Содержание к диссертации
Введение
1 Магнитное пересоединение 16
1.1 Магнитное пересоединение - механизм преобразования энергии в плазме 16
1.2 Эффект Холла и скорость пересоединения 22
1.3 Модель пересоединения Свита-Паркера 26
1.4 Модель пересоединения Петчека. Скейлинг 29
1.5 От альфеновских волн к вистлерам 34
1.6 Электронная диффузионная область 39
1.7 Приближения HMHD и EHMHD 41
1.8 Формулировка проблемы 47
1.8.1 Основные черты холловского пересоединения . 47
1.8.2 Постановка задачи 49
2 Модель антипараллельного пересоединения в несжимае мой плазме 51
2.1 Рептение системы уравнений EHMHD 51
2.1.1 Формулировка задачи 51
2.1.2 Потенциалы 53
2.1.3 Уравнение Бернулли 54
2.1.4 Замена переменных 57
2.1.5 Уравнение Грэда-Шафранова 59
2.1.6 Рептение. Сводка формул 60
2.2 Свойства решения 63
2.2.1 Правая часть уравнения Грэда-Шафранова. Функция G(A). Оценки величин 63
2.2.2 Линейное приближение по А. Магнитное поле Ву . 69
2.3 Сводка результатов 72
2.4 Пример простейшей модели 75
2.5 Резюме 87
3 Обобщения модели 80
3.1 Сжимаемая плазма 89
3.1.1 Модификация уравнений 89
3.1.2 Решение для потенциалов ЛиФе 91
3.1.3 Движение протонов 95
3.1.4 Сводка формул и результатов 97
3.2 Наличие ведущего поля 100
3.2.1 Аналитическое решение 100
3.2.2 Исследование решения 102
3.3 Резюме 105
4 Сравнение с кинетическим моделированием 115
4.1 Описание численной модели 115
4.2 Граничные условия и параметры аналитической модели 117
4.3 Сравнение результатов 121
4.4 Резюме 124
Заключение 130
Литература 134
- Эффект Холла и скорость пересоединения
- Основные черты холловского пересоединения
- Замена переменных
- Решение для потенциалов ЛиФе
Введение к работе
Настоящая диссертация посвящена разработке аналитической модели стационарного магнитного пересоединения в квазинейтральной бесстолкновительной плазме на бесконечном токовом слое. Модель строится в двухжидкостном приближении с использованием приближения электронной холловской магнитогидродинамики (EHMHD -electron Hall MHD). Метод основан на решении уравнения Грэда-Шафранова для магнитного потенциала и уравнения Бернулли для движения протонов. На основе полученного решения этих уравнений построена модель пересоединения в несжимаемой и сжимаемой плазме при произвольном значении величины ведущего поля. Проведено сравнение модели с результатами численного моделирования методом particle-in-cell (РІС). Оба метода демонстрируют хорошее соответствие: структуры распределений физических параметров, полученные двумя сравниваемыми методами, качественно совпадают, количественные различия характеризуются коэффициентом порядка 1.
Актуальность темы. В современной физике плазмы большое внимание уделяется процессам быстрого преобразования энергии магнитного поля в кинетическую и тепловую энергию плазмы. Для космической физики особенно важно исследование выделения энергии, накопленной в тонких токовых слоях. Процессы распада токового слоя, сопровождаемые топологической перестройкой магнитного поля, ускорением и нагревом плазмы, ответственны за такие явления, как вспышки на Солнце [9| и звездах [5j, пзаимодейстие солнечного ветра с магнитосферой Земли [1, 11, 51, 54] и других планет [63], магнитосферные суббури [14, 31], неустойчивости срыва в тока-маках [4] и др.
Исследования, посвященные процессам быстрого распада токового слоя, проводятся, начиная с 50-х годов прошлого века. Модели, предложенные для объяснения этого класса явлений, известны под общим названием теории магнитного пересоединения. Из магнитогидродинамических (МГД) моделей пересоединения наибольшую известность получили модели Свита-Паркера [87| и [125] и, чуть позже, Петчека [89]. Модель Петчека оказалась предпочтительной для для объяснения явлений в космической плазме, так как эффективность пересоединения, предсказываемая этой
моделью, оказалась гораздо выше, чем в модели Свита-Паркера. Принципиальной особенностью петчековского пересоединения является механизм быстрого преобразования энергии, который заключается в распаде токового слоя на систему ударных волн, на фронтах которых происходит ускорение плазмы.
С момента опубликования работы Петчека исследованию этой модели было посвящено большое количество научных работ. Были получены экспериментальные подтверждения реализации петчековского механизма пересоединения в магнитосфере, было проведено множество численных экспериментов. Развита была и теория Петчека: получены аналитические решения для нестационарного пересоединения, пересоединения в сжимаемой среде, трехмерного пересоединения [13, 107, 108]. Однако, по сравнению с достижениями компьютерного моделирования, аналитическая теория развита недостаточно. В частности, было установлено, что для развития сценария, описываемого петчековской моделью (построенной в рамках МГД приближения), необходимо наличие неоднородной проводимости плазмы, проявляющейся в присутствии локализованного аномального сопротивления. Появление такого сопротивления в бесстолкновительной плазме, каковой, в частности, является плазма земной магнитосферы, может вызываться развитием микронеустойчивостей, например, нижнегибридной неустойчивости, бунемановской, ионно-акустической или иных. Однако, потребность в неустойчивостях отпадает, если в законе Ома учесть член, описывающий эффект Холла. За счет этого эффекта происходит генерация дисперсионных волн (вистлеров), поддерживающих петчековскую конфигурацию и способ преобразования энергии. На сегодняшний день численными экспериментами подтверждена эффективность такого механизма, называемого иногда холловским пересоединением, а спутниковыми наблгоденими неоднократно зафиксированы его характерные проявления. Однако, в связи с математическими трудностями, удовлетворительной аналитической модели холловского пересоединения до сих пор не создано. В то же время, потребность в ней ощутима, поскольку исследование процесса магнитного пересоединения численными методами требует огромных вычислительных ресурсов, зачастую отсутствующих. Кроме того, как мы покажем в нашей работе, аналитическая модель позволяет более глубоко понять физическую природу и механизмы этого явления.
Целью настоящей работы является разработка аналитической модели стационарного магнитного пересоединения в квазинейтральной бесстолкновительной плазме на бесконечном токовом слое; построенние модели необходимо осуществить для процесса, описанного в рамках двухжидкостного приближения с использованием приближения электронной холловской магнитогидродинамики. Целью построения этой модели является выявление необходимых условий для осуществления процесса пересоединения, выяснение энергетических аспектов пересоединения, а также выявление взаимосвязей, существующих между физическими величинами в плазме в ходе
пересоединения.
На защиту выносятся:
Метод рептения системы уравнений электронной холловской магнитогидродинамики, разработанный для стационарного случая при наличии трансляционной симметрии вдоль одной из координатных осей и при условии бездивергентного течения электронной компоненты плазмы, и основанный на решении двух уравнений: уравнения Бернулли для движения протонов и уравнения Грэда-Шафранова для потенциала магнитного поля в плоскости пересоединения;
Аналитическая модель стационарного магнитного пересоединения в бесстолк-новительной квазинейтральной плазме, построенная на основе полученного рептения в приближении тонкого погранслоя, и дающая наглядное представление о природе и взаимосвязи таких характерных особенностей холловского пересоединения, как
квадрупольная структура магнитного поля пересоединения и
соответствующая структура электронных холловских токов,
структура электрических полей пересоединения и
ускорение протонов до альфвеновской скорости под действием этих полей;
3. Необходимые условия такого пересоединения, выявленные построенной моде
лью:
ускорение электронов в направлении Х-линии до скорости порядка электронной альфвеновской в окрестности сепаратрис магнитного поля, включая электронную диффузионную область;
скачок электрического потенциала через сепаратрисы магнитного поля, имеющий величину порядка В%/(4:іте), где Во есть величина магнитного поля на верхней границе EHMHD области, над Х-линией, а п и е есть концентрация частиц и величина элементарного заряда, соответственно.
Научная новизна:
1. Впервые показано, что система уравнений для плазмы, описанной в рамках двухжидкостного приближения с использованием приближения электронной холловской магнитогидродинамики, в стационарном случае, при наличии трансляционной симметрии вдоль одной из координатных осей, и при условии бездивергентного течения электронной компоненты плазмы, сводится к системе из
двух уравнений: уравнению Грэда-Шафранова для потенциала магнитного поля в плоскости пересоединения, и уравнению Бернулли для скорости протонов.
Впервые получено полное самосогласованное решение этих уравнений в приближении тонкого пограничного слоя.
На основе полученного решения впервые разработана аналитическая модель стационарного магнитного пересоединения в бесстолкновительной плазме на бесконечном токовом слое (с бесконечной Х-линией).
С помощью разработанной модели впервые выявлена ключевая роль ускорения электронов в направлении Х-линии, а также связь скорости электронов с электрическим потенциалом и связь между величиной падения этого потенциала и скоростью протонов, - таким образом, выявлены необходимые условия осуществления стационарного пересоединения.
Практическая ценность. Научная ценность предложенной модели состоит в простом, но адекватном описании магнитного пересоединения в бесстолкновительной плазме, в частности, его энергетических аспектов. Построенная модель позволяет исследовать взаимосвязь между плазменными характеристиками, а также выявить вклад диффузионной области во всех тех случаях, когда пересоединение может быть описано в рамках электронной холловской МГД. Таким образом, модель, как исследовательский инструмент, имеет тпирочайтпую область применимости, в которую входят явления, связанные с магнитным пересоединением, развивающиеся в магнитосфере Земли и других планет, в солнечном ветре, в солнечных вспышках и других астрофизических процессах, а также в лабораторных плазменных установках.
Личный вклад автора. Автор участвовал в разработке модели, метода решения, его реализации в среде Matlab и в сравнении модели с данными численного моделирования. Все изложенные в диссертации результаты получены автором самостоятельно или на равных правах с соавторами.
Апробация работы. Представленные в работе результаты докладывались на семи международных конференциях: 36th COSPAR Scientific Assembly (Пекин, Китай, 2006), 29th and 31th Annual Seminars "Physics of Auroral Phenomena" (Апатиты, Россия, 2006, 2008), International Conferences "Problems of Geocosmos" (Санкт-Петербург, Россия, 2006, 2008), EGU General Assembly (Вена, Австрия, 2008), "The 9th International Conference on Substorms" (Сеггау, Австрия, 2008), а также на всероссийских конференциях "Физика плазмы в солнечной системе" (Москва, Россия, 2008 и 2009).
Публикации. По теме диссертации опубликованы 4 статьи в научных рецензируемых журналах и 4 статьи в сборниках трудов научных конференций.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 144 наименований и приложения; содержит 147 страниц машинописного текста, включая 46 рисунков.
Содержание работы.
Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы цель работы и выносимые на защиту положения, отмечена научная новизна и практическая ценность, кратко изложено содержание работы.
Первая глава вводит читателя в круг обсуждаемых проблем. В ней описывается процесс магнитного пересоединия и его роль, как широкораспростаненного природного феномена. Описываются основные механизмы пересоединения, дается представление об основных существующих моделях этого процесса, перечисляются основные его черты, являющиеся твердо установленными на сегодняшний день.
В разделе 1.1 дается краткое изложение истории изучения магнитного пересоединения, условий его осуществления, основных подходов к моделированию этого процесса.
В разделе 1.2 рассматривается обобщенный закон Ома в плазме, вклад эффекта Холла, его роль в моделировании пересоединения.
В разделе 1.3 обсуждается модель пересоединения Свита-Паркера, являющаяся фундаментальной моделью этого процесса.
В разделе 1.4 обсуждаются модели пересоединения Петчека и Соннерапа, являющиеся первыми моделями быстрого пересоединения.
В разделе 1.5 обсуждается динамика вистлеров, являющихся механизмом поддержания петчековской конфигурации, и, следовательно, петчековского механизма быстрого пересоединения.
В разделе 1.6 обсуждаются процессы, происходящие внутри электронной диффузионной области, не поддающейся аналитическому моделированию.
В разделе 1.7 дается описание приближения электронной холловской магнито-гидродинаими и основных результатов, полученных при исследовании пересоединения в этом приближении, в частности, решение Бискампа. Также дается обзор других
моделей, построенных в HMHD и EHMHD приближениях.
В разделе 1.8 дается формулировка стоящей перед автором проблемы.
В подразделе 1.8.1 сводятся воедино все основные сведения предыдущих разделов, таким образом, дается описание наиболее ключевых характеристик процесса пересоединения.
В подразделе 1.8.2 дается концептуальная формулировка стоящей перед автором задачи.
Вторая глава посвящена разработке аналитической модели стационарного антипараллельного магнитного пересоединения в квазинейтральной бесстолкновитель-ной несжимаемой плазме на бесконечном токовом слое. Построенние модели осуществляется для процесса, описанного в рамках двухжидкостного приближения с использованием приближения электронной холловской магнитогидродинамики.
В разделе 2.1 решается система уравнений двухжидкостного приближения с использованием приближения электронной холловской магнитогидродинамики.
В подразделе 2.1.1 дается математическая формулировка поставленной задачи.
В подразделе 2.1.2 вводятся потенциалы электрического и магнитного полей, функции тока для скорости протонов и электронов.
В подразделе 2.1.3 выводится и решается в приближении тонкого пограничного слоя уравнение Бернулли, описывающее движение протонов.
В подразделе 2.1.4 производится замена переменных: декартовых координат в плоскости пересоединения на потенциал магнитного поля и функцию тока электронов.
В подразделе 2.1.5 выводится и решается в приближении тонкого пограничного слоя уравнение Грэда-Шафранова для потенциала магнитного поля.
В подразделе 2.1.6 приводится сводка полученных формул, составляющих полное решение поставленной задачи.
В разделе 2.2 обсуждаются свойства полученного решения.
В подразделе 2.2.1 обсуждаются свойства правой части уравнения Грэда-Шафранова
- функции G, зависящей от магнитного потенциала, метод построения модели
на основе полученного решения, обсуждаются его энергетические аспекты, получаются оценки основных физических величин.
В подразделе 2.2.2 строится решение в линейном приближении по магнитному
потенциалу, выводится формула оценки магнитного поля пересоединения.
В разделе 2.3 приводится сводка полученных результатов, описываются основные черты полученного решения.
В разделе 2.4 строится простейшая модель стационарного антипараллельного магнитного пёресоединения в бесстолкновительной несжимаемой плазме на бесконечном токовом слое.
В разделе 2.5 приводится обсуждение построенной модели.
Третья глава посвящена обобщению построенной модели на случай сжимаемой плазмы и на случай наличия ведущего поля.
В разделе 3.1 проводится обобщение построенной модели на случай сжимаемой плазмы при отсутствии ведущего поля.
В подразделе 3.1.1 проводится модификация исходных уравнений с учетом сжимаемости.
В подразделе 3.1.2 находится решение для потенциала магнитного поля и функции тока электронов в приближении бездивергентного течения электронной компоненты плазмы и в предположении о независимости электрического потенциала от магнитного поля пересоединения. Решение для потенциала магнитного поля находится в приближении тонкого пограничного слоя.
В подразделе 3.1.3 в приближении тонкого пограничного слоя находится решение уравнения Бернулли в сжимаемом случае.
В подразделе 3.1.4 приводится сводка формул и полученных результатов, приводится полное решение задачи.
В разделе 3.2 рассматривается обобщение на случай произвольного ведущего поля.
В подразделе 3.2.1 приводится аналитическое решение поставленной задачи.
В подразделе 3.2.2 проводится исследование модели, построенной на основе полученного решения.
В разделе 3.3 приводится обсуждение построенной модели.
В Четвертой главе проводится сравнение аналитической модели с кинетической, рассчитанной методом particle-in-cell.
В разделе 4.1 дается описание кинетической модели.
В разделе 4.2 из кинетической модели извлекаются граничные условия и параметры аналитической модели.
В разделе 4.3 проводится сравнение результатов кинетического моделирования с результатами, полученными применением аналитической модели.
В разделе 4.4 проводится анализ эффективности построенной модели на основе проведенного сравнения.
В Заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.
В Приложении излагается теоретическое обоснование принятого в разделе 3.1.2 допущения о независимости электрического потенциала от магнитного поля пересоединения в приближении стратифицированного потока.
Основные результаты. Показано, что система стационарных уравнений двух-жидкостного приближения с использованием приближения EHMHD в 2.5-мерном случае и при условии бездивергентного течения электронной компоненты плазмы сподится к системе из двух уравнений: уравнения Бернулли для скорости протонов и уравнения Грэда-Шафранова для потенциала магнитного поля в плоскости пересоединения.
Получены решения этих уравнений в приближении тонкого пограничного слоя; из полученных решений найдены все динамические и электромагнитные параметры плазмы, -то есть построено полное самосогласованное решение поставленной задачи в полном пространстве области применимости EHMHD.
Полученное решение позволило построить аналитическую модель пересоединения, которая помогла прояснить физический механизм этого процесса и выявить взаимосвязь плазменных характеристик. В том числе,
1. Показано, что для осуществления стационарного пересоединения необходимо существование, во-первых, области, в которой нарушается условие вморожеи-ности магнитного поля в электронную жидкость, - электронной диффузионной области, EDR, а во-вторых механизма, обеспечивающего разгон электронов в
направлении Х-линии до скоростей порядка электронной альфвеновской скорости, как внутри EDR, так и в окрестности сепаратрис магнитного поля.
Установлено, что экстремальное значение этой скорости, равно как и экстремальная величина нормальной компоненты электрического поля определяются поперечным (то есть поперек слоя) размером EDR, демонстрируя обратнопро-порциональную зависимость от этого размера.
Показано, что ускорение протонов осуществляется за счет сил электрического поля, распределение потенциала которого также определяеятся распределением скорости электронов в направлении Х-линии. При этом перепад потенциала вдоль траектории протона зависит только от величины магнитного поля Д> на верхней границе области EHMHD, непосредственно над Х-линией. Величина этого перепада потенциала имеет значение примерно В%/(8тте) в области втекания и еще столько же - в области ускорения, то есть всего « В$/(4тгпе) (точное равенство достигается на предельной траектории, лежащей на координатных осях). Такой перепад потенциала обеспечивает преодоление протонами сил давления и их разгон ровно до альфвеновской скорости в центре слоя.
Проведенное сравнение с данными кинетического моделирования бесстолковитель-ного пересоединения показало, что построенная модель дает вполне адекватное представление этого процесса. Распределения физических параметров, полученные двумя сравниваемыми методами, качественно совпадают, количественные различия характеризуются коэффициентом порядка 1. При этом по сравнению наиболее существенных характеристик пересоединения получены следующие результаты:
по пространственному расположению области ускорения, которое можно охарактеризовать отноптением ее поперечного размера на выходе из области к продольному - совпадение с точностью до 30%;
по профилю скорости электронов вдоль токового слоя в его центре - совпадение с точностью до значения скорости, набираемой электронами внутри EDR, которая находится за рамками применимости приближения EHMHD;
по профилю скорости протонов в направлении Х-линии вдоль токового слоя в его центре - совпадение с точностью до величины фонового тока в Х-линии;
по профилю скорости протонов вдоль токового слоя в его центре - совпадение с точностью до 20%;
по экстремальному значению магнитного поля пересоединения - совпадение с точностью до 3%.
По теме диссертации опубликованы следующие работы:
Korovinskiy D.B., Semenov V.S., Erkaev N. V., and Biernat H. Theoretical Model of the Steady-State Magnetic Reconnection in Collisionless Incompressible Plasma II 6th International Conference "Problems of Geocosmos": Proc. of the intern, conf. 23-27 May 2006 / Eds. by V.N. Troyan, V.S. Semenov, M.V. Kubyshkina. - SPb., Russia: WM com. Ltd, 2006 - P. 104-107.
Korovinskiy D.B., Semenov V.S., Erkaev N.V. Theoretical model of steady-state magnetic reconnection in the electron Hall magnetohydrodynamics approximation II 29th Annual Seminar: Proc. of the intern, seminar 27 February - 3 March 2006. - Apatity, Russia: Print. Kola Science Centre RAS, 2007. - P. 92-95.
Korovinskiy D.B., Semenov V.S., Erkaev N. V., Biernat H., Penz T. Theoretical model of steady-state magnetic reconnection in collisionless incompressible plasma based on the Grad-Shafranov equation solution // Adv. Space Res. - 2008. - Vol. 41. - P. 1556-1561.
Korovinskiy D.B., Semenov V.S., Erkaev N. V., Divin A. V., and Biernat H.K. The 2.5-D analytical model of steady-state Hall magnetic reconnection // J. Geophys. Res. - 2008. - Vol. 113. - P. .
Korovinskiy D., Semenov V., Divin A., and Biernat H. Analytical model of collisionless reconnection based on the solution of Grad-Shafranov equation compared to the PIC simulations // 7th international conference "Problems of Geocosmos": Proc. of the intern, conf. 26-30 May 2008 / Eds. V.N. Troyan, M. Hayakawa, V.S. Semenov. - SPb, Russia, 2008. - P. 134-139.
Divin A. V., Semenov V.S., and Korovinskiy D.B. Structure of electron diffusion region of the reconnection process II Ibid. - P. 63-69.
Semenov V., Korovinskiy D., Divin A., Erkaev N., and Biernat H. Collisionless magnetic reconnection: analytical model and PIC simulation comparison // Ann. Geophys. - 2009. - Vol. 27. - P. 905-911.
Коровинский Д.Б., Дивин А.В., Семенов B.C. Сравнение аналитической модели бесстолкновительного магнитного пересоединения, построенной на базе решения уравнения Грэда-Шафранова, с кинетической, рассчитанной методом Particle-in-Cell // Вестник Санкт-Петербургского Университета. - 2009. - Сер. 4. - Вып. 1. - С. 28-36.
Эффект Холла и скорость пересоединения
С прогрессом вычислительной техники началось активное численное моделирование процесса пересоединения. Двумерное моделирование в рамках резистивной МГД подтвердило существование механизмов Свита-Паркера и Петчека и выявило условия, при которых они могут реализопываться. Если сопротивление в токовом слое пространственно однородно, пересоединение протекает по механизму Свита-Паркера [26, 105]. Если же сопротивление неоднородно, причем область повышенного сопротивления - диффузионная область - локализована в небольшой части токового слоя, устанавливается режим Петчека с характерными для него ударными волнами [105,130, 131, 132,133]. При этом внутри самой диффузионной области по-прежнему действует медленный механизм Свита-Паркера, а вне ее - быстрый механизм Петчека [45]. Физически, роль диффузионной области состоит в том, что внутри нее нарушается условие вмороженности магнитного поля в плазму, поэтому только там топология магнитного поля может меняться. Т. о., падение проводимости в диффузионной области выступает в качестве "спускового крючка" пересоединения. Однако, за счет чего может уменьшаться проводимость в бесстолкновительной (например, маг-нитосферной) плазме? Ответ на этот вопрос дает анализ обобщенного закона Ома, который в бесстолкновительной плазме имеет вид [27: где п - концентрация частиц (предполагается квазинейтральность плазмы), тпе -масса электрона и Ре - тензор электронного давления. Для лучшего понимания этой формулы удобно переписать ее в безразмерном виде. Для этого мы введем нормированные величины: магнитное поле В/Д — В, массовую скорость V/VA — V, напряженность электрического поля Е/І?д Е, тензор давления Ре/Ро — Ре, концентрацию п/по — п, плотность тока j/j o — j и пространственные координаты v/L —+ г. Здесь BQ есть величина магнитного поля па бесконечности2 над Х-линией, По - концентрация частиц там же, Уд = Во/у/4тгп,оГПі - альфеновская скорость ионов, ЕА = (1/с)УдВо - альфвеновское электрическое поле, PQ = ВЦАк, jo = CBQ/(4TTL) И г = (ж, у, z). Теперь мы можем переписать уравнение (1.1) следующим образом: где йі е = c/uJi e есть инерционная длина ионов и электронов, соответственно, а ШІІЄ — у/4ттпе2/ті)Є - их плазменные частоты. Отсюда видно, что вдали от Х-линии, на масштабах больших по сравнению с инерционной длиной иона (протона), в правой части уравнения (1.2) всеми слагаемыми, кроме первого, можно пренебречь, и закон Ома тогда прибретает обычный для идеальной МГД вид условия вмороженности. Однако на меньших маснгтабах, сравнимых с величиной di, приобретают значение два следующих слагаемых правой части. На еще меньшем масштабе, порядка de, становится заметным вклад инерционных эффектов, описываемый следующим членом уравнения.
Что же касается последнего слагаемого, учитывающего вклад сопротивления, то в бесстолкновительной плазме оно пренебрежимо мало, в том числе и при учете аномального сопротивления [127. Как показывает более детальное изучение, вклад дивергенции тензора электронного давления на масштабах порядка d{ - на этом масштабе тензор с высокой степенью точности может считаться гиротропным, и даже изотропным - является незначительным [27]. Поэтому на масштабе di на первый план выступает член пропорциональный произведению j х В, описывающий вклад эффекта Холла. Действие этого эффекта заключается в том, что магнитное поле перестает быть вмороженным в плазму, однако становится вмороженным в ее электронную компоненту. Дестви-тельно, уравнение Под бесконечностью здесь понимается перхняя граница рассматриваемой области. может быть легко переписано в виде условия вмороженности где Ve есть массовая скорость электронов. Это означает, что на таких масштабах движение ионов и электронов становится независимым, в том смысле, что ионы перестают "чувствовать"магнитное поле, а электроны остаются замагниченными. Эта замагниченность (по-прежнему препятствующая изменению топологии магнитного поля, т.е., пересоединению) сохраняется до тех пор, пока ее не разрушают тепловые эффекты3 или эффекты, связанные с инерцией электронов [43, 76, 137]. С гидродинамической точки зрения размагничивание электронов приводит к появлению анизотропного тензора электронного давления, дивергенция которого становится главным членом в законе Ома (1.1) [30, 75, 77, 137[. Это происходит на масштабах (поперек слоя) порядка инерционной длины электрона de или чуть больтпих, в зависимости от электронной температуры [25], внутри, так называемой, электронной диффузионной области (EDR - electron diffusion region). Итак, окрестность Х-линии на масштабах превосходящих d{ является областью применимости классической МГД, а на масштабах сравнимых с d{ описывается уравнениями Холл-МГД. Здесь за счет электрических токов, создаваемых относительным движением ионов (размагниченных) и электронов (замагниченных) создается магнитное поле, обладающее характерной квадрупольной структурой [124, 126], являющееся одним из наблюдаемых признаков холловского пересоединения (см. рис. 1.7).
Впоследствии было показано, что в этой области доминирующая роль переходит от альфвеновских волн к вистлерам, а вкладом движения протонов в электрический ток можно пренебречь по сравнению с движением электронов; таким образом, здесь оказывается применимо приближение EHMHD [27, 80], строящееся на аппроксимации Как оказалось, эффект Холла кардинально отражается на скорости пересоединения - наиболее важной характеристике этого процесса. Было проведено исследование зависимости скорости пересоединения от интенсивности и механизма диссипации. Численное моделирование всевозможными методами: гибридное моделирование с учетом сопротивления [80], двухжидкостное моделирование [28, 78] и кинетическое (РІС) [59, 116], - показало, что учет эффекта Холла приводит к тому, что скорость пересоединения становится независимой от интенсивности диссипации, в отличие от 3Теплопые эффекты приводят к разпитшо анизотропии тензора электронного давления, см. раздел 1.7 на с. 41. МГД моделей. В ходе последующего изучения в рамках проекта GEM Magnetic Re-connection Challenge [25] было установлено, что скорость пересоединения не зависит и от механизма диссипации. Также она не зависит от используемой величины отношения масс протона и электрона [59, 94, 97, 116] и от размера системы [67, 118]. Таким образом, было установлено, что ключевым элементом в моделировании быстрого магнитного пересоединения является учет эффекта Холла, который качественно меняет динамику происходящих процессов. Во всех моделях, рассчитанных с учетом этого эффекта, скорость пересоединения оказалась, практически, константой4 равной, приблизительно, 0.2, что демонстрирует рис. 1.2. Чтобы понять, чем обусловлено такое отличие Холл-МГД, необходимо более подробно рассмотреть физические механизмы процесса пересоединения. И начнем мы это рассмотрение с модели Свита-Паркера. -скому пересоединению. 4 Это постоянство, по-видимому, нарушается в некоторых особых случаях, таких как вынужденное пересоединение или пересоединение в режиме двойного тиринга (double tearing mode) [22, 56, 90, 138, 139]. Модель Свита-Паркера строится в рамках резистивной МГД, следующей системой уравнений [10]:
Основные черты холловского пересоединения
Итак, наша задача заключается в том, чтобы построить аналитическую модель стационарного магнитного пересоединения в бесстолкновительной плазме в приближении EHMHD. При этом мы предполагаем, что процесс обладает следующими свойствами: свойством трансляционной симметрии вдоль токового слоя; свойством зеркальной симметрии относительно токового слоя для абсолютных значений величин. Также мы предполагаем, что плазма обладает свойствами квазинейтральности; нерезистивности; несжимаемости; однородности электронной температуры. Свободным параметром модели является скорость пересоединения. Кроме того, мы будем считать, что вклад EDR определяется только ее размерами, которые мы будем обозначать символами Id - в плоскости токового слоя, напоперек слоя. Под EDR мы будем понимать собственно область пересоединения силовых линий, т. е., внутреннюю EDR. Основываясь на материале предыдущей главы, мы будем полагать, что Id dp и 8 de. Вне этой области тензор электронного давления близок к изотропному, поэтому мы будем оперировать скалярным электронным давлением. Систему координат мы выберем так, как это изображено на рис. 1.1 на с. 21: ось х лежит в плоскости слоя и совпадает с направлением магнитного поля на бесконечности (в верхней полуплоскости), ось у совпадает с направлением тока до начала пересоединения, и ось z перепендикулярна им обеим. При таком выборе системы координат свойство трансляционной симметрии означает, что все электромагнитные и динамические характеристики плазмы независимы от координаты у : д/ду = 0. При этом сами у-компоненты величин из рассмотрения не выпадают1. Введем также обозначение J., которым мы будем пользоваться для обозначения векторных величин, лежащих в плоскости xz. Математическая формулировка задачи дается следующей системой уравнений: где все обозначения тождественны введенным в предыдущей главе.
В законе Ома (2.2) справа должно стоять слагаемое, пропорциональное градиенту электронного давления, однако при условии однородности концентрации и температуры это слагаемое обнуляется. Из закона Фарадея (2.4) следует, что /-компонента электрического поля постоянна. В предположении о слабом пересоединении, мы можем представить ее в виде: 1 Такие задачи принято называть 2.5-мерными. где є - скорость пересоединения, являющаяся малым параметром задачи. Здесь же мы хотим заранее обсудить свойства полного давления П = Рр +-(1/8п)(В%+Ву+В%) в рассматриваемой нами области. Постоянство полного давления поперек области, вдоль оси z, является прямым следствием малости параметра е и связанного с этим скейлинга, о чем была речь в разделе 1.4. Так что, фактически, полное давление является одномерной функцией от х. Следовательно, распределение полного даления П(ж) в EHMHD-области задается его распределением на верхней границе области Utop(x). Границы EHMHD-области лежат на таком расстоянии от Х-линии, на котором падает значение эффекта Холла, и вместо приближения Холл-МГД начинает работать обычная магнитогидродинамика. Как мы видели, в МГД-области должно быть (и есть) свое решение задачи о пересоединении. Таким образом, распределение давления Піор(х) должно определяться решением в МГД-области и является, по сути, условием для сшивания решений. Поскольку сшивание решений в МГД и EHMHD приближениях выходит за рамки нашей задачи, мы можем задать граничное условие - функцию U.top(x) - произвольно. В простейшем случае мы можем полагать П = П4ор = const, и для получения точного решения мы используем это предположение, но при построении аналитического решения мы будем использовать только постоянство П поперек слоя. Наконец, стоит отметить, что уравнения (2.1-2.6) не содержат никакой информации о EDR. Тем не менее, ее размеры можно учесть в решении, если преобразовать уравнения к другому виду, что мы и сделаем в следующих разделах. В целях упрощения нашей задачи удобно переписать систему уравнений (2.1-2.6) в безразмерном виде. Для этого мы проведем нормировку всех величин по процедуре, описанной в разделе 1.2. А именно: В/Во - В, V/Уд — V, E/JEU — Е, Рр/Ро — РР, п/щ — п, и v/dp — г. Здесь BQ есть величина магнитного поля над Х-линией на верхней границе рассматриваемой области, По - концентрация частиц там же, Уд = BQ/у/4ттоТПр - альфеновская скорость протонов, Ел = (1/с)УдБо - альфвеновское электрическое поле, PQ = ?о/4тг, и г = (x,y,z).
В дальнейшем изложении, кроме особо оговоренных случаев, мы будем считать все величины нормированными. Закон Гаусса и уравнение неразрывности для нормированных величин имеют тот же самый вид, что и соответствующие уравнения (2.5) и (2.6). Они позволяют нам ввести магнитный потенциал А(х, z) и функции тока Фр,е(#, z) для, соответственно, скорости протонов и электронов в плоскости пересоединения: Закон Ампера в безразмерном виде принимает вид: Легко видеть, что, согласно этому закону, компонента магнитного поля Д, удовлетворяет уравнению (2.9), то есть она и является функцией тока Фе. Согласно тому же закону Ампера, Введем также потенциалы электрического поля Ф(х, z\ у) и ф(х, z): Теперь мы можем переписать уравнение движения (2.1) и закон Ома (2.2) в следующем виде: где мы выразили давление протонов через полное и магнитное давления. Таким образом, у нас остается шесть уравнений - (2.14) и (2.15) - для тести неизвестных: А, ф, Фе, Фр, П, Vpy. Рассмотрим уравнение движения протонов. Применяя векторное тождество (Vp V)VP = 2 72 — Vp х V х Vp и домножая скалярно уравнение (2.14) на скорость протонов Vp, получаем уравнение Бернулли: Уравнение (2.16) является точным, но, к сожалению, мы не можем его решить, даже если знаем все потенциалы, потому что туда входят все три компоненты протонной скорости. Поэтому вернемся к уравнению (2.14) и рассмотрим две его компоненты, лежащие в плоскости пересоединения: Заметим, что, согласно определению потенциала ф и закону Ома, справедливо равенство V±ф = [Ve х ВЦ. Поскольку в области EHMHD скорость электронов много больше скорости протонов, мы, в первом приближении, можем пренебречь слагаемым [Vp х B]j_ по сравнению с V хф. Покажем это нагляднее. Для этого мы представим его в виде суммы днух слагаемых: откуда Теперь, пользуясь тем же векторным тождеством и домножая уравнение (2.17) на Vpx, получаем: Правую часть уравнения (2.19) можно представить иначе. Поскольку то из (2.18) следует, что Выражение [Vp х В]у есть ничто иное, как якобиан замены переменных (х, z) — (А, Фр), который мы обозначим буквой а:
Замена переменных
Как известно, условие магнитогидродинамического равновесия имеет следующий вид [81: В 2.5-мерных, как и ната, моделях это условие приводит к уравнению Грэда-Шафранова на потенциал магнитного поля [103J: где А± обозначает двумерный оператор Лапласа. Уравнение (2.36) очень похоже на уравнение (2.15), особенно если учесть, что в EHMHD приближении j = — neVe. Поэтому можно ожидать, что преобразование уравнения (2.15) приведет к похожему результату. Умножая уравнение (2.15) один раз на вектор Ve скалярно, а другой раз, тоже скалярно, на вектор В, получим два уравнения: Используя определения частных производных по А и по Фе, данные выражениями (2.34) и (2.35), мы можем написать: дф дА дф 0Фе S = Vey, (2.40) = Фе. (2.41) С учетом того, что А и Фе являются независимыми переменными, интегрирование уравнения (2.41) дает: ЯАФе) = іфеЧ(Л), (2.42) где G{A) есть некая неизвестная функция. Отметим в скобках, что при подстановке этого решения в уравнение Бернулли (2.16) и все последующие формулы раздела 2.1.3, в том числе в формулу (2.28), оказывается, что слагаемое, пропорциональное величине Ву (которая тождественно равна Фе), сократцается, и протоны магнитного поля Ву "не чувствуют". Наконец, вспоминая, что Vey есть ничто иное, как А±А, и подставляя решение (2.42) в уравнение (2.40), получаем уравнение Грэда-Шафранова на потенциал А: Для решения этого уравнения мы снова воспользуемся скейлингом погранслоя: д/дх 1, d/dz І/є. Пренебрегая второй производной по х ( 1) по сравнению со второй производной по z ( І/є2), мы получим приближенное уравнение Умножая его на dA/dz, мы получаем новое уравнение: интеграл которого имеет вид: где С (я) есть неизвестная функция. Конкретный вид этой функции легко установить, если учесть, что dzA = —Вх. Поскольку на оси х компонента магнитного поля Вх = О из симметрии, то Теперь мы можем выписать решение уравнения (2.46): где знак перед интегралом положителен в верхней полуплоскости и отрицателен в нижней. Таким образом, мы полностью решили задачу, сформулированную системой уравнений (2.1-2.6). Прежде, чем перейти к анализу полученных результатов, полезно будет собрать их все воедино. Итак, для решения системы уравнений (2.1-2.6) мы первым делом нормировали все величины на их характерные значения. Затем мы ввели потенциалы для векторных функций, лежащих в плоскости пересоединения xz: потенциал магнитного поля А, потенциал электрического поля ф, а также функции тока Фе и Фр для векторов скорости электронов и протонов, соответственно. Кроме того, мы ввели потенциал полного электрического поля Ф(х, z; у) = ф(х, z) — еу. После этого наша задача свелась к решению системы из двух уравнений, (2.14) и (2.15), - уравнения движения протонов и закона Ома.
При решении этой системы мы предполагали, что полное давление П - известная функция, заданная на верхней границе рассматриваемой области. Уравнение движения протонов было сведено к уравнению Бернулли: которое было решено с использованием приближения погранслоя [18]. Второе уравнение этой системы было сведено к уравнению Грэда-Шафранова для потенциала магнитного поля которое также было решено в приближении погранслоя. Полное решение нашей задачи выражается следующими формулами: Отсюда мы получаем собственно решения для физических величин: Уравнения системы (2.53-2.57) выписаны в том порядке, в котором они должны ретпаться. Первым делом мы находим потенциал магнитного поля А из уравнения (2.53) по заданной функции G(A); о которой пойдет речь в следующем разделе нашей работы. Граничным условием для этого уравнения является значение магнитного потенциала на оси х, которое может быть найдено, если известно магнитное поле Bz(x) 0). Другим способом фиксировать граничные условия может быть задание магнитного поля В(х) = Btxop{x) - поля на верхней границе исследуемой области, что также будет показано в следующем разделе. По найденному потенциалу А мы определяем магнитное поле В х в плоскости пересоединения и электронную скорость Vey. Затем из уравнения (2.54) мы находим функцию тока электронов Фе? которой является компонента магнитного поля Ву. Заметим, что уравнение (2.54) имеет сингулярность в нуле, что объясняется отсутствием в нашей модели электронной диффузионной области. Поскольку интегрирование происходит по магнитной силовой линии, то эта сингулярность приведет в бесконечному значению поля Ву на сепаратрисе, так как именно она проходит через начало координат, где Вх = Bz = 0. Это эквивалентно возникновению бесконечного барьера на пути электронов. Дествительно, поскольку Vex = dBy/dz, то при приближении электрона к этому барьеру из области втекания его скорость Vex — —оо. То есть электроны будут "соскальзывать" вдоль сепаратрисы и упираться в начало координат. Поэтому интегрирование уравнения (2.54) необходимо проводить не от осей х, z, а от границы EDR (для тех силовых линий, которые через нее проходят, разумеется), а вклад EDR учитывать отдельно, о чем также будет речь в следующих разделах.
Таким образом, в нашем анализе появляется электронная диффузионная область, хотя ее не было в исходных уравнениях2. По найденным функциям G[A(x, z)] и Фе(ж, z) мы находим электрический потенциал (f (x,z), выражающийся элементарной формулой (2.55), и, таким образом, узнаем все компоненты электромагнитного поля и скорости электронов ф — Ех, Фе- VeX. Последние два уравнения нашей системы позволяют найти скорость протонов. Из уравнения (2.56) мы находим функцию тока Фр, для чего нам требуется граничное 2Фактически она появляется раныпе, при задании функции G(A), см. след. раздел. условие в виде полного давления Utop(x), и через Фр - скорость Vpx, а уравнение (2.57) служит нам для определения скорости Vpy. Теперь, когда ясна схема полученного решения, мы перейдем к обсуждению его физического смысла.
Решение для потенциалов ЛиФе
Решение уравнений (3.21) и (3.22) может быть получено при использовании дополнительного упрощающего предположения о бездивергентном течении электронной компоненты плазмы. В таком приближении уравнение неразрывности для электронной компоненты расщепляется на два уравнения: Сравнивая последнее уравнение с выражением (3.19), мы немедленно получаем, что Для решения уравнений (3.32) и (3.33) нам необходимо знать, как электрический потенциал ф зависит от Ву. На нашу удачу, результаты численного моделирования, проведенного группой Дрейка, говорят о том, что электрический потенциал не зависит, или слабо зависит от Ву (точность полученных данных не позволяет высказаться определеннее, см. рис. 3.1 на с. 95). Мы найдем решение уравнения (3.33) в предположении, что дф/дВу = 0. Обоснованием этого предположения, помимо данных моделирования, служат и некие соображения теоретического характера, которые мы приводим в приложении. Итак, сделав такое допущение, имеем: Заметим, что переход к несжимаемому случаю осуществляется устремлением п —» 1, то есть формальным устремлением Ву к нулю. В этом случае функция F(By) раскладывается в ряд, и, останавливаясь на первом члене ряда, получаем: F(By) (1/2)В . Таким образом, что совпадает с полученным ранее решением для несжимаемой среды ( 2.55 на с. 61). Согласно определениям (3.25) и (3.26) имеем: Подставляя сюда решение (3.35), получаем Интегрируя это уравнение, мы находим выражения для величин Ву и п, как функций от Фе: Графики этих функций представлены на рис. 3.2 на с. 100. Теперь, используя приближение погранслоя д/дх «С d/dz, из уравнения (3.32) мы получаем: с точностью до члена є2. Действуя способом, аналогичным описанному в предыдущей главе, - умножая на dA/dz и интегрируя, - получаем уравнение на z(A, Фе): решение которого имеет следующий вид: где обозначение AQ имеет прежний смысл, Ло = А(х, 0), а знак перед интегралом выбирается в зависимости от полуплоскости. Как мы видим, полученное ретпение также стремится к решению для несжимаемого случая ( 2.53 на с. 61) при п — 1. Выражение (3.35) дает нам представление о том, как ведет себя функция п(х, z). Своего максимального значения п = 1 концентрация достигает на координатных осях, где компонента магнитного поля Ву = 0 из симметрии. Минимальное же значение концентрации должно наблюдаться в области экстремума Ву, то есть вблизи магнитных сепаратрис, причем концентрация должна уменьшаться по мере удаления от Х-линии.
Наконец, относительная величина этого уменьшения пе велика, порядка 0.014- 0.1, поскольку, как было показано в разделе 2.2.2, значение Ву мало (см. также рис. 3.2 на с. 100). Поскольку концентрация частиц, очевидно, является аналитической функцией, решение (3.42) может быть разложено в ряд по величине и = 1 — п, а незначительность изменений концентрации позволяет остановиться на первом члене разложения. С помощью переменной и решение для z(A, Фе) может быть представлено в виде: Обрывая ряд на члене первой степени по и, и переходя к переменной п, получаем приближенное решение: В итоге мы получили итерационную схему для нахождения величин А, Фе и п, которыми определяются магнитное поле В, электрическое поле Е и скорость электронов Ve. Схема задается цепочкой уравнений: (3.43) для потенциала А — (3.28) для потенциала Фе — (3.39) для концентрации частиц — (3.43)... Решение уравнения движения протонов (3.14) также будет соответствовать логике решения в несжимаемом случае. Выпишем сначала у-компоненту этого уравнения: Согласно определениям 3.8 и 3.9 на с. 90, для величины [Vp х В]у получаем: где начальное условие Vpy(roi) определяется, как дрейфовая скорость на верхней границе рассматриваемой области. Используя определения потенциалов А и Фр, а также данное определение величины а, мы, повторяя выкладки раздела 2.1.4 на с. 57, получаем: Теперь вернемся снова к уравнению (3.14), которое мы перепишем в следующем виде: Повторяя преобразования раздела 2.1.3, - используя векторное тождество и умножая на Vp, - мы вновь получаем уравнение Бернулли, где слагаемое, пропорциональное grad п, исчезло после умножения на Vp, поскольку, согласно (3.48), Переходя к плоскости xz и повторяя все выкладки раздела 2.1.3, мы получаем еще одно уравнение Бернулли: где мы, как и в несжимаемом случае, пренебрегли слагаемым (—УрУа/п) в правой части уравнения. Интегрируя это уравнение, а затем домножая на г? и переходя к функции Фр, мы получаем уравнение в приближении погранслоя: Итак, мы рассмотрели случай сжимаемой плазмы, удовлетворяющей модели идеального газа при однородной температуре электронов. Мы показали, что закон Ома в такой плазме приводит к двум уравнениям на эффективный потенциал электрического поля ф : где ф = ф — In п, ф есть обычный потенциал электрического поля в плоскости пересоединения, А - магнитный потенциал, и Фе = Ву. Решение этих уравнений было получено при двух дополнительных предположениях. Предположении о бездивергентном течении электронной компоненты плазмы, при котором концентрация частиц становится функцией одной переменной, а именно, магнитного поля вне плоскости пересоединения, п = п(Ву). При таком предположении решение для потенциала ф имеет вид:
