Содержание к диссертации
Введение
1 Периодические свойства степеней отображений многообразий Зейферта 20
1.1 Формула для вычисления степеней отображений 20
1.1.1 Модульная структура на группах цепей накрывающего пространства 20
1 1.2 Определения некоторых понятий . 24
1.1.3 Вычисление степени отображения . 25
1 2 Алгоритм вычисления степеней отображений . 26
1.2 1 Вычисление граничного цикла 26
1.2.2 Граничный цикл многообразия 28
12 3 Вычисление индуцированного отображе ния двумерных цепей 35
12 4 Двойственные образующие фундаменталь ной группы 37
12 5 Вычисление характеристической коцепи 38
1.3 Периодичность сіопеней оюбражений многооб разий Зейферта 40
2 Решение проблемы перечисления минимальных многообразий Зейферта 45
2.1 Гомологическая сфера Пуанкаре . 45
2.1.1 Фундаментальная группа .45
2.1 2 Характеристическая коцепь для S3/Pi2o 46
213 Операция лоїарифмирования для 53/Pi2o 46
2.1.4 Сіепени отображений 53/Pj2o на себя . 47
2 2 Компьютерный эксперимент 48
2.3 Вспомогательные утверждения и определения . 49
2.4 Минимальность многообразий серии dl . 50
2.5 Минимальность многообразий серии d2 . 56
2.6 Минимальность многообразий серии. 57
2.7 Минимальность многообразий серии d4 . 60
2.8 Список минимальных многообразий Зейферіа . 69
Библиография
- Определения некоторых понятий
- Вычисление индуцированного отображе ния двумерных цепей
- Характеристическая коцепь для S3/Pi2o
- Минимальность многообразий серии d2
Введение к работе
0.1 Основные определения и обзор литературы
0.1.1 Многообразия Зейферта
Напомним, что n-мерным многообразием в топологии называется топологическое пространство, каждая точка которого имеет окрестность, гомеоморфную n-мерному диску или n-мерному иолудиску Множество точек, не имеющих окрестности, гомеоморфной гс-мерному диску, называется краем В настоящей работе мы будем рассматривать только замкнутые (компактные, без края), связные, ориентируемые, триангулируемые трёхмерные многообразия Кроме того, большинство рассматриваемых нами многообразий будуг многообразиями Зейферіа, поэтому остановимся подробно на этом понятии.
Прежде чем определить многообразие Зейферта, определим понятие "расслоенное нолногорие". Рассмотрим круглый прямоугольный цилиндр D2 х /, разбитый на отрезки вида {*} х /. Склеим основания цилиндра по повороту на угол -^, где а и (3 — пара целых взаимно просіьіх чисел, а > 1. В результате такой склейки, вертикальные отрезки склеятся в замкнутые кривые, и мы получим полноторие, разбитое на слои, гомеоморфные окружностям, или расслоенное полноторие с параметрами (а, /3) Расслоенное нолногорие с параметрами (1, 0) называется тривиально расслоенным.
Введение
Определение. Многообразием Зейфергпа называется компактное ориентируемое ірехмерное многообразие, разбитое на слои (юмеоморфиые окружностям) так. чіо каждый слой имеет целиком состоящую из слоев окрестность, послойно юмеоморф-ную расслоенному иолноторию Фактор-иространсгво многообразия Зейферта по слою (то есть, но такому отношению эквивалентности, когда ошждесівляюіся все 'іочки каждого слоя) называется базой многообразия Зейфергпа Слой, окресі-ноеіь коюрого послойно гомеоморфна тривиально расслоенному иолноторию (иолноторию D2 х S1, разбитому на слои вида {*} х S1), называется неособым или регулярным
Конструктивное определение мної ообразия Зейферта M(F] (at, /?i), г = 1,..., п), где F — замкнутая ориентируемая (и ориентированная) поверхность, и (аг,Д) — пары взаимно простых чисел, можно дать следующим образом. Удалим из поверхности F внутренности п непересекающихся дисков (полученную поверхносіь назовём F') Многообразие F' х 51 имеет на краю п торов. Выберем на каждом из них систему координат, параллель - кривая {*} х S1 (ориентация совпадает с ориешацией окружности 51), меридиан — соотвеї-сівующая комионеніа края поверхности F' с ориентацией, индуцированной ориентацией поверхности F Приклеим к г-ой (г = 1,...,гс) комионеніе края полноторие по такому юмсо-морфизму края, чтобы край меридионального диска полното-рия переходил в кривую (аг, Д) на краевом горе многообразия F' х 51 Полученное іаким образом замкнутое многообразие и есіь многообразие Зейферта M(F\ (аг, Д),г = 1,.. ,п) Осевые окружности вклеенных полноторий называются особыми слоями, а числа (аг,А) параметрами особых слоев
Следующие операции с особыми слоями замкнутого многообразия Зейферта не меняют мноюобразия (см например [1] или [3])*
Введение
1 перестановка особых слоев,
смены знаков вторых параметров всех особых слоев;
добавление или удаление особого слоя с параметрами (1,0);
4 замена пары особых слоев с парамеїрами (аг, Д), (oij,(3j) (г ф j) на пару (а„ Д + а,), (а,, / - агД
Более подробную информацию о многообразиях Зейфер-та можно найти, например, в [1] или в [3].
0.1.2 Степень отображения
На языке теории гомологии понятие степени отображения формулируется следующим образом (см., например, [2]). Пусть М и Р — замкнутые связные ориентированные n-мерные многообразия. Тогда любое отображение / : М -} Р индуцирует гомоморфизм групп гомологии (р : Нп(М) —> Нп(Р). Так как Нп(М) = Нп(Р) = Z, то гомоморфизм ip есть умножение на целое число.
Определение. Степенью отображения / называется целое число deg / = ір{1)
Там же доказаны следующие свойства степени отображения:
Степень являєіся гомотопическим инвариантом отображения, т. е степени гомотопных отображений равны.
Степень обладает мультипликативным свойством: степень суперпозиции отображений равна произведению их степеней.
3 Степень тождественного отображения многообразия на себя всегда равна 1.
Введение
4. Степень несюр ьективного ojобряжения равна О
Степень как гомоюпический инвариант отображения используется для решения мної их различных задач топологии и теоретической физики (см , например, [16, 17]). Пожалуй, самая извесіная из них — интегрирование дифференциальных форм но многообразиям Извесіна следующая формула (см , например, [29]). если М и Р - замкну і ые, связные, гладкие, ориешированные n-мерные многообразия, w - дифференциальная форма, заданная на М. и / гладкое оіображение из М в Р. то
/ f*w = deg / / w
Jp Jm
Среди других (относительно новых) областей применения поняіия степени отображения следует оіметить оригинальный способ нахождения числа общих касаіельньїх к двум кривым на плоскости как степени отображения между некоюры-ми двумерными горами, предложенный М. Поляком (пока не опубликовано)
С 1997 года в зарубежной и оіечественной лиіературе исследуется oj ношение часгичною порядка на множесіве замкнутых ориентируемых трехмерных многообразий, определяющееся оущесівованием отображения степени один
В рабоїе [19]К Хайат-Леїран, Ш Вонг и X. Цишанг рассматривают следующее отношение d-doMumipooamm на множестве замкнутых ориентируемых ірехмерньїх многообразий
Определение. Пусть М и Р — два замкну і ых ориентируемых трехмерных многообразия. Будем говори і ь. чю мною-образие М d-doMUHiipijcm многообразие Р, если существует оіображение сіепени d из М в Р
Отношение 1-доминирования (или просто доминирования) обычно обозначается знаком > В работе [19] оно называет-
Введение
ся о і ношением мастичного порядка Это верно, если под "равенством" многообразий понимать их гомотопическую эквивалентность.
Пример 0.1. Пусть М и Р — гомотопически эквивалентные линзовые пространства 1*7,1 и 1/7,2 соответственно. Тогда М > Р и Р > М (Линзовые пространства 7,1 и 7,2 гомотопически эквивалентны.)
Замечание 0 1. Любое замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие М допускает отображение степени 1 на себя и на сферу S3, то есть, М > М и М > 53.
Определение. ([19]) Многообразие М называется минимальным многообразием, если оно допускает отображения степени один только на многообразия, гомеоморфные М или 53.
Известно множество результатов, касающихся отношения доминирования Перечислим основные из них.
Каждое отображение степени 1 гомотопно некоторому "выщипыванию" (англ. "pinch") [4, 5, 22].
Определение. Пусть М — трёхмерное многообразие, и тор Т2 С М разбивает его на два подмногообразия М\ и Mi Пусть /і С Т2 — простая замкнутая нетривиальная в Т2 кривая, ограничивающая двустороннюю поверхность F в многообразии М<ї. Ff)dM2 = /і. Пусть многообразие Р получено из многообразия М\ приклеиванием полнотория V по тору Т2 так, что кривая \і становится меридианом полно юрия V. Пусть отображение / : М -» Р обладает следующими свойствами
1. ограничение /\м^ является тождественным отображением;
Введение
/ отображает поверхность F в меридиональный диск D С V, оіраниченньїй кривой ц, и отображает регулярную окресіность N(F) С Мг в регулярную окрестное гь N(D) с V,
/ отображает М2 \ N{F) в V \ N{B).
Тогда оюбражение / называется выщипыванием (pmch).
Метод выщипываний использовался в рабо і е Й. Ронга [24] для поиска 01 ображений степени один между мноіообра-зиями Зейферіа ("меюд Ронга").
# Теорема жесткосіи Громова-Торс і она для іиперболиче-ских многообразий
Теорема 0.1. [6/ Отображение степени один между гиперболическими трёхмерными многообразиями одного и того же гиперболического объема гомотопно изометрии
Эта іеорема получила некоюрое усиление и обобщение на случай многообразий Хакена в работах Т. Сомы
Теорема 0.2. [12, 15/
1) Пусть f : М —> Р - отображение степени один
между двумя замкнутыми гиперболическими трехмер
ными многообразиями, причем гиперболический об?>ем
Vol(M) < V, V > 0 Тогда существует такая констан
та с = c(V), что из неравенства (l-c)Vol(M) < Vol(P)
следует, что f гомотопно изометрии.
2) Пусть f : М -4 Р — отображение степени d меж
ду двумя такими многообразиями Хакена. что \\М\\ =
d\\P\\. тогда/ гомотопно некоторому отображению, пе
реводящему Н(М) в Н(Р) накрытием Здесь ||*|| — нор
ма Громова, а #(*) — гипербо гическая часть многооб
разия в J S,J-разбиении
Введение
Известно несколько результатов, касающихся связи отно
шения доминирования и других мер сложности трёхмер
ных многообразий
Если М > Р, группы гомологии многообразия Р являются прямыми слагаемыми соответствующих групп гомологии мноюобразия М ([10]). Кроме чого, отображение степени один индуцирует сюръективные гомоморфизмы фундаментальной группы и групп гомологии
Если М > Р, то||М|| > ||Р||, где ||*||-норма Громова
(И).
3) Если М > Р, то N(M) > N(P), где iV(*) - число раз
личных попарно непараллельных несжимаемых поверх
ностей в многообразии ([26]).
Несколько важных недавних результатов посвящены ис
следованию свойств отношения доминирования.
Теорема 0.3. [25, 20, 13] Любое замкнутое ориентируемое многообразие доминирует конечное число геометрических многообразий.
Теорема 0.4. [23, Ц] Для любого трёхмерного многообразия М существует такое натуральное число Nm, что если М = Mq -> М\ —> ... -* Mi есть последовательность отображений степени один, k > Nm, и каждое Мг (г = 1,...,к) допускает геометрическую декомпозицию, то последовательность содержит гомотопическую эквивалентность.
Кроме того, в работе [19] широко исследованы степени отображений мноюобразий Зейферта и для многих случаев определено существование или несуществование отображения степени один Некоторые из нерешённых случаев рассмотрены в работе [21]; там же построен алгоритм вычисления сіепени отображения, базирующийся
ВвсАОїше
на исследовании индуцированного оюбражения двумерных цепей, и проведён компьютерный эксперимент по вычислению степеней отображений некоторых мноюобра-зий Зейферта.
Несколько резулыаюв, полезных для настоящей работы, касаются перечисления возможных степеней отображений на себя мноіообразий Зейферта с конечными фун-дамешальными ірупиами.
Теорема 0.5. [28J Пусть М — многообразие Зейферта с конечной фундаментальной группой порядка N. Мно-э/сество возможных степеней отобраоїсений многообразия N на себя, индуцирующих автоморфизмы фундаментальной группы, имеет вид: {k2-hrnN\ gcd(k, N) = 1, m Є Z}.
Теорема 0.6. [11] Существует отображение / : М -> М степени 49, индуцирующее автоморфизм группы 7Гі(М), где М ~ 53/Рі2о — гомологическая сфера Пуанкаре.
0.1.3 Проблема перечисления минимальных многообразий Зейферта
Определение. ([19]) Мпоюобразие Зейферта н&зьіваеіся минимальным многообразием Зейф)ерта, если не допускає і отображений сіепеии один пи на какие друїие мноіообразия Зейферіа, кроме себя и трехмерной сферы
Там же, в работе [19]. указано, чю если верна і ипотеза Пуанкаре, и все свободные дейсівия конечных групп на сфере 53 сопряжены с изомеїриями. ю все минимальные многообразия Зейферіа являются іакже минимальными многообразиями (в смысле определения 0 1 2)
Введение 11
Проблема, которой посвящена данная работа — перечисление минимальных многообразий Зейферта — была впервые поставлена в 1997 году К. Хайат-Легран, Ш. Вонгом и X. Ци-шангом В статье [19] ими было перечислено множество многообразий Зейферта, среди которых содержатся все минимальные, причем для всех многообразий из этого множества, кроме перечисленных в следующей теореме, была доказана минимальность Открытой осталась проблема минимальности этих многообразий.
Теорема 0.7. (Hayat-Legrand, Wang, Zieschang, 1997, [19]) Многообразия следующих четырёх серий не допускают отобра-оісеиий степени 1 ни на какие другие многообразия Зейферта, кроме себя, S3 и, возможно, гомологической сферы Пуанкаре
(dl) многообразия Зейферта М(Т2; (а, ±1)), где а делится на 3, 4 или 5.
(d2) многообразия Зейферта
М(52;(2Ч;А);(2^2;/52);(2Ч;/?з)), гдек> I, веса, нечётны, сх\а.фъ + c^iо;з/?2 + о^зА = ±1, и есть пара г^(1<гф j < 3), что 3\at,b\aj.
(dS) многообразия Зейферта M(S2; (2ai;/?i); (20:25/); (20:35/)) с теми же ограничениями, что в (d2) и следующим условием1 если п > 1 — делитель числа 2аг, то уравнение 2ж2(о:іО:20:з) = ±l(mod An) не имеет решений в целых, числах. (Ц) Гомологические сферы M(S2; (2ari;/?i); (Зад;/У; (базі/У), где оіО20;з Ф ±l(mod 120) и 49оіо:20:з Ф ±l(mod 120).
Позже, в работе [21] К Хайат-Легран, С. Матвеев и X. Ци-шанг исследовали один из четырёх проблемных случаев (а именно, с14) при помощи компьютерного эксперимента, основанного на той же технике вычисления степеней отображений, чю будет использована и в настоящей рабоїе, замегили (хотя
Введение
и не доказали) периодическую зависимость между парамеї-рами особых слоев многообразий серии d4 и множесівом возможных сіепеней их отображений на гомолої ическую сферу Пуанкаре Выла даже носі роена эмпирическая формула степени некоторого "сіандартного" оюбражения произвольною многообразия серии d4 на S3/P\2o В настоящей рабо і е будет доказана данная периодичпосгь для более общею случая, а также рассмотрены все четыре проблемные серии многообразий Зейферіа и дан положиіельньш ответ на вопрос.
Проблема. Являюіся ли многообразия серий dl, d2, d3 и d4 минимальными многообразиями Зейферта7
0.2 Структура и краткое содержание настоящей работы
Определения некоторых понятий
Далее, говоря о модульной структуре на группах С (М] Z[7Ti(M)]), мы будем иметь в виду, чю каждый элемент g группы тгі(М) действует на цепь, умножая все её коэффициенты на элемент g слева Очевидно, такое действие группы задаёт на группах цепей струкіуру левою модуля, причем указанное левое действие группы -к\{М) коммушрует с ее общепринятым стандартным правым действием f(gR) = (gf)R, где /, g Є 7Гі(М)
Авторами работы [21] был разработан алгоритм вычисления степени отображения одного замкну юго трехмерного многообразия надруюе, использующий понятия граничный цикл, характеристическая коцепь и индуцированное отображение цепей. замкнутое ориентированное связное трехмерное многообразие, в клеточном разбиении которого присуїствует ровно одна вершина, и пусть р : М - М универсальное накрытие Как уже было сказано, накрьпие р индуцирует кле-і очное разбиение мноіообразия М, в ко юром клеіками являются комнонешы связности прообразов клеток многообразия М Пусіь В С М — трехмерная клеіка мноіообразия М, тогда ее граничным циклом дБ Є Сг{М,Ъ) называется іраница одного из ее прообразов В С М Замечание 1 2 Граничный цикл трехмерной клетки вычисляется неоднозначно, с точностью до умноясения слева на любой злелиит фундаментальной группы, т к позволяется выбрать любой прообраз клетки в накрывающем пространстве.
Определение. Граничным циклом д(3м Є Сч{М\11) многообразия М называется сумма граничных циклов всех его трёхмерных клеток, взятых с коэффициентом 1, если ориентация клетки совпадает с ориентацией многообразия М, и с коэффициентом -1 в противном случае
Определение. Пусть в клеточном разбиении многообразия М есть ровно одна трёхмерная клетка Характеристическая коцепь С2(М; Ъп) — Ъп есть линейный функционал, принимающий значение 1 на каждом граничном цикле д/Зм
Другими словами м такая коцепь, кограница которой 5,м равна 1 на каждой 3-клетке. Отображение двумерных цепей, индуцированное отображением / — это модульный гомоморфизм / : С 2(М; Z[7Ti(M)]) -» C2(P;ZpTi(P)]). (Естественно, отображение / должно быть клеточным)
В силу линейности, индуцированное отображения цепей задается образами всех 2-клеток многообразия М. Индуцированное отображение цепей нужно для того, чтобы найти образ граничного цикла д$м в Р как двумерную цепь.
Пусть : я (М) — 7Гі(Р) — гомоморфизм фундаментальных групп, индуцированный оюбражением / : М — Р Тогда степень отображения / взятая по модулю п, где п = 7Гі(Р), зависит только от гомоморфизма / . В то же время, любое отображение можно изменить внутри некоюрого шара так. чю степень отображения изменится на ±п ([7, 8]). Поэтому в дальнейшем нас будет иніересоваїь не сама сіепень, а её вьічеі по модулю п.
Пусть М -4 Р - клеточное отображение между двумя замкнутыми трехмерными многообразиями, причем фундаментальная группа 7Гі(Р) конечна и имеет порядок была доказана следующая формула для вычисления степени іакого оюбражения Теорема 1.1. ([21 J, теорема 2 1) Степень отобраоїсения f : М - Р мооїсно вычислить по формуле deg f = ,p{f {dhf)){mod п).
Доказательство Если предсіавить / ( 9Ду/) в виде суммы і ра ничных циклов в многообразия Р, то количество слагаемых (с учётом знака) будет степенью отображения / Предположим іеперь, что на группе двумерных цепей С2{Р) задан такой ли нейный функционал р : С2{Р) - 1 п, что на любом гранич ном цикле в Р он принимаеі значение 1. Тогда (в силу его линейности) его значение на цепи / {дРм) и будет этим чис лом слагаемых, і о есть сіепенью отображения.
Пусть М — замкнутое связное ориентированное мноюоб-разие, снабжённое клеточным разбиением с двумерным скеле-юм К\і в котором присуїствуеі ровно одна вершина. П\сгь (а\,... ,ar\Ri,. , R4) - іеометрическоекопредеіавлсииеіруп-пы 7Гі(Л/). сооїветствующее данному клеточному разбиению
Пусть В — трехмерная клетка многообразия М, и /ід : дВ ч-К2М — приклеивающее отображение для клегки В. В работе [21] предложен следующий вычисления граничного цикла, основанный на понятии сферической диаграммы.
Определение. Сферической диаграммой отображения Ив называется такое клеточное разбиение сферы дВ, для коюрого выполняются следующие условия 1. каждое ребро ориентировано и помечено одной из образующих аг; 2 каждая двумерная клетка ориентирована и помечена одним из соотношений Rj\ 3. для граничной кривой каждой двумерной клетки выбрана базисная вершина, начиная с которой кривая проходит по ребрам в -Юм же порядке, в котором они записаны в соответствующем соотношении; 4 приклеивающее отображение Нв является клеточным и мегки, базисные вершины и ориентации рёбер и двумерных клеток.
Вычисление индуцированного отображе ния двумерных цепей
Некоторые из дальнейших результатов, касающихся минимальности многообразий Зейферіа, частично опираются на резулыаш компьютерною эксперимент Автором была составлена компьютерная программа, реализующая описанный выше алгориш вычисления сіепени отображения многообразия Зсйферта на юмологическую сферу Пуанкаре. Программа написана на языке C-f-4- и состоит из трех модулей
1 Вычисление і раничного цикла мної ообразия Зейферта ти на М(52; К А); К/?2); (аз.АО) или М{Т2; {aj)) в соответствии с теоремами 1.3 и 1 4.
2 Вычисление индуцированної о о і ображения двумерных це пей /, : C2(M;Z[7n(M)]) - С2(53/Рі2о;ЧРі2о]), где М -многообразие Зейферта с известным граничным циклом, a S3/P\2Q — гомологическая сфера Пуанкаре Вычисление опираєіся на операцию лоїарифмирования, описанную в пункіе 2 13
3 Перебор всех возможных гомоморфизмов фундаменіаль ной группы исходною многообразия Зейферта в і руину Р]2о и вычисление сіепеней соотвеїсівующих отображе ний Аналогичная программа (только для многообразий серии с14) была написана ранее ав юрами работы [21] на языке PASCAL В частности, все результаты, полученные с ее помощью, совпали с результаты и работы новой программы.
Следует, однако, отметить, что при доказательстве минимальности многообразий Зейферта программа применялась только в тех случаях, когда задача проверки минимальности уже была сведена к конечному перебору, который и выполнялся при помощи компьютера.
Напомним, что для доказательства минимальности многообразий Зейферіа серий dl, d2, d3 и d4 (см. теорему 0.7), достаточно доказаіь для них отсутствие отображений степени 1 на гомологическую сферу Пуанкаре.
Для доказательства свойств степеней отображений многообразий серий dl и d2 потребуются несколько вспомогательных результатов.
Лемма 2.1. Пусть v — некоторый элемент порядка к в группе щ(Р), и пусть слово UJ в образующих той owe группы реализует элемент v. Тогда значение p((v — 1) log(o;A:)) кратно числу k .
Доказательство. Вначале покажем, что цепь (v — 1) log(wfc) является циклом Напомним, что если представить замкнутый путь, реализующий слово ш и проходящий по рёбрам многообразия Р, как одномерную цепь / Є С\(Р), то логарифм слова ш — это некоторая двумерная цепь, границей которой является цепь / Зафиксируем цепь L = log(wfc) и вычислим логарифм другим способом. Таким образом, (v — \)L = vL — L - это разность двух цепей, являющихся логарифмами одного и того же слова, а значит, имеющих одинаковые границы. Позі ому d((v — \)L) — 0, и цепь (v — \)L является циклом.
Так как универсально накрывающее пространство Р является гомологической сферой, то цепь (v - 1)L, будучи циклом, является и границей. По уїверждению 1.2 поэтому p((v — l)L краі Следствие 2.1. Пусті) v — некоторый элемент порядка к о группе и пусть слово и в образующих той же группы реализует элемент v; х Є 2\{0} Тогда значение кратно числу k . Доказательство Очевидно следует из предыдущей леммы, если иредсіавиїь vx — 1 как X!f=o v%(v 1)- Следующее определение будет использовано в доказаіель-ствах минимальное і и некоторых многообразий Зейферіа
Определение. Пусіь фундаментальные группы мноюобра-зий М\ и Мг имеют фиксированные копредставления с одинаковым числом образующих (Наборы образующих упорядочены ) Будем іовориіь, чю оі ображений /і : М\ - Р и ji : Mi — Р в некоюрое мноіообразие Р аналогичны, если (/і) (я,) = (/г) М лля всех i = l,...,к
Будем обозначаїь ord х порядок групповою злеменіа х 2.4 Минимальность многообразий серии dl Лемма 2.2. Пусть М — многообразие Зейфсрта. М = М(Т2; (а, є)), причем а делится на к. где к = 3. 4 и їй 5, є = ±1. Тогда любое отображение / : М — S /Puo, индуцирующее сюръективный гомоморфизм фундаментальних групп, имеет аналогичное отображение g : М —» S3/P\2o, где М — одно из семи многообразий
Доказательство. Зафиксируем копредегавление группы 7Гі(М) = (a, , и, h\aQt = 1,а - t,u - і, Л -) t,ahu lh lu = 1) и рассмотрим индуцированный отображением / гомоморфизм / : 7Гі(М) - Рі20- В Группе Рі20 должно выполняться соотношение f (a)af (ty = 1, причем, / () — центральный элемент группы Pi2o, т. к. і — центральный элемент группы 7Гі(М) и гомоморфизм / — сюръективен.
В группе Рі2о есть элементы порядков 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, причём центральные среди них имеют порядок 1 или 2. Выберем М = М(Т2; (ш,е)), где m = ord пГ Числ0 m М0ЖЄГ принимать значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10.
Для многообразия М зафиксируем копредегавление фундаментальной группы тті(М ) = Зададим отображение g гомоморфизмом g : ІГ\(М ) -» Р120 следующим образом
Проверим, что отображение ? , заданное таким образом, действительно является гомоморфизмом. Элемент g (t) = f+(t) — центральный, поэюму соотношения коммутирования сохраняются. Соотношение g (a)g {h)gif{u l)g {hr]-)gi({u) = 1 выполняв і ся, т. к. / — гомоморфизм, и д совпадает с / на образующих а, /г, и, t Чтобы проверить соотношение g (a)mg (t) = 1, рассмотрим случаи.
Характеристическая коцепь для S3/Pi2o
Будем рассмаїриваїь мноюобразия Зейферта вида М = iU(S2;(2pi,/3i);(3p2,&M5P3. #з)). где все вг нечетны Этою всеїда можно добиться. варьир\я вторые параметры особых слоев допустимым способом. Отображениям таких многообразий на гомологическую сферу Пуанкаре была посвящена работ [21], где, в частности было показано, что все сюръек-тивные гомоморфизмы фундаментальных групп tp : М - Р\2 в некотором смысле сводятся к некоюрому стандартному гомоморфизму
Определение. Будем называть стандартным гомоморфизмом такой гомоморфизм щ : щ(М) — Рио, что у?о(0 = а2, o(ai) — а) fo{a2) — a lc, о(аз) — с_\ в случае, когда Pi — нечётно, или о(0 = 1; V o i) = а, /?о(«2) = а_1с 4, о( з) = с4, в случае, когда р\ — четно Оюбражение из М в S3/P\2o будем называть стандартным, если оно индуцирует сіандартньїй гомоморфизм фундаментальных групп.
"Универсальность" стандартного гомоморфизма, доказанную в [21], можно сформулировать так Теорема 2.5. Любой сюръективный гомоморфизм ір : щ(М) - Р\2о может быть представлен, как (р = ф о ipQ) где ф — это некоторый автоморфизм группы Рио, а щ — стандартный гомоморфизм.
Замечание 2.1. Все отображения гомологической сферы Пуанкаре на себя, индуцирующие автоморфизмы фундаментальной группы, имеют степени 1 или 49 (mod 120) (см. [И], [28]). Это означает, что для любого отображения степени п из М в 53/Pi2o можно построить отображение степени 49п. Знак степени отображения можно сменить, если сменить ориентацию многообразия-прообраза.
В работе К. Хайат-Легран, С. Матвеева и X. Цишанга ([21]) была предложена (но не доказана) сложная эмпирическая формула для степени стандартного отображения Наша цель — вывести и доказать теореіическую формулу (для случая, когда параметр р\ нечётен) Для этого сначала докажем три вспомогательные леммы.
Замечание 2.2. Все многообразия серии d4 являются гомологическими сферами, то есть, порядок группы первой гомологии іакого мноюобразия 6рір2/3з + Юрірз/32 + ІбргРзАІ — 1 Из этою равенства следует, что р2 и рз — нечеіньї
Лемма 2.7. Пусть многообразия M(S2; (2pi,/?i); (Зр2,/32); (5 3,/)) и М (52; (2pi,/5J); (Зр2,/?2); (5рз,А0) таковы, что все Pi, Рг, р ц Р[ нечетны, pi = pi (mod 8) и/?і = P[(mod 8) Пусть f : М - 53/Pi2o u / . M - Sz/Pm - стандартные отоб-раоїсения. Тогда cleg f = deg f (mod 120).
По резулмаїам ірех предыдущих лемм (учшывая сооївеї-сівующие замечания), можно сформулировать следующую явную формулу степени стандартного отображения многообразия серии (14 на гомолоіическую сферу Пуанкаре.
Теорема 2.6. Пусть M{S2; [2phДі); (Зр2,Pi)) (5рз, Дз)) - многообразие серии d4, Р\ — нечётно, и пусть f : М -ь S3/Pi2o — стандартное отобраоїсение. Тогда deg / = SQ(Pimod 4)(N&mod 4) + + 2O{02mod6)m modQ) + + 12($morf 10)p±&mod 10) - 31(mod 120)
Доказательство По предыдущим і рем леммам (ючнее, по еооївеїсівующим замечаниям), deg / ЕЕ 30(/?imod 4)( mod 4) + 20(/?2mod 6)( mod 6) + + 12($jmod 10)(2 mod 10) + n(mod 120), где n - некото рая константа, которую можно определиіь аксперименіально, рассмотрев, например, М = S /Pyio В зі ом случае deg / = 1, как степень іождесівенного отображения, р\ = р2 = рз = Pi — Рз = 1, Р\ = — 1. Находим п = -31. D
Теперь, используя явную формулу для степени отображения, можно доказаіь минимальность многообразий серии d4 с нечеіньш параметром р\ Напомним, что многообразия серии (14 — это гомологические сферы
Осталось доказаіь минимальность мноюобразий серии (14 с чеіньш параметром р\ Пусть М = M{S2; (2рь А); (Зрг.й); (5рз, А)) многообразие серии (14, ир\ — четно. Тогда степень стандартного отображения f :- S3/P\2o четна.
Доказательство Напомним, что гіандаріпое отображение индуцирует следующий юмоморфизм о (фундаментальной і руины щ(М). ipQ(t) - 1, y?o(ai) = a, УоМ = а_1с-4, о(о3) = с4 Отметим, что оп1 а = 4, ord а_1с-4 = 3, ord с4 = 5. Для образа ifo(ai) зафиксируем слово а, для образа (аг) ("лоно а-1с-4, для образа о(аз) глово с4, для образа о(0 — іривиальное слово. Тогда образ граничного цикла многообразия М можно вычислиіь как где числа жг, г = 1,2,3
Таким образом степень отображения deg / = fs3/p120(/ (/ /))(mod 120), де лится на 2. D Следствие 2.3. Многообразия серии сЦ с четным параметром р\ являются минимальными многообразиями Зейферта
Доказательство По теореме 2 5, степень оіобряжения іакоіо многообразия на іомолої ическую сферу Пуанкаре можеі бьпь равна ±п или ±49п. іде п сіепеиь стандартного отображе ния, которая, по предыдущей теореме, четна Таким образом, отображения сіепени 1 не существует
Теперь, опираясь на результат К. Хайат-Легран, Ш Вонга и X Цишанга ([19]), а также на теоремы, доказанные в четырех предыдущих пунктах, мы можем привести полный список минимальных многообразий Зейферта Нумерация серий — в соответствии с [19].
Минимальность многообразий серии d2
Напомним, что n-мерным многообразием в топологии называется топологическое пространство, каждая точка которого имеет окрестность, гомеоморфную n-мерному диску или n-мерному иолудиску Множество точек, не имеющих окрестности, гомеоморфной гс-мерному диску, называется краем В настоящей работе мы будем рассматривать только замкнутые (компактные, без края), связные, ориентируемые, триангулируемые трёхмерные многообразия Кроме того, большинство рассматриваемых нами многообразий будуг многообразиями Зейферіа, поэтому остановимся подробно на этом понятии.
Прежде чем определить многообразие Зейферта, определим понятие "расслоенное нолногорие". Рассмотрим круглый прямоугольный цилиндр D2 х /, разбитый на отрезки вида { Склеим основания цилиндра по повороту на угол - , где а и (3 — пара целых взаимно просіьіх чисел, а 1. В результате такой склейки, вертикальные отрезки склеятся в замкнутые кривые, и мы получим полноторие, разбитое на слои, гомеоморфные окружностям, или расслоенное полноторие с параметрами (а, /3) Расслоенное нолногорие с параметрами (1, 0) называется тривиально расслоенным.
Определение. Многообразием Зейфергпа называется компактное ориентируемое ірехмерное многообразие, разбитое на слои (юмеоморфиые окружностям) так. чіо каждый слой имеет целиком состоящую из слоев окрестность, послойно юмеоморф-ную расслоенному иолноторию Фактор-иространсгво многообразия Зейферта по слою (то есть, но такому отношению эквивалентности, когда ошждесівляюіся все іочки каждого слоя) называется базой многообразия Зейфергпа Слой, окресі-ноеіь коюрого послойно гомеоморфна тривиально расслоенному иолноторию (иолноторию D2 х S1, разбитому на слои вида { } х S1), называется неособым или регулярным
Конструктивное определение мної ообразия Зейферта M(F] (at, /?i), г = 1,..., п), где F — замкнутая ориентируемая (и ориентированная) поверхность, и (аг,Д) — пары взаимно простых чисел, можно дать следующим образом. Удалим из поверхности F внутренности п непересекающихся дисков (полученную поверхносіь назовём F ) Многообразие F х 51 имеет на краю п торов. Выберем на каждом из них систему координат, параллель - кривая { } х S1 (ориентация совпадает с ориешацией окружности 51), меридиан — соотвеї-сівующая комионеніа края поверхности F с ориентацией, индуцированной ориентацией поверхности F Приклеим к г-ой (г = 1,...,гс) комионеніе края полноторие по такому юмсо-морфизму края, чтобы край меридионального диска полното-рия переходил в кривую (аг, Д) на краевом горе многообразия F х 51 Полученное іаким образом замкнутое многообразие и есіь многообразие Зейферта M(F\ (аг, Д),г = 1,.. ,п) Осевые окружности вклеенных полноторий называются особыми слоями, а числа (аг,А) параметрами особых слоев
Следующие операции с особыми слоями замкнутого многообразия Зейферта не меняют мноюобразия (см например [1] или [3]) Введение 1 перестановка особых слоев, 2. смены знаков вторых параметров всех особых слоев; 3. добавление или удаление особого слоя с параметрами (1,0); 4 замена пары особых слоев с парамеїрами (аг, Д), (oij,(3j) (г ф j) на пару (а„ агД Более подробную информацию о многообразиях Зейфер-та можно найти, например, в [1] или в [3].
На языке теории гомологии понятие степени отображения формулируется следующим образом (см., например, [2]). Пусть М и Р — замкнутые связные ориентированные n-мерные многообразия. Тогда любое отображение / : М -} Р индуцирует гомоморфизм групп гомологии (р : Нп(М) — Нп(Р). Так как Нп(М) = Нп(Р) = Z, то гомоморфизм ip есть умножение на целое число.
Определение. Степенью отображения / называется целое число deg / = ір{1) Там же доказаны следующие свойства степени отображения: 1. Степень являєіся гомотопическим инвариантом отображения, т. е степени гомотопных отображений равны. 2. Степень обладает мультипликативным свойством: степень суперпозиции отображений равна произведению их степеней. 3 Степень тождественного отображения многообразия на себя всегда равна 1.
Степень как гомоюпический инвариант отображения используется для решения мної их различных задач топологии и теоретической физики (см , например, [16, 17]). Пожалуй, самая извесіная из них — интегрирование дифференциальных форм но многообразиям Извесіна следующая формула (см , например, [29]). если М и Р - замкну і ые, связные, гладкие, ориешированные n-мерные многообразия, w - дифференциальная форма, заданная на М. и / гладкое оіображение из М в Р. то
Среди других (относительно новых) областей применения поняіия степени отображения следует оіметить оригинальный способ нахождения числа общих касаіельньїх к двум кривым на плоскости как степени отображения между некоюры-ми двумерными горами, предложенный М. Поляком (пока не опубликовано)
С 1997 года в зарубежной и оіечественной лиіературе исследуется OJ ношение часгичною порядка на множесіве замкнутых ориентируемых трехмерных многообразий, определяющееся оущесівованием отображения степени один
В рабоїе [19]К Хайат-Леїран, Ш Вонг и X. Цишанг рассматривают следующее отношение d-doMumipooamm на множестве замкнутых ориентируемых ірехмерньїх многообразий
Определение. Пусть М и Р — два замкну і ых ориентируемых трехмерных многообразия. Будем говори і ь. чю мною-образие М d-doMUHiipijcm многообразие Р, если существует оіображение сіепени d из М в Р
