Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА II Свойства иеъективных булевых простраеств и операций над ними 16
І.І. Различные определения класса инъективных булевых про странств 16
1.2 . Операции над инъективными булевыми пространствами 20
1.3. Представление инъективных булевых пространств в виде пределов непрерывных спектров с открытыми проекциями ... 29
ГЛАВА 2 Исследоваеие иештивных булевых простраеств и их отображений спектральными методами 36
2.1. Открытые отображения инъективных булевых прост ранств 36
2.2, Продолжения и неприводимые отображения инъективных булевых пространств 48
2.3. Об одном варианте спектральной теоремы Щепина для однородных инъективных булевых пространств 56
Приложение А представление проективных булевых алгебр в виде объединения цепей своих подалгебр меньшей мощности 67
Приложение В об инъективных булевых пространствах с до полнительными структурами 71
Литература
- . Операции над инъективными булевыми пространствами
- Представление инъективных булевых пространств в виде пределов непрерывных спектров с открытыми проекциями
- Продолжения и неприводимые отображения инъективных булевых пространств
- Об одном варианте спектральной теоремы Щепина для однородных инъективных булевых пространств
Введение к работе
Класс инъективных булевых пространств является одним из наиболее хорошо: изученных классов топологических пространств. Определение булевых пространств как вполне несвязных бикомпактов восходит к М. Стоуну, доказавшему в 1936 году [28J классическую теорему о топологическом представлении булевых алгебр, именно: для каждой булевой алгебры &h существует единственное с точностью до гомеоморфизма вполне несвязное бикомпактное хаусдорфо-во пространство А. такое, что поле всех его открыто-замкнутых подмножеств изоморфно булевой алгебре *Я- . Инъективные булевы пространства были определены П. Халмошем в 1961 году [3IJ как такие булевы пространства I , что каждое непрерывное отображение из некоторого подпространства в I может быть продолжено до непрерывного; отображения со всего булева пространства в I . Таким образом класс инъективных булевых пространств, обозначаемый далее через J , есть в точности класс инъективных объектов в категории булевых пространств с непрерывными отображениями в качестве морфизмов. П. Халмош показал, что класс J замкнут относительно тихоновского произведения и конечной топологической : суммы. Заметим, что ряд результатов, важных для изучения класса J , был получен раньше. Так в 1928 году В. Серпинский [24J доказал теорему о том, что всякое непустое замкнутое подмножество г нульмерного метрического пространства Jv есть его ретракт, из которой следует инъективность каждого булевш пространства со счётной базой. Р. Сикорский в 1951 году \2-5J> изучая гомоморфизмы полей множеств, фактически показал, что класс U совпадает с классом /""-образов \) . Решая проблемы П. Халмоша, Р. Знгелькинг [39J доказал, что не всякий диа-дический нульмерный бикомпакт принадлежит классу J , а С. Коппельберг [i^J установила, что не всякое пространство из класса J может быть получено из нульмерных компактов ( мет-ризуемых бикомпактов ) с помощью операций тихоновского произведения, конечной топологической суммы и одноточечной компак-тификации счётной топологической суммы. Далее В.В. Пашенков ІІ9] показал, что не всякий диадический нульмерный топологически однородный бикомпакт принадлежит классу J . Таким образом класс J с одной стороны содержит объекты, не получаемые из нульмерных компактов с помощью основных топологических операций, с другой стороны объекты класса U должны иметь определённую внутреннюю структуру, близкую к структуре произведений компактов. Это в полной мере выявили работы Р. Хейдона [33J тл Е.В. Ще-пина [37J , в которых изучение пространств Дугунджи основано на специальном спектральном представлении. Из результатов Р. Хейдона следует совпадение класса J с классом нульмерных пространств Дугунджи. Е.В. Щепин доказал важную теорему о том, что всякое однородное по характеру нульмерное пространство Ду-гунджигомеоморфно j) , решил проблему А. Пелчинского [20J , показав несовпадение классов нульмерных пространств Дугунджи и Милютина.
Целью настоящей работы является дальнейшее изучение инъектив-ных булевых пространств, их отображений и операций над ними.При этом большее внимание уделяется исследованию пространств несчёт-ного веса, поскольку случай счётного веса подробно изучен в работах А. Мостовского [I7J , П. Пирса [2IJ , Кетонена [I3J и других авторов.
В работе используются методы тео;рии обратных спектров, а также методы теории диадических бикомпактов и метод булевых алгебр.
В настоящей работе показана замкнутость класса инъективных булевых пространств относительно некоторых операций, найдена простая спектральная характеристика инъективных булевых пространств. Доказывается существование открытой ретракции \) на любое подпространство Дугунджи, что подтверждает одну гипотезу Б.А. Ефимова. Дано обобщение конструкции В.В. Пашенкова продолжения бикомпактов, как следствие получено решение его задачи о продолжении канторова множества. Исследуется вариант спектральной теоремы EJ3. Щепина в сингулярном случае для однородных инъективных булевых пространств.
Диссертационная работа имеет теоретический характер. Её ре- зультаты могут быть применены при изучении булевых пространств, их отображений, а также в теории булевых алгебр и её применениях к другим областям математики.
Перейдём к краткому изложению содержания диссертации.
Параграф І.І. носит вспомогательный характер, в нём рассматриваются различные подходы к классу J , что позволяет в дальнейшем использовать наиболее удобное для конкретного случая определение инъективных булевых пространств.
Предложение 1.7. Для каждого булева пространства Y эквивалентны следующие условия: веса Т ' I - инъективно; : I есть Г-образ канторова диконтинуума \) \ Y есть А К в классе булевых пространств; ю Y есть AEfoUiOJ -пространство;
5) I Y есть пространство Дугунджи.
Эквивалентность условий 1-3 была доказана П. Халмошем [_32j на языке булевых алгебр. В работе дано чисто топологическое доказательство, основанное на возможности представления любого непрерывного отображения J-: J(—f^J в виде диагонального произведения непрерывных отображений пространства _д. в простое двоеточие. Эквивалентность условий 5 и Ч была доказана Р. Хейдоном [зз] ; эквивалентность условий I и h в классе булевых пространств очевидна.
В параграфе 1.2. изучается вопрос: относительно каких топологических операций замкнут класс инъективных булевых пространств? П. Халмошем[32] было доказано, что класс и замкнут относительно' операций конечной топологической суммы и тихоновского произведения любого семейства пространств, из чего следовало, что топологическая сумма конечного числа булевых пространств, каждое -из которых есть произведение нульмерных компактов, является инъективным булевым пространством. Естественно возникла проблема: всякое ли пространство из класса J представимо в таком виде? Отрицательный ответ был дан С. Коппельберг (.I4J » одновременно доказавшей замкнутость класса J относительно операции одноточечной бикомпактификации счётной топологической суммы. После анализа примера С. Коппельберг была доказана следующая теорема.
Теорема І.І. Пусть пространство А. является пределом непрерывного спектра yj^- ~| Aot р4} оі<Й<Я» удовлетворяющего следующим условиям:
I)l Аі_ есть инъективное булево пространство;
2), для каждого о( < я отображение р^ ; Л^і^Лаї есть проекция локально тривиального расслоения, все слои которого являются инъективными булевыми пространствами.
Тогда А. также является инъективным булевым пространством.
Б.А. Ефимов [7J и Р. Энгелькинг [39] первыми привели примеры нульмерных диадических бикомпактов, не принадлежащих классу J , что явилось решением ещё одной проблемы П. Халмоша (_3IJ ; Обобщая эти примеры, обозначим символом A Vp А фак-торпространство, полученное из суммы Лі А2. путём попарного отождествления соответствующих точек Гі ф/"2 » где « некоторое непустое замкнутое подмножество, пространства А Теорема 1.2. Пусть X*J . Тогда XVFXO в том и только в том случае, если /v ( Г ,Х ] ^ Мо
Теорема 1.2. является ответом на один вопрос Б.А. Ефимова.
В параграфе 1.3. решается естественно возникающая задача о нахождении операций, которые, позволяют отправляясь от нульмерных компактов получать любое пространство A. ^J . Такова операция взятия предела непрерывного спектра, проекции которого есть локально тривиальные расслоения. Заметим, что эта операция является обобщением операций тихоновского произведения, конечной топологической суммы и одноточечной бикомпактификации счётной топологической суммы»
Хорошо известно, что всякий бикомпакт А веса X. можно представить в виде предела непрерывного спектра из бикомпактов меньшего веса. Р. Хейдон [33J доказал, что всякое пространство Дугунджи можно представить в виде предела непрерывного спектра из бикомпактов меньшего веса, в котором все проекции р^ открыты и обладают метризуемыми ядрами. Ограничивая далее класс пространств Дугунджи до нульмерных пространств, представляем произвольное нульмерное пространство: Дугунджи в виде предела непрерывного спектра ещё более специального вида.
Определение 1.8. Открытое отображение Ч) бикомпакта А на бикомпакт I называется заданным 01 -отображением, если -8. -
1с Y*D /X , где pf^ обозначает проекцию
Теорема 1.3. Всякое нульмерное пространство Дугунджи А. веса 'С можно представить в виде предела непрерывного спектра длиной f , удовлетворяющего условиям: J\-l есть нульмерный компакт; для каждого U Лемма 1.5. Всякое заданное о{ -отображение ^: гомео-такога счётно- X-Y морфно сквозной проекции ро ' сСЮг^х —*.Ло го обратного спектра /j-% , что в нём все соседние проекции р ^ і есть проекции локально тривиальных расслоений. Теорема 1.4. Всякое инъективное булево пространство Х- веса fl можно представить в виде предела непрерывного спектра длиной f , удовлетворяющего условиям: 1) .Aj есть нульмерный компакт; 2) для каждого cL< ~ отображение рс есть проекция локально тривиального расслоения, все слои которого являются нульмерными компактами. Перейдём к изложению содержания второй главы. Параграф 2.1. начинается со следующей теоремы, являющейся усилением теоремы В. Серпинского для компактного случая. Теорема 2.1. Для любого замкнутого непустого подмножества г пространства ±) существует открытая ретракция Г : D ""^г. Следующее утверждение было высказано Б.А. Ефимовым в качестве гипотезы. Теорема 2.2. Пусть , где f - произвольный беско- нечный кардинал и у\. - инъективное булево пространство. Тогда существует открытая ретракция ~ 9 - Теорема 2.2. доказывается с помощью теоремы І.З., теоремы 2.1. и некоторых лемм, среди которых наиболее важной является Лемма 2.3. Пусть ^: есть заданное <д, -отображе- ние нульмерных бикомпактов. Тогда существует открытая ретракция Ґ : Y*lD ~*Х такая, что <р Г = рґ± Доказательство леммы проводится с помощью построения измельчающейся последовательности разбиений пространства ]х1/ таких, что А хорошо лежит в каждом элементе каждого разбиения. Определение 2.1. Пусть Yc Y , l/cX,AcY*X. Говорим, что множество М хорошо лежит в , если />П. [ АЛ (V*U)]ecTb Y или Ф . Теорема 2.3. является частичным решением поставленной Б.А. Ефимовым задачи нахождения условий, при которых, существует открытое отображение нульмерного бикомпакта А на 1) веса Т = Теорема 2.3. Пусть . Тогда сущест- вует открытое отображение А на 13 Основным результатом параграфа 2.2. является решение задачи З.В. Пашенкова [191 о продолжении канторова множества. Теорема 2.4. Продолжение канторова множества \J гомео- — пчС пЫо морфно пространству JJ веса С = С Из теоремы 2.4. следует, что существует в точности двукратное неприводимое отображение пространства D на себя. Этот результат обобщает Теорема 2.5. Для любого нульмерного компакта К, существует такое непрерывное неприводимое отображение пространства J) себя, при котором полный прообраз любой точки гомеоморфен /С . Следствие 2.2. Для любого нульмерного компакта К- и лю- существует непрерывное неприводимое отображение пространства L/ на себя, при котором полный прообраз; любой точки гомеоморфен /С . В ;параграфе 2.3. исследуется вариант спектральной теоремы Е.В.Щепина [37J в сингулярном случае для однородных инъективных булевых пространств, показано что наличие изоморфных конфиналь-ных подспектров зависит от того, каковы проекции рассматриваемых спектров. Определение 2.2. Непрерывный спектр JL < р> < -Л называется правильным:, если &W, « = 7\_ , ttf-X. = X , Cj (ty = JL , lO"XdL < ^ Для каждого d Пример 2.1. Существуют правильные спектры м 4 и /J z , предельные пространства которых гомеоморфны пространству JJ ; элементы спектров есть канторозы дисконтинуумы, проекции спектров открыты, однако спектры /J^ и Ма не содержат конфиналь-ные изоморфные подспектры. Теорема 2.6. Пусть X есть такой кардинал, что b}o Тогда любые два представления пространства е предела правильного спектра, проекции которого есть естественные проекции произведений на подпроизведения, содержат конфинальные изоморфные подспектры. Далее дано независимое и простое доказательство теоремы, двойственной к спектральной теореме Е.В. Щепина, применённой в категории нульмерных бикомпактов. Теорема 2.7. Если изоморфные булевы алгебры несчётной регулярной мощности представлены в виде объединений непрерывных цепей своих подалгебр меньшей мощности, то указанные цепи имеют изоморфные конфинальные подцепи. і - II - Параграф завершается построением некоторых примеров. В частности,! пример 2.4. показывает, что в сингулярном случае с одной стороны может не иметь место факторизационная лемма, играющая важную! роль при доказательстве спектральной теоремы для регулярных спектров, а с другой стороны предел отображения конфинальных. подспектров может быть отличен от исходного гомеоморфизма пределов спектров, что имеет место в регулярном случае. Кроме основного текста, диссертация содержит два приложения. В приложении- А делаются соответствующие выводы для двойственной категории булевых алгебр. Сначала вводятся понятия правильного гомоморфизма, d -мономорфизма, тривиального мономорфизма и почти тривиального мономорфизма, которые соответствуют понятиям открытого отображения, Ct -отображения, тривиального расслоения и локально тривиального расслоения. Предложение A.I. Если иа - проективная булева алгебра, то для каждого эпиморфизма j ' 3\с~^ ^У свободной булевой алгебры j- на булеву алгебру Jjr существует правильный мономорфизм; »' Jj—^3\. такой, что j у = id , . Предложение А.2. Пусть есть проективная булева алгеб- ра, причём характер каждого ультрафильтра ^ Т , тогда в о2Г можно правильно вложить свободную булеву алгебру Crt с t независимыми образующими. Предложение к А. Каждая проективная булева алгебра J* мощности f является объединением непрерывной цепи L^idCjoUf своих іподалгебр меньшей мощности, удовлетворяющей условиям: 1) сЯі есть счётная булева алгебра; 2) для каждого J.<rC мономорфизм ^<< ' J*jl—*JKi+lявляется почти тривиальным;, все дополнительные косомножители ко торого есть счётные булевы алгебры. В і приложении В исследуются булевы пространства: с некоторыми дополнительными алгебраическими структурами с целью выявления среди них инъективных пространств. Например, из известной теоремы В.И. Кузьминова [IIj о том, что пространство всякой нульмерной бикомпактной топологической группы гомеоморфію j) , следует, что пересечение класса булевых пространств с классом бикомпактных, топологических групп содержится в классе J . В теории булевых алгебр важную роль играют различные топологии, которые достаточно разумно согласованы с упорядочением. В [43 J был введён; класс ТИФ] -топологий, задаваемых, на булевых алгебрах в терминах идеалов и фильтров. Теорема B.I. ТІШ -топология сильнее интервальной топологии в том и только в том случае, если -ТОПО- ЛОГИЯ' хаусдорфова. Т[ГФ]- группу относительно операции симметрической разности и топологии тогда и только тогда, когда \J = J_ » то есть T[I=D] -топология является автотопологией. Наконец, даётся частичный ответ на вопрос, какою о пересечение класса булевых пространств с классом ТОО)] -топологий на булевых алгебрах. Следствие B.I. Инъективная Til -D] -топология может быть задана только на полной атомной булевой алгебре Ja t при этом достаточным условием инъективности ТИФ] -топологии является её совпадение с автотопологией. Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руко- водителю S.A. Ефимову за постановку многих, задач и постоянную помощь, в работе. Основные результаты диссертации опубликованы в работах.. Теорема В.2. Булева алгебра Jd образует топологическую - ІЗ - Луценко А.Г. 0 ретрактах \) . - Тезисы 4 -го Тирасполь-ского симпозиума по общей топологии и её приложениям. - Кишинев.: Штиница, 1979. - 184 с. Луценко А.Г. О ретрактах JJ . - Мат. заметки, 1982, т.31, № 3, с. 433 - 442. Луценко А.Г. О представлении свободных булевых алгебр в виде объединения цепей своих подалгебр. - Тула, 1983. -9с-Рукопись представлена Тульским гос. пед. ин-том. Деп. в ВИНИТИ 22 марта 1983, № 1426-83 Деп. /РІ Мат. 7 А 48, 1983 /. Б.у. "Деп. рук.", 1983, № 7, б/о 383. 4.: Луценко А.Г. Некоторые вопросы топологии в булевых алгебрах. - Тула, 1983. - 6 с. - Рукопись представлена Тульским гос. пед. ин-том. Деп. в ВИНИТИ 31 мая 1983, № 2914-83 Деп. /РЖ Мат. 9 А 240, 1983 /. Б.у. "Деп.рук.", 1983, № 9, б/о 373. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ Кардинальные числа отождествляются с начальными порядковыми числами, поэтому вместо Я^ часто применяется обозначение OJ^ , каждое порядковое число отождествляется с множеством меньших по рядковых чисел. Под топологическим пространством, если не огово рено особо, подразумевается хаусдорфово бикомпактное пространство, все отображения пространств предполагаются непрерывными. Компак том называется метризуемый бикомпакт, булевым пространством - нульмерный бикомпакт. Вместо слов "булево пространство" и "буле ва алгебра" часто будем писать соответственно "б.п." и "б.а.". Будут применяться следующие термины и обозначения: ( /\ | - мощность множества г\ ; oL - мощность порядкового числа oL ; С у (?) - конфинальный характер порядкового числа X. ; 60(/71)-начальное порядковое число мощности YYl ; ULy^ - тождественное отображение множества /L на JC » ^А ~ отображение подмножества в множество А » определяемое фор- мулой! СИ/д(ЗС) = X для каждого ОС Є А ? 9 J - суперпо зиция отображений j"'_X.'~J?l и 3;Y—* lL » т/Л -огра ничение отображения \-:\—?Y на подмножество. /\ С _д. такое, что - сокращение отображения fOC^Y на АсХ *//И) eg с у ;П{^/1Ц^А]- соответственно произведение и сумма семейства отображений 1т<± :jL^—^l^ Juef\ *^ш'^/1] ~ Диагональное произведение семейства отображений / 1^ : j—=» |^ { ^ є /А rJLtt/i /\ и LnJx;" соответственно внутренность и аамыкакие множества /\ в прост ранстве - соответственно тихо новское произведение и топологическая сумма семейства прост ранств (.X^j^eA } oL JV ~ бикомпактификация Александрова пространства j{_ ; JJ^ - канторов дисконтинуум веса f , то есть тихоновское произведение 'С экземпляров простого двоеточия, точка пространства j) будет обозначаться через X =[хаі}оіє/\ , где ОС^ = 0 или і ,о/еД и А - произвольное множество индексов мощности f ; сґ<^ - свобод ная булева алгебра, имеющая независимое множество образующих мощности f ; <зї(А/ - бУлева алгебра всех открыто-замкнутых подмножеств топологического пространства - про странство Стоуна булевой алгебры Л : СОС) - банахова алгебра всех вещественнозначных функций на пространстве yL Термины и факты теории множеств и теории булевых алгебр в основном соответствуют принятым в [12 J и [26 , топологические термины и факты можно найти в [i J , І 3J , I 22J , [ЗО] і и [ijo] . Остановимся более подробно на часто используемых песня- тиях и фактах теории обратных, спетров. Пусть задано семейство-\ рл : \ '—* Хо( т о^І( непрерывных отображений пространства Y в пространства спектра $ =(Х^ , р} , ^ ЄІІ , причём TeL = Р<< jp при любых al < ft . Тогда существует единственное непрерывное отображение называемое пределом семейства отображений хх^т^еУ- такое> что jjl ~ pal J- для любого U Є U, . Отображением спектра Pi -s{X.c>p«j t^?( в спектр & "{Yd, у*] »«<% называется семейство непрерывных отображений г =/т^:Л^^У./» ol<=- U таких, что 4roL J~p = Jk /-U при любых ^ < р> Для любого отображения г v і —?^г существует единственное непрерывное отображение у : \л>гп /)j ~~* &fti vz. такое, что %л j =7^ /Я* при любом U Є 1л. . Спектр /О = ~iXk PU J > ol Є U называется вполне упорядоченным, если множество его индексов есть множество всех порядковых чисел, меньших некоторого фиксированного начального порядкового числа '"С і , называемого длиной спектра. В этом случае спектр р обозначается р = \]L*l , Р d } » ^ Вполне упорядоченный спектр /J =-|jLoi , /^jf J » L<&< ~ , называется непрерывным, если отображение p[%):j[x^WYip}tf , являющееся пределом семейства отображений j рЦ'-Ау^ХАоКУ» есть гомеоморфизм при любом предельном. У . Нумерация определений и утверждений ( лемм., теорем и т.п. ) внутри глав и приложений является сквозной. Предложение 1.8. ( В. Серпинский [2 ; [40 J , стр. 363) Каждое непустое замкнутое подмножество г канторова множества ±) есть ретракт JJ Из предложения 1.8. следует, что всякий нульмерный компакт, I то есть булево пространство со счётной базой, является инъектив-ным булевым пространством. " СІ — Предложение 1.9. ( [32] , теорема 15 ). Топологическая сумма конечного семейства булевых пространств инъективна в том и только в том случае, если инъективно каждое из них. Предложение I.IQ. ( [32J , теорема 16 ). Тихоновское произведение любого семейства булевых пространств инъективно в том и только в том случае, если инъективно каждое из них. Следствие 1.3. Топологическая сумма конечного числа булевых пространств, каждое из которых, есть произведение нульмерных компактов, является инъективным булевым пространством. Отвечая на вопрос П. Халмоша о том, всякое ли инъективное булево пространство имеет такой вид, С. Коппельберг [к] доказала ряд предложений. Предложение 1,11, ( [I4J , теорема 3.1. ). Пусть для каждого rte/v , Apw есть инъективное булево пространство. Тогда булево про стран ств о L (fJu:h е/г}]» являющееся одноточечной бикомпактификацией счётной топологической суммы данных пространств, также инъективно. Введём обозначения для некоторых подклассов класса булевых пространств: Л, - класс всех булевых пространств, гомеоморфных топологической сумме конечного числа булевых пространств, каждое из которых есть произведение метризуемых булевых пространств; J{ - наименьший класс булевых пространств, содержащий все метризуемые булевы пространства, и замкнутый относительно тихоновского произведения и конечной топологической суммы; JC - наименьший класс булевых пространств, содержащий все метризуемые булевы пространства и замкнутый относительно тихоновского произведения, конечной топологической суммы и одноточечной бикомпактификации счётной топологической суммы. - 22 Было показано, что Ji±C. JC С С f причём Jii Ji, по . Утверждение о том, что казывает следующий пример. Пример I.I. [I4J . Булево пространство А. есть предел счётного обратного спектра _Xrv , У7 и }, пє/V , где _Л-к. = -[l flskftj. Проекция y SepWi «n ] [ W t wjзадаётся следующим образом: Я- f если X Є D при 0-? Н-IP WM !, , если ОС Є 7) l 0,xWh , если Xi) где 4, х = = { 3 и о = і , = при 1 OL GJO, у = Х приб;0 Cdh, , a OZJO) обозначает ограничение 31 до (0 . Обратим внимание, что при каждом К ЄIV отображение является проекцией локально тривиального расслоения в смысле ( [22J , стр. 256 ), именно: расслоение J .(Т,р.В).т в - топологические пространства, а р - непрерывное отображение первого пространства на второе, называется локально тривиальным, если каждая точка его базы о обладает такой окрестностью \J , что сужение тривиально. Следующая теорема, обобщая рассмотренный пример, показывает замкнутость класса инъективных булевых пространств относительно операции взятия предела непрерывного спектра, проекции которого являются локально тривиальными расслоениями с инъективными слоями. Теорема I.I. Пусть пространство д. является пределом непре рывного спектра , удовлетво ряющего следующим условиям: — 23 — есть инъективное булево пространство; 2.) для каждого о/ Отображение р oL : j\-j+ — УС есть проекция локально тривиального расслоения, все слои которого являются инъектизными булевыми пространствами. Тогда А. также является инъективным булевым пространством. Доказательство теоремы опирается на следующую лемму. Лемма I.I. Пусть непрерывное отображение р б. п. А на б.п. Y является проекцией тривиального расслоения, слой кото рого гомеоморфек инъективному булеву пространству г , VTr Т , Пусть j-: т-- 1 является Г"-отображением. Тогда существует Г"-отображение Q такое,что р $ = f рГ± . Доказательство. По определению тривиального расслоения су ществует гомеоморфизм такой, что pb = рґ± , Так как г есть инъективное булево пространств, то существу ет /""-отображение . Положим 3 " Т) — Х Ясно, что g является г -отображением, так как произведение Ґ-отображений, гомеоморфизм и композиция конечного числа Г -отображений являются г -отображениями [5] . При этом рд f рґі. ибо р} = рк ($ f) = = P i (т V/ = у pfi. Лемма доказана. Хорошо известно, что всякий бикомпакт А веса f можно представить в виде предела непрерывного спетра из бикомпактов меньшего веса ( например, [30} , теорема Ш.2.ІІ. ). Р. Хейдон доказал, что классы пространств Дугунджи и А с.(С1СтО/-пространств совпадают и являются в точности классом бикомпактов, допускающих представление в виде пределов непрерывных спектров специального вида. Предложение I.I3. С [33J , теорема 3 ). Всякое пространство Дугунджи А веса 7ґ представимо в виде предела непрерывного спектра длиной X. , удовлетворяющего условиям: - ЗО есть компакт: 2) для каждого ot t: отображение 0 есть открытое отображение с метризуемым ядром. Ограничивая далее класс пространств Дугунджи до нульмерных пространств и следуя методу Хейдона, развитому Щепиным [37J , представляем произвольное нульмерное пространство Дугунджи в виде предела непрерывного спектра ещё более специального вида. Определение 1.7. ( СМ. Сирота [27J). Отображение Ч) бикомпакта X на бикомпакт I называется Gl-отображением, если непрерывно и открыто и существует такое топологическое вложение X в Y 3)W , что = Ху / X , где /Х есть ограничение проекции произведения на множестве X » Определение 1.8. Открытое отображение Ф бикомпакта X на бикомпакт і называется заданным CL-отображением, если JvcY j) и У= рГ± / X , где pfi обозначает проекцию Y х 2) — Y . Теорема 1.3. Всякое нульмерное пространство Дугунджи X веса Т представимо в виде предела непрерывного спектра длиной tT , удовлетворяющего условиям: 1) А і есть нульмерный компакт;. 2) для каждого о X. отображение р есть заданное 0L-отображение. Для доказательства теоремы 1.3. используются некоторые понятия и результаты. Рассмотрим произведение бикомпактов П{Х. Є/О.ПуотьХсП{Х, А}и Є:С(Х)- CfflfiCr nj/ есть РегУляРный оператор продолжения. Множество индексов О С Д называется Є -допустимым f37J , если ограничение отображения Є (у pg ) на подпространство - 8 -Л- пространства / 1\Лл :d r\j факторизуется - ЗІ отображением Jig при всех j- Є С (Jig/» где Pg есть ограничение проекции Х6" П{Хд;о/Д] П"(Х/ 0]на X и Xg = = pg Л .В [37 J доказаны следующие леммы. Лемма 1.2. Отображение pg;A — -A-g открыто для всякого; С -допустимого множества и . Лемма 1.3. Объединение любого семейства Є -допустимых множеств Є -допустимо. Лемма 1.4. Если в произведении все сомножители являются компактами, то для всякого бесконечного множества (-) С Д существует Є-допустимое множество D такое, что n D иб;. Н. д Доказательство теоремы 1.3. Можно считать, что где п = t . Зафиксируем регулярный оператор продолжения . Для построения требуемого спектра нам достаточно получить возрастающее семейство Є -допустимых множеств см j L f і удовлетворяющее свойствам: a) / 6i / = ОД, ; при всех t ; в) О = \/{p " }fSдля каждого предельного У ; г)! А -i/fa г}. Действительно, положим и р5 : JLp —" -Х- есть ограничения соответствующих проекций &/k _U — J/ и #& л) —? Jy » и рассмотрим обратный спектр /Ох = /X j, р+ , U ft t Говорят, что отображение jX-— \ факторизуется отобра жением g;X 5 Z , если равенство g (Xt) = f fxs) влечёт, за собой равенство для любых _ и Xt из пространства X. - 32 Отображение р = vUTU pd : А —» wru А х есть гомеоморфизм, так как семейство отображений {po(}e/ t в силу свойства г) разделяет точки пространства _А . Аналогично, в силу свойства г в) семейство отображений {р і ( разделяет точки пространства А.у при любом предельном f tr f следовательно, Р( ): Л fort {! .,/) Л . fl У есть гомеоморфизм и спектр непре рывен. Условие I выполняется, так как Ad = piAc J) И/РІ/= = OJo . Наконец, при каждом U rc имеем JO+i cX«t J) + Д и pa. = p-fi / Jlj i . Открытость отображения p следует из Є. -допустимости множества о , открытости в силу леммы 1.2. отображения нл j и тождества р дня каждого м Построение семейства \ о і ] и т. Є -допустимых множеств; проводим по трансфинитной индукции, используя лемму 1.3. и лемму 1.4. Будем считать множество /\ совокупностью всех непредельных порядковых чисел, меньших Т . Возьмём произвольное счётное множество индексов В , содержащее первый элемент множества п . По лемме 1.4. определяем множество Di D такое, что / ui == Ыо , Пусть для всех ol tf построены множества индексов ил такие, что каждое множество содержит все непредельные порядковые числа, не превосходящие oi .Это обеспечит по индукции равенство г\ \)\Ол - \. Если }f непредельно, то можно считать, что У = о/+1 для некоторого d и уже определено множество Oei . Берём произвольное счётное множество (-) С Д \ tta ( что возможно, так как/ \l\Dp :f s \ V ). Остаётся открытым вопрос о нахождении класса всех пространств, допускающих открытое непрерывное отображение на 1) веса /С , равного нижнему характеру отображаемого пространства. для произвольного бикомпакта д, , не имеющего изолированных точек, определён некоторый новый бикомпакт ziL » названный продолжением бикомпакта А. . Напомним эту конструкцию. Обозначим через 1 множество всех функций, определённых на X и принимающих значения -1 и 1 , с топологией поточечной сходимости. Очевидно, что і гомеоморфно: пространству \) . На множестве 2» =Х 1 определим отношение эквивалентности К, , полагая для любых элементов (Хі и.) ; (Хг} г)Є т соотношение (зсі.Уі) Ч (Хг г)выполненным, если Xt= Хг и для любого X Є Є _д_ \Х±. выполняется равенство Ut(x) = Чг (ос) . Обозначим через 2 фактор-пространство 2г// , через 4- естественное отображение + ; z. — "2 Таким образом [_I9J были решены две проблемы Б.А. Ефимова L7J о диадических бикомпактах: получены примеры диадических нульмерных топологически однородных бикомпактов, не принадлежащих классу J , и неприводимых отображений диадических бикомпактов с пустым множеством точек однозначности.: В [I9J поставлен вопрос: будет ли продолжение канторова множества гомеоморфно некоторому обобщённому канторову дисконти нууму? Прежде чем дать ответ на этот вопрос, изучим некоторые свойства продолжения "Z канторова множества J) . Нам потребуются следующие понятия. Пусть х -пас-// } - тихоновское произведение топологических пространств, v - некоторое подмножество множества f\ . Множество піт тех точек JC = {хи. Є. Л. І У которых для всех oL v значения Х«А фиксированы и принадлежат множеству L ( v) = \ С j- , а все остальные коо.р - 49 динаты произвольны, называется слоем пространства Л. с основанием v [7\ . Напомним также, что подмножество /\ Х называется насыщенным множеством при отображении j- " X - Y » ес" , стр. 91 ). Насыщением множества при отображении І- называется далее множество j f г\ Лемма 2.5. Пусть г - произвольное замкнутое множество ти па Gi в 2 Ъ {Jj , обозначает естественное отображение / Z — "Z /й Тогда множество j 4- г также имеет тип к.» Доказательство. Обозначим We , 3)І2)П - П {D. : J еВ } , /8/ - " . В качес множества р рассматриваем множество точек пространства ±) , Предполагая, что /\ 11 D =0 , можно записать 21 =//\Хи: о/. (Е- A V/DJ» Всякое замкнутое множество; типа СгЯ в JJ зависит от счётного числа координат, следовательно, существует такое множество С = Л 17 В » ЧГЕ0 В с б . /8 / иУо и #С ХС = г ,то есть множество г является объединением слоев со счёт ным основанием С . Поскольку проекция любого слоя f-j на грань П Д -о А/ есть точка, то каждый такой слой удобно за писать в виде (Хо, Hgi /, где JCo е J} ,rigi с//{ІАі;о Єо} и Пб есть множество всех функций У: 1) — \ Л} , которые на множестве о cj) имеют фиксированные значения из множества Если ОСс ф О , то слой является насыщен ным множеством при отображении у . Если Хво , то(Хо, Пе« /не является насыщенным мно-жеством. Запишем (Hgi = НвЧэс хо Легко видеть, - 50 что / зсс, He» J=/XO,HB, /іУ(Хо,Нв іхо Л Нао ) , еле довательно, насыщение ненасыщенного слоя с основанием С явля ется объединением двух слоев с тем же основанием С . Таким об разом насыщение множества г есть некоторое объединение слоев со счётным основанием С- и, так как \ \ г замкнуто, то 8 . Лемма доказана. Лемма 2.6. Продолжение z. канторова множества U обладает следующим свойством: если \rj4aT есть некоторое семейство замкнутых в 2_ множеств типа G"# , то множество (МВД] ич имеет тип Доказательство. Заметим, что для каждого множест во у (р. ) замкнуто и имеет тип (у$ в Так как отображение J- замкнуто, то [(7(/: І =Т} J $ = J L І"" АД ; Ч/LM до ста"" точно показать, что множество + III (l7{r:x I J/ J - имеет тип G"# в 2_ Это верно в силу леммы 2.5. и равенства объединения любого семейства замкнутых множеств типа \т- есть множество: типа \т . Лемма доказана. Теорема 2.4. Продолжение Z канторова множества D го-меоморфно пространству j) веса С = «с Из теоремы 2.4. следует, что существует в точности двукратное неприводимое отображение пространства 1) на себя. Этот результат обобщает следующая теорема, содержащая также как частный случай доказательство теоремы 2.4. Аналогично можно доказать, что множество А(К ]всех % допустимых порядковых чисел замкнуто и конфинально X. . Тогда и пересечение также замкнуто и конфинально "С . Остаётся заметить, что для каждого oL Є. /\ , ( является изоморфизмом б.а. Л- на б.а. & . и для любых Продолжением / , где а и Ця являются ограничениями изоморфизма /г- соответственно на подалгебры jflt и J- g . Теорема доказана. Замечание. Из примера 2.1. следует, что предположение в теореме 2.6. о структуре множеств образующих свободных подалгебр существенно. Это также выявляют следующие примеры. Пример 2.2. Очевидно, всякое подмножество г\ множества независимых образующих свободной б.а. Г порождает некоторую свободную подалгебру. Обратное не верно: приведём пример свободной подалгебры Л свободной б.a, J" , не содержащей ни одного исходного образующего. Пусть J OJQ - свободная б.а. со счётным множеством образующих Р&/0 = (tAn.: lt w3 и пусть А = = { V K A t(д +1" Л 0Jo)C J(jjo . Ясно, что Д является независимым множеством, элементов б.а. d 0Jo и, следовательно, порождает свободную подалгебру Л . Однако хотя полученная свободная подалгебра и изоморфна исходной б.а. [JcJo Пример 2.3. Покажем, что свободная б.а. v7"t: с множеством г х независимых образующих мощности f , где (AJO CJM = =/( X ,может быть представлена в виде объединения непрерывной цепи своих свободных подалгебр меньшей мощности, которая не имеет; конфиналь ной подцепи такой, что каждая б.а. этой подцепи имеет;множеством, своих образующих некоторое подмножество множества Вполне упорядочим независимые образующие б.а. /"- . Пусть : dL X) Выберем некоторую возрастающую непрерывную трансфинитную последовательность if типа А порядковых чисел, предел которой равен t: , то есть t = СЛ-ІГЬ lf(?) ( [12] , стр. 239 ). Пусть А "{Ъщ) Л} f . Каждое порядковое: число 5 можно представить в виде В + ГЬ , где у -предельное порядковое число, а И» натуральное число. Положим Гр+к = Wpfp+ah) Л Цу(р+хпн) Ясн0 что б Bf -? Jj является независимым множеством элементов б.а. огх » причём /1 Рг = 0 . Положим для каждого Л Be =$U fU , где / = {Uj Ы у(%)] . Очевидно, что {/[В f J = Pr и цепь множеств \Btj JI является непрерывной. Следо вательно, б.а. 3 х. можно представить, в виде объединения не прерывной цепи Ц. - {\)о е у "е/Q подалгебр меньшей мощнос ти, где через обозначается подалгебра, порождённая мно жеством Ь-е . Заметим, что сами множества D-e не являются независимыми, однако можно выделить такую непрерывную конфи нальную подцепь (/ ( например, по всем предельным В Л ), что множества Dfi содержат независимые подмножества СИ = = [у : р 4 J y(J (7 /- . Итак, каждая б.a. jyg ука занной подцепи U является свободной подалгеброй б.а. J- ,, однако ни одна из них не порождается некоторым подмножеством множества г-с . Более того, уже для Jdc не существует сво бодной подалгебры , содержащей , порождённой некото рым множеством /- С г «с такой, чтобы ч/ содержалась в некоторой б.а. $Гр при Л . Обратим внимание на два момента. Для доказательства теоремы Е.В. Щепина существенную роль играет следующая факторизационная лемма: если /S -{XoL , 0С% J 9ol f} T является регулярным спектром несчётной длины, - бикомпакт веса X f t то для любого непрерывного отображения J X Y существует о tr и такое непрерывное отображение а ; ЗС — JL что у = а ,. Второе, при доказательстве теоремы изоморфизм подспектров осуществляется с помощью таких отображений j-u , что 4CYm{j - Акт)} есть исходный гомеоморфизм пределов данных спектров. Следующий пример показывает, что в сингулярном случае картина может быть иная, чем. в регулярном : факторизационная лемма не имеет место, однако существуют изоморфные конфинальные подспект-ры, дающие в пределе гомеоморфизм, возможно, отличный от исходного. Пример 2.4:. Пусть п является совокупностью всех порядковых чисел, меньших (d0JX . Зададим взаимно-однозначное отображение і \р множества п на себя следующим образом: сначала выбираются в порядке возрастания все бесконечные начальные порядковые числа, а патом в естественном порядке все остальные элементы множества А . Гомеоморфизм у пространства на себя задаётся перестановкой координат, осуществляемой согласно отображению. Операции над инъективными булевыми пространствами
Представление инъективных булевых пространств в виде пределов непрерывных спектров с открытыми проекциями
Продолжения и неприводимые отображения инъективных булевых пространств
Об одном варианте спектральной теоремы Щепина для однородных инъективных булевых пространств
Похожие диссертации на Инъективные булевы пространства
