Введение к работе
Актуальность темы. Теория узлов является классическим разделом топологии, активно развивающимся с конца XIX века. Центральное место в этой теории занимает проблема классификации узлов и зацеплений в трехмерном пространстве. На обычном языке это означает описать все способы, которыми можно завязать веревку (в случае зацеплений — несколько веревок).
Под узлом или зацеплением в диссертации всегда подразумеваются так называемые ручные узлы и зацепления. Это понятие в точности отвечает нашему представлению о «физических» узлах.
Множество всех классов объемлемой изотопии (ориентированных) зацеплений будет обозначаться через (соответственно, через ог). Мы считаем также элементом множества (ог) пустое зацепление.
На множестве (иди ог) определена коммутативная и ассоциативная операция несвязной суммы. Относительно нее и ог представляют собой счетно порожденные свободные абелевы полугруппы с единицей, роль которой играет пустое зацепление.
На множестве классов эквивалентности непустых ориентированных зацеплений определена также операция связного суммирования. Она неоднозначна, если хотя бы одно из зацеплений имеет более одной компоненты. Х.Шубет [1] и Й.Хашицуме [2] показали, что относительно связного и несвязного суммирований имеет место однозначное (в некотором уточненном смысле) разложение на простые слагаемые. Поэтому для классификации всех зацеплений достаточно классифицировать неприводимые зацепления.
Интерес к классификации узлов и зацеплений появился еще до того, как были заложены основы математически формализованной теории. Таблицы простых узлов малой сложности составлялись уже в XIX
[1] H.Schubert: Die eindeutige Zerlegbarkeit eilies Knotens in Primknoten, Sitzungsber, S.-B. Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl. 1949 (1949). no. 3, 57-104.
[2] Y. Hashizume, On the uniqueness of the decomposition of a link, Osaka Math. J. 10 (1958), 283-300.
веке [ЗІ, в то время как первые доказательства нетривиальности некоторых узлов появились лишь в начале XX века (по-видимому, первый результат такого рода принадлежит В.Виртингеру, который в 1905 г. доказал нетривиальность трилистника — простейшего из нетривиальных узлов — с помощью фундаментальной группы). В дальнейшем эти таблицы подвергались исправлениям и дополнениям. Значительное расширение таблиц произошло в последние годы благодаря использованию компьютеров и развитию численных методов.
Составленные списки узлов и зацеплений малой сложности заставляют усомниться в том, что задача классификации узлов и зацеплений допускает столь же удовлетворительное во всех отношениях решение, как, скажем, классификация двумерных поверхностей конечного типа. Никакой простой закономерности в этих списках не прослеживается, а с ростом га количество неэквивалентных зацеплений сложности < п (под которой в данном случае понимается минимально возможное число самопересечений на плоской проекции общего положения) стремительно растет.
Возможны различные точки зрения на то, что следует считать решением проблемы классификации зацеплений. Наиболее формализованный подход к классификации, называемый алгоритмической классификацией, состоит построении вычислимого взаимно однозначного соответствия между элементами множества С (или ог) и натуральными числами. Не составляет труда построить алгоритм для перечисления элементов множества С (С01) с неконтролируемым числом повторений каждого элемента, поэтому задача алгоритмической классификации по сути равносильна задаче алгоритмического сравнения зацеплений.
Первым достижением в этой области была работа В.Хакена [4], который, используя теорию нормальных поверхностей, предложил алго-
[3] P.G.Tait, On knots, Trans. Roy. Soc. Edinburgh 28 (1877), 145-190. [4] W. Haken, Theorie der Normalflachen. Ein Isotopiekriterium Шг der Kreisknoten, Acta Math. 105 (1961), 245-375.
ритм для распознавания тривиального узла. X. Шуберт [5] обобщил его метод, построив алгоритм для полного разложения зацепления на неприводимые слагаемые. Отметим, что эти алгоритмы требуют достаточно большого перебора, который превышает возможности современных компьютеров даже для узлов небольшой сложности. Поэтому для составления таблиц и сравнения узлов на компьютере обычно используются другие методы — вычисление инвариантов, нахождение геометрической структуры дополнения, эвристические методы.
Полное решение задачи алгоритмической классификации зацеплений потребовало развития сложной теории и усилий целого ряда математиков и было завершено лишь недавно С.В.Матвеевым [6].
Построенный алгоритм дает формальное решение задачи алгоритмической классификации, но неприменим на практике из-за очень большой сложности, а биекция N <-» С, которую он вычисляет, не обладает какими-либо интересными свойствами помимо вычислимости.
Имеются и другие достижения, относящиеся к классификации узлов и зацеплений. К ним следует отнести классическую теорему К.Райдемайстера [7], которая описывает классы эквивалентности зацеплений в чисто комбинаторных терминах. А именно, он показал, что две диаграммы задают эквивалентные зацепления тогда и только тогда, когда их можно получить друг из друга конечной последовательностью преобразований, называемых теперь движениями Райдемайсте-ра, см. рис. 1. Под диаграммой при этом понимается рассматриваемая с точностью до изотопии плоская проекция зацепления, удовлетворяющая условию общего положения (допускаются только двойные транс-версальные самопересечения), причем для каждого самопересечения дополнительно указано, какая из двух ветвей проходит сверху, а какая — снизу.
[5] H.Schubert, Bestimmung der Primfactorzerlegung von Verkettungen, Math. Z.
76 (1961), 116-148; русский перевод: Х.Шуберт, Алгоритм для разложения
зацеплений на простые слагаемые, Математика 10:4, 45-78. [6] S.V. Matveev, Algorithmic topology and classification of 3-manifolds, Springer
2003. [7] K. Reidemeister, Knotentheorie. Ergebn. Math. Grenzgeb., Bd. 1; Berlin: Springer-
Verlag, 1932.
Рис. 1: Движения Райдемайстера
о —b
Другой классический подход, основанный на теоремах Дж. Алек-сапдера [8] и А.Маркова [9], дает описание-классов эквивалентности ориентированных зацеплений в комбинаторно-алгебраических терминах. В качестве множества диаграмм берется дизъюнктное объединение Bi U В-2. U Вг U ... групп кос:
0і<Ті+1<7і = Vi+lPiPi+l) 1 ^ і < n — 2).
Элементы группы B-n называются косами на п нитях, поскольку они имеют соответствующую топологическую интерпретацию. Каждой паре (n, ги), где п > 1 — натуральное число, a w — слово в образующих су , 1 < » ^ п— 1, сопоставляется ориентированное зацепление, называемое замыканием соответствующей косы. Идея проиллюстрирована на рис. 2, подробности мы опускаем. Александер доказал (используя другую терминологию — группы кос были определены позднее), что каждое зацепление можно представить в виде замкнутой косы, а Марков указал набор сохраняющих класс эквивалентности зацепления преобразований, достаточных для того, чтобы перевести друг в друга любые
[8] J. W. Alexander, A lemma on systems of knotted curves. Proc. Nat. Acad. Sci.
USA 9 (1923), 93-95. [9] A. A. Markoff, Uber die freie Aquivalenz der geschlossenen Zopfe. Recueil Math.
Moskav. 1 (43) (1936), 73-78.
Рис. 2: Коса (4,0204 2^3^2^3 1) и ее замыкание
две косы, задающие эквивалентные зацепления. Эти преобразования, называемые теперь движениями Маркова, таковы:
-
(п, ги) «- (n, и>'), если в группе Вп выполнено равенство w — ги';
-
(п, го) <-+ (n, uwu-1) — сопряжение с помощью произвольной косы на таком же количестве нитей;
-
(тг, ги) «-* (п 4- ljtuo^1), если в слове w встречаются лишь образующие o-f1, 1 < г < п — 1.
Если отбросить последний тип преобразований, то мы получим стандартный объект из теории групп — классы сопряженности в группах кос. Последний же тип движений Маркова представляет собой операцию, достаточно искусственную с алгебраической точки зрения. Использование замкнутых кос для представления зацеплений имеет также один серьезный недостаток, редко упоминаемый в литературе: таким способом молено описывать только ориентированные зацепления. Набор дополнительных преобразований, позволяющий «забыть» ориентацию, по-видимому, не имеет описания в разумных алгебраических терминах и в литературе не исследован.
Имеется несколько классов узлов и зацеплений, выделяемых из всего множества зацеплений каким-либо интересным свойством, которые удается полностью классифицировать (в некотором разумном смысле). Это относится, например, к торическим, двумостным [10] и альтернированным зацеплениям [11].
Имеется обширная литература по построению и изучению свойств всевозможных топологических инвариантов узлов и зацеплений, что также можно рассматривать как подход к решению задачи классификации. Однако, для построенных инвариантов, несмотря на их замечательные свойства, как правило, не удается ответить на самые естественные вопросы, а именно: сформулировать в топологических терминах, какие узлы различаются данным инвариантом, а какие — нет; указать область значения инварианта.
В диссертации развивается подход к теории узлов, основанный на нетрадиционном комбинаторном способе представления узлов и зацеплений. Вместо проецирования на плоскость или рассмотрения дополнительного пространства в работе изучаются зацепления, имеющие специальный вид, а именно, целиком содержащиеся в «книге» — объединении нескольких полуплоскостей, имеющих общий край. Тот факт, что любой узел можно продеформировать так, чтобы он имел указанный вид, где число «страниц» неограничено, отмечался еще в конце XIX века [12], а в более современной литературе вскользь отмечается и то, что для представления зацепления в таком «книжном» виде достаточно всего трех страниц. Однако, вплоть до недавнего времени комбинаторные и алгебраические свойства этой простой и естественной конструкция не изучались.
Рассматривая зацепления, вложенные в книгу с заранее фиксированным числом страниц, мы приходим к конструкции, устанавливающей взаимно однозначное соответствие между классами эквивалентно] H.Schubert. Knoten mit zwei Brucken. Math. Z. 65 (1956), 133-170. (11] W. Menasco, M.Thistlethwaite, The classification of alternating links. Ann. of
Math. (2) 138 (1993), no. 1, 113-171. [12] H.Brunn, Uber verknotete Kurven, Mathematiker-Kongresses Zurich 1897,
Leipzig (1898) 256-259.
ности зацеплений и центральными элементами некоторой конечно заданной полугруппы. В первой главе диссертации такие полугруппы построены для неориентированных зацеплений, во второй — для ориентированных. Они описаны явно с помощью порождающих соотношений. Таким образом, задача классификации зацеплений сведена к изучению классического объекта чистой алгебры — полугруппы, заданной конечным числом образующих и соотношений.
В третьей главе рассматриваются книжные зацепления без ограничения на число страниц. В этом случае естественно требовать, чтобы каждая страница содержала всего одну дугу зацепления — это условие общего положения. Для этого класса зацеплений имеется очень простой набор сохраняющих изотопический класс зацепления преобразований, которых достаточно, чтобы переводить эквивалентные книжные зацепления друг в друга. В третьей главе доказывается, что с помощью этих преобразований любое книжное представление тривиального узла можно монотонно упростить до узла, содержащегося в двух страницах, т.е. в плоскости. Иначе говоря, для того чтобы «распутать» тривиальный узел, заданный в книжном виде, достаточно применять только элементарные преобразования, сохраняющие или уменьшающие сложность. В качестве функции сложности при этом выступает количество задействованных страниц.
Заметим, что одним из наиболее предпочтительных вариантов решений задачи классификации каких-либо объектов является построение процедуры приведения к «каноническому виду». Последний как правило ассоциируется с самым простым способом представления объекта. Основной результат третьей главы как раз состоит в построении такой процедуры для тривиального узла. Кроме того, попутно доказывается, что с помощью монотонного упрощения можно раскладывать зацепления на простые слагаемые, что означает следующее.
Если данное зацепление разводимое или составное, это может быть совершенно не очевидно из его комбинаторного представления. Однако, если зацепление задано в книжном виде, то, применив к его диаграмме конечное число элементарных операций, не увеличивающих сложность, всегда можно получить диаграмму, из которой будет «явно вид-
но» разложение данного зацепления на простые. Здесь важно, что, в силу предыдущего результата, все тривиальные слагаемые при монотонном упрощении исчезают.
Таким образом, в третьей главе мы строим новые алгоритмы для распознавания тривиального узла и разложения зацеплений на простые слагаемые. Эти алгоритмы существенно проще алгоритма Ха-кена, хотя известные (очевидные из построения) формальные оценки на сложность этих алгоритмов достаточно плохие и принципиально от сложности алгоритма Хакена не отличаются. Алгоритмы с использованием монотонного упрощения имеют также преимущество в том, что в качестве ответа выдается не только информация о разложении на простые, но и последовательность преобразований, которая превращает исходное зацепление в то, которое имеет очевидную факторизацию.
Цель работы. Продвинуться в решении задачи классификации узлов и зацеплений, а также в построении алгоритмов для их сравнения.
Методы исследования. Методы работы в значительной степени элементарны, используются наглядные геометрические и топологические соображения, вычисления в полугруппах и комбинаторика слоений на поверхностях.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем.
Построены полугруппы, заданные конечным числом образующих и соотношений, центр каждой из которых классифицирует зацепления (ориентированные или неориентированные) в трехмерном пространстве.
Построен алгоритм распознавания тривиального узла и факторизации зацеплений, имеющий вид монотонного упрощения для диаграмм специального вида.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер могут быть использованы для дальнейшего изучения узлов и трехмерных многообразий, а также для построения алгоритмов и создания математического обеспечения для работы
с объектами маломерной топологии.
Апробация работы. Результаты диссертации многократно докладывались на научных семинарах в МГУ, НМУ и МИРАН, на заседаниях Московского и Санкт-Петербургского математических обществ, на международных конференциях:
«Low-dimensional topology and combinatorial group theory» в г. Челябинске (1999),
IV Международной алгебраической конференции в г. Новосибирске (2000),
XI конференции «Geometry, topology and physics» в Порто (2001),
«New Techniques in Topological Quantum Field Theory» в Калгари (2001),
«Knots in Polland» в Варшаве (2003),
«Колмогоров и современная математика» в Москве (2003),
«Geometry, Topology, and Combinatorics» в Стокгольме (2004),
«Topology of closed one-forms» в Цюрихе (2004),
«Discrete differential geometry» в Обервольфах (2006).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в восьми работах, список которых представлен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из Введения, трех глав, включающих в себя 26 параграфов, Приложения и списка литературы. В тексте диссертации приведено 49 рисунков. Список литературы содержит 68 наименований. Общий объем диссертации — 140 страниц.
