Введение к работе
Актуальность темы. Теория инвариантов и теория инвариантных тензоров, как изрєстно, играют важную роль в геометрии, алгебре, физике, механике. Вопросы, связанные с изучением инвариантов и инвариантных тензоров, рассматриваются с середины, XIX века. Опубликование в конце XIX века известной работы Д. Гильберта значительно ослабило интерес к ним. Новый интерес я теории был обусловлен созданием и развитием теории представлении.
С этого времени известны две класспчоские.задачи теории представлении, тесно связанные с инвариантными тензорами и пн-. сариантаыи:
I.Задача о разложении тензорного произведения двух неприводимых представлений в сушу неприводимых компонент.
2.Задача о разложении на неприводимые компоненты ограничения представления группы G на подгруппу И /задача об ограничении/.
Г.Веплем решена задача о разложении р-Т1 тензорной степени простоЯпкх нетривиальных представлений классических групп. Разложение описано в терминах симметризаторов Шга a,p,jf,... особых элементов группового кольца симметрической группы S(p) в связывапцих со вснкоП инвариантной относительно представления Ф р -линейной функцией $ /ковариантным тензором валеитпо-стп р / новые -инвариантные функции *$,$>$ЛЬ"< Повторное прсгвнение симметризаторов «/, p.,'f,... п функциям ctj-, ji$, Sh ... соответственноt оставляет их боз изменения. В отом скысло говорят, что функции et},.htit- имеют тепы сккиетрпи Шга ы , JST» соответственно. Просте йапмя пркмзрамп спмметрпэато-ров слуаат операторы симметрирования и альтернирования. *'
Вычисление линейно независимых Ф -инвариантных тонэороо, обладакцих симметрией Шга, тесно связано о двумя сфоруулнро-вапннап выгэ классическими задачами теории представлений п, ой- кетга, в обіцем впдо является чрезвычайно трудной задачой. Поэтому прэдставляпт интерес даго ее частные случал, особешто їо, а которых вычисления maio довести *до яэпда., напрпяр, при ш-Оорэ прэдставленпй особого віща.
Поставга задачу о вычислении bcdx лпиэГдо таойвяеглк га»'\ варпаїгггасї їєнзр|юп, Гнеаряяятпък отпосвтояшо прпсоодетзпттого' прздстппяснпл группа Яп SLf'vfC) ,
Исследование инвариантных тензоров /полилинейных форы/ ..риооедшенного представленіш имеет важное математическое значение. Среди таких тензоров особое место отведено симметрическим и крсосиыметрическим, принадлежащим простейшим типам симметрии. Как известно, коэффициенты характеристического полинома, матрицы присоединенного представления являются инвариантами, т. е. инвариантными симметрическими формами. Кососимметрические ин-. вариантные формы используются при описании когомологий групп Ли. Представляет интерес рассмотрение инвариантных тензоров других типов симметрии.
В связи с последними замечаниями, постановка задачи является актуальной.
В диссертационной работе для каждого наперед заданного типа симметрии в явной форме строятся тензоры валентности 5 и 6, указанного в постановке задачи вида, с симметрией Енга.
Для валентности рй к такие вычисления проведены А.М.Борзе-
НКО ,
, Изучение инвариантных тензоров обычно, так или иначе, свя-аано с однородными пространствами, исследование которых с разных точек зрения имеет важное значение для различных областей математики и ее приложений. В частности, изучение однородных пространств может осуществляться средствами К-теории.
К-теория является экстраординарной теорией когомологий и_ тесно связана с геометрией*, ее источники имеют геометрическую' природу. К-теория однородных пространств связана с теорией представлений.
При изучении гомотопических инвариантов в К-теории однородных пространств возникает необходимость иметь удобные йодоли, описываемые в терминах геометрии и компактных групп Ли. Во второй части диссертационной работы ставится задача о моделях обраэущих в кольце k*(u/H), йиН компактные группы Ли.
Реиенвз втой задачи для однородных пространств й/Й , в кэ-сзетиой степени дано О.В.Ыантуровым1', Показано, что для некого-
I. Еэрзенсо Л.Ц., Вычпслсню аіварвантішх теизоров прадот&вло-; tm2 тзол^Проотшс алгебр Іїі //Некотор, пркя. дкфрервнц. гоомот-
ряи- М., 1985:- С.46-57.1 доп. в ШШ 25.06.65, Ї453І-85. ':
8, au?ypos~0.E, Образувциа в ноииексногі К-фуикторе компакт-s Кйа однородных пространств //J&reu* сборник.- Ы., 1973,-Т.90.-
Ш,- С.48-Є6.
рого достаточно широкого класса однородных- пространна построение образующих з И*(<*№) сводится к задачш теории представлений, которые могут Сыть решены в явной форме алгоритмически. Но применение этого алгоритма дажб в простейших случаях свяэа-но со значительными трудностями. Поэтому более удобное, технически легко разрешимое решение задачи о моделях образующих '[ К*(Й7К) по-прежнему представляет интерес*
В случае произвольных компактных групп Сх и И такая За-., дача сложна. Естественно рассматривать вначале более узкие классы групп G и М , ограничивая при этой способы влояення И в & .
Так, актуально получить решение указанной задачи для пространств Sttf W)/St<(2), где вложение St/(2) в SU(Pi) задано произвольный линейный неприводимый представлением.
Применяемые в налей работе методы теории представлений Ш» гут быть использозаны для получения когомологической инфорУа-Ц!Ш об однородных пространствах. Третья часть диссертации содержит вычисление полинома Пуанкаре однородного пространства &U{U)/SU(i) , где группа Ли И(4) влогена в Sit W) о произвольного неприводимого представления.
Отметим, что вычислении полиномов Пуанкара однородгая йрр-странств поспяцен ряд работ, в частности О.В.МйнтурОЕа'\ А.Т. ... Йомэнко*', Доен І^уіаш \ Доан І^уннь1' напел полшош Цуснкарэ почта всех иесиммотричеекпх компактных ргстопше однороднее npodf- '. ранств о неприводимой стационарной подгруппой. Однако попроооО указанном выго пространство 5*u(f')/SM(j) остался оплата.
Таким образом, вычпеленсо полиіома "Пуанкара однородная
пространств .SW (N)/Stt(*>) представляет кнторао. '
-
!!гнтуров О.В. О полиномах Пуанкаре некоторах одгородкзх про-странств //Тр. семкпара по сзпторл. и тензора, спаяезу / ЦСУ еу.іі. В. Ломоносова,- U., 1968.- аіш.ХІУ,- С.20-32.
-
Solans» А.Т. Полгнога Пуапзарэ покоторгве однороден* прост» рапств //Тр. csarncpa по вапторя. а тспзорп. спалезу /КГУ п?« a.B.Jbt-atrocona,- И., 1970.- кп.Й^- С.І28-Ш.
-
Доан І^угль. Полгпоп Пуалнара поглостез» .эдгарэдгаг рскла-емх прострспств с пепрпзодгсой стацпопарноп группой //Труда с»-минара по пэпторя. п ?еягзрт. сяалпзу /17 га.ЦЛЬСэгзгэсэсги '''''* й., IS38,-r^a.14.- СЗЗ-03. ,. д;*
Пель работы состоит в применении теории представлений к ранению задач теории инвариантных тензоров, К-теорша и теорка КОГОІЮЛОГИЙ однородных пространств.
Научная новизна. Все результаты диссертационной работы тхмпоп новыми. Впервые построены в явной вида все линейно независимые коварнантные тензоры валентности 5', кнв&ри&нтныо относительно присоединенного представления алгебры л(к,0, с SbSKe валентности б, при л«2. , с заданный тгаон СЕЛ^этрнп bird. Распределение остальных тензоров валентности 6 получено о . соиощь» операций Адаиса.
Предложен новый способ построения образующих олеыентов в кольцо Y.*(SU(>I)/SIL(2))e>Q , где влокениа S1i(2) в SU (W) задело с поыоцыо произвольного неприводимого продставлошш. Способ оо» швел на пркмеяоння упошшутых операций Адаиса. :" Впервые найдены образукциа в алгебре вецествшшх когогэ-йогнй и полипоыы Пуанкаре однородного пространства Зи{М)/1ф), где группа Ли 11(3) влозена в Sfclti) проиоБОдьнш ііопрішо-дшдш представлением.
Основные результаты диссертации:
I. Распределены по ткпаы скжатрш! Віга воо лшойыо независимою "гензоры валентности 5 н 6, инвариантные отиосиольло .Вркзоедшюиного представления алгебры Ли zC(\^,C) . Дано описаній всох инвариантных относительно присоодшшюго прэдета-fj-анш алгебры Ли sd(tv,C) лшшГаю нсоависііак солилишШ^х , С-зр*~>і(Ч*«Ді>Х*.Х?) и ^fХ«,Хл,Хъ,X«,Jf»,>Onpn п.«2. , С'31^1!Х произвольный, заданный напород тш егхаотраи &га. dm фор^и E^jsosottu с явном виде с поь-оцыо Скглгетризйторав hra a ifozu-, цпй 5р0иХї~Л+) /Хі,*і,„.>*,сЄ(к,С), ^с ,Sp - оізма-,C? слад иатріщн/. Распроделснко тсагорв &&zmuQQtu б fcpiui>u Koxyucco і:зїода^*;і seopna продстасдеїшй и оаарлп^ Адсга» St Продлозен способ, о аоиоцьа Еогорзго uocvpitzu обра-j;. суцеэ в подщо WM^u^ гдз групаа Ід 501(5) pac^oiuw t\" срі:осольаіа люоїйаш непригоден ирадоїш&саі^у, 5ИШ) » йрзсїоСи^ иатрЕзпадьиаи продотексзЕса. Er-азк^а о-ссаэй фора аарагїора Чзрца оїік обрааущЕ:. Всзгасэ t>trzztzo с *ор.«» п'сгз воорзз прйдотамеакЗ и операций Ддьиэа,»
8. ЕаГдагз no^assa Цушварэ '«дщрздйопэ нрэетрг^гува » В.№)/&&& ш рда стационарная содгруша SU(b) сяоасга с SU(U) вроЕзганьлш вапрітодогаї прадставдеюгеи.
Г'этоды работы. В диссертации применятся иотодо TGOpnn представлений групп и алгебр Ли, разработанные Э.Картаном, Г. ЕэГлем, Е.Б.Динккньм, принцип включения О.В.Мантурова, аппарат спмметризаторов Bira, метода К-тооріга, теорема Л.Картона.
Практическое п теоретическое значенпз работы состоігр d возмояюстн применения результатов и использованных мотодоп я рэпению задач геометрии, других областей математики а оо приложений. Полученные результати дают извєстіг/я информация одру-г:п простих и полупростых группах п могут быть непользовега для дальнейших вычислении.
Результаты диссертации могут также составить основу спец-. sypca.
Апробацій диссертации. Основные результаты докладиваяпзь иа наущом семинаре кафедры геометрии и топологии "(Ж км.НЛС. КрупскоП, на XI конференции іголоднх ученых Университета дружбу народов нч.П.Думумбы, на IX Всесоюзной геомэтрэтоской поп-зронцнті /г.Кіпкнеп, 1968/, на семинара кгфедрч матоматпчеспо-го анализа УДИ кі.її.Лу.іуиви /1989г./.
Публикации. Основное содержание диссертации отражено а О опубликованных работах автора.
ОЗьзм дпзеортпцип. Дпссзртацгаїшал работа состой1 _пэ ззе-деикя, двух гла!!, заклпчонкл, списка литературч it- оодзрті;? ї0 страниц машинописного тогсета.
