Введение к работе
Актуальность темы. К условиям тауберова типа для двух заданных методов суммирования "верхнего" Р и "нижнего" Q ( обозначение TQ(Р) -условие ) относят условия на последовательность { ап }. достаточные цля того, чтобы суммируемый методом Р ряд I ап суммировался и методом 0_.
Изучение условий тауберова типа, появившихся в конце прошлого века в работах Таубера ( см., например, [1] ), занимает значительное иесто в теории суммирования рядов и ее приложениях. Различные важные зиды тауберовых условий, подходы к их исследованию и применению содер-катся, например, в таких известных работах, как [2-6], каждая из которых в свою очередь повлекла за собой серию работ, посвященных соответствующему виду условий. В представленной диссертации рассматриваются задачи в классической постановке, идущей от Таубера и Харди.
В 1897 году в работе [1] Таубером было доказано, что условие а„ = о(1/п) является Т(С0)((А)) - условием, где (А) - метод Абеля, ( С, а ) - метод Чезаро порядка а. В 1910 году Харди показал ( см. [7] ), что ап = 0( 1/п ) является Т(С,0)(( С, а )) - условием при
-
Tauber A. Eln Satz aus der Theorle der unendllchen Reihen // Monatsh. Math, und Phys. 1897. 8. 273-277.
-
Hardy G.H., Llttlewood J.E. Tauberian theorems concerning power series and Dirichlet's series whose coefficients are positive // Proc. London Math. Soc. 1914. 13, N 2. 174-191.
-
Szasz 0. Verallgemeinerung und neuer Beweis einiger Satze Tauberscher Art // Miinchner Sitzungsberlchte. 1929. 325-340.
1. Ingham A.E. Some tauberian theorems connected with the prime number theorem // J. London Math. Soc. 1945. 20. 171-180.
5. Ульянов П.Л. Сходимость и суммируемость // Труды Московского Мат. Общества. 1960. 9. 373-399.
3. Давыдов Н.А. (с)-свойство методов Чезаро и Абеля-Пуассона и теоремы тауберова типа // Матем. сб. 1963. 60, N 2. 185-206.
7. Hardy G.H. Theorems relating to the summablllty and convergence of slowly oscillating series // Proc. London Math. Soc. 1910. 8, N 2. 301-320.
- г -
любом а > 0 (в случае, когда "верхний" метод есть метод (А), этот результат тоже верен [8] ).
Вопрос о том, насколько можно улучшить результат Харди. оставался открытым до 1948 года, когда Лоренц в работе [9] наложил некоторое условие на последовательность неотрицательных чисел { сп } и установил, что оно является необходимым и достаточным для того, чтобы соотношение ап = 0(с„) было Т(С> о (Р) - условием, где Р - один из методов ( С, а ) с а > 0 или метод (А). Отметим, что для каждого из эти> методов условие оказывается одним и тем же. Но тогда возникает вопрос: не будет ли для любых а и ш таких, что 0 < ш < а, условие Лоренца необходимым и достаточным для того, чтобы соотношение an = 0(сп) былс T
Следует отметить, что хотя отдельные Т(Сii0 (Р) - условия были известны еще в начале века, их систематическое изучение началось в рамках общего направления, цель которого - перенесение классических результатов о сходящихся рядах на случай рядов, суммируемых по Чезаро. Это направление стало активно развиваться в восьмидесятых годах, когдг интерес к данной тематике был привлечен соответствующими результатамі такими, например, как полученное Алпаром ( см. [10] ) обобщение теоремы Кожима-Шура на ряды, суммируемые по Чезаро.
-
Llttlewood J.E. The converse of Abel's theorem on power series // Proc. London Math. Soc. 1910. 9, N 2. 434-448.
-
Lorentz G.G. Tauberian theorems and tauberlan conditions // Trans. Amer. Math. Soc. 1948. 63, N 2. 226-234.
-
Alpar L. On the linear transformations of series summable In the sense of Cesaro // Acta math. Acad. scl. hung. 1982. 39, N 1-3. 233-243.
Цель работы. Изучить связи, выраженные в форме условий тауберова типа, между некоторыми широко распространенными методами суммирования числовых рядов ( такими, например, как методы Чезаро ( С ш ) и методы дискретных средних Рисса ( Rd, а ) ).
Методы исследования. Результаты диссертации получены с использованием методов теории суммирования расходящихся рядов, теории систем линейных алгебраических уравнений, конечно-разностных свойств непрерывных функций.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
-
Получены некоторые Т(С-цЛ(( Rd. а )) - условия, менее ограничительные, чем известные условия тауберова типа с "нижним" методом (СО).
-
Исследован вопрос о связи "лакунарних условий" тауберова типа и "о-условий" тауберова типа. Найдены новые лакунарные условия, относительно которых доказана теорема, обобщающая соответствующий результат о связи Лоренца.
-
Получены необходимые условия тауберова типа, показывающие, в частности, что последовательность Харди является наилучшим с точки зрения порядка "0-условием" тауберова типа не только в случае, когда "нижним" методом является сходимость, но и для любого "нижнего" метода ( С, ш ) с ш > 0.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в различных вопросах теории функций действительного переменного и теории чисел.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Саратовских зимних школах по теории функций и приближений в 1994 и 1996 годах, на Воронежской зимней математической школе в 1995 году, на научных семинарах механико-математического факультета МГУ по теории ортогональных и тригонометрических рядов под руководством член-корреспондента РАН, профессора П.Л.Ульянова, профессора М.К.Потапова и профессора М.И.Дьяченко в 1994-1996 годах.
Публикации. По теме диссертации опубликованы 4 научные работы
( список публикаций приведен в конце автореферата ). Работ, написанных в соавторстве, нет.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих в себя 8 параграфов, и списка литературы, содержащего 44 наименования. Общий объем работы - 140 страниц.
