Содержание к диссертации
Введение
Глава I Симметрии тензоров 19
I.I. Некоторые сведения из теории представлений 19
1.2. О типах симметрии тензоров 24
1.3. Некоторые свойства операций симметризации и альтернирования представлений 36
Глава II Инвариантные и квазиинвариантные тензош на симметрических пространствах 43
2.1. Действие группы изотропии симметрического риманова пространства на касательном пространстве 43
2.2. Инвариантные тензоры на симметрических пространствах с полупростой группой вращений 53
2.3. Квазиинвариантные тензоры на симметрических пространствах 81
2.4. Инвариантные тензоры на тех симметрических пространствах, группа вращений которых не является полупростой 90
2.5. Вычисление инвариантных тензоров 94
Глава III Инвариантных и квазиинвариантных тензоров на симметрических пространствах 104
3.1. Распределение по типам симметрии инвариантных тензоров симметрических пространств с полупростой группой вращений 104
3.2. Распределение по типам симметрии инвариантных и квазиинвариантных тензоров симметрических пространств с неполупростой группой вращений
Пгаложения 131
Литература
- О типах симметрии тензоров
- Некоторые свойства операций симметризации и альтернирования представлений
- Инвариантные тензоры на симметрических пространствах с полупростой группой вращений
- Распределение по типам симметрии инвариантных и квазиинвариантных тензоров симметрических пространств с неполупростой группой вращений
Введение к работе
Одним из важных направлений математических исследований является теория инвариантов групп преобразований. Это направление плодотворно развивается с середины XIX века и является актуальным в настоящее время.
Среди различных групп особенный интерес составляют линейные группы : преобразования, которые они задают, являются линейными преобразованиями линейного пространства, т.е.,в известном смысле, самыми простыми и важными для приложений.
линейные группы естественным образом связаны с понятием представления. Линейным представлением группы (? в векторном пространстве v называется гомоморфизм её в группу невырожденных линейных преобразований пространства V . Так что каждая линейная группа определена представлением абстрактной группы.
Каждое линейное представление группы в пространстве / порождает представление группы в пространстве тензоров пространства V , где группа действует по тензорному закону. Для полупростых групп Ли "большинство" представлений эквивалентно тензорным, т.е. таким, которые действуют в пространстве тензоров.
Таким образом, исследование тензоров, инвариантных относительно заданного представления, является важной составной частью теории инвариантов групп преобразований. Выражаясь словами Г.Вейля [9J, "предметом нашего изучения будут различные типы линейно преобразующихся "величин", которые можно приготовить из материала тензоров при режиме той или иной группы".
Известно, что многие физические величины носят тензорный характер (тензор моментов инерции, тензор деформаций, тензор напряжений и т.д. ) .
Тензорные инварианты играют важную роль и в геометрии ( правильнее сказать - в геометрии в первую очередь ) . Так, например, группа вращений евклидова пространства bU(H) обладает тензорным инвариантом второй валентности - положительно определённой квадратичной формой, задающей скалярное произведение в /ft . Симплек-тическая группа Jp(/l) состоит из тех преобразований 2ҐІ - мерного пространства, которые сохраняют кососимметрический инвариант валентности два.
Теория тензорных инвариантов наполняется новым математическим материалом при рассмотрении понятия однородного пространства - важнейшего объекта геометрии.
Однородным пространством называется множество ІЧ, на котором транзитивно действует некоторая группа преобразований U . Пусть ХєМ и И - подмножество (г , состоящее из тех преобразований, которые оставляют точку X на месте. При этом /7 является подгруппой группы if и называется группой изотропии или стационарной подгруппой пространства /у (в точке X ) .
Однородное пространство можно отождествить с пространством классов смежностей Q/1 , группы 6 по подгруппе Л , на котором группа действует левым умножением. В этом случае Л является группой изотропии однородного пространства С/Я ( в точке
Наибольший интерес представляют те однородные пространства, группа С? которых есть группа Ли, а Л - замкнутая подгруппа в Q . Факторпространство М - Qltf стандартным образом снабжается структурой аналитического многообразия, относительно которого действие группы ч на М является аналитическим.
Каждой группе Ли Л каноническим образом соответствует так называемое присоединённое представление /\du на её алгебре Ли ТІ , рассматриваемой как векторное пространство. Трактуя алгебру Ли lb как касательное пространство к многообразию Л в единице,
можно описать действие преобразований следующим образом.
Всякий элемент порождает внутренний автоморфизм группы
по формуле который порождает линейное пре-
образование
Ad К касательного пространства. Дифференциал присоединённого представления группы Ли И в единице задаёт присоединённое представление алгебры Ли 1Ъ на себе самой :
adx : у -* ІХ9уї 9 х,у$ /г . <*)
Пусть - группы Ли, /1 и О, - их алгебры Ли. Аналогично [Щ можно определить представление алгебры Ли /І на всей алгебре Ли О : OLcLgh : У^1-Х,у], 0Ceh9U^q.
Однородное пространство называется редуктивным, если для некоторого подпространства о пространства Q справедливо разложение Q - п + о , где ё инвариантно относительно представления adA алгебры Ті на пространстве Q . Для редуктивных пространств касательное пространство к многообразию в точке в Л~ Л отождествляется с пространством В.
С геометрической точки зрения, наибольший интерес среди однородных пространств представляют римановы пространства - те, на которых задано поле дважды ковариантного симметрического тензора 0 , инвариантное относительно действий группы 6- , определяющее в каждой точке DeM положительно определённую квадратичную форму uS = Q..(p)dxluX (риманова метрика). Для римановых одно-родных пространств Сг называется группой движений, а Л - группой вращений пространства GIH. Всякое однородное риманово пространство допускает модель QIH , где К компактна. Известно также, что в случае компактной // однородное пространство является редуктивным и может быть наделено римановой метрикой, инвариантной относительно Сг .
Среди римановых пространств наиболее изученными являются симметрические пространства. Их открытие связано с именами
Э.Картана [17] и П.А.Широкова [372 (1925-1926 годы). Симметрические римановы пространства Ц- ІІІ обладают рядом характеристических свойств [II],[34],f35] :
Для каждой точки реМ существует изометрия Sp :/j-*M , оставляющая точку Р на месте и переворачивающая проходящие через неё геодезические. Это означает, что если ^ - геодезическая такая, что рО)=р , то Sp(pt)) =\(-{) .
Для каждой точкиРРМ существует инволютивная изометрия о (т.е. такая, что , отличная от тождественной, для которой точка р является изолированной неподвижной точкой.
Пусть ТІ и Q - алгебры Ли, соответствующие группам Ли и Сг . Имеет место разложение алгебры О в прямую сумму подпространств Q - /1+ о , причём выполняются следующие включения :
Это свойство эквивалентно наличию в Q автоморфизма О такого, что о - С .
4) Пусть Qag - метрический тензор на многообразии М , тогда те
нзор кривизны /)agcJ симметрической связности, согласованный с
метрикой, ковариантно постоянен. Т.е. паВосі удовлетворяет соот
ношению Vs (п (igcd)- О , где Vs - ковариантная производная.
Ъ) Тензор римановой кривизны является аффиннором на касательном
пространстве о симметрического пространства , действие
которого описывает формула :
Из свойств 4) и 5) следует, что тензор римановой кривизны л представляет собой четырёхиндексный инвариант относительно группы изотропии симметрического пространства.
В том случае, когда 4" ~ связная группа Ли, а 11 - её компактная подгруппа Ли, симметрическое однородное пространство
стандартным образом снабжается метрикой, инвариантной от-
носительно групш движений, и называется глобально симметрическим римановым пространством.
( Глобально ) симметрическое риманово пространство называется неприводимым, если для соответствующих алгебр Ли Q и h. выполняются следующие два условия :
^ - полупроста и ft не содержит ненулевых идеалов алгебры О ,
представление dd^h неприводимо на S .
Э.Картан показал, что каждое односвязное глобально симметрическое риманово пространство является прямым произведением неприводимых ( см., напр., [35 , стр. 3403). Классификация всех римановых неприводимых симметрических пространств также принадлежит Э.Картану L173 и является одним из самых значительных его результатов. Список и обозначения этих пространств можно найти в ГзбЗ.
В диссертации рассматриваются симметрические римановы пространства и решается задача нахождения тензоров, инвариантных относительно изотропного представления. Известно, что инвариантные тензоры, относительно данного изотропного представления, находятся во взаимно однозначном соответствии с инвариантными тензорными полями на многообразии : тензор в касательном пространстве /а-// к многообразию М в точке X , инвариантный относительно такого представления, однозначно разносится действиями группы движений по всему многообразию [31]. Этот факт объясняет ту важную роль, которую играет изотропное.представление в теории однородных пространств.
Тензорные поля являются важным объектом изучения в геометрии, физике, теории дифференциальных уравнений. Среди геометрических объектов являются тензорными полями : метрика, почти комплексная структура, поле тензора кривизны, внешние дифференциальные формы, в частности, форма объёма (меры).
Среди инвариантных полей тензоров особенного внимания заслу-
живают кососимметрические. С каждым таким полем естественным образом связана внешняя дифференциальная форма. Согласно теореме Де Рама, алгебра когомологий однородного компактного пространства с вещественными коэффициентами изоморфна алгебре когомологий внешних дифференциальных форм на этом пространстве относительно операции внешнего дифференцирования.
Для компактного симметрического пространства (j/Jl алгебра когомологий ) изоморфна алгебре инвариантных внешних дифференциальных форм. В частности, это справедливо для компактных групп Ли, рассматриваемых как симметрические пространства [2],[41]. Количество линейно независимых инвариантных кососиммет-рических р -валентных тензорных полей на симметрическом пространстве равно Р -ому числу Бетти . В силу вышесказанного, можно считать, что кососимметрические инвариантные поля на компактных симметрических пространствах косвенно описаны, поскольку известны их алгебры когомологий.
Формулировка задачи.
Пусть (г/J1 - компактное симметрическое риманово пространство, О , 71 - вещественные алгебры Ли, соответствующие группам Ли . Поскольку - редуктивно,
д= h + і
тавления
ствует представление Ч^ группы Ли Л . Линейная группа (группа изотропии) действует в линейном пространстве & , отождествляемом с касательным пространством к 6 ш
Группа Ф(Л) естественно действует и в пространстве тензоров валентности К касательного пространства. Назовём элемент тензорного пространства инвариантным тензором, если он не изменяет-
Ф группы Ли Л . Линейная группа Ф(Л)
где о - инвариантное дополнение к ТІ в О. , относительно предс-(tdQ ТІ. Ограничению представления (Ш h на & соответ-
ся под действием группы . Представление, которое задаёт действие Я?(Г1)ъ пространстве тензоров валентности Ц , называется тензорным произведением представления г на себя К раз и обозначается
Линейная группа является подгруппой ортогональной группы OU(tl) . Последняя действует в пространстве тензоров валентности /С. При этом тензорное пространство разлагается в прямую сумму Z L подпространств L , инвариантных относительно указанного действия группы ии(/2) . Известно, что каждое из Z состоит из тензоров, обладающих тем или иным типом симметрии. Каждое одномерное пространство, инвариантное относительно *Р (Л) и состоящее из инвариантных тензоров, принадлежит некоторому из L .
В диссертации решена следующая задача : для каждого неприводимого риманова симметрического пространства вычислить линейно независимые инвариантные тензоры валентности К ^6 и, в случае К 4 , указать, какие из них принадлежат каждому из L (распределить инвариантные тензоры по типам симметрии).
В дополнение к полученным результатам выявлен геометрический смысл некоторых из найденных инвариантных тензоров.
Комплексная оболочка Ф(Н) группы
Ф(Н) действует на комплексном расширении о вещественного пространства о , а следовательно, и в пространстве (комплексных ) тензоров валентности К. пространства о . Элемент тензорного пространства назовём (квази) инвариантным тензором, если этот тензор не меняется (остаётся пропорциональным самому себе) при всех действиях представления ( ф ) . Аналогично вещественному случаю, можно говорить о типах симметрии тензоров относительно ортогональной (комплексной специальной ) группы SO (И,С) . Каждый тензор, инвариантный в вещественном смысле, является инвариантным и в комплексном смысле. Из результатов Мантурова О.В. [26] следует, что всяким 171 линейно
- II -
независимым It -валентным инвариантным, в комплексном смысле, тензорам соответствует /72 линейно независимых К -валентных тензоров, инвариантных в вещественном смысле. Кроме того, в подпространстве
К -валентных квазиинвариантных тензоров можно выбрать базис и разбить его на пары так, что каждой паре соответствует вещественное двумерное подпространство, пространства тензоров валентности И , инвариантное относительно группы изотропии. Если группа Л полупроста, понятия "инвариантного" и "квазиинвариантного" ( в комплексном смысле ) тензора совпадают. В том случае, когда группа вращений не полупроста, в диссертации выяснено, какие из квазиинвариантных тензоров являются инвариантными.
Для всех неприводимых римановых симметрических пространств
От/Л вычислены линейно независимые квазиинвариантные тензоры валентности К 4 6 . Их количество указано в таблицах 5 (для полупростой группы вращений) и б (если Л - не полупроста). Линейно независимые квазиинвариантные тензоры валентности 2, 3 и 4, всех неприводимых римановых симметрических пространств, распределены по типам симметрии ортогональной группы в таблицах 7 ( если полупроста) и 8 ( если И - не полупроста).
Актуальность работы.
Симметрические римановы пространства играют важную роль во многих классических и современных областях геометрии, топологии, дифференциальных уравнений, анализа, алгебры и т.д. Многие фундаментальные задачи в этих областях связаны с изучением инвариантных объектов на симметрических пространствах. Полученные таблицы тензорных инвариантов могут найти применение в геометрии симметрических пространств и приложениях.
Новизна работы.
Основные результаты диссертации об инвариантных и квазиинва-
- 12 -риантных тензорах, сформулированные в теоремах 2.2.1, 2.3.1, 2.4.1, 3.1.I, 3.2.1 и 3.2.2, являются новыми. Автору также принадлежит лемма 3.1.1 о распределении по типам симметрии инвариантных тензоров четвёртой валентности и некоторые технические леммы (2.2.1, 2.3.2, 2.4.1, 2.4.2, 3.1.2, 3.1.3, 3.2.1, 3.2.2, 3.2.3, 3.2.4).
История вопроса и геометрические приложения.
К тридцатым годам XX века появилась возможность связать вопросы нахождения тензорных инвариантов с появившейся к этому времени глобальной теорией полупростых групп и их представлений. Г.Вейль [9J поставил следующую задачу : разложить пространство тензоров заданной валентности на неприводимые инвариантные подпространства относительно заданной группы линейных преобразований линейного пространства. При этом отыскание инвариантных тензоров сводится к выделению одномерных инвариантных подпространств. Решение общей задачи Г.Вейлем было дано для ортогональной, симплек-тической и полной линейной группы 19J. Таким образом, все тензоры, инвариантные относительно простейших представлений классических линейных групп известны. Для произвольных представлений (даже полупростых ) групп Ли вопрос об инвариантных тензорах остаётся открытым.
В статье [303 Рашевский П. К. показал, что всякое линейное представление полупростой группы можно охарактеризовать некоторым четырёхвалентным тензором #.« в том смысле, что он остаётся инвариантным при всех преобразованиях этого линейного представления (и только при них, если не считать преобразований подобия). Таким образом, среди четырёхиндексных инвариантных тензоров симметрических пространств с полупростой группой вращений имеется хотя бы один -тензор П.К.Рашевского. Про другой инвариант валентности
- ІЗ -
четыре - тензор кривизны - упоминалось ранее.
Среди однородных римановых пространств Мантуров О.В. отыскал все изотропно неприводимые [25],Г26],[27] и выделил среди них те, которые не являются симметрическими. Это - новый класс пространств, устроенных "чуть сложнее" симметрических. Отысканием трёхвалентных тензоров в пространствах Мантурова О.В., инвариантных относительно группы изотропии, занимался Г.Ш.Кушнер [24].
Остановимся подробнее на известных инвариантных тензорах некоторых представлений полупростых групп Ли.
Метрический тензор Оц является классическим примером инварианта группы движений на римановом многообразии. Он является симметрическим и задаёт положительно определённую квадратичную форму, которая, в свою очередь, полностью определяет внутреннюю геометрию многообразия.
Другими классическими примерами двухвалентных инвариантов являются тензор Риччи и тензор почти комплексной структуры. Однородное пространство называется почти комплексным, если оно имеет инвариантом тензор почти комплексной структуры. Частные случаи почти комплексных пространств классифицировал в 1954 году А.Борель [39]. Мантуров О.В. в 1961 году выделил почти комплексные пространства из изотропно неприводимых [25], Г27-]. Позднее аналогичными вопросами занимался Дк. Вольф [45]. Частным случаем изотропно неприводимых пространств являются неприводимые симметрические пространства, которые рассматриваются в настоящей диссертации. Свёртка тензора почти комплексной структуры с метрическим даёт пример инвариантного двухвалентного кососимметрического тензора. Таким образом, в случае почти комплексных симметрических пространств имеется два двухвалентных инварианта : один - симметрический, другой - кососимметрический. Интерес к теории почти комплексных пространств не ослабевает и в последнее время [22],
- 14 -Г231.
Важными для физических приложений являются инвариантные тензоры присоединённых представлений групп Ли. Известно [I], что каждому набору симметрических инвариантных тензоров отвечает оператор Казимира, имеющий их своими коэффициентами. В цитируемой работе (стр. 305 ) приводится способ построения К -валентных симметрических тензоров, для любого И = 2,3,... , инвариантных относительно присоединённого представления группы.
пН.
Тензор структурных констант С алгебры Ли является инвариантом относительно присоединённого представления соответствую-
-гк щей группы Ли. Известно, что каждому трёхвалентному тензору /
векторного пространства V соответствует алгебра в этом простран-
~ГК стве. Более того, тензорному инварианту /г- некоторого представления группы соответствует алгебра в пространстве представления, инвариантная относительно данного представления. Особенно важную роль играют трёхвалентные инварианты однородных пространств. Их наличие эквивалентно существованию алгебры инвариантных векторных полей на однородном пространстве.
Из результатов диссертации следует, что трёхвалентные инварианты имеют следующие неприводимые симметрические римановы пространства : все группы Ли как симметрические пространства, пространства серий А/ (12 У/3) и АН (ҐІЇЗ), пространство серии В О J , при р ~^ = / , а также особое пространство fIV.
Алгебраические операции над инвариантными тензорами (сумма, произведение, свёртка) приводят к тензорам инвариантным относительно того же представления. Интересная конструкция получения ко-сосимметрических инвариантов ( валентности 2К -1 ) , относительно присоединённого представления группы, из симметрических (валентности ft ) , и наоборот, дана в статье Дшкина Е.Б. [13]. Конструкция использует тензор структурных констант.
Указанные операции над инвариантными тензорами позволяют получать инвариантные тензоры всё более высоких валентностей. Однако далеко не все инвариантные тензоры, как видно из таблиц 5 и 6 диссертации, происходят из тензоров меньшей валентности.
Математический аппарат.
Основным методом решения задачи, поставленной в диссертации, является метод разложения кронекеровских произведений представлений полупростых групп Ли в прямую сумму неприводимых компонент. Задача о разложении кронекеровского произведения представлений группы LjL(/ifL) полностью решена [14]. Для некоторых классических групп сформулированы удобные графические правила [I],[38]. Общая формула разложения кронекеровского произведения в прямую сумму неприводимых компонент, для представлений произвольной полупростой группы Ли, была получена Костантом Б. и Стейнбергом Р. Г43]. Практическое использование этой формулы представляется затруднительным даже для групп Ли низких размерностей. Её модификации появились в работах Страуманна Н. [44] и Климыка А.У. [203. Явная формула разложения кронекеровских произведений представлений полупростых алгебр Ли в частном случае, когда одно представление "велико" по сравнению с другим, получена Мантуровым О.В. [28]. Мы будем пользоваться следствием из общей теоремы.
Необходимой для наших целей является задача нахождения всех весов, связанных со старим весом, и их кратностей. Она была решена Фрейденталем X. [40] и Костантом Б. [423. Однако полученные формулы пригодны для практических целей, разве чшо для групп Ли малых размерностей. Другие формулы для кратностей весов были получены Климыком А.У. [19], [21].
При распределении инвариантов по типам симметрии возникает проблема аналогичная той, что встречается во многих физических
задачах, а именно : какие неприводимые представления подгруппы Л группы 6- входят в сужение на подгруппу И неприводимого представления Ц> группы G. Основные результаты для GL(lzfi), ортогональной группы S0(n,C ) и симплектической группы получены Желобенко Д.П. [16]. Представляют интерес в этом плане работы Сироты А.И. [33] и Мантурова О.В. [26].
Диссертация состоит из введения, трёх глав и приложений.
Первая глава носит вводный характер. В I.I приводятся некоторые сведения из теории представлений полупростых групп и алгебр Ли, в частности, формулируются теоремы Данкина Е.Б. и Мантурова О.В. о разложении кронекеровских произведений полупростых алгебр в прямую сумму неприводимых компонент. 1.2 посвящен обозначениям типов симметрии тензоров в терминах схем Дшкина. Определения типов симметрии даны по ортогональной (комплексной специальной) и унимодулярной Ы (fl,) группе < см. опр. 1.2.3 и 1.2.I). Связь между двумя определениями устанавливает лемма 1.2.4. Определения операций симметризации и альтернирования представлений даны в 1.3. Здесь же рассматриваются леммы 1.3.I и 1.3.2, доказанные Мантуровым О.В., об ограничении представлений некоторых групп на их подгруппы. В лемме 1.3.3 доказаны формулы, по-видимому известные, о симметризации и альтернировании представлений полупростых групп.
Вторая глава включает в себя основное содержание диссертации. Здесь вычислены все линейно независимые инвариантные и квазиинвариантные тензоры валентности Ц^6 , всех неприводимых ри-мановых симметрических пространств. Сводка результатов о количестве линейно независимых инвариантов и квазиинвариантов дана в таблицах 5 и 6. В 2.1 рассматривается действие группы изотропии на касательном пространстве, приведены схемы изотропных представлений (Мантуров О.В.) всех неприводимых симметрических пространств
(табл. 3). Устанавливается связь между инвариантными тензорами в вещественном ( опр. 2.I.I) и комплексном ( опр. 2.1.2) смысле для однородного риманова пространства ( следствие теоремы Мантурова О.В. 263). 2.2 посвящен нахождению инвариантных тензоров на неприводимых симметрических пространствах с полупростой группой вращений. Для таких пространств доказывается теорема 2.2.1 о количестве линейно независимых инвариантных тензоров валентности К ^6 . Определение квазиинвариантного тензора однородного пространства дано в 2.3. Здесь же замечено, что понятия "инвариантного" и "квазиинвариантного" тензора, для симметрического пространства с полупростой группой вращений, совпадают. Для отыскания квазиинвариантных тензоров используется ограничение изотропного представления симметрического пространства на полупростую часть группы вращений. Схемы таких представлений даны в табл. 3. Доказывается лемма 2.3.2 о количестве линейно независимых квазиинвариантных тензоров симметрического пространства. Теорема 2.3.1 устанавливает количество линейно независимых квазиинвариантных тензоров, валентности К ^ 6 , всех неприводимых римановых симметрических пространств. Необходимое и достаточное условие для того, чтобы квазиинвариантный тензор симметрического пространства являлся инвариантным, доказывается в лемме 2.4.1. Теорема 2.4.1 завершает проблему нахождения линейно независимых инвариантных тензоров, валентности /І ^ 6 , всех неприводимых римановых симметрических пространств. Способ вычисления компонент инвариантных и квазиинвариантных тензоров в некотором специальном базисе рассматривается в 2.5.
В третьей главе инвариантные и квазиинвариантные тензоры валентности Л ^ Ч , таблиц 5 и б, распределены по типам симметрии ортогональной группы. В 3.1 рассматриваются симметрические пространства с полупростой группой вращений. Здесь доказана лемма
3.I.I о распределении инвариантных тензоров четвёртой валентности по типам симметрии. Результаты о типах симметрии инвариантных тензоров валентности 2,3 и 4, всех неприводимых симметрических пространств с полупростой группой вращений, получены в теореме 3.1.I. Леммы 3.2.1, 3.2.2 и 3.2.3 позволяют распределять по типам симметрии квазиинвариантные тензоры валентности /С ^4 неприводимых симметрических пространств. Соответствующие результаты для симметрических пространств с неполупростой группой вращений установлены в теореме 3.2.1. Лемма 3.2.4 позволяет выделять инвариантные тензоры среди квазиинвариантных 9 получая таким образом их распределение по типам симметрии. Результаты о распределении инвариантных тензоров неприводимых симметрических пространств с неполупростой группой вращений получены в теореме 3.2.2.
В Приложениях даны таблицы о количестве линейно независимых инвариантных и квазиинвариантных тензоров, валентности К ^ в , всех неприводимых римановых симметрических пространств. Распределение по типам симметрии ортогональной группы тех их них, что имеют валентность 2, 3 и 4, задано таблицами 7 и 8.
В заключение приводится список использованной литературы.
Основные результаты настоящей работы излагались автором на научном семинаре кафедры геометрии МОЇМ им. Н.К.Крупской, на научной конференции ЮПИ (апрель 1983) , на семинаре кафедры геометрии при Казанском университете им. В.И.Ульянова (июнь 1983), на семинаре "по векторному и тензорному анализу" при ЇЛГУ им. М.В.Ломоносова Смарт 1984).
Основное содержание диссертации опубликовано в работах [3] - [8І,С46] автора.
Автор искренне признателен научному руководителю профессору Мантурову О.В. за неоценимую помощь и постоянное внимание к работе.
О типах симметрии тензоров
Одним из важных направлений математических исследований является теория инвариантов групп преобразований. Это направление плодотворно развивается с середины XIX века и является актуальным в настоящее время. Среди различных групп особенный интерес составляют линейные группы : преобразования, которые они задают, являются линейными преобразованиями линейного пространства, т.е.,в известном смысле, самыми простыми и важными для приложений. линейные группы естественным образом связаны с понятием представления. Линейным представлением группы (? в векторном пространстве v называется гомоморфизм её в группу невырожденных линейных преобразований пространства V . Так что каждая линейная группа определена представлением абстрактной группы. Каждое линейное представление группы в пространстве / порождает представление группы в пространстве тензоров пространства V , где группа действует по тензорному закону. Для полупростых групп Ли "большинство" представлений эквивалентно тензорным, т.е. таким, которые действуют в пространстве тензоров. Таким образом, исследование тензоров, инвариантных относительно заданного представления, является важной составной частью теории инвариантов групп преобразований. Выражаясь словами Г.Вейля [9J, "предметом нашего изучения будут различные типы линейно преобразующихся "величин", которые можно приготовить из материала тензоров при режиме той или иной группы".
Известно, что многие физические величины носят тензорный характер (тензор моментов инерции, тензор деформаций, тензор напряжений и т.д. ) . Тензорные инварианты играют важную роль и в геометрии ( правильнее сказать - в геометрии в первую очередь ) . Так, например, группа вращений евклидова пространства bU(H) обладает тензорным инвариантом второй валентности - положительно определённой квадратичной формой, задающей скалярное произведение в /ft . Симплек-тическая группа Jp(/l) состоит из тех преобразований 2ҐІ - мерного пространства, которые сохраняют кососимметрический инвариант валентности два.
Теория тензорных инвариантов наполняется новым математическим материалом при рассмотрении понятия однородного пространства - важнейшего объекта геометрии.
Однородным пространством называется множество ІЧ, на котором транзитивно действует некоторая группа преобразований U . Пусть ХєМ и И - подмножество (г , состоящее из тех преобразований, которые оставляют точку X на месте. При этом /7 является подгруппой группы if и называется группой изотропии или стационарной подгруппой пространства /у (в точке X ) .
Однородное пространство можно отождествить с пространством классов смежностей Q/1 , группы 6 по подгруппе Л , на котором группа действует левым умножением. В этом случае Л является группой изотропии однородного пространства С/Я ( в точке
Наибольший интерес представляют те однородные пространства, группа С? которых есть группа Ли, а Л - замкнутая подгруппа в Q . Факторпространство М - Qltf стандартным образом снабжается структурой аналитического многообразия, относительно которого действие группы ч на М является аналитическим.
Каждой группе Ли Л каноническим образом соответствует так называемое присоединённое представление /\du на её алгебре Ли ТІ , рассматриваемой как векторное пространство. Трактуя алгебру Ли lb как касательное пространство к многообразию Л в единице, можно описать действие преобразований следующим образом. Всякий элемент порождает внутренний автоморфизм группы по формуле который порождает линейное пре образование Ad К касательного пространства. Дифференциал присоединённого представления группы Ли И в единице задаёт присоединённое представление алгебры Ли 1Ъ на себе самой : adx : у - ІХ9уї 9 х,у$ /г .
Однородное пространство называется редуктивным, если для некоторого подпространства о пространства Q справедливо разложение Q - п + о , где ё инвариантно относительно представления adA алгебры Ті на пространстве Q . Для редуктивных пространств касательное пространство к многообразию в точке в Л Л отождествляется с пространством В.
Некоторые свойства операций симметризации и альтернирования представлений
С геометрической точки зрения, наибольший интерес среди однородных пространств представляют римановы пространства - те, на которых задано поле дважды ковариантного симметрического тензора 0 , инвариантное относительно действий группы 6- , определяющее в каждой точке DeM положительно определённую квадратичную форму uS = Q..(p)dxluX (риманова метрика). Для римановых одно-родных пространств Сг называется группой движений, а Л - группой вращений пространства GIH. Всякое однородное риманово пространство допускает модель QIH , где К компактна. Известно также, что в случае компактной // однородное пространство является редуктивным и может быть наделено римановой метрикой, инвариантной относительно Сг . Среди римановых пространств наиболее изученными являются симметрические пространства. Их открытие связано с именами Э.Картана [17] и П.А.Широкова [372 (1925-1926 годы). Симметрические римановы пространства Ц- ІІІ обладают рядом характеристических свойств [II],[34],f35] : 1) Для каждой точки реМ существует изометрия Sp :/j- M , оставляющая точку Р на месте и переворачивающая проходящие через неё геодезические. Это означает, что если - геодезическая такая, что рО)=р , то Sp(pt)) =\(-{) . 2) Для каждой точкиРРМ существует инволютивная изометрия о (т.е. такая, что , отличная от тождественной, для которой точка р является изолированной неподвижной точкой. 3) Пусть ТІ и Q - алгебры Ли, соответствующие группам Ли и Сг . Имеет место разложение алгебры О в прямую сумму подпространств Q - /1+ о , причём выполняются следующие включения : Это свойство эквивалентно наличию в Q автоморфизма О такого, что о - С . 4) Пусть Qag - метрический тензор на многообразии М , тогда те нзор кривизны /)agcJ симметрической связности, согласованный с метрикой, ковариантно постоянен. Т.е. паВосі удовлетворяет соот ношению Vs (п (igcd)- О , где Vs - ковариантная производная. Ъ) Тензор римановой кривизны является аффиннором на касательном пространстве о симметрического пространства , действие которого описывает формула : Из свойств 4) и 5) следует, что тензор римановой кривизны л представляет собой четырёхиндексный инвариант относительно группы изотропии симметрического пространства.
В том случае, когда 4" связная группа Ли, а 11 - её компактная подгруппа Ли, симметрическое однородное пространство стандартным образом снабжается метрикой, инвариантной от -8 носительно групш движений, и называется глобально симметрическим римановым пространством. ( Глобально ) симметрическое риманово пространство называется неприводимым, если для соответствующих алгебр Ли Q и h. выполняются следующие два условия : 1) - полупроста и ft не содержит ненулевых идеалов алгебры О , 2) представление dd h неприводимо на S .
Э.Картан показал, что каждое односвязное глобально симметрическое риманово пространство является прямым произведением неприводимых ( см., напр., [35 , стр. 3403). Классификация всех римановых неприводимых симметрических пространств также принадлежит Э.Картану L173 и является одним из самых значительных его результатов. Список и обозначения этих пространств можно найти в ГзбЗ.
В диссертации рассматриваются симметрические римановы пространства и решается задача нахождения тензоров, инвариантных относительно изотропного представления. Известно, что инвариантные тензоры, относительно данного изотропного представления, находятся во взаимно однозначном соответствии с инвариантными тензорными полями на многообразии : тензор в касательном пространстве /а-// к многообразию М в точке X , инвариантный относительно такого представления, однозначно разносится действиями группы движений по всему многообразию [31]. Этот факт объясняет ту важную роль, которую играет изотропное.представление в теории однородных пространств.
Тензорные поля являются важным объектом изучения в геометрии, физике, теории дифференциальных уравнений. Среди геометрических объектов являются тензорными полями : метрика, почти комплексная структура, поле тензора кривизны, внешние дифференциальные формы, в частности, форма объёма (меры).
Инвариантные тензоры на симметрических пространствах с полупростой группой вращений
Среди инвариантных полей тензоров особенного внимания заслу - 9 живают кососимметрические. С каждым таким полем естественным образом связана внешняя дифференциальная форма. Согласно теореме Де Рама, алгебра когомологий однородного компактного пространства с вещественными коэффициентами изоморфна алгебре когомологий внешних дифференциальных форм на этом пространстве относительно операции внешнего дифференцирования.
Для компактного симметрического пространства (j/Jl алгебра когомологий ) изоморфна алгебре инвариантных внешних дифференциальных форм. В частности, это справедливо для компактных групп Ли, рассматриваемых как симметрические пространства [2],[41]. Количество линейно независимых инвариантных кососиммет-рических р -валентных тензорных полей на симметрическом пространстве равно Р -ому числу Бетти . В силу вышесказанного, можно считать, что кососимметрические инвариантные поля на компактных симметрических пространствах косвенно описаны, поскольку известны их алгебры когомологий.
Группа Ф(Л) естественно действует и в пространстве тензоров валентности К касательного пространства. Назовём элемент тензорного пространства инвариантным тензором, если он не изменяет Ф группы Ли Л . Линейная группа Ф(Л) где о - инвариантное дополнение к ТІ в О. , относительно предс-(tdQ ТІ. Ограничению представления (Ш h на & соответ - 10 ся под действием группы . Представление, которое задаёт действие Я?(Г1)ъ пространстве тензоров валентности Ц , называется тензорным произведением представления г на себя К раз и обозначается
Линейная группа является подгруппой ортогональной группы OU(tl) . Последняя действует в пространстве тензоров валентности /С. При этом тензорное пространство разлагается в прямую сумму Z L подпространств L , инвариантных относительно указанного действия группы ии(/2) . Известно, что каждое из Z состоит из тензоров, обладающих тем или иным типом симметрии. Каждое одномерное пространство, инвариантное относительно Р (Л) и состоящее из инвариантных тензоров, принадлежит некоторому из L .
В диссертации решена следующая задача : для каждого неприводимого риманова симметрического пространства вычислить линейно независимые инвариантные тензоры валентности К 6 и, в случае К 4 , указать, какие из них принадлежат каждому из L (распределить инвариантные тензоры по типам симметрии). В дополнение к полученным результатам выявлен геометрический смысл некоторых из найденных инвариантных тензоров. Комплексная оболочка Ф(Н) группы Ф(Н) действует на комплексном расширении о вещественного пространства о , а следовательно, и в пространстве (комплексных ) тензоров валентности К. пространства о . Элемент тензорного пространства назовём (квази) инвариантным тензором, если этот тензор не меняется (остаётся пропорциональным самому себе) при всех действиях представления ( ф ) . Аналогично вещественному случаю, можно говорить о типах симметрии тензоров относительно ортогональной (комплексной специальной ) группы SO (И,С) . Каждый тензор, инвариантный в вещественном смысле, является инвариантным и в комплексном смысле. Из результатов Мантурова О.В. [26] следует, что всяким 171 линейно независимым It -валентным инвариантным, в комплексном смысле, тензорам соответствует /72 линейно независимых К -валентных тензоров, инвариантных в вещественном смысле. Кроме того, в подпространстве
К -валентных квазиинвариантных тензоров можно выбрать базис и разбить его на пары так, что каждой паре соответствует вещественное двумерное подпространство, пространства тензоров валентности И , инвариантное относительно группы изотропии. Если группа Л полупроста, понятия "инвариантного" и "квазиинвариантного" ( в комплексном смысле ) тензора совпадают. В том случае, когда группа вращений не полупроста, в диссертации выяснено, какие из квазиинвариантных тензоров являются инвариантными.
Распределение по типам симметрии инвариантных и квазиинвариантных тензоров симметрических пространств с неполупростой группой вращений
Симметрические римановы пространства играют важную роль во многих классических и современных областях геометрии, топологии, дифференциальных уравнений, анализа, алгебры и т.д. Многие фундаментальные задачи в этих областях связаны с изучением инвариантных объектов на симметрических пространствах. Полученные таблицы тензорных инвариантов могут найти применение в геометрии симметрических пространств и приложениях.
Основные результаты диссертации об инвариантных и квазиинва - 12 -риантных тензорах, сформулированные в теоремах 2.2.1, 2.3.1, 2.4.1, 3.1.I, 3.2.1 и 3.2.2, являются новыми. Автору также принадлежит лемма 3.1.1 о распределении по типам симметрии инвариантных тензоров четвёртой валентности и некоторые технические леммы (2.2.1, 2.3.2, 2.4.1, 2.4.2, 3.1.2, 3.1.3, 3.2.1, 3.2.2, 3.2.3, 3.2.4).
К тридцатым годам XX века появилась возможность связать вопросы нахождения тензорных инвариантов с появившейся к этому времени глобальной теорией полупростых групп и их представлений. Г.Вейль [9J поставил следующую задачу : разложить пространство тензоров заданной валентности на неприводимые инвариантные подпространства относительно заданной группы линейных преобразований линейного пространства. При этом отыскание инвариантных тензоров сводится к выделению одномерных инвариантных подпространств. Решение общей задачи Г.Вейлем было дано для ортогональной, симплек-тической и полной линейной группы 19J. Таким образом, все тензоры, инвариантные относительно простейших представлений классических линейных групп известны. Для произвольных представлений (даже полупростых ) групп Ли вопрос об инвариантных тензорах остаётся открытым.
В статье [303 Рашевский П. К. показал, что всякое линейное представление полупростой группы можно охарактеризовать некоторым четырёхвалентным тензором в том смысле, что он остаётся инвариантным при всех преобразованиях этого линейного представления (и только при них, если не считать преобразований подобия).
Среди однородных римановых пространств Мантуров О.В. отыскал все изотропно неприводимые [25],Г26],[27] и выделил среди них те, которые не являются симметрическими. Это - новый класс пространств, устроенных "чуть сложнее" симметрических. Отысканием трёхвалентных тензоров в пространствах Мантурова О.В., инвариантных относительно группы изотропии, занимался Г.Ш.Кушнер [24].
Остановимся подробнее на известных инвариантных тензорах некоторых представлений полупростых групп Ли. Метрический тензор Оц является классическим примером инварианта группы движений на римановом многообразии. Он является симметрическим и задаёт положительно определённую квадратичную форму, которая, в свою очередь, полностью определяет внутреннюю геометрию многообразия.
Другими классическими примерами двухвалентных инвариантов являются тензор Риччи и тензор почти комплексной структуры. Однородное пространство называется почти комплексным, если оно имеет инвариантом тензор почти комплексной структуры. Частные случаи почти комплексных пространств классифицировал в 1954 году А.Борель [39]. Мантуров О.В. в 1961 году выделил почти комплексные пространства из изотропно неприводимых [25], Г27-]. Позднее аналогичными вопросами занимался Дк. Вольф [45]. Частным случаем изотропно неприводимых пространств являются неприводимые симметрические пространства, которые рассматриваются в настоящей диссертации. Свёртка тензора почти комплексной структуры с метрическим даёт пример инвариантного двухвалентного кососимметрического тензора. Таким образом, в случае почти комплексных симметрических пространств имеется два двухвалентных инварианта : один - симметрический, другой - кососимметрический.
Из результатов диссертации следует, что трёхвалентные инварианты имеют следующие неприводимые симметрические римановы пространства : все группы Ли как симметрические пространства, пространства серий А/ (12 У/3) и АН (ҐІЇЗ), пространство серии В О J , при р = / , а также особое пространство fIV.
Алгебраические операции над инвариантными тензорами (сумма, произведение, свёртка) приводят к тензорам инвариантным относительно того же представления. Интересная конструкция получения ко-сосимметрических инвариантов ( валентности 2К -1 ) , относительно присоединённого представления группы, из симметрических (валентности ft ) , и наоборот, дана в статье Дшкина Е.Б. [13]. Конструкция использует тензор структурных констант.
Указанные операции над инвариантными тензорами позволяют получать инвариантные тензоры всё более высоких валентностей. Однако далеко не все инвариантные тензоры, как видно из таблиц 5 и 6 диссертации, происходят из тензоров меньшей валентности.
Основным методом решения задачи, поставленной в диссертации, является метод разложения кронекеровских произведений представлений полупростых групп Ли в прямую сумму неприводимых компонент. Задача о разложении кронекеровского произведения представлений группы LjL(/ifL) полностью решена [14]. Для некоторых классических групп сформулированы удобные графические правила [I],[38]. Общая формула разложения кронекеровского произведения в прямую сумму неприводимых компонент, для представлений произвольной полупростой группы Ли, была получена Костантом Б. и Стейнбергом Р. Г43]. Практическое использование этой формулы представляется затруднительным даже для групп Ли низких размерностей. Её модификации появились в работах Страуманна Н. [44] и Климыка А.У. [203. Явная формула разложения кронекеровских произведений представлений полупростых алгебр Ли в частном случае, когда одно представление "велико" по сравнению с другим, получена Мантуровым О.В. [28]. Мы будем пользоваться следствием из общей теоремы.
Необходимой для наших целей является задача нахождения всех весов, связанных со старим весом, и их кратностей. Она была решена Фрейденталем X. [40] и Костантом Б. [423. Однако полученные формулы пригодны для практических целей, разве чшо для групп Ли малых размерностей. Другие формулы для кратностей весов были получены Климыком А.У. [19], [21].
При распределении инвариантов по типам симметрии возникает проблема аналогичная той, что встречается во многих физических задачах, а именно : какие неприводимые представления подгруппы Л группы 6- входят в сужение на подгруппу И неприводимого представления Ц группы G. Основные результаты для GL(lzfi), ортогональной группы S0(n,C ) и симплектической группы получены Желобенко Д.П. [16]. Представляют интерес в этом плане работы Сироты А.И. [33] и Мантурова О.В. [26].
Первая глава носит вводный характер. В I.I приводятся некоторые сведения из теории представлений полупростых групп и алгебр Ли, в частности, формулируются теоремы Данкина Е.Б. и Мантурова О.В. о разложении кронекеровских произведений полупростых алгебр в прямую сумму неприводимых компонент. 1.2 посвящен обозначениям типов симметрии тензоров в терминах схем Дшкина. Определения типов симметрии даны по ортогональной (комплексной специальной) и унимодулярной Ы (fl,) группе см. опр. 1.2.3 и 1.2.I). Связь между двумя определениями устанавливает лемма 1.2.4. Определения операций симметризации и альтернирования представлений даны в 1.3. Здесь же рассматриваются леммы 1.3.I и 1.3.2, доказанные Мантуровым О.В., об ограничении представлений некоторых групп на их подгруппы. В лемме 1.3.3 доказаны формулы, по-видимому известные, о симметризации и альтернировании представлений полупростых групп.
В нашей диссертации исследуется динамическая устойчивость упругой цилиндрической оболочки, имеющей несовершенства срединной поверхности. Оболочка шарнирно оперта по торцам и находится под действием осесимметричной системы динамических нагрузок: продольного краевого усилия и давления.
В качестве начальных возмущений рассматривались прогибы оболочки и радиальные скорости точек срединной поверхности. В качестве постоянно действующих возмущающих факторов приняты несовершенства срединной поверхности оболочки, так как их учет приводит к неоднородным уравнениям возмущенного движения оболочки. Возмущающие факторы и возмущения представлялись в виде разложений по формам собственных движений оболочки. Применением процедуры Бубнова-Галеркина уравнения движения оболочки в возмущениях сводились к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. В пространстве коэффициентов разложения возмущающих факторов и возмущений были ограничены области начальных возмущений, возмущающих сил и допустимых возмущений.
