Введение к работе
Актуальность темы. Задачи интерполяции в различных пространствах аналитических функций активно изучались б 50-80 гг. Начало их рассмотрению полонила теорема Л.Карлесона об интерполяции в пространстве Харди Н /І/ (1952). В ней впервые поставлена задача интерполяции для целого класса функций, в отличие от тех постановок (например, задача Неванлинна - Пика), где речь идет об интерполяции индивидуальной функции. Поставленная Карлесоном задача состоит в описании интерполяционных последовательностей, то есть тех последовательностей {Zk} точек открытого единичного круга, для которых оператор сужения Я; f->-(fC24)f P(22)j...) отображает пространство И на пространства С всех ограниченных последовательностей комплексных чисел. Необходимость условия Ri& в очевидна; задача Карлесона есть задача описания тех последовательностей, для которых это необходимое условие является достаточным. Такая задача - описание множеств пузлов интерполяции", для которых естественный класс (класс, выделяемый некоторыми необходимыми условиями) совпадает с образом оператора сужения R - получила название задачи свободной интерполяции /2/, Постепенно в конце 70-х -начале 80-х гг. к задачам свободной интерполяции стали относить не только задачи описания интерполяционных множеств, но и задачи выбора естественного класса следов.
В работах С.А.Виноградова, В.П.Хавина, А.Н.Коточигоза, Е.М. Дынькина, С.В.Хрущёва, И.Бруна (70-80-е гг.) рассматривались задачи свободной интерполяции во многих классах гладких функций, в том числе и в классах Гельдера, Бесова, Жеврея. Существенным для гёль-деровской интерполяционности множества оказалось наличие на нем меры с определенными условиями роста, так называемой однородной меры (см., например /3/). Ранее такие меры появлялись в работах Е.М.Стей-на, Г.Вейсса, ЧЯ'еффермана (конец 50-х - начало 70-х гг.) по сингулярным интегралам и теории Литтльвуда - Пэли. Результаты Вольберга -Конятина (1984) овязали наличие на некотором множестве Е однородной меры с метрическими свойствами множества В .
Интерполяционные задачи тесно связаны с задачами описания идеалов и факторпространств по ним в различных функциональных пространствах /2/. Так, задача описания естественного класса данных интерполяции в аналитическом класса Гельдера f\ , 0<5
Е-Л5-
1= WeAs:flV"s?b
интерполяционное мяоаество.
Естественным обобщением такой задачи является задача описания
факторпространства по произвольному идеалу. Общий вид (замкнутого)
идеала в пространствах Гёльдера AS описан в работах Ф.А.Шамояна
/V и Б.й.Коренблюма /5/. Каадый такой идеал й характеризуется
замкнутым ынокествоы Е на границе и внутренней функцией & в
том смысле, что , „ А, п, . . ., )
u={feAs: і\є =0, f/в AS],
где множество Е и функция в связаны между собой следующим условием: граничная часть спектра функции О лекит в .
Идеал О отличается от I наличием деления на функцию ^ . Задача описания факторпространства по идеалу 3 является далеко идущим обобщением задачи свободной интерполяции, и ее решение неизвестно. Рассмотрим, однако не, действие на наше пространство As тёплицева оператора с символом 0 . Известно, что это действие сохраняет гладкость функции (см., например, /б/). Будем изучать сужение тёплицева образа на спектр идеала й . Ясно, что оно зависит только от класса функции в As/0 . Множество таких сужений отражает структуру этого факторпространства. Поэтому полное описание возникающего пространства следов - естественная составная часть общей проблемы. При 6-і такое описание сводится к задаче классической свободной интерполяции.
Цель работы. Описание следа тёплицева образа Т X , где в качестве X выступают классы Гёльдера, Бесова, Іеврея, а 0 -сингулярная функция, порождающая__мерв которой однородна. Описание пространств следов в терминах Э -производной. Альтернативное описание пространств следов как пространств дисетов переменной гладкости, изучение пространств функций-дкетов переменной гладкости. Решение задачи свободной интерполяции образами теплицевых операторов с символами .указанного вида.
Общая методика исследований. Используются общие методы теории операторов, комплексного анализа, техника диадических оценок интегралов типа Коши, техника Уитни продолжения гладких функций с произвольного замкнутого множества и техника Е.Н.Дынькина продолжения гладких функций с оценкой на д -производную.
Научная новизна. Все ооновные результаты диссертации являются новыми.
Теоретлческая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты и иетоды работы могут бить применимы к вопросам описания граничного поведения гладких функций, к теории неквазианалитических классов Карлемана и к исследованиям интегралов типа Коши.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре ЛОМИ - ЛГУ по спектральной теории функций и на аспирантской семинаре ВНЙИЭП.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах fio-iZ/.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения и трех глав, разбитых на 9 параграфов. Список литературы содержит 41 название.
