Введение к работе
Актуальность темы. При изучении произвольного класса многообразий одним из первых вопросов, требующих решения, является вопрос об их классификации с точностью до какого-нибудь отношения эквивалентности. Выбор подходящего отношения эквивалентности задает не только направление, но и методы изучения возникающих классов многообразий. Естественное, как кажется на первый взгляд, отношение гомеоморфизма (гладких) многобразий не годится для подобной классификации. Известная теорема Маркова утверждает, что проблема изоморфизма групп, заданых образующими и определяющими соотношениями, в общем виде неразрешима. Этот факт, вместе с известным топологическим утверждением о том, что любая группа заданная образующими и соотношениями, может быть реализована как фундаментальная группа (четырехмерного) многообразия, приводит к утверждению о невозможности классификации многообразий с точностью до изоморфизма. Поэтому в топологии многообразий для классификации используются более слабые, чем гомеоморфность, эквивалентности, например кобордантность.
Впервые понятие подобное кобордизму использовалось еще в работах А.Пуанкаре. Напомним, что два многообразия одинаковой размерности, принадлежащих одному классу ( гладкие, квазикомплексные, ориентированные и т.д.) называются кобордантными, если существует в том же классе многообразие на единицу большей размерности, край которого изоморфен несвязному объединению данных многообразий.
В конце 30-х годов Л.С.Понтрягин использовал понятие ко-бордизма для описания гомотопических классов отображений сферы Sn в сферу Sn. А именно, существует изоморфизм между этими классами и группами кобордизмов оснащенных (т.е. с фиксированным классом тривиализации стабильного нормального пучка) многообразий. В конце 50-х годов Р.Том дал гомотопическую интерпретацию кобордизмов при помощи построенных им комплексов в общем случае. Используя эту технику, он полностью вычислил кольцо не-ориетированных кобордизмов. В начале 60-х годов Дж.Милнор и С.П.Новиков исследовали кольца унитарных, ориентированных, специальных унитарных и симплектических кобордизмов (т.е. кобордизмов многообразий со структурой векторного пространства в стабильном нормальном пучке этого многообразия с функциями склейки принадлежащими соответствущей классической группе). При этом они широко использовали построенную в конце 50-х годов Дж.Ф. Адамсом спектральную последовательность (с.п.). В дальнейшем П.С.Новиков построил аналог с.п. Адамса для обобщенных теорий когомологий. Так называются теории когомологий, для которых выполнены все аксиомы Эйленберга-Стинрода, за исключением аксиомы размерности. Наиболее важными из них являются К-теория и теории кобордизмов, когда когомологиями точки являются соответствующие кольца. В настоящей работе с.п. Дцамса-Новикова применяется для вычислений в кольце симплектических кобордизмов MSp#, т.е. кольце кобордизмов многообразий, на стабильном нормальном пучке которых действует симплектическая группа.
Начало изучению втого кольца положил в 60-х годах П.С. Новиков, который использовал классическую с.п. Адамса и вычислил
MSp, Z[ - ] e Z[ | ] [x1,... ,rn,... ], dim rn = 4n
В дальнейшем многие авторы занимались изучением этого кольца. Можно упомянуть, например А.Люлевичуса, Р.Стонга, Д.Сигала, В.М.Бухштабера, Дж.Александера и др.
Н.Реем была построена серия элементов порядка 2 в кольце MSpj.. Они мультипликативно неразложимы, независимы и замкнуты относительно действия операций Іандвебера-Новикова.
В.В.Вершинин, Б.К.Ботвинник и В.Г.Горбунов получили много новой информации о симплектических кобордизмах используя различные метода в т.ч., с.п. Адамса-Новикова, теорию многообразий о. особенностями и т.д. В частности, В.В.Вершинин в 80-е года вычислил кольцо ОДЗр# до размерности 32 и доказал факт о нетривиальности большинства тройных произведений элементов Н.Рея.
Так как, вычисление начального члена с.п. Адамса-Новикова сопряжено со значительными трудностями, то для их преодоления была построена С.П.Новиковым, так называемая алгебраическая спектральная последовательность, вариант которой затем под названием (модифицированной) алгебраической спектральной последовательности (МАШ), был приспособлен В.В.Вершининым для вычисления кольца MSp^..
В данной работе основной целью является исследование элементов конечного порядка в кольце МБрж. В других классических теориях кобордизмов (как-то, неориентированных, ориентированных, унитарных, квазикомплексных и т.д.), либо кручение отсутствовало вовсе, либо все элементы кручения имели порядок два. Поэтому интересно было бы выяснить, нет ли в кольце. MSp^ элементов более высокого, чем два, порядка.
Е.И.Ботвинник и С.О.Кохман доказали существование в кольце
1с
MSp^ элементов произвольного порядка 2 , k = 1,2,
Они используют технику симплектических кобордизмов с особеннос-
тями MSp/ и MSp , где Sn = (Pr...fPn) и Т. = (Р1,...,РП,...) последовательность замкнутых Sp-многообразий, представляющих элементы Н.Рея [Р..] = 0.. и [Pj] ='Р,-. -і при і г 2. Однако, их
методы доказывают существование таких элементов в достаточно больших размерностях (например, элементов порядка 4 - в размерности равной 5065). Вышеизложенное характеризует то направление исследований, которому посвящена диссертация.
Цель работы состоит, во-первых, в вычислении кольца симплектических кобордизмов до размерности 52, а, во-вторых, в построении серии элементов порядка 4 в данном кольце, первый из которых имеет (топологическую) размерность 103.
Методика исследований. В работе используются методы гомотопической топологии, теории кобордизмов, гомологической алгебры и алгебраические методы теории спектральных последовательностей.
Научная новизна. В работе получены следующие основные результаты:
Вычислено действие некоторых операций Ландвебера-Новико-ва на элементах Н.Рея.
Вычислена аддитивная структура (и, частично, мультипликативная) кольца MSp* до размерности 52.
Построена серия элементов порядка 4 в кольце MSp^, начинающаяся в размерности 103.
Все результаты диссертации яиляются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в теории кобордизмов.
Аппробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на семинаре отдела геометрии и топологии Института математики СО РАН ( Новосибирск, 1997г.) под руководством академика Ю.Г.Решетника.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на одиннадцать параграфов, десяти таблиц и списка литературы, включающего 11 наименований. Общий объем работы - 173 машинописных страницы.
