранника будем называть равномерным расширением многогранника. Из определения равномерного расширения видно, что оно имеет смысл только для многогранника, имеющего центр. Если существуют две или более осей симметрии многогранника, то эти оси, а также и плоскости симметрии, которыми тоже может обладать многогранник, должны пересекаться в одной точке. Эта точка и называется центром многогранника. Из того же определения следует, что это преобразование равномерного расширения сохраняет условие симметрии реберных звезд любых двух соседних вершин многогранника. 3. «Ромбокубооктаэдры», или расширенные кубы с треугольными, прямоугольными и квадратными гранями. Эти два многогранника получаются равномерным расширением куба. В одном из этих многогранников прямоугольные грани примыкают к квадратным граням своими большими сторонами, а в другом — меньшими. 4. «Усеченный тетраэдр» с полуправильными 6-угольными и 3-угольными гранями. Рисунок 18 5. «Усеченный куб» с полуправильными 8-угольными и 3-угольными гра нями. Рисунок 20 7. «Усеченные октаэдры», или расширенные усеченные тетраэдры с полуправильными и правильными 6-угольными и прямоугольными гранями (рис.21), либо с полуправильными 6-угольными и квадратными гранями (рис.22), либо полуправильными 6-угольными и прямоугольными гранями (рис.23). Последние два многогранника получаются в результате равномерного расширения усеченного тетраэдра. 8. «Усеченный икосаэдр» с полуправильными 6-угольными и 5-угольными гранями. 9. «Ромбоикосододекаэдры», или расширенные додекаэдры с прямоугольными, 5-угольными и 3-угольными гранями. Эти два многогранника получаются из додекаэдра равномерным расширением. В одном из них к треугольным граням примыкают прямоугольные своими большими сторонами, а в другом - меньшими. 10. «Усеченные кубооктаэдры», или расширенные усеченные кубы с правильными 6-угольными, полуправильными 8-угольными и прямоугольными гранями (рис.27), либо с квадратными, полуправильными 8-угольными и полуправильными 6-угольными (рис.28), либо с полуправильными 6-угольными, правильными 8-угольными и прямоугольными гранями (рис.29), либо с полуправильными 6-угольными, полуправильными 8-угольными и прямоугольными гранями (рис.30). Эти многогранники можно получить равномерным расширением усеченного куба. Причем, при достаточно большом расширении прямоугольные грани «усеченных кубооктаэдров» могут примыкать к 8-ми угольным граням своими меньшими сторонами 11. «Усеченные икосододекаэдры», или расширенные усеченные икосаэдры с полуправильными 6-угольными, полуправильными 10-угольными и квадратными гранями (рис. 31), либо с полуправильными 6-угольными, правильными 10-угольными и прямоугольными гранями (рис.32), либо с полуправильными 6-угольными, полуправильными 10-угольными и прямоугольными гранями (рис.33), либо с правильными 6-уголными, полуправильными 10-угольными и прямоугольными гранями (рис.34). Эти многогранники получаются равномерным расширением из усеченного икосаэдра или из «ромбоикосододекаэдров». Заметим, что здесь, как ив п. 10, возможно примыкание прямоугольных граней к 10-угольным своими большими сторонами. Итак, все возможные разновидности равноугольно полуправильных чет-ноугольных граней оказываются реализованными в подходящем многограннике 1-го класса. Теорема 1 доказана. Замечание 1.1.1. О перечисленных одиннадцати семействах многогранников заметим следующее. Многогранники, принадлежащие одному семейству, обладают свойствами: 1) они комбинаторно эквивалентны одному из указанных выше одиннадцати равноугольно полуправильных, 2) получены из одного того же правильного или равноугольно полуправильного многогранника равномерным расширением. Замечание 1.1.2. Все многогранники 1-го класса принадлежат к классу многогранников с равными многогранными углами; однако не каждый многогранник с равными многогранными углами является многогранником 1 класса. Примером может служить многогранник, который получается из ромбокубоок-таэдра равномерным растяжением в направлении параллельных ребер одного из поясов квадратов. Это растяжение преобразует ромбокубооктаэдр в многогранник, отличающийся от ромбокубооктаэдра только одним поясом, который состоит из равных прямоугольников.
Многогранники, двойственные многогранникам. 1-го класса
В дальнейшем звездой грани а будем называть фигуру, состоящую из а и граней, имеющих с гранью а хотя бы одну общую вершину или общее ребро. Рассмотрим класс многогранников, определяемый следующим образом. Определение 1.3.1. Выпуклый многогранник назовём сильно симметричным относительно граней, если биссекторная плоскость каждого двугранного угла многогранника одновременно является плоскостью симметрии звёзд граней, образующих этот угол. Имеет место следующая Лемма 1.3.1. .Многогранник, сильно симметричный относительно граней является метрически двойственным одному из сильно симметричных многогранников 1-го класса. Доказательство. Рассмотрим фиксированный двугранный угол Р сильно симметричного относительно граней многогранника М и биссекторную плоскость Л этого угла. Поскольку по условию плоскость Л является плоскостью симметрии звёзд граней, образующих угол Р, то для метрически двойственного М многогранника М плоскость Л является плоскостью симметрии рёберных звёзд соседних вершин А и В. Здесь вершины А и В соответствуют по двойственности граням, образующим угол Р. Следовательно, многогранник М является сильно симметричным 1-го класса. Лемма доказана. На основании этой леммы, учитывая эквивалентность локального и глобального определений сильно симметричных многогранников 1-го класса и то, что элементы симметрии многогранника являются инвариантными при переходе к двойственным многогранникам, получим следующее утверждение. Лемма 1.3.2. Если биссекторная плоскость каждого двугранного угла выпуклого многогранника является плоскостью симметрии всего многогранника, то такой многогранник является двойственным одному из сильно симметричных многогранников 1-ого класса. Перечислим все многогранники, сильно симметричные относительно граней. Приводя рисунки этих многогранников, ограничимся одним представителем каждого из одиннадцати семейств. Заметим, что приведённые ниже сильно симметричные относительно граней многогранники отличаются от рав-ногранно полуправильных наличием полуправильных многогранных углов. Помимо полуправильных изоэдров, сильно симметричными относительно граней являются следующие многогранники: 1) бипирамиды, двойственные прямым призмам с равноугольно полуправильными основаниями и квадратными или прямоугольными боковыми гранями, а также бипирамиды, двойственные прямым призмам с правильными основаниями и прямоугольными боковыми гранями.
Многогранники, двойственные расширенному тетраэдру: Рисунок Определение 2.1 ,\сли плоскость симметрии любого плоского угла выпуклого многогранника (т.е. биссекторная плоскость этого угла, ортогональная грани, содержащей этот угол) является плоскостью симметрии реберных звезд двух вершин, инцидентных сторонам этого угла, то такой многогранник назовем сильно симметричным многогранником второго класса. Вполне аналогично доказательству эквивалентности локального и глобального определений сильно симметричных многогранников 1-го класса устанавливается, что приведённое только что определение эквивалентно следующему глобальному определению. Определение 2.1.2. Для того, чтобы выпуклый многогранник был сильно симметричным многогранником второго класса, необходимо и достаточно, чтобы плоскость симметрии любого плоского угла его была плоскостью симметрии всего многогранника. Теорема 2.1.1. Существует только четыре, не считая правильных, сильно симметричных многогранника 2-го класса: кубооктаэдр, икосододекаэдр, ромбический додекаэдр (рис.46) и ромбический триаконтаэдр (рис.47). Возможны два случая: 1) многогранник имеет хотя бы одну нечетно-угольную грань, 2) многогранник не имеет нечетноугольной грани. Рассмотрим последовательно эти случаи. 1) Итак, пусть сначала у многогранника 2-го класса найдется нечетно-угольная грань. Здесь тоже рассмотрим 2 случая: а) когда степени вершин многогранника нечетные, б) когда эти степени четные. Заметим, что и в случае а), ив случае б) эти степени равны для всех вершин в силу определения 2.1.2. Рассмотрим случай а). Докажем, что в этом случае многогранник является правильным, а именно, либо тетраэдром, либо додекаэдром, либо икосаэдром. Пусть А— вершина нечетноугольной грани. Убедимся в том, что все грани многогранного угла с вершиной А представляют собой равные правильные многоугольники, конгруэнтные рассматриваемой нечетноугольной грани. Действительно, ввиду нечетности степени вершины А, последовательно отражая нечётноугольную грань относительно биссекторных плоскостей плоских углов, с вершиной А получим, что грани, смежные по рёбрам, исходящим из А, с нечетноугольной, равны. Проводя такие же отражения смежных граней, видим, что все грани многогранного угла с вершиной А равны между собой. Перехо
Доказательство теоремы перечисления
Определение 2.1.2. Для того, чтобы выпуклый многогранник был сильно симметричным многогранником второго класса, необходимо и достаточно, чтобы плоскость симметрии любого плоского угла его была плоскостью симметрии всего многогранника. Теорема 2.1.1. Существует только четыре, не считая правильных, сильно симметричных многогранника 2-го класса: кубооктаэдр, икосододекаэдр, ромбический додекаэдр (рис.46) и ромбический триаконтаэдр (рис.47). Возможны два случая: 1) многогранник имеет хотя бы одну нечетно-угольную грань, 2) многогранник не имеет нечетноугольной грани. Рассмотрим последовательно эти случаи. 1) Итак, пусть сначала у многогранника 2-го класса найдется нечетно-угольная грань. Здесь тоже рассмотрим 2 случая: а) когда степени вершин многогранника нечетные, б) когда эти степени четные. Заметим, что и в случае а), ив случае б) эти степени равны для всех вершин в силу определения 2.1.2. Рассмотрим случай а). Докажем, что в этом случае многогранник является правильным, а именно, либо тетраэдром, либо додекаэдром, либо икосаэдром. Пусть А— вершина нечетноугольной грани. Убедимся в том, что все грани многогранного угла с вершиной А представляют собой равные правильные многоугольники, конгруэнтные рассматриваемой нечетноугольной грани. Действительно, ввиду нечетности степени вершины А, последовательно отражая нечётноугольную грань относительно биссекторных плоскостей плоских углов, с вершиной А получим, что грани, смежные по рёбрам, исходящим из А, с нечетноугольной, равны. Проводя такие же отражения смежных граней, видим, что все грани многогранного угла с вершиной А равны между собой. Перехо 34 дя к вершинам, смежным с А, и так далее, видим, что все грани многогранника 2-го класса в случае а) являются равными правильными многоугольниками и, как было замечено, все вершины имеют одну и ту же степень. Такой многогранник, как известно, является правильным. Так как по условию многогранник имеет нечётноугольную грань, то он является либо тетраэдром, либо додекаэдром, либо икосаэдром. Теперь рассмотрим случай б). Пусть степени вершин многогранника с нечётноугольной гранью чётные. Тогда у такого многогранника обязательно найдется треугольная грань F. Это следует из того известного факта, что всякий выпуклый многогранник содержит либо треугольную грань, либо трехгранный угол.
Итак, в случае б) рассмотрим многогранник 2-го класса с четными степенями вершин и треугольной гранью F. Рисунок 48 Покажем, что эти степени равны 4. Достаточно показать это для вершин А, В, С грани F. Путём ряда последовательных отражений относительно биссекторных плоскостей, начиная с вершин А, В, С, грани F, видим, что каждая вершина многогранника является общей вершиной по крайней мере двух треугольных граней: равные треугольные грани чередуются с равными между собой, возможно нетреугольными гранями.. Степени вершин А, В, С не могут равняться 6 и выше. Докажем последнее от противного. В случае степени 6, учитывая условие симметрии в определении многогранников 2-го класса, получим, что в вершинах А, В, С сходятся по крайней мере три равносторонних треугольника, разделённые между собой равными гранями а, 3, у. Если последние грани являются нечётноугольниками, то они являются правильными и в каждой вершине грани F плоские углы составляют в сумме не менее 2л. Если грани а, Р, у являются чётноугольниками, то обязательно (в силу того же условия симметрии в определении многогранников 2-го класса) равносторонне полуправильными или правильными; если правильными, то опять в каждой вершине грани F плоские углы составляют в сумме не менее 2л. Пусть грани а, р\ у являются равносторонне полуправильными. Известно, что у равносторонне полуправильного многоугольника угол меньший л/3, всегда соседствует с углом, большим л/3. В этом случае получим, что если в вершине А, например, каждый из плоских углов граней а, (3, у меньше л/3, то в соседней с ней вершине В каждый из этих углов больше л/3. Поэтому сумма плоских углов в вершине В, будет больше 2л. Аналогично, невозможен и случай вершин многогранника степени 8 и выше. Рассмотрим теперь четырехгранные углы с вершинами в вершинах треугольной грани F. Условие симметрии определения 2.1.2 приводит к тому, что в каждой вершине грани F есть по крайней мере два правильных треугольника и другие два (равных между собой!) многоугольника должны быть правильными или равносторонне полуправильными. Причём, более чем пятиугольными правильными они не могут быть, так как сумма плоских углов в вершинах грани F будет не менее 2л. Но и равносторонне полуправильными они не могут быть. Действительно, если в вершине А они сходятся своими меньшими углами, то в соседней вершине В- большими. Но тогда биссекторная плоскость плоского угла С грани F не будет являться плоскостью симметрии рёберных звёзд вершин А и В. Переходя от вершин грани F к вершинам соседних с ней граней и т.д. и производя последовательные отражения относительно биссекторных плоскостей плоских углов, получим что звёзды всех вершин четырёхгранных углов многогранника имеют одинаковое строение и равны между собой. При этом возможны только следующие случаи. Либо в каждой вершине сходится четыре правильных треугольника, либо грани четырехгранных углов чередуются через одну: два правильных треугольника и два квадрата.
Третий возможный случай -чередуются два правильных пятиугольника и два правильных треугольника. Так как звёзды всех вершин четырёхгранных углов имеют одинаковое строение и равны между собой, а грани- правильные многоугольники, то в первом случае получим правильный многогранник-октаэдр. Во втором и третьем случаях имеем равноугольно полу правильные многогранники. Так как все такие многогранники известны, то учитывая строение звёзд их вершин, получим соответственно, кубооктаэдр и икосододекаэдр. 2) Рассмотрим теперь случай, когда многогранник 2-го класса не содержит нечетноугольных граней и, следовательно, содержит трехгранный угол Ф. Угол Ф ввиду симметрии его граней составлен либо тремя квадратами (случай куба), либо тремя равными равносторонне полуправильными четно-угольниками. Эти равносторонне полуправильные четноугольники необходимо должны быть ромбами, в противном случае либо сам угол Ф, либо угол, вершина которого смежна с вершиной угла Ф, будет иметь плоские углы в сумме не меньшие 2л. В самом деле, если сумма трёх равных плоских углов равносторонне полуправильного 6-угольника меньше 2л, то сумма трёх других его равных углов больше 2л, т.е. каждый из последних углов больше 2л/3. Поэтому, если в вершине Ф указанные 6-угольники сходятся своими меньшими углами, то в смежной с Ф вершине, например, В (рис.49), сходятся два таких 6-угольника своими большими углами. Следовательно, проводя биссекторные плоскости плоских углов в вершине В, получим, что в вершине В сумма плоских углов больше 2л. Аналогичное рассуждение справедливо ив случае равносторонне полуправильного n-угольника, где п 6. Пусть теперь А, В, С, А , В ,С - вершины ромбов, образующих угол Ф, не совпадающие с вершиной Ф. В силу симметрии, среди этих вершин имеются вершины степени 3.
Многогранники с ограниченным вращением
Введём теперь понятие сильно симметричных многогранников с ограниченным вращением. Определение 3.2.1. Выпуклый замкнутый многогранник в Ег называется сильно симметричным многогранником с ограниченным вращением граней, если каждая грань многогранника обладает осью симметрии, причём среди граней найдётся такая грань а, что порядок оси симметрии La всего многогранника меньше порядка оси симметрии грани а. Определение 3.2.2. Выпуклый замкнутый многогранник в Е/ называется сильно симметричным многогранником с ограниченным вращением многогранных углов, если каждый многогранный угол многогранника обладает осью симметрии, причём среди многогранных углов найдётся такой угол А, что порядок оси симметрии LA всего многогранника меньше порядка оси симметрии многогранного угла А. Многогранники, удовлетворяющие двум последним определениям, будем называть сильно симметричными многогранниками с ограниченным вращением. Для дальнейшего важны следующие утверждения: Лемма 3.2.1. Всякий многогранник, через каждую грань которого проходит ось симметрии является либо сильно симметричным относительно вращения граней, либо сильно симметричным с ограниченным вращением граней. Аналогично, для многогранников, через каждую вершину которых проходит ось симметрии, справедлива Лемма 3.2.2. Всякий многогранник, через каждую вершину которого проходит ось симметрии является либо сильно симметричным относительно вращения многогранных углов, либо сильно симметричным с ограниченным вращением многогранн ых углов. Докажем, например, лемму 3.2.1. Доказательство. Ось симметрии многогранника, перпендикулярная грани а, не может иметь порядок больше порядка оси симметрии грани а многогранника. Поэтому, упомянутые порядки либо равны, либо порядок оси вращения грани больше порядка оси вращения многогранника. В первом случае многогранник является сильно симметричным относительно вращения граней по определению этого класса многогранников.
Во втором случае многогранник принадлежит классу сильно симметричных многогранников с ограниченным вращением граней по определению этого класса. Лемма доказана. Аналогично доказывается вторая лемма. Определение 3.2.3. Объединение двух классов — класса сильно симметричных многогранников относительно вращения граней и класса сильно симметричных многогранников с ограниченным вращением граней — будем называть сильно симметричными многогранниками 3-го класса. Определение 3.2.4. Объединение двух классов — класса сильно симметричных многогранников относительно вращения многогранных углов и класса сильно симметричных многогранников с ограниченным вращением многогранных углов — будем называть сильно симметричными многогранниками 4-го класса. Учитывая предыдущие леммы и два последних определения, мы можем сказать, что 3-й класс сильно симметричных многогранников состоит из тех и только тех многогранников, через каждую грань которых проходит ось симметрии многогранника; и что 4-й класс сильно симметричных многогранников состоит из тех и только тех многогранников, через каждую вершину которых проходит ось симметрии многогранника. Основной целью этого параграфа являются задачи перечисления всех сильно симметричных многогранников 3-го и 4-го классов. Согласно сказанному в предыдущем параграфе, для этого достаточно найти все многогранники, сильно симметричные относительно вращения граней (углов) и все сильно симметричные многогранники с ограниченным вращением граней (углов). Докажем следующую классификационную теорему: Теорема 3.3.1. Класс многогранников, сильно симметричных относительно вращения граней исчерпывается следующими многогранниками: 1) все сильно симметричные многогранники 2-го класса; 2) следующие сильно симметричные многогранники 1-го класса: пять правильных многогранников; одиннадцать равноугольно полу правильных; бесконечная серия прямых призм с правильными осно ваниями и квадратными боковыми гранями; бесконечная серия пря мых призм с равноугольно полуправильными основаниями и квадрат ными или прямоугольными боковыми гранями, а так же бесконечная серия прямых призм с правильными основаниями и прямоугольными боковыми гранями; «кубооктаэдр», или расширенный тетраэдр с треугольными и прямоугольными гранями (рисунок 15); «ромбокубо
