Введение к работе
Актуальность темы. Проблема классификации узлов является одной из центральных задач трехмерной топологии. Она оказывала и оказывает стимулирующее действие на развитие различных областей математики.
Наиболее известными инвариантами узлов являются так называемые полиномиальные инварианты. Исторически первым из полиномиальных инвариантов появился полином Александера (см. [Ale]1, 1923). Первоначально он был построен как определитель оператора монодромии в одномерной группе гомологии абелевого накрытия дополнения данного узла. Много лет спустя Дж. Конвей обнаружил чисто аксиоматический подход к полиномиальным инвариантам и изобрёл свою версию полинома Александера (см. [Con]2, 1970). После этого и после появления полинома Джонса, о котором будет сказано ниже, появляется множество новых полиномов, опирающихся на различные аксиоматические версии соотношения Конвея. Так например, полином от двух переменных, называемый HOMFLY в честь шестерых западных авторов, опубликовавших совместную статью [FHLMOY]3, был обнаружен почти дюжиной математиков.
Новозеландский математик Воган Джонс обнаружил свой полином, занимаясь исследованием представлений алгебр фон Неймана с помощью так называемого следа Окнеану (см. [Jonl]4). Его работа вызвала большой резонанс в математическом мире, за которым последовало открытие глубоких связей с операторными алгебрами [Jonl], статистической физикой [Jon2]5, [Каи]6, алгебрами Хопфа [Дри]7 и квантовой теорией поля
;[Ale] J. W. Alexander, Topological invariants of knots and links, Transl. Airier. Math. Soc. 20 (1923), pp. 275-306.
2[Con] J. H. Conway, An enumeration of knots and links and some of their algebraic properties, Computational Problems in Abstract Algebra. Pergamon Press, New York, 1970, pp. 329-358.
3[FHLMOY] P. Freyd, J. Hoste, W. B. R. Lickorish. К. С Millet, A. Ocneanu, D. Yetter, A new polynomial invariant of knots and links, Bull. Amer. Math. Soc. 12 (1985), pp. 239-246.
[Jonl] V. F. R. Jones, A polynomial invariant [or links via von Neumann algebras, Bull. Amer. Math. Soc. 129 (1985), pp. 103-112.
[Jon2] V. F. .R. Jones, On knot invariants related to some statistical mechanics models, Pacific J. Math. 137 2 (1989), pp. 311-334
6[Kau] L. H. Kauffman, State Models and the Jones Polynomial, Topology 26 (1987), 395-407. [Дри] В. Г. Дринфельд, Алгебры Хопфа и квантовое уравнение Янга-Бакстера, Доклады АН СССР 32, том 1, 1985.
[Wit]8, [Aty]9.
Практически в то же время В. А. Васильев открывает новый подход в изучении инвариантов узлов (см. [Vasl]10). Инварианты, получаемые его методом, стали называться инвариантами конечного порядка или инвариантами Васильева. Большинство известных инвариантов, включая полиномиальные, являются инвариантами конечного порядка. Позднее М. Концевич обнаружил интегральный способ реализации инвариантов Васильева (см. [Коп]11). Чисто комбинаторное доказательство существования инвариантов конечного порядка было дано французским математиком П. Картье (см. [Саг]12). Объект, двойственный пространству инвариантов конечного порядка - так называемая биалгебра хордовых диаграмм была предметом активного изучения в последние 10 лет (см. [BN]13, [ChDL]14).
В работе [Vasl] В. А. Васильев рассматривает пространство некомпактных узлов, то есть гладких вложений R1 <—> R", п > 3, совпадающих с фиксированным гладким вложением вне некоторого компакта в Е1. Пространство /С всех отображений с таким поведением на бесконечности является афинным пространством, дискриминант Е С /С определяется как множество отображений, имеющих особенности или самопересечения. При п = 3 пространство /С\Е несвязно. Компоненты связности соответствуют классам изотопии узлов. Тем самым нулевые когомологии этого пространства есть в точности пространство инвариантов узлов.
Любой класс когомологии 7 Є #г(/С\Е) пространства узлов в Ш." может быть реализован как индекс зацепления с подходящей цепью, лежащей в Е, коразмерности г + 1 в 1С. Симплициальное разрешение а дискриминанта Е строится как некоторое пространство, при естественной
a[Wit] Е. Witten, Quantum field theory and the Jones Polynomial, Coram. Math. Phys. 121 (1989), pp. 351
9fAty] M. Atyah, The Jones-Witten invariants of knots, Sem. Bourbaki 715 (1989-90).
10[Vasl] V. A. Vassiliev, Cohomoloyy of knot spaces, in Theory of singularities and its applications. Advances in Soviet Mathematics, vol.1. 1990. pp.23-70.
ll[Kon] M. Kontsevich, Vassiliev's knot invariants, Adv. in Sov. math. 16(2) (1993), pp. 137-150.
12[Car] P. Cartier, Construction combinatoire ties invariants de Vassiliev, C.R. Acad. Sci. Paris, Serie I 316 (1993), 1205-1210.
13[BN] D. Bar-Natan, On the Vassiliev knot inuarinnts. Topology, 34 (1995), pp. 423-472.
14[ChDL] S. V. Chmutov, S. V. Duzhin, S. K. Laudo, Vassiliev knot invariants. I. Introduction, In: Singularities and Bifurcations, Providence. RJ: AMS. 1994, pp. 117-126 (Adv. in Sov. Math. 21).
проекции которого на S
П:<г—уЕ
прообразом любой точки является замкнутый симплекс (размерность которого вообще говоря зависит от точки в Е), что обеспечивает гомотопическую эквивалентность этих пространств. Метод В. А. Васильева состоит в изучении спектральной последовательности, ассоциированной с естественной фильтрацией в разрешенном дискриминанте а.
Подход В. А. Васильева позволяет изучать не только инварианты — нулевые когомологии пространства узлов в IR3, но также и высшие ко-гомологии (этого пространства и аналогичных пространств узлов в R", п > 4), которые пока в сравнении с инвариантами оставались практически вне внимания со стороны математического сообщества, и задаче вычисления которых посвяшена диссертация.
Цель работы. Эффективное комбинаторное описание спектральной последовательности Васильева, вычисляющей гомологии и когомологии пространства некомпактных узлов в R".
Основные методы исследования. В работе применяются методы теории особенностей, теории дискриминантов. Также на протяжении всей работы постоянно используются различные методы гомологической алгебры.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.
-
Вычислены гомологии комплекса двусвязных графов.
-
Построены различные способы упрощения вычислений гомологии и когомологии пространств некомпактных узлов методом теории дискриминантов.
-
Построена структура дифференциальной алгебры Хопфа на нулевом члене спектральной последовательности Васильева, а также на построенных комплексах, упрощающих вычисления.
-
Доказана коммутативность в гомологиях этой дифференциальной алгебры Хопфа.
-
Вычислена производящая функция эйлеровой характеристики членов фильтрации разрешенного дискримината.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть полезны специалистам в теории узлов, теории дискриминантов, теории операд.
Апробация. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре "Узлы и дискриминанты" под руководством В. А. Васильева в Независимом Московском Университете, на семинаре по Алгебраической топологии кафедры Высшей геометрии и топологии под руководством М. М. Постникова и Ю. П. Соловьёвым на механико-математическом факультете МГУ, а также на семинаре "Квантовые группы" под руководством П. Картье в Высшей Нормальной Школе (Ecole Normale Superieure (ENS), Paris).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав. Текст диссертации изложен на 85 страницах. Список литературы содержит 27 наименований.
