Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Квазикосимплектические многообразия 16
1. Почти контактные метрические структуры 16
2. gCr-структура и ее структурные уравнения 24
3. Некоторые характеризации класса >Су-многообразий 31
4. Вычисление некоторых классических тензоров ^Сї-многообразий в А-репере 40
1. Тензор Римана-Кристоффеля 40
2. Тензор Риччи 44
3. Скалярная кривизна 45
5. Тождества кривизны для )Сї-многообразий , 46
Глава 2. Псевдокосимплектнческие многообразия 49
1. Определение РСг-многообразий 49
2. Структурные уравнения PCs-многообразий 58
3. Вычисление некоторых классических тензоров PCs'-многообразий в А- репере 66
Глава 3. Постоянство типа PCs-многообразий 70
Литература 76
Публикации автора по теме диссертации 79
- Некоторые характеризации класса >Су-многообразий
- Тождества кривизны для )Сї-многообразий
- Структурные уравнения PCs-многообразий
- Вычисление некоторых классических тензоров PCs'-многообразий в А- репере
Введение к работе
Актуальность темы. Многообразия, которым посвящена настоящая работа, принадлежат классу многообразий, наделенных почти контактной метрической структурой. Почти контактные метрические структуры составляют один из наиболее содержательных примеров дифференциально-геометрических структур. Их теория является естественным обобщением так называемой контактной геометрии, имеющей многочисленные приложения в классической и квантовой механике, в теории геометрического квантования. Кроме того, интерес к теории почти контактных метрических структур объясняется богатством внутреннего содержания самой теории и ее взаимосвязями с другими разделами дифференциальной геометрии, в частности, с теорией гиперповерхностей ри-манова многообразия.
Уже около пятидесяти лет почти контактные многообразия являются предметом интенсивного исследования ученых-геометров. Изучение этого типа многообразий с точки зрения их дифференциально-геометрических структур началось с появлением основополагающих работ Чженя (Chern S.-S.) [1], Дж. Грея (Gray J. W.) [2], Сасаки (Sasaki S.) [3]. В 1953 году Чжень обнаружил, что контактное многообразие допускает G-структуру со структурной группой {е}х1/(и). Многообразия, допускающие такую структуру, Дж. Грей назвал почти контактными многообразиями. Сасаки заметил [3], что такая G-структура порождает тройку (Ф,!;, п.), где Ф - тензор типа (1,1), - вектор, т\ - ковек-тор. Эта тройка обладает свойствами: ті(Й=і, Ф2 = -іа+л® , из которых легко вывести, что:
Кроме того, исходя из произвольной римановой метрики h на таком многообразии, он построил риманову метрику {Х,У) = п(ФХ,ФГ) + к(ф2Х,Ф2У) + ц(Х)г){У), дополняющую (Ф, 4, г\) до почти контактной метрической структуры.
Почти контактные метрические структуры являются нечетномерным аналогом почти эрмитовых структур, и между этими классами структур существует ряд важных взаимосвязей. Например, почти контактная метрическая структура внутренним образом возникает на гиперповерхностях почти эрмитова многообразия, С другой стороны, если (Л/,Ф, , ті, g) - почти контактное метрическое многообразие, то на многообразии МхМ. канонически индуцируется почти эрмитова структура [4]. Например, как было доказано Кириченко В. Ф. [4], косимплектическое многообразие локально устроено как произведение вещественной прямой на келерово многообразие, точнейше косимплектическое многообразие локально устроено как произведение вещественной прямой на приближенно келерово многообразие.
Изучение взаимосвязи между классами почти контактных метрических и почти эрмитовых структур позволяет выделить новые интересные классы почти контактных метрических структур. Так, например, Оубинья (Oubina J. А.) в 1981 г. в своем докладе «A classification for almost contact structures» на конференции «VIII Jornadas Luso-Espanholas de Matematica» (Коимбра, Португалия) выделил новый класс структур, которые назвал квази-К-косимплектическими структурами. Он определил этот класс структур как линейное расширение квазикелеровых структур. Более того, он доказал, что, если М- почти эрмитово многообразие, то многообразие МхШ. будет квази-АТ-косимплектическим тогда и только тогда, когда М является квазикелеровым. Оубинья также доказал, что этот класс структур характеризуется тождеством
I V (Ф)Г + Т7ФХ (Ф)ФУ = ч(Г)ЧФХЪ V , Y є Х(М), которое позднее возьмут за определение Чинея (Chinea D.) [5} и Капурси (Capursi М.) [6]. В данной работе это тождество также принято за определение. В 1984 году Чинея изучал римановы субмерсии данного класса многообразий. Капурси в 1987 г. назвал этот класс квазикосимплектических и структурами, В статье [6] Капурси показал, что классы почти косимплектических, точнейше косимплектических и косимплектических многообразий являются подклассами класса квазикосимплектических многообразий. Кроме того, он привел пример квазикосимплектических многообразий, отличных от почти косимплектических и точнейше косимплектических многообразий. Капурси показал, что произведение двух почти контактных метрических структур является квазикелеровои структурой тогда и только тогда, когда эти структуры являются квазикосим-плектическими. Он также рассматривал инвариантные подмногообразия квазикосимплектических многообразий. В дальнейшем изучение квазикосимплектических многообразий вышло из поля зрения ведущих геометров, во всяком случае, в печати не появлялись работы, посвященные изучению этих многообразий. Поэтому представляет интерес изучить более детально дифференциально-геометрические свойства данного класса многообразий и его подклассов.
Цель диссертационной работы. Состоит в изучении дифференциально-геометрических свойств класса квазикосимплектических (короче, QCs-) многообразий и его подклассов.
Основные задачи. В соответствии с целью выделим следующие задачи нашего исследования:
1. Получить структурные уравнения квазикосимплектических многообразий и на их основе вычислить выражение классических тензоров этих многообразий в специализированном репере.
2. Изучить некоторые аспекты геометрии класса квазикосимплектических многообразий, выделить его подклассы: класс псевдокосимплектических (короче, PCs-) и класс строго псевдокосимплектических (короче, SPCs-) многообразий. Исследовать свойства многообразий этих классов. З. Изучить свойства постоянства типа псевдокосимплектических многообразий.
Новизна результатов. Результаты, полученные в процессе решения поставленных задач, являются новыми. Выделим основные из них:
1. Выделены подклассы класса квазикосимплектических многообразий: класс псевдокосимплектических и класс строго псевдокосимплектических многообразий. Получена полная группа структурных уравнений QCs-, PCs- и SPCs-многообразий и исследованы их свойства.
2. Получены некоторые соотношения между классом квазикосимплектических многообразий и другими классами почти контактных метрических многообразий.
3. Найдены условия, при которых почти контактная метрическая структура, индуцированная на гиперповерхности квазикелерова многообразия, будет квазикосимплектической структурой.
4. Доказано, что псевдокосимплектические структуры индуцируются на gCs-гиперповерхностях приближенно келерова многообразия, а строго псевдокосимплектические структуры - на Cs-гиперповерхностях келерова многообразия.
5. Вычислены компоненты тензоров Римана-Кристоффеля, Риччи, Вейля квазикосимплектических и псевдокосимплектических многообразий; вычислена скалярная кривизна на пространстве присоединенной G-структуры в терминах структурных тензоров.
6. В терминах структурных тензоров охарактеризованы тождества, которым удовлетворяет тензор Римана-Кристоффеля квазикосимплектических и псевдокосимплектических многообразий. На их основе выделены классы этих многообразий, являющиеся контактными аналогами классов Грея для почти эрмитовых многообразий.
7. Получена исчерпывающая геометрическая характеристика строения псевдокосимплектических многообразий постоянного типа.
Методы исследования. Результаты работы получены систематиче 7 ским использованием современной версии метода внешних форм Картана - метода присоединенных G-структур. Исследования геометрических свойств квазикосимплектических и псевдокосимплектических многообразий проводятся на пространстве некоторой G-структуры, естественным образом присоединенной к многообразиям. По мере необходимости использовались также метод инвариантного исчисления Кошуля [7] и метод присоединенных Q-алгебр [8], [9],
Теоретическое и прикладное значение. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения почти контактных метрических многообразий, в частности квазикосимплектических, псевдокосимплектических и строго псевдокосимплектических многообразий, в соответствующих разделах дифференциальной геометрии и теоретической физике. Кроме того, они могут найти свое применение в качестве материалов для специальных курсов по теории почти контактных метрических структур в высших учебных заведениях.
Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на заседании научно-исследовательского семинара кафедры геометрии Ml Л У под руководством доктора физико-математических наук, профессора В. Ф. Кириченко; на Международном геометрическом семинаре «Лаптевские чтения - 2003», г. Пенза; на Международной конференции «Актуальные проблемы математики и механики», посвященной 200-летию ЮГУ и 70-летию НИИ математики и механики КГУ, г. Казань.
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 5 публикациях [34] - [38].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих восемь параграфов, и списка литературы. Список литературы содержит 33 наименования работ отечественных и зарубежных авторов. Диссертация изложена на 19 страницах машинописного текста.
Некоторые характеризации класса >Су-многообразий
Пусть М- гладкое многообразие, dimM=2« + l; Х(М)-С(М)-модуль гладких векторных полей на многообразии М, d - оператор внешнего дифференцирования. Все многообразия, тензорные поля и т. п. объекты предполагаются гладкими класса С. Напомним [12], что почти контактной метрической (короче, АС-) структурой на многообразии М называется совокупность (Ф, , Г, g) тензорных полей на М, где g — {v) - (псевдо) риманова метрика; Ф - тензор типа (1,1), называемый структурным оператором; - вектор, г -ковектор, называемые структурным вектором и контактной формой соответственно. При этом: где X,YeX(M), id - тождественное преобразование. Заметим, что соотношения (1.1.1) не являются независимыми. Например, соотношения (1.1.1)з, 4 следуют из (l,l.l)i(2 [13]. Кроме того, если в (1.1.l)s заменить Уна , то, с учетом соотношений (1.1.1)(,4, получим кососимметричен, т. е. является 2-формой на М. Этот тензор называется фундаментальной формой структуры. Хорошо известно, что необходимыми условиями существования ЛС-структуры на многообразии являются его нечетно-мерность и ориентируемость. Многообразие, на котором фиксирована АС-структура, называется почти контактным метрическим (короче, АС-) многообразием.
В случае, когда rfT) = Q, почти контактная метрическая структура называется контактной метрической структурой. Пусть (Ф, %, ц, g) - ЛС-структура на многообразии М2п+1. В модуле Х(М) внутренним образом определены два взаимно дополнительных проектора где Ш1 = КегФ — Imm - линейная оболочка структурного вектора, = 1тФ = = Кегг - так называемое контактное распределение [13]. Очевидно, распределения Ш и инвариантны относительно Ф и взаимно ортогональны. Очевидно также, что где Ф= ФІ.. Поэтому, если рМ, то в касательном пространстве ТАМ) мож-но построить ортонормированный репер {р,е0,е1,е2,,..уЄп,Феї,---,Фе„}, где е0— . Такой репер называется вещественно адаптированным репером. С другой стороны, пусть с = С — комплексификация распределения . В ней внутренним образом определены два взаимно дополнительных проектора ст = -fid- /—Гф] ИО = —fid + J—ЇФІ на собственные подмодули D$ и / эндоморфизма Ф, отвечающие соб ственным значениям соответственно. Следовательно, можно по 18 строить репер {/7,8(,,8,,...,8,,, ,...,6 } комплексификации пространства Тр(м), = ,, єд = 72о:(ея), e5 = V2a(ea), состоящий из собственных векторов оператора Ф . Такой репер называется репером, адаптированным структуре, или А-репером [14]. Легко видеть, что матрицы, состоящие из компонент тензоров Фр и gp, в Л-репере имеют вид соответственно: где AeU(n), U(n) - унитарная группа порядка п. Эта G-структура называется присоединенной. Еще раз подчеркнем, что пространство присоединенной G-структуры состоит из комплексных реперов, т. е. реперов комплексификации соответствующих касательных пространств. Поэтому, даже имея дело с вещественными тензорами, мы, говоря об их компонентах на пространстве присоединенной G-структуры, подразумеваем компоненты комплексных расширений этих тензоров. В свою очередь, комплексный тензор является комплексным расширением вещественного тензора тогда и только тогда, когда он инвариантен относительно оператора комплексного сопряжения. Следуя общепринятой традиции, будем называть такой тензор вещественным. В частности, сумма чистого комплексного тензора и комплексно сопряженного ему тензора является вещественным тензором. На протяжении всей работы будем подразумевать, если не оговорено противное, что индексы, обозначаемые малыми буквами второй половины латин 19 ского алфавита: /,/ к, I, т, г, s, t, ... - пробегают значения от 0 до 2«, а индексы, обозначаемые малыми буквами первой половины латинского алфавита: а, Ь, с, d, e.fg, h- значения от 1 до и, и положим а = а + п, а = а, 0 = 0. Поскольку Ф и g - тензоры типов (1,1) и (2,0) соответственно, то их компоненты на пространстве расслоения всех комплексных реперов над М удовлетворяют уравнениям: где {со }, {a j} - компоненты форм смещения и римановой связности V соответственно; Ф . к, gy к — компоненты ковариантного дифференциала тензоров Ф и g в этой связности соответственно. Более того, в силу определения римановой связности Vg = 0 и, значит.
Тождества кривизны для )Сї-многообразий
Важнейшим примером почти контактных метрических структур, в значительной мере определяющим их роль в дифференциальной геометрии, служит структура, индуцированная на ориентируемой гиперповерхности почти эрмитова многообразия.
Напомним, что почти эрмитовой (короче, АН-) структурой на гладком многообразии М называется пара [J, g), где J - почти комплексная структура на многообразии, J2 — —id; g = {-,) - (псевдо) риманова метрика. При этом Многообразие, на котором задана //-структура, называется почти эрмитовым (короче, АН-) многообразием. В работе [13] получена первая группа структурных уравнений //-многообразия на пространстве присоединенной G-структуры, а именно: Пусть N zM- ориентируемая гиперповерхность ЛЯ-многообразия M, т. е. подмногообразие коразмерности I. Рассмотрим сужение С00 (М)-модуля векторных полей Х(М) на N. Обозначим его 3дг(Л/). Очевидно [29], что X{N)CXN(M), XN(M) = X(N)mf где 9Ї - одномерный подмодуль модуля XN(M). Кроме того, Tf(N) = {XeTp(M)\{X,Y) = Qt УГГ„(Д0}, dimr/(JV) = l. Значит, вектор v ЄГ„(М) единичной нормали к N в точке р будет базисом подпространства Tp{N ), а, соответственно, векторное поле - базисом подмодуля 91. Обозначим через &v) = J(v),vH-n(v,v) = 0, где 0( ,7) = — (.ЙГ,7) - фундаментальная форма, то В, _L v и є ЗЄ(ЛГ). Введем обозначения: Таким образом, возникают несколько проекторов в модуле векторных полей XN(M), а именно: щ = с % \ - проектор на вектор нормали; П) = id— Tij -дополнительный проектор на подмодуль X(N); я2 = Ч 4! П2 = id— я2. Обозначим Imrc2 =9Л. Рассмотрим новые дополнительные взаимно ортогональные проекторы: % = 7t) + 7i2 = (;(8)v + T(g) , П3 = id-JC3. Значит, XN(M) Im я3 1шП3. Обозначим 1тП3 = . Заметим [29], что Х(Л0 = ЯЯ. Определим эндоморфизм Ф модуля XN(M) по формуле Ф = JoTl3. Вычисляя непосредственно Ф2(Х), X є XN(M), получим Ф2 = - id+ q v + т) О . В частности, если ЛГ Є X(N), то q(X) = (v, ) = 0 и, значит, ф1 = -X + itfJSQS, VX є 3E(iV). Итак, в модуле X(N) внутренним образом определены тензоры Ф, %, r\, g, где W(v), n(JT) = fejr), Ф = J n3\XlЮ, g = (v)i(ff,. При этом выполняются следующие условия: i)n(0 = OU =i; x(N) — 0; 2) Ф2 = -ісІ+г; 3) цoф = цoJoYli 4)Ф(О = /оП3 ) = У(П3(4)) = 0; 5) (ФХ,ФУ) = { У)-Л(ЛГМП» XJZX(N). Таким образом, имеет место Теорема 1. [11] На любой ориентируемой гиперповерхности почти эрмитова многообразия внутренним образом индуцируется почти контактная метрическая структура. Зафиксируем точку pN. Если Ъ = (е1}...,еЛ,7е,,.„, Jen) - ортонормирован пС р положим: ный базис пространства Т (М), вещественно адаптированный структуре J, то С многообразием N естественно ассоциируется G-структура со структурной группой U{n — 1) х /(2). Элементами тотального пространства этой G структуры являются комплексные реперы г = (р,є,,...,єл Єр...,єй). Первая группа структурных уравнений этой G-структуры имеет вид [29]: Ло = ЛвпаЬаа Л(аь+ J2B„aba a Л со + +(-Jlff"h - Определение 1 [13]. ЛЯ-многообразие называется: приближенно келеровым (короче, NK-) многообразием, если шазикелеровым (короче, QK-) многообразием, если почти келеровым (короче, АК-) многообразием, если dQ = 0, Пусть М - 2л-мерное Ж-многообразие. Его первая группа структурных уравнений имеет вид [13.
Структурные уравнения PCs-многообразий
Таким образом, дифференциальное продолжение второй группы структурных уравнений псевдокосимплектических многообразий имеет вид: где [A \ - семейство функций на пространстве присоединенной G-структуры, служащих компонентами некоторого четырехвалентного тензора А на многообразии М. Соотношение (2.2Л4)г показывает, что этот тензор вещественный. Он называется структурным тензором третьего рода. При этом Назовем тождество (2.2.23)з вторым фундаментальным тождеством.
Рассмотрим строго псевдокосимплектические многообразия, определенные тождествами (2.1.15). Расписывая тождество (2.1.15)2 на пространстве присоединенной G-структуры, легко заметить, что оно равносильно обращению в нуль компонент 1-го структурного тензора ?Су-многообразий первого рода. Поэтому первая группа структурных уравнений SPCs-многообразий будет иметь вид: где Предложение 2, Пусть S — (Ф, , Т, g) - АС-структура на многообразии М. Тогда следующие утверждения равносильны: 1)5- строго псевдокосимплектическое многообразие; 2) B = C = Dl = E = Fl=G = Q; 3)S АС-68 Структура. Доказательство этого предложения очевидно. Оно опирается на классифи 65 кацию Кириченко ЛС-структур, описанную нами в 1 предыдущей Главы, с учетом первой группы структурных уравнений SPCs-многообразий. Вторая группа структурных уравнений строго псевдокосимплектиче скихмногообразий имеет вид: где Ы \ - семейство функций на пространстве присоединенной G-структуры, служащих компонентами некоторого четырехвалентного тензора А на многообразии М, Он называется структурным тензором третьего рода, причем: Кроме того, где І 6 , яЬ-} - подходящие функции на пространстве присоединенной G структуры, для которых выполняются следующие тождества: и — иа\Ъс\ — и Вычисление некоторых классических тензоров PCs-много образий в Л-репере Вычислим спектр [13] тензора Римана-Кристоффеля для псевдокосимплек-тических многообразий. Так как псевдокосимплектические многообразия являются частным случаем квазикосимплектических многообразий, то воспользуемся тождествами (1.4.9). С учетом первого фундаментального тождества (2.2.6), тождеств (2.2.8), (2.2.10), (2.2.11) и свойств симметрии структурных тензоров (2.2.3)j.g, имеем
Вычисление некоторых классических тензоров PCs'-многообразий в А- репере
Наиболее интересные геометрические свойства почти контактных многообразий появляются, когда применяются некоторые дополнительные ограничения. Наиболее естественными ограничениями этого класса являются требования изотропности и однородности.
Изотропность многообразий может быть охарактеризована несколькими способами. Наиболее хорошо известными являются требования точечного постоянства секционной кривизны. Римановы многообразия, обладающие этими свойствами, называются пространственными формами. Интересно заметить, что изотропность риманова многообразия в этом смысле влечет его однородность. Более того, классический результат дифференциальной геометрии утверждает, что любая пространственная форма локально изометрична евклидову пространству R" или и-мерной сфере S", или «-мерному гиперболическому пространству Н". Существуют также другие способы характеристики свойств изотропности римановых многообразий. Для примера, риманово многообразие М удовлетворяет аксиоме плоскостей, если для любой двумерной плоскости
СТ(М) в произвольной точке рєМ существует вполне геодезическое двумерное подмногообразие в М, проходящее через р и касательное к L . Естественно возникает вопрос о внутренней взаимосвязи этих характеристик. Этот ответ был получен давно; классический результат дифференциальной геометрии утверждает, что риманово многообразие удовлетворяет аксиоме плоскостей тогда и только тогда, когда оно является пространственной формой. Наконец, в случае Л#-многообразий существует еще одна характеристика свойств изотропности многообразий, а именно свойство постоянства их типа [31], [32]. В настоящей Главе рассматривается контактный аналог постоянства типа, который подробно исследован для случая псевдокосимплектических многообразий. Определение 1. [17] Q-алгеброй называется тройка где V - модуль над коммутативным ассоциативным кольцом К с (нетривиальной) инволюцией; (( ) )) невырожденная эрмитова форма на V; :VxV - V - бинарная операция, антилинейная по каждому аргументу, для которой выполняется аксиома -алгебр {{X Y,Z)) + ({Y,X Z)) = 0, X,Y,ZtV. Если, например, IK = С, то -алгебра называется комплексной. Напомним [33], что в модуле Х(М) почти контактного метрического многообразия естественно вводится структура g-алгебры 23 над кольцом ком-плекснозначных гладких функций с операцией = 1{фУФЛ.(Ф)ФГ-ФУф (Ф)Ф2У} (3.1.1) и метрикой ((Х,)) = {Х,Г) + УР1(Х,Ф), X,YeX(M). Эта ( -алгебра называется присоединенной. Определение 2. [8] Антикоммутативная (?-алгебра называется К-алгеброй. Пусть М - РСї-многообразие. Рассмотрим -алгебру 55, присоединенную к многообразию М, с операцией :Х(М)хХ(М) Х(М), определенной тождеством (3.1.1). С учетом тождества (1.3.1)б, выражение (3.1.1) можно записать следующим образом ЛГ у = 1фУф;г(Ф)ФУ, X,Y EX(M). (3.1.2) Нетрудно убедиться, что эта g-алгебра антикоммутативна. В самом деле, с уче 72 том определения PCs-многообразия, имеем X Y--ФУФЛ.(Ф)Ф7 = --ФУФУ(Ф)ФХ = -Y X, Х,УЄХ(М). Таким образом, ?-алгебра Ш, присоединенная к PCs-многообразию М, является ЛГ-алгеброй. Определение 3. Комплексную g-алгебру 93 назовем ?-алгеброй непостоянного типа, если ЭсеС VX,Y : {(XtY)) = Q=$ \X Yf=c\xf\Yf, где - гиперплоскость в овеществлении С -модуля 03, называемая контактной гиперплоскостью. Определение 4. НС-многообразие М назовем многообразием точечно постоянного типа, если его присоединенная g-алгебра имеет НС-постоянный тип в каждой точке из М. Функция с, если она существует, называется постоянной типа НС-многообразия. Если к тому же с — const, то М называется НС-многообразием глобально постоянного типа. Это определение является контактным аналогом понятия постоянства типа почти эрмитовых многообразий, введенного В. Ф. Кириченко [31]. Введем в рассмотрение 4-форму B(X,Y,Z,W) = ({X Y,Z W)) Непосредственно проверяется, что она обладает свойствами: 1) Антилинейность по первой паре аргументов 4 B(X,Y,Z,W) = -B( &X,Y,Z,W) = -B(XiG Y,Z,W); 2) Линейность по второй паре аргументов \B(X,Y,Z,W) = B(X,Y, bZ,W) = B{X9Y,Zt bW); 3) Кососимметричность по первой и второй парам аргументов B(X,Y,Z,W) = -B(Y,X,Z,W) = -B(X,Y,fT,Z); 4) Эрмитовость B(X,Y,Z,W) = B(Z,W,X,Y), X,Y,Z,WEX(M). Очевидно, М- PCs-многообразие точечно постоянного типа с тогда и толь- только тогда, когда B(XtY,X,Y) = с\\х(\\Yf, X,YeZ, {{XJ)) = 0. Инволюционная поляризация [8] этого соотношения показывает, что оно равносильно тождеству ({X Y,Z W)) = c{({JV,Y))((Z,X))-({W,X)){{Z,Y))} (3.1.3) Далее, также, как и в [10] непосредственно проверяется, что на пространстве присоединенной G-структуры тождество (3.1.3) равносильно соотношению BabhBhcd 2co% где bjd = 5р - 5 5 - кронекеровская дельта второго порядка.
