Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Вещественно факторные отображения и пространства .20
1.1. Общие свойства вещественно факторных отображений . 20
1.2. Факторпространства и . F -тривиальные отображения 27
1.3. Пространства 33
1.4. Функциональная теснота произведений 43
ГЛАВА 2. Об одном способе построения примеров М-эквивалентных пространств 50
2.1. Вещественно факторные отображения и топологические группы . 50
2.2. Основная теорема 54
2.3. Примеры М-эквивалентных пространств 58
ГЛАВА 3. Об операции, двойственной операции хьюиттовского расширения 74
3.1. Операция функционального t -рас
слабления 74
3.2. Двойственность операций хьюиттовского X -расширения и функционального X -расслабления 78
Литература
- Факторпространства и . F -тривиальные отображения
- Функциональная теснота произведений
- Примеры М-эквивалентных пространств
- Двойственность операций хьюиттовского X -расширения и функционального X -расслабления
Введение к работе
Понятия факторного отображения и факторпространства относятся к числу фундаментальных понятий общей топологии. Возникшие :;уже на начальном этапе развития этой области математики в работах П. С. Александрова [24] и Р.Л. Мура [43] , уточненные и обобщенные Р. Бэром и ,$. Леви [27] , они прочно вошли в ее арсенал. Операция перехода к факторпространству нашла применение в большом количестве топологических конструкций, наряду с операциями тихоновского произведения и перехода -к подпространству. Изучению класса факторных отображений и различных его подклассов - классов открытых, замкнутых, совершенных и других отображений - посвящена значительная часть современной теории непрерывных отображений.
В ряде случаев, однако, переход к факторпространству ограничен тем, что эта операция выводит за пределы класса тихоновских пространств. Такое может произойти даже если рассматриваемое разбиение тихоновского пространства содержит единственный неодноточечный замкнутый элемент. Между тем, требование тихоновости рассматриваемых пространств стало стандартным в большинстве разделов общей топологии, во многом благодаря, работам А. Вейля [5І] и А.Н. Тихонова [49] , которые показат ли, что класс тихоновских пространств совпадает с классом ра-вномеризуемых пространств и с классом пространств, имеющих ха-усдорфовы компактные расширения. С другой стороны, в рассуждениях, связанных с факторными отображениями, основную роль часто играет: следующее "свойство деления": если % : X — Y факторное отображение, и j : Y—»Z " такое отображение -,5,-что композиция jо xi непрерывна (отображения с этим свойством мы будем называть ті -непрерывными), то отображение у непрерывно. Как известно, это "свойство деления" характеризует факторные отображения в категории всех топологических пространств и непрерывных отображений; как выясняется, в категории вполне регулярных пространств это свойство выделяет более широкий класс отображений. Отображения, принадлежащие этому классу, называются вещественно факторными, или, коротко, R -факторными. Нетрудно установить, что отображение -fi R-факторно тогда и только тогда, когда каждая вещественнозначная
Н -непрерывная функция непрерывна, что и объясняет появление символа К в соответствующем термине. Отметим, что иногда вещественно факторные отображения именуются просто факторными, при этом оговаривается, что все рассуждения проводятся в категории вполне регулярных пространств.
Понятие вещественно факторного отображения позволяет определить в классе вполне регулярных пространств операцию, аналогичную классической операции перехода к факторпространст-ву: если I - разбиение пространства X , и каноническая проекция, то на множестве Y существует единственная вполне регулярная топология, относительно которой отображение -факторно. [39] ; пространство Y » наделенное этой топологией, называется К -факторпространством пространства Л . В,общем случае топология R -факторпрост-ранства не является тихоновской: как показал Дк. Исбелл [37j , произвольное топологическое пространство 2 является образом при непрерывном факторном (даже открытом) отображении некоторого наследственно паракомпактного нульмерного в смысле aim пространства; если взять в качестве пространства 2 регулярное пространство, на котором каждая непрерывная вещественная функция постоянна (см., например, [.35] ), то R -фактортопо-логия на множестве 2, , порожденная таким отображением, окажется антидискретной. Из приведенного примера следует, что на пространстве разбиения не всегда можно выбрать тихоновскую топологию, относительно которой отображение проектирования непрерывно, даже если соответствующая фактортопология регулярна.
Настоящая диссертационная работа посвящена изучению класса непрерывных вещественно факторных отображений и применениям операции перехода к К -факторпространству в теории кардинальных инвариантов, теории свободных топологических групп и теории пространств непрерывных функций в топологии поточечной сходимости.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Александру Владимировичу Архангельскому за руководство работой и постоянные внимание и поддержку.
Факторпространства и . F -тривиальные отображения
Оставшуюся часть доказательства проведем отдельно для случаев, когда отображение р является соответственно -Jv-J -и 71 -отображением. а) Пусть Р - ъ$ -отображение. Тогда функция 4. на пространстве \ , .заданная правилом: QСЧ) = -5 Up { ± Сх) : Хбр С )j непрерывна. Значит, множество = $ (±) замкну то. Ясно, что р(\7ПН) С- р і и так как точка 0Со при надлежит замыканию множества U П Н , имеем: о = р(эс) 6 (ь . Следовательно, -6u.p{ [Dc) : ХЄ F 0 ] = і э и найдется точка Xj р. такая, что 1 (Х±) а. Тогда if (3CJL) а , т.е. ХІЄНО. Но тогда ХА Нс,П Rj T . Так как ±i!\) z\_0} , получаем противоречие. б) Пусть отображение р является (\," -отображением.
Множество 14 = tfІ (1) содержит пересечение V П Н » следовательно, ОСс С МП у . Множество = р (М) замкнуто в пространстве Y и содержит точку U0 = р (XoJ - это следует из включения U П И с I» и непрерывности отображения р . Поэтому должна найтись точка ЭС± Н такая, что pCXi)= о , т.е. ОСАЄІМ П.Р . Но М П F 0 = = Н П М П F o = И ПТ = 0 , так как функция Ц А тождественно равна 4 на множестве М и тождественно равна нулю на множестве Т . Полученное противоречие доказывает замкнутость множества И
Пусть тъ : У- » Y - отображение пространства У на множество Y На множестве Y существует, вообще говоря не единственная, топология, относительно которой отображение iv R -факторно, - такой будет, например, фактортопология. С. М. Карник и С. Уиллард показали [39] , что среди таких топологий существует единственная вполне регулярная. Эта топология будет далее называться R -фактортопологией, а пространство Y » наделенное этой топологией - R -факторпространством пространства X относительно отображения -уь (обозначение A/R п ) Пространство Y , наделенное фактортопологией, будет обозначаться X / fl
Пространство Х/д п/ » по определению, всегда вполне регулярно. Отметим, что оно далеко не всегда является -пространством - даже когда прообразы всех точек,при отображе ний и, замкнуты в пространстве X (1.2.1) Пример. Пусть X не нормальное тихоновское пространство, Ft , F - замкнутые дизъюнктные не функцио нально отделимые множества в X . Пусть, далее, Y = Fi » f"5- , \х] : ЗСвХ\(F (75Jj- разбиение пространства X , и 71 X " Y - проекция. R -факторпространство У /R гь не является Т -пространством - в противном случае оно было бы тихоновским, и нашлась бы непрерывная функция -f на Y такая, что 1 ( = 0, (р = . Функция о ть осуществила бы тогда функциональную отделимость множеств р 1 , F L В X .
Отметим, что проекция n, : X Y на факторпространство і = Xf т\ является, очевидно, замкнутым отображением.
Отображение может служить примером R -факторного не факторного отображения (если бы Jf\, было факторно, X/RYU оказалось бы Mi -пространством). (1.2.2) Предложение. Пространство X/R. TV - тихоновское тогда и только тогда, когда пространство X / К функцио нально хаусдорфово.
Доказательство. Топология пространства X / fu содержит R -фактортопологию (таккак факторная топология содержит любую топологию, относительно которой отображение tv непрерывно) , поэтому из функциональной хаусдорфовости пространства X/R и/ следует функциональная хаусдорфовость пространства X/fi/ Необходимость доказана.
Функциональная теснота произведений
Теорема. Пусть р : X Y " открытое совершенное отображение тихоновского пространства X на К$ пространство Y , удовлетворяющее аксиоме отделимости "71 . Тогда X - Kf- -пространство.
Доказательство. Пусть Х=Ф{ А : Ас X , А компактно,} , и ft : Х- X - естественное отображение. Покажем, что р является yi -отображением.
Пусть 1 : Х"" 1 - тъ -непрерывная (т.е. к -непрерывная, см. теорему (І.З.І)) функция, и функция Й на пространстве Y определена правилом: 3(4) = 4 Up \ С&) Х6 р (L/)J для всех Ч Y Пусть - компактное подпространство пространства Y и С = р (В) . Так как отображение р совершенно, пространство С компактно. Обозначим 10 , о сужения функций If , Q соответственно на подпространства С , В ; ясно, что фЧЦ-) = $Ы рШ\х,\ : Хр )]для всех Ц В . Функция if непрерывна, так как функция ( R -непрерывна. Сужение рв = Р С : С - В отображения р на полный прообраз С множества 3 открыто и совершенно. Из теоремы В.И. Пономарева [22J следует теперь непрерывность функции Q . В силу произвольности выбора компактного подпространства 5 тем самым доказана к -непрерывность функции (\ . Так как Y » по условию, к і. -пространство, функция (К непрерывна, и D - fif -отображение.
Из леммы (1.3.6) и компактности прообразов точек при ото бражении р следует R, -факторность сужений &[(р 11,)1 №я всех и Y .Из предложения (ІЛЛІ) следует теперь R -факторность отображения ft, » и X - &,. -пространство в силу теоремы (1.3.2).
В этом параграфе изучается поведение функциональной тесноты при операции тихоновского произведения двух пространств. Пусть X » Y " тихоновские пространства, и 2 = Xу Y их тихоновское произведение. Проекции Ру : 2-=» X » Y : Z Y " открытые отображения, поэтому всегда Ь0 lx)e(V)4 "to(z?) . В этом параграфе приведен пример пространств X и і , для которых такое неравенство оказывается строгим (теорема (1.4.8)), и показано, что если пространство X локально компактно, .то для любого пространства Y "to (z?) = "fc0 (Х) х Tol \) Дтеорема (1.4.5) ;. заметим, что для компактных пространств X соответствующее утверждение сразу следует из теоремы (1.3. 16)).
Будем говорить, что непрерывное отображение р : X Y тихоновского пространства У на пространство Y Т -замкнуто, если для каждого замкнутого подпространства А пространства X » такого, что &(А) Т , сужение Р А А"" рСА) отображения р замкнуто. Ясно, что каждое замкнутое отображение 7 -замкнуто для любого кардинала Т .
Теорема. Пусть X , Y " тихоновские пространства, Z = X Y и пРекпия Рч : Z Y 7Г -замкнута. Тогда если to OOtofYHT , то и і Д"2Н 7; Доказательство. Пусть 2 = Ф A : Ас Z IA 1 7, и ті : Z - 2 " естественное отображение. Проверим, что про- , екция р является Y\,-f -отображением.
Действительно, пусть Ц7 : Н- Т - ft -непрерывная и, следовательно, Т -непрерывная функция (см. теорему (1.3.1)), (\ - функция на пространстве Y , определенная правилом: 2(.) =-4Up[ f(3C,y) : ХЄ XJ. Проверим Z -непрерывность функции 9 .
Пусть А - подпространство прортранства Y t и 1А Т . Зафиксируем для каждой точки (Х Д счетное множество Во. -С X такое, что . g(CL) = -Зир Сэс,о): Х Бл] , и рассмотрим множество В = U j Во. : d А} . Ясно, что [Е Ц х .пусть А - [A]Y . В = [В]Х ,и С = = Б А Множество В А плотно в подпространстве С пространства 2" f и І Е А І " » поэтому проекция рА» : С - А , являющаяся сужением на С 7Г -замкнутого отображения рч , замкнута. Кроме того, і0(С) d (С) X (см. [25] ), и сужение функции Ц? на пространство С непрерывно. Рассмотрим функцию Q на пространстве Y t определенную правилом: 3 (У) = 4UD (Я.у): 2С Bj Для каждой точки Х А . Функция Q1 непрерывна [22] , [45] , и очевидно 2 1А = 2 IА . Значит, сужение ft 1А функции 2 непрерывно. В силу произвольности выбора множества А функция 2 Т -непрерывна.
Примеры М-эквивалентных пространств
Действительно, пусть Ц7 : Н- Т - ft -непрерывная и, следовательно, Т -непрерывная функция (см. теорему (1.3.1)), (\ - функция на пространстве Y , определенная правилом: 2(.) =-4Up[ f(3C,y) : ХЄ XJ. Проверим Z -непрерывность функции 9 .
Пусть А - подпространство прортранства Y t и 1А Т . Зафиксируем для каждой точки (Х Д счетное множество Во. -С X такое, что . g(CL) = -Зир Сэс,о): Х Бл] , и рассмотрим множество В = U j Во. : d А} . Ясно, что [Е Ц х .пусть А - [A]Y . В = [В]Х ,и С = = Б А Множество В А плотно в подпространстве С пространства 2" f и І Е А І " » поэтому проекция рА» : С - А , являющаяся сужением на С 7Г -замкнутого отображения рч , замкнута. Кроме того, і0(С) d (С) X (см. [25] ), и сужение функции Ц? на пространство С непрерывно. Рассмотрим функцию Q на пространстве Y t определенную правилом: 3 (У) = 4UD (Я.у): 2С Bj Для каждой точки Х А . Функция Q1 непрерывна [22] , [45] , и очевидно 2 1А = 2 IА . Значит, сужение ft 1А функции 2 непрерывно. В силу произвольности выбора множества А функция 2 Т -непрерывна. По условию, tolY) Г , и функция непрерывна. Итак, проекция p f является rt- -отображением.
Прообраз Х Ч] при отображении Dy каждой точки Ц У гомеоморфен пространству X , и следовательно имеет функциональную тесноту, не большую X Из леммы (1.3.6) теперь следует, что все сужения тить" (Х 1у1/ R-факторны. Применяя предложение (I.I.IX), заключаем, что отображение уь R -факторно, и to ( і Z в силу теоремы (1.3.2). (1.4.2) Теорема. Пусть X , .Nf - тихоновские простран ства, причем пространство X сильно X -компактно. Если ЫхНг ЛЛХНг ,то-кс(2)4г
Доказательство. Достаточно проверить, что проекция pY : ЛХУ— Y X -замкнута. Пусть F - замкнутое подпространство пространства У У »и $ (F) 6 t Подпространство р = [рхСЮ Jx (гДе рх : ХХУ Х -проекция) пространства X замкнуто, и л(р)4?Г . Так как пространство У , по предположению, сильно . X -компактно, пространство S компактно. Проекция pv : р У- У замкнута по известной теореме К.Куратовского [Зі] , и сужение pY \ р = — PY \F замкнуто.
Из теорем (1.3.10) и (1.4.2) следует несколько неожидан? ная (ср. [7] ) (1.4.3) Теорема. Пусть X - тихоновское пространство, и "to (Х) 4 X Существует тихоновское расширение X про странства X такое, что для каждого тихоновского пространства Y если Хї , то Так как локально компактное тихоновское пространство от крыто в каждом своем тихоновском расширении, из теорем (1.4.3) и (1.3.4) получаем: (1.4.4) Теорема., Если тихоновское пространство X ло кально компактно, то для каждого тихоновского пространства. выполнено: to (X KY/ = "to(X)tolY)
В заключение параграфа приведем пример, показывающий, что функциональная теснота вообще говоря не мультипликативна в классе тихоновских пространств. Фактически мы построим пример, показывающий немультипликативность слабой функциональной тесноты "tm(X) » имея в виду применение в теории М-эквивалент-ных пространств (теорема (1.4.8)). Отметим, что всегда 4ЫХ)бШ) Ґ25І. (1.4.5) Лемма. Пусть X - Ц -пространство с единст венной неизолированной точкой. Тогда "L (X) ="t(X)
Доказательство. Достаточно проверить, что Пусть X - кардинал, и X (Х) Т . Покажем, что tm(X) T. Найдется Т -замкнутое незамкнутое подмножество А пространства X Ясно, что функция , тождественно равная 0 на множестве А и тождественно равная 1 на множестве Х А строго Т -непрерывна и разрывна на пространстве X (1.4.6) Лемма. Пусть X Y " 41 -пространства, каждое из которых содержит единственную неизолированную точку, пространство 2 = X Y Тогда-fc (Z) ."h(H)
Двойственность операций хьюиттовского X -расширения и функционального X -расслабления
Двойственность операций хыоиттовского Т -расширения и функционального t -расслабления.
Определение. Хьюиттовским X -расширением "V X пространства X называется верхнее Т -замыкание пространст ва X в,его стоун-чеховском расширении в X (в топологии подпространства пространства В X ). Ясно, что л)гХ v-fr X при /У ; если Г = W0 і расширение х X совпадает с расширением Хьюитта S X про странства X [44J , [12] в частности, пространство X С-вложено в каждое расширение Nt X .Из определения чис ла Хьюитта 3 СХ) следует, что если С(0 )4. t » то Z X = X Ясно также, что всегда fl(VrX)4 Операции хьюиттовского Т -расширения,и функционального t -расслабления оказываются двойственными в следующем смысле: (3.2.2) Теорема. Пространства Pt (Лр 00 ) гомеоморфны.
Доказательство. Пусть отображение с ставит в соответствие каждой функции КО С, ("S)7; X) сужение [Уб. Со [X) функции . Отображение с очевидно не прерывно и линейно. Так как пространство X плотно в .простран стве SxX , отображение с взаимно однозначно, и так как пространство X С-вложено в Д , L - отображение на. Значит, отображение t биективно, и можно считать, что про странства Со имеют одно и то же несущее множество . Топологии пространств Со СХ) » [уО\Ух ду на множестве С-(.л) обозначим соответственно » J Очевидно \Г - сГл) . Покажем, что то пологии Т и Т- ) Z -согласованы. Для каждой точки QCG z X обозначим Эс линейный функционал на линейном пространстве ССл) , заданный прави лом: ХС ) = СХ) для каждой функции G СС\) . Тогда топология Т - слабейшая, относительно которой не прерывны все функционалы ОС , ХЄ т X , и все функ ционалы X при ХЄ X непрерывны относительно топологии Т [53.
Пусть А подмножество множества С OS) » и 1А\ 4: Z . Для доказательства Z -согласованности топологий и J достаточно проверить, что сужение ЭС0 I А каждого функционала Хо при ОС0 Х непрерывно относительно топологии J (А
Зафиксируем точку ЭС0 и рассмотрим подмножество аП "1( СХ»)) : Lg Є А} пространства х X .Так как А1 4 % » и каждое множество LP ((jP{.Xo)) , 6 А имеет тип в пространстве N X » множество _Е име ет тип \у% в t Х . Значит, .РП X 4 $ , и найдется точка Хі ХПР . Имеем: if СЗСі) = СЭС) для каждой функции Є А , т.е. ХоА = У-і \ А » откуда следует непрерывность сужения OColA относительно топологии \ А
Мы доказали, что топологии 7 и J- -согласованы. Из неравенства Q С тХ) 6 следует, как показал В.В. Успенский [50] , что -U(Cp( r )) Т . -В силу предложения (З.і.з), д) Тл) = Г(Х) , и теорема дока зана. (3.2.3) Следствие. Если пространства X и V "fc эквивалентны, то пространства )г X и N t Y t -экви валентны.
На пространстве тгС РІХ)) имеется естественная .линейная структура; из теоремы (3.2.2) следует, что она согласована с топологией. (3.2.4) Следствие. Если пространства д и эквивалентны, то пространства Six X и z V V -эквива лентны.
Отметим, что следствие (3.2.4) для 7Г = rfo было получено другим методом в работе [зоЗ . согласованность топологий пространств t-r (_Xj и Cp(StX) в совокупности с предложением(3.1.4) позволяет доказывать различные свойства расширения Теоремы (3.2.5) и (3.2.6) доказываются общим рассуждением: из теоремы (3.2.2) следует, что для любых пространств Ч и В Sr(CpCYKfte)) - г(Ср(\Ф2)) = (Л)гї Ф1Г Н) - г {С? (,V))x r ССр(). Значит, топологии пространств СрО )П и р(ЧъХ),г -согласованы при .каждом КА . Утверждения теорем следуют теперь из предложения (3.1.4) и равенств: -& (В) в- (. рС2)) » ть Л?)-п2 (Ср () для каждого пространства Н [14] , [52] .
Теорема. Пространство X Z -устойчиво тогда и только тогда, когда пространство Vr X X -устойчиво. Доказательство. Утверждение теоремы следует из теоремы (3.2.2), предложения (3.1.4) и того, что пространство "X -устойчиво тогда и только тогда, когда пространство Ср(Х) 1С-монолитно [1(0 .
Следующая теорема позволяет охарактеризовать расширение Хыоитта пространства в терминах пространства д
Будем обозначать символами Cp(jX) , Со Сх) соответственно пространства -непрерывных и строго. С -непрерывных функций на пространстве X в топологии поточечной сходимости на X (т.е. в топологии подпространств пространст-ва [ всех функций на X ). Для каждого подпространства А пространства X символом Ср[Х I А) обозначим подпространство пространства Сь[і\) » состоящее из всех сужений
