Содержание к диссертации
Введение
1 Предварительные понятия 9
2 Цепные операции 27
3. Коцеиные операции 46
4» Внешнее умножение для функтора D 66
5. Внутреннее умножение для функтора 80
6. Преддифференциал суммы Уитни расслоенных
пространств 92
7. О симметрическом произведении Масси 116
Литература 12
Введение к работе
Работа относится к теории гомологии расслоенных пространств. Основной целью работы было изучение суммы Уитни расслоенных пространств LI8J в терминах слагаемых расслоений. Мы интересовались как выражается т.н. преддифференциал ( в смысле [2j ) суммы Уитни расслоенных пространств через преддифференциалы слагаемых. Для простоты ограничиваемся во всей работе случаем, когда гомологии слоя есть свободные модули.
Предварительные понятия
В данном параграфе строятся некоторые цепные операции, нужные для определения суммы скрещивающих коцепей.
Пусть категория полусимгошциальных множеств без операторов вырождения, и пусть есть цепной комплекс с коэффициентами в 2. Тогда С#—-ковариантный функтор со значениями в категории цепных комплексов абелевых групп ( в категории Dfi- модулей). Естественное преобразование вида называется цепной операцией.
Стандартным г-мерным симплексом называется полу симплициальное множество, которое не имеет симплексов размер ности ru , а р-мерными симплексами, p ru , счита ются (.р + О -элементные подмножества упорядоченного множе ства.Функтор Сп, является сво бодным функтором с одной образующей ,которую обозначим через Сопоставление определяет преобразование функторов и, следовательно преобразование ( коумножение) которое для каждого К сохраняет дифференциал. Следовательно, С# можно считать функтором из Л Б категорию ассоциативных коалгебр с коединицей. Ниже мы построим цепные операции специального вида.
Пусть Со4(С) означает композицию функторов С#- и ( ю Очевидно, что этот функтор принимает значения в категории D& алгебр; поэтому имеем естественное преобразование Очевидным образом определяется также естественное преобразование функторов для каждого )f\tj{. оно определяется формулой (1.2) ,стр. 9 ГДЄ СК) Ь 6 С С К) .
Легко видеть, что композиция естественных преобразований функторов (/ 7А)0 ) Т ) есть естественное преобразование которое для каждого К !л. совпадает с умножением в алгебре ( см. опр.18 на стр. 16). Пусть через обозначено множество всех естественных преобразований степени т. из функтора С С СО в Функтор
В градуированном множестве A=lnwj вводятся: дифференциал V и операция сложения —- очевидным образом, а умножение — аналогично тому, как это делается при определении умножения в D бг алгебре А ( К) = Нот (С( К ); Ы{С(\у9 Со(С(К))) » т.е. умножение в А определяется композицией естественных преобразований (Cofc(C)e GA(C)) Co (C) в СоА(С). По отношению к этим операциям п становится UuT алгеброй. Ясно, что для каждого полуоимплициального множест ва определяется проекция Д — А (К) » являющаяся гомоморфизмом алгебр. __ В алгебре Д определим подалгебру Д следующим образом. Определение 29. Естественное преобразование Col) (С) (jot СС/ J назовем регулярным, если для каждого стандартного симплекса 1лу , и образующего в образ rUh. имеет образу ющие типа для которых выполняется условие w(6"H v(ft+0 L = ,--Лр-О, - зо здесь через 1/(6") и W(0 обозначены первая и последняя вершины упорядоченного симплекса 6 .
Лемма 30. Если F F A регулярны, то регулярны также естественные преобразования F F M и УГ П« Вышесказанное определяет подалгебру A=How(C;Coo(C)(xro((-/j регулярных элементов из алгебры
В данном параграфе строится некоторый Ы)-мерный эле мент Е. из DGr алгебры А ,который можно рассматривать как набор цепных операций в некотором,уточненном ниже ,смысле.
Цепные операции
Этот параграф носит вспомогательный характер для 4. В частности, здесь определяются коцепные операции, индуцированные цепными операциями { Е J
Пусть есть Ой- алгебры, а мо дуль, и пусть задано спаривание (3.D K &L — А . Очевидным образом определяется соответствующее цепное отображение (3.2) $: К—»-Hom(L,A). Ясно, что каждое Кбгч определяет отображение модулей S(K): L - А і а каждая пара К, Д бгру определяет гомоморфизм этот гомоморфизм далее будем обозначать через Предложение 42. Пусть задано спаривание (3.1) или, что то же самое, цепное отображение (3.2), и пусть К;К ;Кг_ — такие элементы из ( , для которых коммутативна диаграмма
Тогда для любых элементов р4 р из Qg» алгебры J4jJJ) где С—некоторая DGr коалгебра, справедливо равенство Доказательство. По определению умножения в 0(т алгебре Нои(С А) І имеем где Д С - LC операция коалгебры. В силу леммы 12 имеем равенство Следовательно, получаем другой стороны, по определению умножения в HOVH[C;L)» имеем A (Ft Ю-A = F.-F,. . Предложение доказано. Лемма 43.
Пусть заданы спаривания— А", и элементы К К К еК ; к", К КЇбК"—такие чт0 ком" мутативны диаграммы, соответствующие диаграмме на стр. 46 t Тогда коммутативна диаграмма U Ln L! Ln ; А А"яА @А" (з.з) і A w." x/ W Эта лемма доказывается ниже. Следствие 44. Пусть выполняются условия леммы 43 и пусть Fi)F\_—любые элементы из алгебры Цом (С ; LlLlt) , где С —некоторая коалгебра. Тогда справедливо равенство Доказательство леммы 43. Диаграмму (3.3) представим в развернутом виде, используя определение умножения в тензорном произведении алгебр а также —- в алгебре А вА"). и определение отображения Нижний квадрат есть - произведение коммутативных диаграмм; он коммутативен в силу замечания 14, так как j4Lt. J Ln Л« /А« есть отображения степени С/. Коммутативность верхнего квадрата легко видеть, если принять во внимание равенства 5(Kt)) равенства следуют из ассоциативности Of ( см.стр. 12 ). 12 Лемма доказана.
В дальнейшем будет удобно введение отдельного термина для обозначения коцепей вида S(K)e Г из алгебры Ho« (C;A). Определение 45. Подстановкой элемента кбгК в р-& Н« (Ь,Д) назовем коцепь из Цо\м(С)М ,которая определяется композицией где $ —цепное отображение (3.2) , индуцированное спариванием (3.1). Ниже строятся конкретные примеры спаривания (3.1), а также подстановки, которые имеют применения в последующих параграфах. Пусть С есть DGr коалгебра, Д DGr ал гебра, и пусть через Ч обозначена алгебра - 50 Определим отображение (3.4) В«гп (n)QU(C) - А; которое на гомогенных элементах задается равенствами О ) при рФ г;з-5) w .. wws- «,(«. vf) где " " обозначает умножение в алгебре Д , и где hrtf) =а і-Р (р 0 а есть знак» возникающий при пере становке: УУц-- 8 Нр С, 0- -фСр I—=? Лемма 46. Отображение (3.4) , определенное формулой (3.5) есть цепное отображение (спаривание) D&- модулей. Доказательство состоит в проверке соответствующего равенства на элементах. Спаривание (3.4-) определяет цепное отображение з-. twn(M) - l-U((U(c), А) Если К — некоторый элемент из & rn(M)j то ег0 любую гомогенную , по отношению к индексу р компоненту j p --=( (0--- l p) можно отождествить с элементом из Вяг. (П) И так как в ( ft (m определена операция коалгебры Д ,
Коцеиные операции
В этом параграфе вводится операция сложения для скрещивающих коцепей и доказывается, что этим определяется внешняя операция в множестве преддифференциалов. Пусть С — положительно определенная DGr коалгебра ( т.е. Сс О при С О ) и пусть Д — DCr алгебра, lm-мерный элемент &. из D&- алгебры \\оYA(С/К)иногда будет удобно записывать в виде где верхний индекс L указывает, что К есть компонента элемента u , принадлежащая Howa(Ci:; AL+VW) Через Г1 ( ) обозначим подмножество всех скрещивающих коцепей из алгебры L "= п0м(С;А)» имеющих вид Ы»ЧО+ - + V+- ; Пусть через Gr(i-) обозначена группа делителей единицы, т.е. Сг( ) есть группа О-мерных элементов вида Легко проверяется, что формула определяет действие группы на множество ГКО. Определение 65. Множество орбит по отношению действия (4-Л) называется преддифференциалом и обозначается через - 67 ( см. I ). Легко видеть, что D( ) мокно определить так же, как фактормножество ( )/ по отношению эквивалентности , при котором коцепи п и Я- считаются эквивалентными, если существует 0-мерная коцепь Р р Чр2"- - » » Для которой справедливо равенство U.2) Vp-K- Ч- р- - Р Пусть П. "— некоторая скрещивающая коцепь из алгебры Howi(C; Со (С) Соі(с)) Заметим, что одна из таких коцепей построена в 2 для коалгебры С-СулЮ1 гДе Кб К. —полусимплициальное множество. Для скрещивающих коцепей Є-М(Н«м(С,А)) и J6M(He«(C,l5)) ,где Д и 5 — алгебры, рассмотрим подстановку « («?Ш «№)) Е. В силу леммы 62 эта подстановка есть скрещивающая коцепь из алгебры Нон(С; АЬ). Эту коцепь будем обозначать через Ц- о . Следовательно, формула определяет функториальную внешнюю операцию M(MU))xM(MC,B)) - MOW.(с, А «В», которая зависит от выбора Е . Из доказательства нижеследующей теоремы 2 видно, что эта операция определяет внешнюю операцию во множестве преддифференциалов: - 68 D(MC,A) D(Hom(X,B))— D(MC,A B)), которая зависит только от выбора класса эквивалентности LiLj т.е. не зависит от выбора представителя Е из этого класса; при этом выполняется условие, которое можно назвать условием коммутативности : Cft+$] - CT"(J + {U)J . Пусть IS6JL—полусимплициальное множество и пусть —коалгебра цепей. Далее будем придерживаться следующих обозначений. Соответствующее \\ множество МММ) скрещивающих коцепей и множество D(.Hoh(C/A) преддиффе-ренциалов будем обозначать через [ ((( Д) и Q(K A) . Через І2 будем обозначать скрещивающую коцепь из алгебры Ном(С(К),СоІ(С(К))вСоі(і?(К))) которая удовлетворяет начальному условию: Е М=-хЬ Е Ы=Нх осе-ССЮ. Напомним ( см.теорему I), что такие составляют в точности один класс эквивалентности. Теорема 2. Формула (4.з) а4 к№)ИЫ)Е]--ПП}] где сі е D(K,A), і б Р(К/В) ,в L і д. —любые представители из классов It (А » аб& » определяют внешнюю операцию і - ) D(M)xD№B) D(K,Ae&\ и при этом - 69 а) эта операция не зависит от выбора ЕЕ » в) ассоциативна, с)коммутативна в следующем смысле: (4.5) Lfc+fr] =Ст-(з+0] Для доказательства теоремы нам понадобятся несколько лемм. Если скрещивающие коцепи і и і эквивалентны между собой и эквивалентность осуществляет коцепь р , то коротко будем писать -ft. -L . Пусть заданы скрещивающие коцепи -и. и &- эквивалентные между собой: n -L . Рассмотрим элемент модуля который задается в виде бесконечной сумма (4.6) d-X H)t4K /te...e tePeJLe-eR., где (т,к.) - (т-н)-(і -пН)"Ч , Лемма 66, Пусть f\ k Тогда справедливо равенство v4 = t$U) - $(Ъ) . Доказательство. Несложная проверка с применением формулы (4.2) , соответствующей эквивалентности коцепей -L Лемма 67. Для каждой р-компоненты элемента с = - 70 -- ( Д р) справедливо равенство Рассмотрим г л ) R 6г Нет (с, w(c)e Ш:)вЦ6: определенные равенствами R, = (у ё tol)E; (4.7) _ / і - \ т где у UiC)- U{C) U(C) операция коалгебры,определенная в 2. По определению J , имеем ( -8) J 0)M«H ил- ,., Вычислим fj id Jo Е на произвольном %еС .Имеем Наша цель вычислить значение компоненты CFiJ на ос. Из последних вычислений, и применяя (4.8) , ясно, что CFJ1 ( ) = - + С(Е.о,4+Е4іО)0 Лв = - 71 Проведем аналогичные вычисления для С Fa. 3 . Тогда будем иметь Следовательно, имеем Цр ]Л( )"{ э«ИМ И0х-хФ4в4 . Этим ш доказали, что р и ( имеют одинаковые начальные условия. Лемма 68. Компоненты элементов (4.7) с дополнительной размерностью 4 равны; т.е. Лемма 69. Гд и р2_ .определенные равенствами (4.7), есть скрещивающие коцепи. Доказательство. Рассмотрим v((P« C O«E) -(J C0) (E-E) . Легко проверить, что 9L(A есть гомоморфизм алгебр сл(с)(Ц(с)- a(c)e(U(c)« (0, так как р , и конечно іА ,есть гомоморфизмы соответствующих алгебр. Поэтому, имеем -(j @u?l) (E E) - (j @tc()j4 (Е Е)Д - 72 = «( (p"crf) E в (U j )oE) Д = =, - ( (j BYo()oE) .( (j ecd)oE) . Лемма доказана. Легша 70. Пусть Т \ Д ( —7 В А Цепное отображение перестановки. Тогда ""[""о _ удовлетворяет условию скрещенности v(T.E) = -(T-E)4TE). Доказательство. Легко доказать коммутативность диаграммы где ул — ушожение в алгебре Действительно, где =-и) мЫ-мй,+о1гм(ад,)-0м(М/) с другой оюроны, имеем - 73 С/ (тт)] ((a «Ma«0 4 )) = (-0 у«(««)«( » »«)) а dVtfl.0fii O-f ifwiOt dttoli -ЮІСмА-оІГм -! Этим доказана коммутативность диаграммы. Далее, имеем v (Т-Е)-ТЧ S7 Е)--Т (Е Е) = = -/ (-[" Е вт-Е)»Д--(Т«Е) СТ-Е). Лемма доказана. Доказательство теоремы 2. Покажем, что формула (4.3) корректно определяет операцию (4.4). Для этого достаточно показать эквивалентность скрещивающих коцепей (4.9) I 4 j. jL + j , где I и И эквивалентны между собой. Пусть эквивалент ность 4\ А осуществляет некоторая 0-мерная коцепь
Внутреннее умножение для функтора
Так как дифференциал в ] определяется при помощи некоторой скрещивающей коцепи (\&Н » т0 комплекс (6.15) обозначим через _ Н.Берикашвили доказал следующее .2 Q: а) существует пара коцепей такая, что удовлетворяется равенство (6.16) VK - К к у где через " " обозначено очевидным образом определенное действие и компонента К коцепи К. удовлетворяет условию: для каждого 0-мерного симплекса есть некоторый гомоморфизм выбирания цикла, в) Каждая такая пара П і -) определяет отображение по формуле которое индуцирует изоморфизм групп когомологии комплексов
В работе также доказывается, что каждое такое к. удовлетворяет условию скрещенности (легко следствие равенства (6.16) и множество таких -п- составляют в точности один класс в множестве скрещивающих коцепей М(И) и,следовательно, определяет элемент из множества преддифференциалов цН), Этот элемент называется преддифференциалом О-мерной локальной системы С С-М бБ Обозначим его через о((С). Преддифференциал функториален: если у ) —- J3 и есть индуцированная локальная система над ) ,то (б((С/]= =- о( ( С у »где і есть индуцированное отображе ние D(H)- DCH ).
Для постановки нашей задачи предварительно определим тензорное произведение 0-мерных локальных систем.
Определение 80. Тензорным произведением 0-мерных локальных систем С1 и С1 » которые заданы над упорядоченном комплексе 15 , называется 0-мерная локальная система С-С4С над тем же комплексо определенная следующим образом. Каждой вершине &Ъ сопоставляется Об" модуль и каждому \ -симплексу Цепной гомоморфизм
Пусть через (х и бг обозначены локальные системы типа когомологии (j-(c) и Сг(0 » соответствующие О-мерной локальной системе -мерной локальной системы С С определяются коцепные комплексы Нашу задачу можно сформулировать следующим образом. Пусть над упорядоченным симплициальным комплексом р заданы О -мерные локальные системы С и С » и пусть соответствующие этим системам преддифференциалы. Наша цель выразить преддифференциал 0-мерной локальной системы " при помощи некоторой алгебраической one рации, мину я решение уравнения (6.16) для этой локальной системы. Эта задача решается в конце данного параграфа с помощью операции 4- » построенной в 4; решение сформулировано в теореме 4. Вспомогательные PGr модули и леммы Заметим, что в каждой Р-компоненте произведения d может оказаться не более , чем конечное число ненулевых слагаемых, тан как каждый J имеет конечное число граней. Легко видеть, что определенная нами операция ассоциатив на, согласованна с операциями сложения и умножения на скаляр. Также очевидно, что если СІ& м ,то Это немедленно следует из того, что при композиции отображений степени этих отображений складываются.
