Проективная геометрия на алгебраических многообразиях Шпиз, Григорий Борисович

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1. Двойные отношения на алгебраических много образиях 16

1. Определения, обозначения, соглашения 16

2. Двойные отношения, связанные с полилинейными фордами 20

3. Двойные отношения на параболических пространствах 25

4. Модели компактных групп Ли, связанные с операциями первого и второго порядка 31

5. Классификация неприводимых локально транзитивных групп Ли 36

ГЛАВА 2. Преобразования, допускающие отделимый рациональный инвариант 46

I. Основные определения, соглашения, леммы 46

2. Отображения с замкнутым графиком 48

3. Отображения, допускающие отделимый рациональный инвариант 50

4. Теоремы продолжения 51

5. Параметризация групп вида Аи 54

ГЛАВА 3. Свободные семейства подмногообразий 57

1. Вспомогательные конструкции и леммы 57

2. Автоморфизмы свободных семейств подмногообразий 64

ГЛАВА 4. Проективная геометрия на параболическихпространствах 73

1. Структура на параболических пространствах 73

2. Плоские геометрии на некоторых параболических пространствах 85

Литература

• Модели компактных групп Ли, связанные с операциями первого и второго порядка
• Классификация неприводимых локально транзитивных групп Ли
• Отображения, допускающие отделимый рациональный инвариант
• Автоморфизмы свободных семейств подмногообразий

Введение к работе

С позиций эрлангенской программы Клейна первостепенный интерес представляет построение содержательных геометрических объектов с заданной группой автоморфизмов. Классическая геометрия дает ряд известных примеров. Так группа проективных преобразований проективной прямой является группой автоморвизмов двойного отношения, движения евклидова пространства являются автоморфизмами его метрики, проективные преобразования плоскости - автоморфизмы плоской проективной геометрии, то есть структуры, заданной на плоскости семейством прямых и т.д. В связи с изучением различных групп преобразований, в частности, при построении моделей особых простых групп Ли различными авторами изучались многочисленные аналоги классических геометрических объектов. Так в работах [3,8, 9*13, 15*17, 30-32] изучались обобщения двойных отношений на однородные пространства с параболическими стационарными подгруппами, а в работах [7,21*23,26,27,28J , посвященных, в основном, построению проективных пространств над алгебрами, изучались различные аналоги плоской проективной геометрии.

Таким образом накоплен большой запас конкретных примеров разного рода инвариантных геометрических объектов для ряда конкретных групп преобразований, причем применяемые в этих примерах конструкции объектов и методы их исследования весьма различны даже для однотипных объектов. Поэтому возникает необходимость получения общих конструкций возможно более обозримых инвариантных объектов того или иного рода на интересных классах пространств³^, а также разработка методов, позволяющих исследовать авто-

^х^ Под пространством в настоящей работе понимается гладкое многообразие, снабженное группой Ли преобразований.

-5 -морфизмы достаточно широких классов геометрических объектов.

Решение этих задач представляет и принципиальный интерес, так как позволяет единообразно наполнить геометрическим содержанием изучение сразу целых классов групп преобразований.

Характерным примером к сказанному является предложенная П.К.Рашевским конструкция инвариантной аффинной связности на произврльном редуктивном пространстве ([24]). Различные классы инвариантных структур дифференциально геометрического характера довольно интенсивно изучаются и в настоящее время (например, [l8] ).

Особый интерес с точки зрения изучения групп Ли преобразований (и в частности, для построения моделей простых групп Ли) представляет построение инвариантных объектов, имеющих "глобаль ный" характер, В частности, интересно выяснить на каких пространствах можно построить геометрические объекты аналогичные таким классическим объектам как метрика на евклидовом пространстве или семейство всех прямых на плоскости.

Указанные объекты и многие другие, изучающиеся в классической геометрии определяются заданием на подходящих комплексных или вещественных алгебраических многообразиях структур одного из следующих двух типов.

Структура первого типа представляет собой рациональную

функцию У = )? {х>1 ,х-г., >^x*) от фиксированного числа п,

переменных, заданную вообще говоря только для наборов точек общего положения и разделяющую точки многообразия в том смысле, что для любых различных ее к и, можно найти такой набор точек

Z = (2z, , Zn.) , ЧТО $(&,%) ф ($,2), Причем Обв

части неравенства определены в некоторой окрестности наборов ( х, а ) и ( UfZ) соответственно. Такие структуры будут в

- б -

дальнейшем для удобства изложения называться 9? - структурами (порядка п,)*

Наиболее известные примеры Ф - структур - это полилинейные формы на векторных пространствах, прежде всего скалярные произведения и форма объема, а такне дврйное отношение на проективной прямой.

Структура второго типа - это такое семейство подмногообразий, что через любую іь -ку общего положения проходит единственное подмногообразие семейства. Такие структуры будут ниже называться свободными семействами или $ - структурами (порядка п, ).

Примерами S - структур являются различные проективные плоскости над алгебрами, семейство окружностей и семейство всех кривых фиксированного порядка на плоскости и т.д.

В связи с построением моделей полупростых групп различными авторами рассматривался ряд интересных инвариантных ф - структур на многих однородных пространствах (см. [3,8,9^-13,15,16.17, 30,31,32] ). В 1974 г. И.Л.Кантору удалось получить общую конструкцию, позволяющую получать в качестве частных случаев практически все известные инвариантные Ф - структуры на самосопряженных параболических пространствах (см. [l5,I6j ). Именно, он обобщил на произвольные параболические пространства классическую конструкцию двойного отношения 4-х точек на проективной прямой. Что касается > - структур, то они рассматривались в ряде работ, посвященных, в основном, исследованию проективных геометрий или конформных геометрий над различными алгебрами (см.7,21-23,25,27,28] ). В частности, рассматривая проективные плоскости над разными вариантами алгебры октав удалось интерпретировать вещественные формы группы Ли типа Е как группы

колинеаций плоских проективных геометрий.

Следует отметить, что способы построения проективных геометрий над разными неассоциативными алгебрами довольно существенно различаются между собой и мало походят на классическую конструкцию. Что до способов вычисления группы автоморфизмов, то и здесь все основано в значительной степени на специфике алгебры, над которой строится геометрия. Работ же посвященных общему исследованию S - структур и их автоморфизмов автору неизвестно, хотя Тит изучал на параболических пространствах другой общий класс геометрий (см.[б], 68-75).

Я? - структуры и > - структуры, изучавшиеся классической проективной геометрией, обладают тем важным свойством, что группы их регулярных ^х' автоморфизмов являются алгебраическими. Кроме того, автоморфизмы классических Я? - структур автоматически регулярны. Естественно возникает вопрос о переносе этих свойств на произвольаые 9 и р - структуры.

В уже упоминавшихся работах Й.Л.Кантора fl5, Іб] показано, что группа автоморфизмов построенных им двойных отношений является группой Ли и оольше того эта группа вычислена в явном виде. Аналогичных результатов для сколь-ниоудь оощжгклассов $ - структур автору неизвестно, хотя для ряда конкретных 5-- структур группы автоморфизмов вычислены.

Диссертация состоит из четырех глав.

В первой главе на произвольных алгебраических многообразиях, а также на плотных в них по Зарисскому подмножествах строятся Ф - структуры, являющиеся обобщениями классического двойного отношения. В отличив от работ [і5Дб] , где аналоги

^Регулярность здесь и в дальнейшем понимается только в смысле алгебраической геометрии.

- 8 -двойного отношения строятся на параболических пространствах во внутренних терминах, конструкция двойного отношения приведенная в главе I основана на вложении многообразия в проективное пространство. Преимущество приводимой конструкции состоит в том, что во-первых, она проходит для любых алгебраических многообразий, а не только для однородных и тем более параболических пространств, а во-вторых, в том, что становится возможным получить "глобальные" и притом чисто алгебраические доказательства теорем о строении автоморфизмов и групп автоморфизмов, причем сами теоремы получаются более точными. Отметим, что в работах[і5,Іб] доказательства аналитические и локальные. Кроме того, для случая самосопряженных параболических пространств получаемые при некоторых специальных вложениях двойные отношения могут быть выражены в терминах двойных отношений из [15] , ~и предлагаемая конструкция позволяет.установить связи между этими двойными отношениями и некоторыми метриками инвариантными относительно максимальных связных компактных подгрупп в группах автоморфизмов соответствующих пространств.

В основе конструкции лежат следующие соображения.

Пусть JP - проективизация векторного пространства V и

ф (х*, ₃ сйп,) - полилинейная форма на V" . Тогда

формула

*(*<,...**,V*,....W _ф(Яі| ^_;ф(^ ^

определяет некоторую Ф - структуру на Р , называемую двойным отношением, ассоциированным с формой ф . В слунае, если V - двумерное пространство, а ф - выражает объем,мы получаем обычное двойное отношение 4-х точек на проективной пря-

мой.

По построению двойное отношение асеициированноб с формой *Р
инвариантно относительно любого преобразования ]Р индуциро
ванного линейным отображением сохраняющим
В частности, если Ф - форма объема на V , то соответствую
щее двойное отношение инвариантно относительно любого проектив
ного преобразования IP. С другой стороны, важное свойство
двойных отношений описанного вида состоит в том, что при естест
венных ограничениях типа невырожденности любое отображение про
извольного неприводимого подмножества (см. [4] ) 1Л^С JP в ]Р
сохраняющее двойное отношение, продолжается до проективного
преобразования всего IP (предложение I.I.I) ^х'. Таким образом
вкладывая произвольное алгебраическое многообразие в проектив
ное пространство и рассматривая ограничения на него двойных
отношений ассоциированных с различными формами можно получать
ф - структуры с обозримыми группами автоморфизмов. Отметим,
что все автоморфизмы построенных таким образом ф - структур
автоматически регулярны.

Из сказанного вытекает,в частности, что для построения инвариантных SP - структур на пространстве JM однородном относительно группы Gr достаточно реализовать М. в качестве орбиты в проективизации пространства V некоторого линейного представления Д" группы Gr » рассмотреть двойное отношение ассоциированное с некоторым полилинейным инвариантом Gr и взять его ограничение на ГІ . Особенно интересен случай, когда образ X [ Q ) рассматриваемого представления является максимальной

««ЯМ II 1111»« ніжній .

^х) Ссылка вида "предложение т.п. к.. означает предложение ґп из ti главы я.

- 10 -подгруппой в группе всех линейных преобразований V , сохраняющих некоторую форму, так как в этом случае в силу предложения 1,1.1 получается реализация Gr в виде группы всех автоморфизмов двойного отношения. Заметим, что если SC неприводимо, то X ( G~)практически всегда максимальна (см.[б]).

Таким образом для построения обозримых моделей группы Gr нужно искать как можно более простые орбиты в линейных представлениях этой группы. Особенно интересны, конечно, замкнутые и открытые орбиты. В первом случае получаются инварианты на параболических пространствах. Классификация открытых орбит в пространствах нерриводимых представлений приведена в 5. Эта классификация получена в работе [Зб], однако довольно громоздким путем (указанная работа занимает более 150 страниц). Автору Г37] удалось провести вычисления существенно компактнее благодаря использованию результатов работ [34, 35].

В I, имеющем вспомогательный характер, приводятся нужные в дальнейшем определения и соглашения.

В Z строятся двойные отношения, ассоциированные с полилинейными формами и выводятся свойства сохраняющих их отображений.

В 3 устанавливается связь между двойными отношениями на самосопряженных параболических пространствах из работ [15*17] и двойными отношениями, ассоциированными с некоторыми инвариантными билинейными формами на замкнутых орбитах в проективизациях пространств некоторых неприводимых линейных представлений. Это позволяет использовать результаты 2 для исследования инвариантов из [і5*І7] . В частности, удается в терминах этих инвариантов описать некоторые метрики, инвариантные относительно максимальных связных компактных подгрупп в группах автоморфиз-

- II -

мов соответствующих пространств.

В 4 при помощи результатов 3 строятся модели компактных форм простых групп Ли в терминах йордановых и фрейденталевых операйдай (Эти операции изучались в работах [*14,20] и др.)

Во второй главе исследуются автоморфизмы произвольных Ф -структурой, вообще, отображения, допускающие произвольный отделимый рациональный инвариант со значениями в любом алгебраическом многообразии). ( ф - структуры - это отделимые функции с числовыми значениями). Изучаются вопросы рациональности и ре-нулярности таких отображений, возможности их продолжения^ также введения в группу всех преобразований, сохраняющих фиксированный инвариант структуры алгебраической группы и рациональности полученного действия. Основные результаты получаются для гладких проективных многообразий над алгебраически замкнутыми полями характеристики нуль. Однако доказанные теоремы о продолжении позволяют использовать эти результаты для квазипроективных многообразий над произвольными полями нулевой характеристики и даже для любых плотных по Зарисскому подмножеств в таких многообразиях, например, для решеток в векторных пространствах. Важно только, чтобы рассматриваемый инвариант продолжался до отделимой рациональной функции на некотором гладком проективном многообразии.

Первые два параграфа имеют подготовительный характер.

В I приводятся некоторые используемые в дальнейшем определения и леммы. В частности, вводится и исследуется понятие базы, являющееся основным инструментом для построения алгебраической параметризации группы всех автоморфизмов ф - структуры.

В 2 приводятся некоторые известные алгебро-геометрические результаты об отображениях с замкнутым по Зарисскому графиком

- іг -

(см.(4, 19, 33]).0ни являются основным инструментом исследования отображений, сохраняющих отделимые рациональные функции.

В 3 содержатся основные результаты с рациональности и регулярности отображений, допускающих отделимый рациональный инвариант (теоремы 5, 6 и б').

В 4 доказываются теоремы о продолжении, являющиеся аналогами предложения I из 2 главы I (теоремы 7 и 8).

Последний параграф второй главы посвящен вопросу о параметризации группы всех преобразований, сохраняющих данный инвариант. Основным его результатом является теорема 10, которая утверждает, что на гладком проективном многообразии над алгебраически замкнутым полем характеристики ноль такая группа всегда допускает алгебраическую параметризацию, аналогичную матричной параметризации ортогональной группы.

В главе 3 исследуются автоморфизмы > - структур, которые в силу геометрических ассоциаций называются в настоящей работе коллинеациями. Основная цель состоит в том, чтобы найти естественные условия типа регулярности и невырожденности, при которых группа всех коллинеаций данной > - структуры допускает хорошую алгебраическую параметризацию.

Полученные условия сводятся,в основном, к тому, что касательное пространство к подмногообразию из рассматриваемой $ -структуры, проходящему через /г -ку общего положения,в первой точке этой п, -ки должно регулярно зависеть от /г -ки и запас касательных пространств к элементам > -структуры, проходящих через точку многообразия, в этой точке должен быть одинаков для всех точек.

Основным инструментом исследования автоморфизмов р - струю тур является изложенная в 2 конструкция, сопоставляющая произвольной S ~ структуре при выполнении соответствующих условий

- ІЗ -регулярности и невырожденности Ф - структуру, инвариантную относительно группы коллинеаций. В результате появляется возможность применения результатов второй главы для исследования автоморфизмов S - структур.

В I изучаются некоторые вспомогательные конструкции на грассмановых многообразиях, которые используются в 2.

В 2 формулируются условия регулярности и невырожденности
-структуры, излагается конструкция Ф - структуры инвари
антной относительно группы коллинеаций и исследуется соотноше
ние между группой коллинеаций и группой всех автоморфизмов
этой Ф - структуры. В частности показано, что если касательные
пространства к различным элементам > - структуры различны
(это условие здесь названо слабой трансверсальностью), и все
элементы > - структуры связны, то эти группы совпадают (тео
рема .2.3). Кроме того, показано, что если отношение инцедент-
ности между точками многообразия и ГЬ -ками общего положения
- х принадлежит (и<, —>#**) если, и только если единствен
ный элемент ! - структуры, проходящий через (Uj₃ ,уъ)

содержит X - замкнуто по Зарисскому, то группа коллинеаций является замкнутой подгруппой в группе автоморфизмов соответствующей <р- структуры. Таким образом, учитывая результаты главы 2, получаем весьма общие условия возможности алгебраической параметризации группы всех коллинеаций фиксированной 5 ~ струк туры.

В главе 4 строятся и изучаются некоторые специальные инвариантные $ - структуры на параболических пространствах. В диссертации эти $ - структуры называются каноническими. Они имеют порядок два и являются естественными аналогами семейств прямых для различных проективных плоскостей.

Оказывается, что канонические - структуры допускают простое аксиоматическое описание (теоремы 1,1.4 и 2.1,4). Именно, назовем $ - структуру однородной относительно группы преобразований Q , если G лежит в группе коллинецаий_}действует транзитивно на множестве элементов S - структуры, и стабилизатор любого элемента рассматриваемой > - структуры действует транзитивно на этом элементе. Оказывается, что на многих важных параболических пространствах каноническая S - структура является единственной слабо трансверсальной однородной $~ структурой второго порядка. Для произвольного же параболического пространства можно утверждать, что каноническая $ - структура в естественном смысле (уточняемом в I) мажорируется лга -бой однородной слабо трансверсальной S -структурой.

В частности, каноническая S - структура является единственной однородной слабо трансверсальной структурой второго порядка на почти всех параболических пространствах классических групп, стационарная подгруппа которых максимальна, на двумерном октавном проективном пространстве и в ряде других случаев.

В I приводится конструкция канонической S - структуры на параболическом пространстве и изучаются ее свойства. В частности, выясняется когда к этой р ~ структуре применимы результаты главы 3. Кроме того, выясняется структура подмногообразий, входящих в канонические $ - структуры. В наиболее интересных случаях они оказываются симметрическими самосопряженными К. -пространствами.

В 2 вычисляются канонические S - структуры на важнейших параболических пространствах, в частности на всех параболических пространствах классических групп, стационарная подгруппа которых максимальна. К полученным Р - структурам применяются

результаты главы 3 и таким образом вычисляются группы их авто морфизшв.

Основные результаты диссертации изложены в работах[36*42J

ГМВА I ДВОЙНЫЕ ОТНОШЕНИЯ НА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЯХ I. Определения, обозначения, соглашения

Приведенные здесь обозначения и соглашения действуют на протяжении всей работы.

Пусть Х- некоторое множество. Через уС будем обозначать 1ь -ю декартову степень уС.

Если J- - отображение то той же буквой

V будем обозначать и отображение переводящее

(x_f, <с_я.;еХ'^г (№i> їої^є Т^а

Произведение будет всегда естественным образом

.В частности, функции заданные на одном из этих множеств, будут без дополнительных оговорок применяться к элементам другого. Например, если - функция на уС , х=(^о^хг)^Х , у.є X. , 2єд , то записи f(x,y,,Z) и $ Cx_i7x_Zfy., %) имеют один и тот же смысл.

Функцией от гь переменных или, коротко ґь - функций наХ со значениями в множестве Т будем называть отображение в Т некоторого подмножества

Область определения гь -функции У будем обозначать Uy, , а множество, в котором она принимает значения Ту. Если ясно, о какой функции У идет речь, будем писать U и J вместо L/y, и /у соответственно.

Е ели q,: Х'-Х и у - функция на уч. , то через У^ будем обозначать функцию на у(. от того же числа переменных, что и У , заданную на области определения U =0 ~ (Uy) формулой У*(х) = УС^Х).

Пусть - перестановка множества [і, ... Аъ } и У-

*V- функция. Через ІРр будем обозначать функцию, заданную

формулой _/Л

% (X*. **) = №*«(,),

Под многообразием, если не оговорено противное, будем понимать квазипроективное алгебраическое многообразие над фиксированным, основным полем 5С. Все, применяемые без дополнительных оговорок, топологические^ понятия относятся к топологий Зарисско-го. Как обычно, через X будем обозначать замыкание множества X , лежащего в некотором топологическом пространстве.

Буквами будем обознач-ать многообразия либо

их неприводимые подмножества. Пусть X и X подмножестваГ\ и М , соответственно.

Отображение V X —^ / будем называть регулярным, если оно является ограничением на X. некоторого рационального отображения а : X —-* 7"¹, регулярного в каждой точке множества X

Все подмножества Гі будем снабжать, если не оговорено противное, топологией, индуцированной с

Будем называть ҐІ- функцию У на X со значениями в I
алгебраической, если Uu> открытое всюду плотное множество
в X и отображение У>: Uy—* У регулярно.

Правильным отображением X в X будем называть такое отображение, что прообраз любого густого множества густ.

Пусть V и V - густые подмножества в X Отображения ^i-'Y—* X' ^и %%' Y_z —*Х будем называть эквивалентными, если они совпадают ^fia Y_A /l v

Г\ - отображением X в X будем называть класс эквивалентности правильных отображений густых подмножеств множества

_{X в X .}

Рациональным отображением X в X'назовем R. - отображение, содержащее представитель, регулярный на своей области определен ия.

Непосредственно проверяется, что операция композиции естественным образом переносится на Ji - отображения, причем множество рациональных отображений оказывается замкнутым относительно полученной операции.

Как обычно, преобразованием X будем называть взаимно однозначное отображение х на себя,

fl - преобразованием X будем называть Л,- отображение X
в себя, допускающее обратное R, - отображение. Для этого необ
ходимо и достаточно, чтобы оно содержало представитель, являющий
ся взаиьшо однозначным отебражением, переводящим густые множест
ва в густые. і

Пусть теперь \р - некоторая П -функция на X и У^с А . Скажем, что отображение >: х —> X сохраняет \? , если \рМ - Ф(уэс) j причем обе части равенства определены одновременно,ю есть \1 [) У - >" (LL). Будем говорить, что

У - отображение X'Y"—>Х сохраняет У , если оно содержит представителя, сохраняющего у.

Будем обозначать груп-

пу всех преобразований X * сохраняющих (р группу всех А -преобразований X » сохраняющих ^ , и группу всех преобразований из Au/ф (X) правильных вместе со своими обратными, соответственно.

Группу ЛиГи> (X/ всегда будем отождествлять с ее образом при естественном вложении Ainu (X) в fly, (X/

Отметим, что группа R.y>(Xj ^⁰⁰⁶ говоря, шире, чем J\ut^Z()(.). Например, если ^ есть двойное отношение на

-19 -аффинной прямой J\ , то /[uf* (J\) - группа аффинных преобразований прямой J\ , в то время как группа Ry> (Ж) ес-тественноотождествляется с группой проективных преобразований проективной прямой, полученной пополнением J\.

Преобразования из Кш^ (X) (из R (X) ) будем называть автоморфизмами у> (соответственно Д - автоморфизмами у).

Пусть - густое подмножество. Будем обозначать

^LX',X ^:Ашу(Х) —^> Ку,(Х) естественное отобра-

жение, которое каждому ъе Aul (X) ставит в соответст-вие класс отображения У: X П. У⁴ (X) ^Щ'~^3>Х совпадающего с У на своей области определения.

Будем обозначать через V" фиксированное векторное пространство над основным полем Уъ , через V" - множество всех ненулевых векторов V*» через V ~ проективизацию V* , то есть проективное пространство всех одномерных подпространств пространства V" f и через ЗС : y₊-~*v еетественную проекцию.

Пусть теперь X ,Х cV и Y_} 1 ^с V при-

_{дам x(X(\V+) = Y , x(X'l\W=Y'.}

Будем говорить, что отображение v- : X -~*Х накрывает отображение : J—* Y (соответственно О? индуцировано отображением > ), если коммутативна диаграмма

Xf\V₊ -и Х'Л v₊

y. -^ y;

Отображение >: X—* -X будем-называть линейным, если оно продолжается до линейного отображения V : V~* V, Аналогично, отображение a : Y" —» У"-' будем называть проективным, есди оно продолжается до проективного отображения

-20 -Будем обозначать L (X) группу всех линейных преобразований X. Соответственно через Р (Y) будем обозначать группу всех проективных преобразований Г ,

Будем говорить, что А невырождено, если порождает V как линейное пространство. Соответственно, будем говорить, что I невырокдено, если Y содержит проективный базис V".

Если X и Y невырождены, то L (X) ^и Р (Y) всегда будут рассматриваться, как подгруппы в ^ (]/) и Р (]/)

2. Двойные отношения, связанные с полилинейными формами

В этом параграфе будут построены некоторые h/ -функции на подмножествах проективных пространств, которые могут рассматриваться как обобщения двойного отношения на проективной прямой, и исследованы отображения, сохраняющие эти функции.

Пусть SP - полилинейная форма от /г переменных на векторном пространстве V.

Алгебраическую /8/г- функцию ф на V_ с областью определения

а = [lx#,u,w) є V₊*V₊ ^^А/^іх^Щ^фо}

Определим формулой SP(x,^,u_;(/;= Ф/_ии)Ф(хиу ' Непосредственно видно, что ф согласована с проекцией

ЯГУ²* —>V"²ⁿ- (то есть, что U^ *-< (хЦ>) и 9 постоянна на слоях 5Г ). Поэтому Ф индуцирует на Л/ "алгебраическую функцию ф с областью определения SC ( U&).

Функцию ф будем называть двойным отношением, связанным

с формой Ф

ПРИМЕР I. Рассмотрим проективную прямую Р как проективиза-цию двумерного евклидова пространства V" Пусть ф- форма объема на V и te<,Gz} такой базис v , что Ф&,е*)⁼'-

Выберем на аффинной прямой Jri. аффинную систему координат и
отождествим точку X є\ с координатой j« с точкой (е₄ + /е^)
В результате получим стандартную реализацию J\. в виде открыто
го подмножества Jc Тогда ограничение в аффинных

координатах имеет вид ф(а,Ь, с, d) = І—ЇШ.—~—, то есть совпа-

(C-6)(d-d) дает с обычным двойным отношением.

Пусть теперь М с V - неприводимое невырожденное подмножество. Ограничение ф на М также будем обозначать ф

Форму Ф будем называть невырожденной, если для любого
X єЛ/ существует такой ^eV что ⁽Р(х,и.)^0 Для

симметрических или кососимметрических билинейных форм это определение совпадает с обычным,

ПРЕДЛОЖЕНИЕ I. Если Ф невырождена, то всякое отображение )г ' М —^> V , сохраняющее ф , продолжается до проективного преобразования "V В частности, V является регулярной биек-цией М на ^ ^ j .

Доказательство. Для удобства изложения сформулируем две очевидные леммы.

ЛЕММА I. Пусть JKc V - невырожденное множество и ІҐє\Л Если 9((/^) = 0 при всех ХєХ^^-/ їо Q(tf,UL)= О при всех

ЛЕММ 2. Пусть невырожденное множество. Отображе-

ние dT :Х—> V продолжается до линейного оператора тогда и только тогда, когда из равенства нулю линейной комбинации вида Z^c^xi при Х^єл. вытекает, что Цоб, 1(х.)~ О.

Положим уС- Я"'(М) и пусть -^: X—* V+ некоторое отображение, вообще говоря нелинейное, накрывающее ^ .

По построению уС является невырожденным неприводимым подмножеством в V . Для Ue. f(X ) будем обозначать /l^X^

-22 -фиксированный для каждого ии є(Х)с V прообраз а. Положим X =&'*(()/\ X . Очевидно, _Х_ф открыто и всюду

;

Для доказательства предложения достаточно проверить, что
для любого . существует такое открытое в РІ подмножество
У , содержащее и, , что ограничение V на і продолжается
до проективного преобразования, так как в силу неприводимости
и невырожденности открытых подмножеств множества і! такие про
должения автоматически совпадут. _{ч г}

Пусть и₀е ""' (у₀) Выберем ( Яо, Но , К } -Х^хХ*Х так, что (x_o,y_o,U_O)if₀)e X _ф и Ф (у,_о,и:)*0. Чтобы доказать возможность такого выбора, положим

ІД/іГбХ^'ІЗС^^бХ'Х^: (Л^^^^вХ^Тог-
и , как легко видеть густо в . Если Q? (у,₀,Іґ)=о прш
всех ІГ є (Ц»,Ю-0 при всех ^е і/. В си
лу леммы I получаем, что Ф( у.,*)* О при всех «TsV
Так как ф не вырождена, а и₀ Ф О при некотором ІҐ₀ є U_t
получаем Ф (^0,^)^0. Так как V_b є U_f можно выбрать
такие х₀ и U₀ , что (Х₀^,,^/о)б X <р. Тройка
Ссс₀, ll₀ , W₀) таким образом, удовлетворяет сформулированным
требованиям.

Положим Y= (х єХ | ₀) ^ 0 ] ,

и^г^^єХ-Х^І^^^^^єХф},

W_x={uX'^,r,|Cx.tOW}, XY.

Очевидно открыты в Х,Х*Х и X

соответственно, причем х и W непусты.

Докажем, что при любом хє і множество Ал/д, непусто. В противном случае,для некоторого хє і и любого UeX имеем Ф(у„,а)Ф(хД>0, откуда, так как Ф-(Х,1Г_о)Ф'0, получаем Ф (llo,1^-)-О> что в силу леммы I противоречит невырожден-

сти формы ф

Положим V= я(і) По построению і открыто в и содержит ^ . Докажем, что ограничение V на Y накрывается линейным оператором

Так как ^ сохраняет ф , то при ( cc_tU) с"]/^/" имеем

<Р(ъи)9(у.,и;) ₌ <Р*(х,и) Ф*(у.,ц:) _сї;

причем знаменатель в правой части отличен от нуля.

Легко видеть, что ф [Цо і (Л)О.В самом деле, в противном случае <р(а:,и)=0 при любых (XiUJe'W, а значит, и при

любых (х, и)єХ,^{тк как}

плотно в А, Но по лемме I

это противоречит невырожденности ЧР . j

Полагая

рвпишам (I) в виде &(и)-Ь(х.) откуда

Определим теперь отображение & 'V > V" формулой

Достаточно проверить, что &у продолжается до линейного оператора F:]/-^v. Для этого проверим, что к <Х„ применима лемма В.

Прежде всего, используя полилинейность Ф , получим из (2) соотношение ф(_у X, U) = Щх, f'uj^U) при; (X,U)eW(d)

Пусть теперь ' х_и ,Х_кєі, cL_h о^ числа, и

2 cLiCC_L- О, Нужно проверить, что Хо6»# 3^ = 0. В си-

лу (3) при UeflW^ , полагая X = T,oL_La 0 , имеем

Фrx_;a) = gсСФґа_у х. aj = %₁^_іЯ?(х_і)ҐиіуГ(Ґи) =

Но f[ W^. есть пересечение густых в X подмножеств, и

следовательно, густо в . Поэтому

^{Ф(х,и) = 0 при всех}

1Ле J(ⁿ~^f откуда в силу леммы I, учитывая невырожденность Яг получаем Х-О , что и требовалось.

Предложение доказано.

Будем говорить, что форма Ф полусимметрична, если сущест
вует транзитивная группа Gr подстановок множества {і, ,п]

и ее характер "і со значениями в tK такой, что ф=^(б)ф

при б є Q-.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Пусть основное поле 3^ алгебраически замкнуто, а форма Ф невырождена и полусимметрична. Тогда в условиях предложения I отображение а , накрнвающее | имеет вид Ifr , где ЛвЖ, а $ сохраняет ф

Доказательство. Будем пользоваться обозначениями из доказательства предложения I.

Пусть М - замыкание М в V , a Z =Х - замыкание X в V . Положим Е = lift Z * Очевидно, Х_ф плотно в Z

При (х,и,и,і/)є X ^mQQU

Ф(х₃и) ф(&уг) __ Ф*(х.и)Ф*(у,иу

откуда ^ ^Ф^^; Ф%^<№^ '

Ф(^)9(хлФ\х,щ^л {4)

Учитывая, что 0, линейно, а У = Z. заключаем, что (4) выпол-

& _п <Р Я>*

нено при всех (XM,U._tLrj .

Для U Є Z и ьґє Z*"' положим

-25 -
Очевидно, множества l/п и Y^ открыты в Z и Z соот-

ветственно. Кроме того, из леммы I вытекает, что Un всегда непусто, a UЛ ⁼Z.

VreZ v

Далее, для иє. Z и І/єЦ, определим рациональные функции
на , и if. формулами

V 9^ ?(»>»)

Из соотношения (4) вытекает равенство рациональных функций

откуда немедленно получаем, что функции рр при различных(^пропорциональны с ненулевыми коэффициентами из vi> , Учитывая, что ру регулярно на ір , а и Y.= Z, видим, что Р^ регулярно на всем Z Так как р^ согласовано с проекцией Si :Z-~*Ii_t то р^ определяет на М всюду регулярную функцию со значениями в $v , Отсюда, поскольку М проективно, как известно, вытека-

, q>*(x, irj

ет, что h - const то есть.что отношение -L ' ' г не за-

висит от первого аргумента. Используя полусимметричность Ф , получаем, что SK (я,#)_ ауплЬ. Положим,! =( тргт^гТ?))

и о!=ХОг, тогда а' ж X удовлетворяют требованиям предложения.

Предложение доказано,

3, Двойные отношения на параболических пространствах

В работах[l5*I6j приводится конструкция двойного отношения четырех точек на самосопряженном параболическом пространстве . ^/р обобщающая практически все известные конструкции инвариан-

- 26 -тов такого типа.

В этом параграфе будет показано, что инварианты из[іб] тесно связаны с двойными отношениями, построенными в предыдущем параграфе. Это позволяет, во-первых, получить более точную информацию о структуре отображений, сохраняющих двойные отношения из работы fl5j, во-вторых, установить связи этих инвариантов с метрикой, инвариантной относительно максимальной компактной подгруппы jj/fc & в-третьих, использовать построенные инварианты для получения моделей некоторых алгебраических групп над не алгебраически замкнутыми полями.

Пусть Ср- полупростая комплексная алгебра Ли, Н - ее карта-новская подалгебра и (г группа всех внутренних автоморфизмов. Через /,у будем обозначать форму Киллинга на Q-

Для произвольной подгруппы Ли ]В С ( через будем

обозначать алгебру Ли группы ]Q .

Обозначим 21 систему всех корней 6г относительно J-/ и фиксируем некоторую систему простых корней Д с 2. Через 1Н.)(. f ^бУД^8ы обозначать базис Шевалле, построенный по П. и A _t (см.[29] стр.II).

Фиксируем некоторое подмножество Qc Д Как известного 9 можно связать градуировку вида Q= 21 U- причем при it О

пространство U- натянуто на все те Х.^ » что сумма коэффи
циентов при элементах из Q в разложении cL по системе Д рав
на і, a U₀ натянуто на Я и на все вектора , для которых
оС линейно выражается через элементы из А- 9.

Для Х Gc обозначим х. Є LL его ^f-ю компоненту и по-

ложим

Х+ = 2л_; , Х- = Z х- Для t>o по-

ложим

Є ⁺ Я. ' ' {

так как Q (a)jiX^ _e(aju^zXj.-^aXj-J^aX^X^X,* м ddQ_e(a)=jdd(СССР

рігні В С Л;ші

или G- = Sp(/b)xS0(3)_f или Gr^SLCVJ, а для Q- имеются следующие возможности:

а) при ^- . Gj- кожет быть любой неприводимой прос
той группой.

б) при %₄ - Z_z- {, Gr может быть любой неприводимой
простой группой, для которой oL^ 1 т.е. любой группой из

таблицы I. Отметим, что в этом случае Gr получается из (x_z по принципу двойственности.

в) при z₄ < tjri , Gr - одна из групп, приведенных в
таблицах I, 2, либо двойственна такой группе.

Доказательство. Предположим сначала, что Тогда утверждение а) вытекает из теоремы 4 работы [35j , утверждение б) из принципа двойственности и остается проверить в). В последнем случае имеем, как легко видеть, dlmv^ dim Gr_&> Список простых нерриводимых групп, удовлетворяющих этому условию, приведен в [34J. Простое сравнение размерностей с использованием сделанных в работах [34, 35] вычислений стационарных подгрупп для точек общего положения доказывает в).

Покажем теперь, что при Сг ф SpC^^SOib) случай Qj^SL(Vj) невозможен.

a) 2, = 2^ Простой подсчет размерностей с использованием леммы I, показывает, что если Q-^SLfV^)_у 0~_гі= SL(v_z) то Q- и Grz, "* классические группы. В последнем случав из результатов работы зб] немедленно получаем, что ^ ^ і.

б),<_а Пусть Н= SL(Ц)X Q_z meQuGr^H, ^0^1. Пусть М₀ - стационарная подгруппа точки общего положения, общей для Ясно, что h ^ гъ, поэтому имеем

по построению группы М.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3, Если Lin Q Ф $L(V) _ї0 У* Z.

*П JY

Доказательство, Пусть Q- та не, что в предложении 2, Очевидно, & >diniH-d"ⁿG'--0_Q9 откуда, применяя лемму I и предложение а, получим ^/-^ > jLL^ZaI _и далее ^.<#2^

при Л^ДПри Z^ ^2 ^/_/ утверждение предложения сво
дится к предложению I. При %^> |а_у ^%іг-і в силу дока
занного неравенства необходимо Jsfu3_} причем, при N~3 обяза
тельно %₄ < 3. Сравнение dim V и dimQ- _с учетом леммы I поз
воляет отбросить последний случай. Имеем Ы~3 , 2_/б з

а) г, - . В силу леммы I 0^ ^ 3 +3^4+-^--, по
этому і ^0- ^ZZ^-Z-Z^ - ³ ^—. Положим f (%) =

= g-*"" ^^-^^. Тогда последнее неравенство можно запи
сать в виде i(Zj*0. Имеем f(z)=Zt^z-2z₃ с О при Z_$i
поэтому ^ убывает на [->?5І и Атгяо: ^г; = f, ( %&) -3+%$

Так как rnaacf(z)*fc_z) *0 , получаем 3⁺ ^~І\^гІ > ₉ что

возможно только при < 5*.

1) т^-з . Тогда Z₂ = Z .

Имеем durtQx^=3 и dlmGc^9. Так как то нера-

венство б <. L невозможно,

2) ^3=^. Тогда Ъ =гЗ.

Имеем Жт&3+8+ ^=24, dimV= 2-3-4=24. откуда снова полунаем, что неравенство cL ^ 1 невозможно.

б) Случай Z_{-3 разбирается аналогично. Предложение дока
зано.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Если fr ±i , N(6) = 2, G^SLfV). ю

слабо сохраняет У . Очевидно, что V удовлетворяет всем требуемым свойствам.

Последнее утверждение теоремы следует из отделимости fp.

ТЕОРЕМА 8« Пусть в условиях теоремы 7 1Л проективно. Тогда v единственным образом продолжается до преобразования ft : М —» ҐІ слабо сохраняющего. У и имеющего замкнытцй график.

Отметим, что если іч , кроме того, гладко, то по теореме 3 V является автоморфизмом.

Доказательство, В обозначениях теоремы 7 из проективности
ІІ вытекает, что 9с<( Г) =_г(ГкМ и Г является графиком
некоторого отображения Проверка того, что

$ удовлетворяет требованиям теоремы производится непосредст-венно. Единственность V очевидна,

В заключение параграфа докажем теорему о согласованности продолжений отображения, слабо сохраняющего У , по различным кривым,

ТЕОРЕМ 9. Пусть V: XJ-^ЇЛ регулярно и ^(У)=їЛ. Пусть далее ос є I_/, -^-^,/(-^ {^X)U U кривые и : У^'. X'^-*їі (Ь ~ *»'2) " регулярные продолженрія ограничений на них отображения ^ Тогда, если fr слабо сохраняет У , то

^6^) = ^2,(^) (Другими словами продолжения ^ в точку X по различным кривым совпадают, если они определены).

Доказательство. Для Сіє. V ( Vw^JmУд. C^ifi) определим рациональные функции \Р_Л (ОС) и if . (X) на и формулами:

В некоторой окрестности L^ ^У^і ючки ее эти функции регулярны и, так как ^ слабо сохраняет if , совпадают вІ^тМ

ТАБЛИЦЫ Знак + (-) в графе " I " означает, что Gc имеет симметрический (кососимштрический) билинейный инвариант.

Таблица I

Группа SO(п) конечно, проста только при іьфЧ.

Таблица Z Таблица З

Через Х_кобозначена произвольная приведенная группа, действующая в К -мерном пространстве

*' Gr приведена при а?3, при п>-3 получается единственная неприведенная группа, имеющая билинейный инвариант.

-46-.

Модели компактных групп Ли, связанные с операциями первого и второго порядка

Образуя коммутатор обеих частей (П) с Є и используя приведенные тождества, получим -ZCu&- 2х откуда Uz= С Xz Из (10), учитывая, что [x4fx fx4,Ш«{xux„xi}) [y te]=yl получим -СЗаіі)- 1 $ " &z%i что и доказывает I). Предложение доказано. Используем доказанное предложение для описания в терминах фрейденталевой системы преобразований из группы (2г. Для cceGf- обозначим OL рациональное преобразование vJ полученное ограничением на Тд/ преобразования Іє(5 Имеем, Группа (Qf порождается преобразованиями вида й ъ CL при а Є t//. Но при CL Є /, как легко видеть,0Гх еа ЙХ) откуда получаем д х = a+X - а}Х Є. Итак доказано. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7. Компонента І в группе рациональных преобразований W , сохраняющих a. , порождается преобразованиями Аналог этого предложения для случая йордановых алгебр приведен в [із] . 5. Классификация неприводимых локально транзитивных линейных групп Ли В этом параграфе рассматриваются только комплексные группы Ли, действующие в комплексных векторных пространствах. Пусть Сг - линейная группа Ли, действующая в пространстве V . Обозначим через /тг максимальную размерность Gr - орбиты в пространстве V" . через /L - размерность стационарной подгруппы для точки общего положения и положим cU= шт v /7гб? Классификация неприводимых локально транзитивных линейных групп Ли сводится к классификации таких полупростых линейных групп, у которых и і . В самой деле, каждая неприводимая (г группа либо полупроста, либо является расширением полупростой при помощи группы скаляров, В обоих случаях, если неприводимая группа локально транзитивна, то для соответствующей полупростой и і . С другой стороны, если ог I то расширение группы Gr при помощи группы скаляров локально транзитивно в силу теоремы I из работы[35], Нике описаны все неприводимые полупростые группы, для которых cL i. (г В настоящей работе произведение линейных групп всегда считается линейной группой, действующей на тензорном произведении соответствующих пространств. Для каждой неприводимой полупростой линейной группы Q- су ществует такое разложение в прямое произведение простых неприво димых линейных групп (}ucEnd(Vi)f 1-і, І ff(Gr)wodirrN/Z и числа . f(j)= dim, v не убывают с ростом і. Ясно, что числа JSf(Q) и iCG) зависят только от группы Gr . Имеет место следующий принцип двойственности (сы. [Зб] ) ПРИНЦИП ДВОЙСТВЕННОСТИ. Если для действия на V "W существует точка общего положения со стационарной - 37 -подгруппой л , то для действия Crx SL(W) на V W где dim 1д/= сшгі\/ (Млг\л/, существует точка общего положения со стационарной подгруппой М , изоморфной И.. Будем говорить, что линейная группа GxSL(W ) получе на из линейной группы (jf-xSL (W) по принципу двойствен ности. Подсчет: размерностей показывает, что, если группа Gr по лучена из группы Gr по принципу двойственности, ТО UQ! Ь Скажем, что полупростая неприводимая линейная группа Q меньше полупростой линейной группы (J , если J\T((x) :Jv(Gr), %L (Q)$ ZL (Q!) И либо N(G) N(Gr) либо для некоторого it tL(Q) zL(Gt% Назовем линейную группу приведенной, если она полупроста, неприводима и не может быть уменьшена при помощи принципа двойст-венности. Ясно, что из любой неприводимой полупростой линейной группы, последовательно уменьшая ее при помощи принципа двойственности, можно получить приведенную, В силу симметрии принципа двойственности любая полупростая неприводимая группа может быть получена из приведенной аналогичным образом. ТЕОРЕМА I. Все приведенные группы, для которых 0„ 4=1 перечислены в таблицах I и 2. ЗАМЕЧАНИЕ I. Классификация неприводимых локально транзитивных групп содержит классификацию неприводимых групп действующих локально транзитивно на произвольных грассмановых многообразиях. В самом деле, группа (J действует локально транзитивно на многообразии к -мерных подпространств пространства V тогда и только тогда, когда группа GrL(W) Gr cllnbW = локально транзитивна на ЗАМЕЧАНИЕ 2. Б таблице 3 приведен описок приведенных групп Cr У которых # L і и стационарная подалгебра точки общего положения тривиальна. Стационарные подалгебры для остальных групп из таблиц I и 2 приведены в работах (34] и [35J . ЗАМЕЧАНИЕ 3, Если нерриводимая линейная группа имеет билинейный инвариант, то она обязательно является приведенной. (За исключением группы $0(3) SL(2) . В таблицах I и 2 указано наличие такого инварианта и значит получена классификация неприводимых групп с билинейными инвариантами, локально транзитивных на соответствующих проективных пространствах. Последняя классификация содержит классификацию групп с симметрическими билинейными инвариантами локально транзитивных на сферах, полученную А.Л.Онищиком.

Классификация неприводимых локально транзитивных групп Ли

Назовем / замкнутым, если гь замкнуто в (в топо логии Зарисского) то есть, если соответствующее / отношение инцидентности локально может быть задано алгебраическими соотношениями. Назовем семейство / слабо трансвереальным, если касательные пространства к любым двум различным / - плоскостям в любой их общей точке различны.

В оставшейся части работы предполагается, что основное поле 5v является полем комплексных чисел. Пусть , Будем называть отображение V-: глад ким, если оно может быть продолкено до аналитического отображе- ния некоторой окрестностиу\ в И, якобиан которого не обращается в нуль на .X. . Скажем, что v является Г - морфизмом, если V - гладкое отображение и ( &г Л уС )с-Н .Преобразование V множества /V назовем Г - автоморфизмом, если V и V" являются 1 - морфизмами. Группу всех Г - автоморфизмов Л. будем обозначать ТЕОРЕМА I. Пусть .X - открытое в хаусдорфовой топологии подмножество 1 і . Всякий / - морфизм V: слабо сохраняет 40р в смысле главы 2. Доказательство немедленно получается применением леммы 4 из 1. Если / регулярно и невырождено, то в силу теоремы I и предложения 2 для изучения Г - морфизмов можно использовать результаты главы 2. В частности получаем СЛЕДСТВИЕ. Если Г регулярно и невырондено, а открыто в хаусдорфовой топологии, то I - морфизм у лґ ±1 -является взаимно однозначным отображением JX. на У ( Л.). Доказательство, Достаточно применить предложение 2 из главы 2. ТЕОРЕМ 2, Пусть Г регулярно, невырокдено и слабо трансвер сально. Предположим также, что для любого 66 = (66,,...66 )6 Ur множество It всех тех и є 66 для которых ( .,66 ,...66, ) иг густо в 66 (если 66 неприводима, то это условие выполнено автоматически). Тогда совпадает с группой всех гладких преобразований іч , сохраняющих Ф р Доказательство, Пусть гладкое преобразование сохраняет Ф Докажем, что Aufr ( М) . Прежде всего заметим, что по построению Фр, всякое отображение, сохраняю щее , переводит Up в себя, и, более того, ИЗ 66 вы текает, что 66 U . Проверим, что уббс убб для всех 666Ц,. Пусть, напротив, ух f у 66 для некоторых 16= (U ,...U n,)e Ur и X є 66 . Полагая t/= ( 16г,... 6 ) имеем "у(;с., /)- . Используя предложение I из I, подберем такой набор о? то чек , что (а), и) и ( а), у(аз,(/)) лежат в Q и ФГ (0), ) (0), (Х,ьО). Но тогда, поскольку у сохраняет ,получим " )= ФД}" о), (Х,(/Д невозможно, так как 66 = (сс,іґ) . Пусть теперь іґє XJ такой набор, что 6 =66. Имеем у ( 66 пиО с уббПуї/ с убІЛ По построению, і/ и 66 откры-ты, а по условию и густы в (/ = 66 Следовательно, ІҐ й Ы непусто. Обозначим Со. дифференциал отображения у Тогда, для хєїі имеем х }f ]" U -d x jc - Так как скль иХ - dUrrb 1 , полуяаем 1 ./6 =6 1 {б. Поэтому, для xeunj/ имеем 4 L = / , = /tL =Tx Р"» откуда в силу трансверсальности Г получаем y6t = -перь, в силу очевидного равенства б =. XJ іґ имеем Таким образом является Г - морфизмом. Применяя аналогичные рассуждения к V" получим, что у є Для завер шения доказательства, остается заметить, что по теореме I, всякий Г - автоморфизм сохраняет ф . Теорема доказана. СЛЕДСТВИЕ. Если в условиях теоремы Z многообразие іі проек тивно, то является алгебраической группой, регулярно действующей на М. Доказательство немедленно получается из теоремы 10 главы 2. ТЕОРЕМА 3. Если М. проективно, а Г регулярно, замкнуто и невырождено, то группа Aut (П) является алгебраической группой, регулярно действующей на ГІ. Доказательство. A U-\„ (П) очевидно, совпадает с группой всех преобразований V Є Au.t_(?)„) удовлетворяющих при любых & е р условию frx, Є R, и Vіх б R -Поэтому, из замкнутости Г вытекает, что АиІ„ (Н) является алгебраической подгруппой в J\u Гр(г) если последняя снабжена структурой алгебраической группы согласно теореме 10 главы 2. Теорема доказана. Приводимые ниже результаты позволяют применять теоремы о мор физмах свободных семейств на проективных комплексных многообразиях к изучению некоторых свободных семейств на вещественных и непроективных многообразиях. Например, изучение автоморфизмов семейств прямых на евклидовой плоскости может быть сведено к изучению автоморфизмов семейства прямых на проективной плоскости. Подмножество X CJ1 будем называть существенным, если

Отображения, допускающие отделимый рациональный инвариант

Если 1= jOJ то по построению (О X и из приведенных выше рассуждений немедленно получаем, что справедливо утверждение 3). Докажем утверждение 4). Пусть L S - алгебра, порожден ная S-j и р{ и Очевидно, разложение / = Л +L+L является градуировкой /д. Покажем, что алгебра L полупроста. Пусть Вл - QQ ради кал. Используя те же рассуждения, что при доказательстве утвер ждения 2), можно показать, что JL С L . Тогда сравнение степе ней показывает, что LLiJisjl = {о} при і о 9 откуда [ L,-R,3 - {о}, то есть R - центр алгебры L. Пусть L - фактор Леви алгебры L По построению, L0c [L,L1 а так как А. - центр Учитывая, что ]LcL03 L f\RL - {} , получаем В. - {о} что и требовалось. Пусть С є р - произвольный элемент группы Вейля алгебры /_, , переставляющий L. и ь_. Если іч самосопряжено, то учитывая, что L.-Jj.r. L U\ и в силу экстремальности Гх алгебры (J x и Сг являются нормализаторами для (У- и I/ видим, что (jr -(у откуда & Х - Ц, и следовательно, Lie ]S х = о). Если ]i не само сопряжено и имеет порядок I, то равенств получаем «г Q- = Q- и, следовательно, = ) Утверждение 4) а с ним и все предложение доказано. - 79 Заметим, что из доказательства утверждения 4) вытекает следующее утверждение о структуре и)х при (Х,1)Є XJfA 4 ) Если М самосопряжено или имеет порядок I, то о) = = d где L - полупростая алгебра Ли, 1 - центр алгебры Ли L+I и Qc L - параболическая подалгебра порядка I. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Если .М несамосопряжено и имеет порядок I, то стабилизатор м"х ц множества cDx „ при Сос,и)є1у является параболической подгруппой порядка I. Доказательство. Введем градуировку в Q- , положив в предыдущих обозначениях Тогда стабилизатор множества 6t)h(-h совпадает с ІЛ + \J, что и доказывает предложение. Назовем Р5 - структурой порядка /г на Л регулярное ґі -свободное невырожденное слабо трансверсальное семейство подмногообразий. Рр - структуры порядка 2 будем называть плоскими а их элементы - прямыми. Назовем семейство подмногообразий зс инвариантным относительно группы преобразований zi , если йсЭвье при сОє ґ деіу и Із - однородным, если кроме того естественное действие -у на С транзитивно и стабилизатор % любого и) действует транзитивно на и) . Будем называть свободное семейство г- (Ц.,ир) однородным относительно -у , если у -однородно CptUp инвариант но относительно 77 и действие транзитивно. Будем говорить, что свободное семейство жорирует семейство / , если любое (О є « вместе с любойt лежащей в нем п, -кой Х Ur содержит и все и) . - 80 Будем называть каноническим семейством подмногообразий на параболическом пространстве .М и обозначать семейство Л всех многообразий вида с0х при (ос,и) є UM . ТЕОРЕМА I.I) «rM Q- - однородно (а так же однородно относительно группы всех автоморфизмов алгебры Q ) и мажори руется любым слабо трансверсальным Q - однородным семейством. 2) Если П. самосопряжено и имеет порядок I, то с = [М} и, следовательно, на І1 не существует нетривиальных Q- - однородных слабо трансверсальных семейств. 3) Если ГІ не является самосопряженным порядка I, то F = (W ,1/ )" 2-свободное регулярное семейство, и JL не имеет Л- - вырожденных точек. 4) Предположим, что ЇЛ экстремально. Если J1 самосопря жено и имеет порядок больше I или, если ]ч несамосопряжено и имеет порядок I, то Гм слабо трансверсальяо. 5) Если в условиях утверждения 4) подалгебра Р макси мальна, а порядок jl не превышает 2, то IT. является единст венной г -однородной плоской - структурой на со связными прямыми. Доказательство. Утверждение I) немедленно вытекает из построения \з с , и леммы I Для доказательства утверждения 2) достаточно проверить, что a)w = И, а это сводится к тому, что по рождают Q-.

Автоморфизмы свободных семейств подмногообразий

Если ф - невырожденная симметрическая или кососимметри ческая форма, то многообразие неприводимо при Z К- dim V3 за исключением случая симметрической ф и dim V = 2,к,. Чтобы описать компоненты JT. (\лф)в этом случав введем понятие ориентации изотропного пространства Ve Г, (V.9) при dLmV=2K. Предположим, что dirtbV - ЇІК и фиксируем некоторую ориентацию пространства V. Будем говорить, что W ориентировано положительно или отрицательно, если соответствующим образом ориентирован некоторый базис V вида е„...,еЛ,е/,...,е Л где ЄУ,...,ЄС-базис "W" , е/, ...,е - базис некоторого дополнительного к vv изотропного подпространства и Ф (Єї Є: ) = О:; при L,l= l,...tR . Легко видеть, что определение ориентации корректно, то есть не зависит от выбора базиса, и, что iLc(V,T7 состоит из компонент ]Г (У,ф/ и j[ (V, / содержащих пространства положительной и отрицательной ориентации, соответственно. Заметим, что при нечетном К дополнительные изотропные подпространства имеют противоположную ориентацию, поэтому любые два подпространства из Ц (vWjvimm непустое пе-ресечение. Тип ]V brc Z. Схема Дынкина о о уу "" Пусть сіїтЛГ - 2,гы-1 и т - невырожденная симметрическая форма на v: Пространство, соответствующее градуировке по Я -ому корню изоморфно Г, (V, р; пр и Ю — I, И , к. Каноническое семейство тривиально при Ри=1. Пр К = 2, ..., ґі прямыми в канонической геометрии являются многообразия вида Используя результаты работы [іб] , теорему I и результаты 2 получим следующий результат: ТЕОРЕМ 4. Пусть clirnV- 2гъ+{ и ф -невырожденная симметрическая форма на V . Тогда при /с = 2, ...,/ъ единственной плоской геометрией на ][ (\/фуявляется семейсті-во подмногообразий вида При К.-1 плоских геометрий на ж ( v, т/нв существует. Группа коллинеаций канонической плоской геометрии на Л д V Я?) является простой группой типа , состоящей из преобразований V , сохраняющих 9? при /с= 2,...,/г. Тип С , гьъЪ. Схема Дынкина ±_ g - - t on Пусть - невырожденная кососимметрическая форма на Пространство, соответствующее градуировке по к, -му корню, изоморфно ]T (V/r J при R = I, ... ,П/ . При 1С=П каноническое семейство тривиально. При »0 = 1, ... , гъ-1 прямыми в канонической геометрии являются многообразия вида при ос є FZfZ(V) Как и выше, из теоремы I, результатов 2 и работы [16 ] вытекает ТЕОРЕМ 5. Пусть dirrbv = Zin и Ф - невырожденная - 89 кососимметрическая форма на V . При /с = I, ... 1Ъ-1 единственной плоской геометрией на IF (V,?) является семейство всех многообразий вида Группа всех коллинеаций этой геометрии является простой группой типа С . Каноническое семейство на Ґ (\/"ф)згривиально и плоских гвометрий нє. СуЩвСТВувї. jad Тип 2) , ГЪ 3 . Схема Дынкина &—о — Пусть невырожденная симметри ческая форма на V. Пространство, соответствующее градуировке по к, -му корню при 1С = I, ... , n-Z изоморфно і ( V, ф,)а ПРИ к: =/г-і,/г ГИ+(УФ). При /с = 4 и с= ґь-і ґь для четного /г каноническое семейство тривиально. При = 2,... , tb-Z прямыми в канонической геометрии являются многообразия вида

Похожие диссертации на Проективная геометрия на алгебраических многообразиях

Геометрия многообразий Кенмоцу и их обобщенийУмнова Светлана Викторовна

Элементы дифференциальной геометрии ... многообразий в евклидовых пространствахКаланчук, Роман Иванович

Эрмитовы метрики в алгебрах и их применение к геометрии многообразий прямых и плоскостей вещественных пространствВыплавина, Раиса Порфирьевна

Дифференциальная геометрия многообразия Вайсмана-ГреяЩипкова, Нина Николаевна

Геометрия многообразий с регулярным действием торовИзместьев Иван Вениаминович

Геометрия многообразия направлений физического пространства Иванов Денис Владимирович

Новые аспекты геометрии многообразий Вайсмана-ГреяИгнаточкина Лия Анатольевна

Геометрия многообразий НиренбергаДокалюк Светлана Николаевна

Геометрия открытых многообразий неотрицательной кривизныМаренич, Валерий Борисович

Геометрия квазикосимплектических многообразий Валеев Руслан Рунарович