Содержание к диссертации
Введение
Глава I. О разрешимости многомерного интегрального уравнения Фредгольма третьего рода . 10
1. Предел в среднем и частные производные в среднем. 10
2. Пространства основных и обобщенных функций. 18
3. О нормальной разрешимости уравнения Фредгольма третьего рода в пространстве и в пространствах обобщенных функций . 26
4. Теорема об условиях разрешимости многомерного интегрального уравнения Фредгольма третьего рода. 26
5. Теоремы о разрешимости уравнения Фредгольма третьего рода в пространствах обобщен ных функций .
6. Некоторые замечания. 49
Глава 2. Об ограниченности многомерного сингулярного оператора в пространстве 53
I. Предварительные сведения. 53
2. Доказательство теоремы об ограниченности простейшего многомерного сингулярного оператора при Ш - 1 57
3. Доказательство теоремы об ограниченности простейшего многомерного сингулярного оператора при произвольном 67
4. Теорема об ограниченности многомерного сингулярного оператора с характеристикой, зависящей от полюса.
Глава 3. О разрешимости многомерного сингулярного уравнения в исключительном случае .
1. Многомерный сингулярный оператор на сопряженном пространстве.
2. О нормальной разрешимости многомерного сингулярного оператора с вырожденным символом в пространстве и в пространствах обобщенных функций .
3. Теорема о разрешимости многомерного сингулярного уравнения с вырожденным символом.
4. Примеры
Литература.
- О нормальной разрешимости уравнения Фредгольма третьего рода в пространстве и в пространствах обобщенных функций
- Теоремы о разрешимости уравнения Фредгольма третьего рода в пространствах обобщен ных функций
- Доказательство теоремы об ограниченности простейшего многомерного сингулярного оператора при произвольном
- О нормальной разрешимости многомерного сингулярного оператора с вырожденным символом в пространстве и в пространствах обобщенных функций
Введение к работе
Вопросу разрешимости интегральных уравнений посвящены многие работы советских и зарубежных математиков /см.,напр..монографии [і] - [б]/. Важное место среди них занимают исключительные случаи, к которым относят так называемые уравнения Фредголь-ма третьего рода и сингулярные интегральные уравнения с вырожденным символом. Отметим, однако, что по сравнению с одномерными интегральными уравнениями такого типа, многомерные интегральные уравнения в исключительном случае являются еще мало изученными. Наиболее завершенные результаты получены для уравнения
где г - преобразование Фурье, впервые такое уравнение при условии, что символ ЦЗ(У) обращается в ноль, начали исследовать В.Г.Мазья, Б.А.Пламеневский [7] - [в]. Ими были указаны пространства обобщенных функций, в которых уравнение /і/ разрешимо при всех | Є o^^(R ) і описано общее решение в таких пространствах и выделены условия, обеспечивающие единственность решения. Дальнейшие исследования в этом направлении проводились в статье В.Г.Мазьи, Б.А.Пламеневского, Ю.Е.Хайкина [9], а также в работах М.Лоренца [ю] - [із]. Заметим, что каждый раз при этом предполагалось, что символ сингулярного оператора не зависит от полюса или слабо зависит от него. Последнее означает, что символ Ч-ЧХ,У) остается постоянным при больших по модулю , X .
В ряде работ [і4] - [22] исследовалась разрешимость краевых задач для вырождающихся псевдодифференциальных операторов. Найдены условия, при которых такие задачи являются нетеровыми
в различных функциональных пространствах, отличных от оСр , и пространств обобщенных функций, рассматриваемых в настоящей диссертации.
А.Э.Пасенчук [23] рассмотрел в пространстве ор(г\ + +) оператор свертки в четверть-плоскости К++ с символом, вырождающимся в конечном числе точек пространства К . Для этого случая был построен неограниченный обратный оператор, описан образ изучаемого оператора и даны корректные постановки задач для операторов в свертках с вырождающимся символом.
Заметим, что в отличие от перечисленных работ, основная цель диссертации - получить условия разрешимости многомерных интегральных уравнений в исключительном случае в терминах ортогональности правой части решениями союзного однородного уравнения в соответствующих пространствах обобщенных функций.
Предлагаемая диссертация состоит из трех глав, в первой главе исследуется разрешимость уравнения Фредгольма третьего рода
Ач = х? ш) + \Т&ц)щЛц -- 9(х) / г /
в пространстве cLp\
, Xt
Первая глава состоит из шести параграфов. 1-3 носят вспомогательный характер, в первом параграфе даются определения предела в среднем и производных в среднем, являющихся непосредственными обобщениями аналогичных понятий, введенных в одномерном случае В.Пресдорфом [5]. Понятие предела в среднем сравнивается с известным определением следа функции.
Во втором параграфе введены пространства основных и обобщенных функций. Доказываются теоремы вложения,связывающие простран-
ства основных функций с анизотропными пространствами Соболева и их аналогами. Эти теоремы применяются во второй главе при до -казательстве ограниченности многомерного сингулярного оператора.
В третьем параграфе исследуется нормальная разрешимость оператора 7т , определяется союзный к нему оператор в пространствах <)?р(5)) и обобщенных функций.
Четвертый параграф посвящен доказательству основного результата первой главы - теоремы о разрешимости уравнения /2 / в пространстве . Согласно этой теореме необходимыми и достаточными условиями разрешимости уравнения /2 /являются условия ортогональности правой части всем решениям союзного одно -родного уравнения в пространстве обобщенных функций.
Идея рассмотрения союзного пространства и союзного оператора вместо сопряженного пространства и сопряженного оператора в аб -страктном случае принадлежит М.Г.Крейну [24] . Ее развитие со -держится в статье [25] / см.также [26J / . С других позиций к понятиям союзного пространства и союзного оператора подошел Р.В.Дудучава [27J . Заметим, что все перечисленные авторы применяли общие теоремы о замене сопряженного пространства и сопряженного оператора союзными к одномерным интегральным уравнениям.
В пятом параграфе найдены необходимые и достаточные условия разрешимости уравнения /2 /в пространстве обобщенных функций , как условия ортогональности правой части решениям союзного однородного уравнения в пространстве
В шестом параграфе формулируются возможные обобщения полученных результатов.
Отметим, что в отличие от одномерного уравнения Фредгольма третьего рода [28J - [32 J , коядро оператора ті может ока -заться бесконечномерным, поэтому техника исследования уравнения / 2 / существенно отличается от методики работ [28J - [32J .
Принципиальные трудности по сравнению с одномерным случаем возникают также и при изучении многомерного сингулярного уравнения с вырожденным символом
/ з /
Главная из них - вопрос об ограниченности многомерного сингу
лярного оператора в пространстве основных функций Хр ^W^ia J
r_/{
Xp{w у R J состоит из тех функций U(X) Хр [\\ J,
которые в полосе
A = llXi.Xt,... ,ХИ) = (ХІ1<С)6 (С : |Хі\< 1}
имеют представление
m-i
Норма в пространстве равна
Решению этого вопроса посвящена вторая глава диссертации. Отметим, что ранее ограниченность многомерного сингулярного оператора доказывалась в различных функциональных пространствах / библ. см. в \33] - / ,которые существенно отличаются от Хр {.W, i\ ) .В связи с этим результаты, полученные во второй главе, представляют, на наш взгляд, самостоятельный инте -рее.
Вторая глава состоит из четырех параграфов. В первом из них формулируются известные вспомогательные утверждения. Второй и
третий параграфы посвящены доказательству теоремы об ограничен -ности многомерного сингулярного оператора
[ Ш
характеристика которого не зависит от полюса, в пространстве
dGp [ W , R j ({ < О < схо, її\ > 1) . Теорема об ограниченное -ти доказывается вначале в 2 для W = I , затем в 3 методом математической индукции обобщается на случай произвольного целого ГП > { .
В четвертом параграфе доказана теорема об ограниченности многомерного сингулярного оператора в пространстве XpllT^R \ характеристика которого зависит от полюса.
В третьей главе изучается разрешимость уравнения / 3 /в
пространстве . Аналогичные вопросы в одномерном
случае для пространств гельдеровских функций рассматривались в работах В.С.Рогожина и Т.Н.Радченко [Зб] - [39J .
Третья глава состоит из четырех параграфов.
Основное содержание I составляет теорема I.I, согласно ко -торой при определенных ограничениях на характеристику llwJ многомерный сингулярный оператор Q1 + г\ можно непрерывно продолжить на пространство, сопряженное к Хр|_ККЦі\ j , так что он при этом останется непрерывно обратим.
Во втором параграфе исследуется нормальная разрешимость много
мерных сингулярных операторов с вырожденным символом в простран -
стве и в пространствах обобщенных функций.
В третьем параграфе, следуя методике главы I, доказывается теорема о разрешимости многомерного сингулярного уравнения/3 /в
пространстве Xp(R ) в терминах ортогональности правой части решениям союзного однородного уравнения в пространстве обоб -щенных функций.
В четвертом параграфе приводятся примеры, иллюстрирующие полученные результаты.
По теме диссертации опубликовано четыре работы [48 J - [51J , в которых содержится основная часть изложенных ниже ре -зультатов.
О нормальной разрешимости уравнения Фредгольма третьего рода в пространстве и в пространствах обобщенных функций
Вопросу разрешимости интегральных уравнений посвящены многие работы советских и зарубежных математиков /см.,напр..монографии [і] - [б]/. Важное место среди них занимают исключительные случаи, к которым относят так называемые уравнения Фредголь-ма третьего рода и сингулярные интегральные уравнения с вырожденным символом. Отметим, однако, что по сравнению с одномерными интегральными уравнениями такого типа, многомерные интегральные уравнения в исключительном случае являются еще мало изученными. Наиболее завершенные результаты получены для уравнения где г - преобразование Фурье, впервые такое уравнение при условии, что символ ЦЗ(У) обращается в ноль, начали исследовать В.Г.Мазья, Б.А.Пламеневский [7] - [в]. Ими были указаны пространства обобщенных функций, в которых уравнение /і/ разрешимо при всех Є o (R ) і описано общее решение в таких пространствах и выделены условия, обеспечивающие единственность решения. Дальнейшие исследования в этом направлении проводились в статье В.Г.Мазьи, Б.А.Пламеневского, Ю.Е.Хайкина [9], а также в работах М.Лоренца [ю] - [із]. Заметим, что каждый раз при этом предполагалось, что символ сингулярного оператора не зависит от полюса или слабо зависит от него. Последнее означает, что символ Ч-ЧХ,У) остается постоянным при больших по модулю , X .
В ряде работ [і4] - [22] исследовалась разрешимость краевых задач для вырождающихся псевдодифференциальных операторов. Найдены условия, при которых такие задачи являются нетеровыми в различных функциональных пространствах, отличных от оСр , и пространств обобщенных функций, рассматриваемых в настоящей диссертации.
А.Э.Пасенчук [23] рассмотрел в пространстве ор(г\ + +) оператор свертки в четверть-плоскости К++ с символом, вырождающимся в конечном числе точек пространства К . Для этого случая был построен неограниченный обратный оператор, описан образ изучаемого оператора и даны корректные постановки задач для операторов в свертках с вырождающимся символом.
Заметим, что в отличие от перечисленных работ, основная цель диссертации - получить условия разрешимости многомерных интегральных уравнений в исключительном случае в терминах ортогональности правой части решениями союзного однородного уравнения в соответствующих пространствах обобщенных функций. Предлагаемая диссертация состоит из трех глав, в первой главе исследуется разрешимость уравнения Фредгольма третьего рода в пространстве cLp\ fl) и некоторых пространствах обобщенных функций, содержащих слагаемые вида. В - суммируемые со степенью р функции/. Первая глава состоит из шести параграфов. 1-3 носят вспомогательный характер, в первом параграфе даются определения предела в среднем и производных в среднем, являющихся непосредственными обобщениями аналогичных понятий, введенных в одномерном случае В.Пресдорфом [5]. Понятие предела в среднем сравнивается с известным определением следа функции. Во втором параграфе введены пространства основных и обобщенных функций. Доказываются теоремы вложения,связывающие простран б ства основных функций с анизотропными пространствами Соболева и их аналогами. Эти теоремы применяются во второй главе при до -казательстве ограниченности многомерного сингулярного оператора. В третьем параграфе исследуется нормальная разрешимость оператора 7т , определяется союзный к нему оператор в пространствах )?р(5)) и обобщенных функций. Четвертый параграф посвящен доказательству основного результата первой главы - теоремы о разрешимости уравнения /2 / в пространстве . Согласно этой теореме необходимыми и достаточными условиями разрешимости уравнения /2 /являются условия ортогональности правой части всем решениям союзного одно -родного уравнения в пространстве обобщенных функций. Идея рассмотрения союзного пространства и союзного оператора вместо сопряженного пространства и сопряженного оператора в аб -страктном случае принадлежит М.Г.Крейну [24] . Ее развитие со -держится в статье [25] / см.также [26J / . С других позиций к понятиям союзного пространства и союзного оператора подошел Р.В.Дудучава [27J . Заметим, что все перечисленные авторы применяли общие теоремы о замене сопряженного пространства и сопряженного оператора союзными к одномерным интегральным уравнениям. В пятом параграфе найдены необходимые и достаточные условия разрешимости уравнения /2 /в пространстве обобщенных функций , как условия ортогональности правой части решениям союзного однородного уравнения в пространстве В шестом параграфе формулируются возможные обобщения полученных результатов.
Теоремы о разрешимости уравнения Фредгольма третьего рода в пространствах обобщен ных функций
А.Э.Пасенчук [23] рассмотрел в пространстве ор(г\ + +) оператор свертки в четверть-плоскости К++ с символом, вырождающимся в конечном числе точек пространства К . Для этого случая был построен неограниченный обратный оператор, описан образ изучаемого оператора и даны корректные постановки задач для операторов в свертках с вырождающимся символом.
Заметим, что в отличие от перечисленных работ, основная цель диссертации - получить условия разрешимости многомерных интегральных уравнений в исключительном случае в терминах ортогональности правой части решениями союзного однородного уравнения в соответствующих пространствах обобщенных функций.
Предлагаемая диссертация состоит из трех глав, в первой главе исследуется разрешимость уравнения Фредгольма третьего рода - суммируемые со степенью р функции/.
Первая глава состоит из шести параграфов. 1-3 носят вспомогательный характер, в первом параграфе даются определения предела в среднем и производных в среднем, являющихся непосредственными обобщениями аналогичных понятий, введенных в одномерном случае В.Пресдорфом [5]. Понятие предела в среднем сравнивается с известным определением следа функции.
Во втором параграфе введены пространства основных и обобщенных функций. Доказываются теоремы вложения,связывающие пространства основных функций с анизотропными пространствами Соболева и их аналогами. Эти теоремы применяются во второй главе при до -казательстве ограниченности многомерного сингулярного оператора. В третьем параграфе исследуется нормальная разрешимость оператора 7т , определяется союзный к нему оператор в пространствах )?р(5)) и обобщенных функций. Четвертый параграф посвящен доказательству основного результата первой главы - теоремы о разрешимости уравнения /2 / в пространстве . Согласно этой теореме необходимыми и достаточными условиями разрешимости уравнения /2 /являются условия ортогональности правой части всем решениям союзного одно -родного уравнения в пространстве обобщенных функций. Идея рассмотрения союзного пространства и союзного оператора вместо сопряженного пространства и сопряженного оператора в аб -страктном случае принадлежит М.Г.Крейну [24] . Ее развитие со -держится в статье [25] / см.также [26J / . С других позиций к понятиям союзного пространства и союзного оператора подошел Р.В.Дудучава [27J . Заметим, что все перечисленные авторы применяли общие теоремы о замене сопряженного пространства и сопряженного оператора союзными к одномерным интегральным уравнениям. В пятом параграфе найдены необходимые и достаточные условия разрешимости уравнения /2 /в пространстве обобщенных функций , как условия ортогональности правой части решениям союзного однородного уравнения в пространстве В шестом параграфе формулируются возможные обобщения полученных результатов. Отметим, что в отличие от одномерного уравнения Фредгольма третьего рода [28J - [32 J , коядро оператора ті может ока -заться бесконечномерным, поэтому техника исследования уравнения / 2 / существенно отличается от методики работ [28J - [32J . Принципиальные трудности по сравнению с одномерным случаем возникают также и при изучении многомерного сингулярного уравнения с вырожденным символом Главная из них - вопрос об ограниченности многомерного сингу лярного оператора в пространстве основных. Решению этого вопроса посвящена вторая глава диссертации. Отметим, что ранее ограниченность многомерного сингулярного оператора доказывалась в различных функциональных пространствах / библ. см. в \33] - \_35j/ ,которые существенно отличаются от Хр {.W, i\ ) .В связи с этим результаты, полученные во второй главе, представляют, на наш взгляд, самостоятельный инте -рее. Вторая глава состоит из четырех параграфов. В первом из них формулируются известные вспомогательные утверждения. Второй и третий параграфы посвящены доказательству теоремы об ограничен -ности многомерного сингулярного оператора характеристика которого не зависит от полюса, в пространстве. Теорема об ограниченное -ти доказывается вначале в 2 для W = I , затем в 3 методом математической индукции обобщается на случай произвольного целого ГП { . В четвертом параграфе доказана теорема об ограниченности многомерного сингулярного оператора в пространстве XpllT R \ характеристика которого зависит от полюса. В третьей главе изучается разрешимость уравнения / 3 /в пространстве . Аналогичные вопросы в одномерном случае для пространств гельдеровских функций рассматривались в работах В.С.Рогожина и Т.Н.Радченко [Зб] - [39J . Третья глава состоит из четырех параграфов. Основное содержание I составляет теорема I.I, согласно ко -торой при определенных ограничениях на характеристику llwJ многомерный сингулярный оператор Q1 + г\ можно непрерывно продолжить на пространство, сопряженное к Хр_ККЦі\ j , так что он при этом останется непрерывно обратим. Во втором параграфе исследуется нормальная разрешимость много мерных сингулярных операторов с вырожденным символом в простран стве и в пространствах обобщенных функций. В третьем параграфе, следуя методике главы I, доказывается теорема о разрешимости многомерного сингулярного уравнения/3 /в пространстве Xp(R ) в терминах ортогональности правой части решениям союзного однородного уравнения в пространстве обоб -щенных функций. В четвертом параграфе приводятся примеры, иллюстрирующие полученные результаты. По теме диссертации опубликовано четыре работы [48 J - [51J , в которых содержится основная часть изложенных ниже ре -зультатов.
Доказательство теоремы об ограниченности простейшего многомерного сингулярного оператора при произвольном
Как известно, треугольное представление основного оператора Т унитарного узла Л влечёт за собой мультипликативное представление функции 0д( Я) .В качестве приложения в диссертации получены мультипликативные представления вещественных характеристических оператор - функций в/Л Л) для случая, когда основной оператор узла Д допускает одно из указанных выше треугольных представлений.
Постановка задачи о приведении бесконечномерных операторов к треугольному виду принадлежит М.С.Лившицу Г б j ( см. также Г18J ). М.С.Лившиц показал, что любой ограниченный оператор й с ядерной мнимой компонентой —- ( А - A J унитарно эквивалентен с точностью до дополнительной компоненты оператору треугольного вида, действующему в функциональном пространстве. Доказательство отого факта опирается на мультипликативное представление характеристической матрицы - функции оператора Н , полученное впервые В.П.Потаповым [_20J .
Л.А.Сахнович Г 7, 81 обобщил результаты М.С.Лившица на тот случай, когда мнимая компонента оператора А вполне непрерывна и имеет сходящуюся сумму квадратов собственных чисел. В дальнейшем, благодаря исследованиям А.В.Кужеля [9, 10J , В.Т.Поляцкого I IIJ и других, были построены треугольные функциональные модели операторов, принадлежащих иным классам. При всей значимости перечисленных выше результатов, проблема треугольных представлений операторов не исчерпывалась ими до конца. Очередной шаг в теории треугольных представлений заключался в отыскании абстрактного треугольного представления, не содержащего дополнительной компоненты, которое могло бы играть роль, аналогичную той, которую диагональное представление А. X dE Сх играет в теории самосопряжённых операторов. Эта задача была решена М.С.Бродским сначала для вольтерровых Г i"] , а затем \2, 3J для операторов более широкого класса. Теория абстрактных треугольных представлений, одновременно, развивалась в работах И.Ц.Гохберга, М.Г.Крейна Г12 J и В.И.Мацае-ва [13] . Дальнейшее формирование теории абстрактных треугольных представлений происходило в работах Ю.И.Любича, В.И.Мацаева [ lk j , И.Ц.Гохберга, М.Г.Крейна [l5 » В.М.Бродского, M.G. Бродского l6 , М.С.Бродского [l7] . Во всех вышеприведённых работах ограничения накладывались на мнимую компоненту приводимого к треугольному виду оператора. Таким образом, исследуемый оператор был в том или ином смысле "близким" к самосопряжённым. Более трудная задача об абстрактных треугольных представлениях операторов "близких" к унитарным, рассматривалась в работах И.Ц.Гохберга, М.Г.Крейна [4І и В.М.Бродского, И.Ц.Гохберга, М.Г.Крейна Г 5 J . М.С.Бродским было замечено, что часть утверждений этих статей ( достаточные части теоремы I в \_Ч J и теоремы 3.4 в [_5 J ) ошибочны. В диссертации доказано, что при некотором сужении класса рассматриваемых операторов упомянутые теоремы из становятся верными. Вещественные операторные узлы и их характеристические оператор-функции - второй круг вопросов настоящей диссертации, рассматривались в работах М.С.Бродского _2lJ , Д. Хелтона [22] , В.И.Годича [23, 24] , Д.З.Арова [25] , Ш.Асади, И.Е.Луценко [_26, 27J для тех или иных видов операторных узлов. Переходим к краткому описанию содержания диссертации. Диссертация состоит из семи параграфов. I носит вспомагательный характер. В нём изучаются опера-торы с унитарным спектром и вводится определение операторного интеграла в смысле С.О.Шатуновского. Пусть 4L - сепарабельное гильбертово пространство, TR - совокупность всех линейных ограниченных операторов, действующих в % . Через э(Т) и р(Т) будем обозначать спектр и резольвентное множество оператора Т 7R» Для любого оператора Т Ж/ и любого ортопроектора Р положим.
О нормальной разрешимости многомерного сингулярного оператора с вырожденным символом в пространстве и в пространствах обобщенных функций
Мы доказали неравенство ( 1.7 ). Аналогично доказывается соотношение ( 1.8 ). Лемма доказана.
Пусть 1р - совокупность ортопроекторов на всевоз можные подпространства в & . Часть ЦІ множества 32. , содержащая по крайней мере два ортопроектора, называется цепочкой, если из условий Р (2 , Р2 , Р % р следует, что либо Pt р. , либо Рг Pj . Цепочка р считается предшествующей цепочке «р , если каждый ортопро-ектор из 3? принадлежит также 2 . Цепочка "32 , которая предшествует только самой себе, называется максимальной. Если цепочка V содержит такие ортопроекторы г иг \ Р Р ) , что всякий отличный от них ортопро-ектор Р р удовлетворяет одному из неравенств Р Р или Р Р , то пара ( Р Р ) называется разрывом цепочки 32 . Размерность подпространства Р -р ) называется размерностью разрыва. Ортопроектор Р0 называется предельным для цепочки X і если существует последовательность { Р ] СІ ЦІ (jn = 1.,2..,...) , сильно сходящаяся к PQ . Цепочка называется замкнутой, если она содержит все свои предельные ортопроекторы, Цепочка 2 максимальна тогда и только тогда, когда она замкнута, содержит ортопроекторы 0 и I и её разрывы ( если они существуют ) одномерны [l7] . Для произвольной замкнутой цепочки 32 совокупность ортопроекторов i4?-Q0 QI -.. QBl = H.1P (0ке) О-в) называется разбиением цепочки "22 . Разбиение р0 р, ... рл (Р Т) называется продолжением разбиения ( 1.9 ), если каждый ортопроектор Q„ совпадает с одним из ортопроекторов Р: Лемма 1.4. Пусть - максимальная цепочка ортопроекторов в пространстве и Ф(Р) Рє22?Р 0) -неубывающая, ограниченная и непрерывная слева числовая функция. Для каждого О существует разбиение { Р.]0 цепоч ки Ц такое, что для любых Q: . р (j = і -) 7-- ) ) » удовлетворяющих условиям р: __, q: р: , выполняются неравенства Доказательство. Достаточно рассмотреть лишь случай, когда Искомое разбиение получим, выделяя из ортопроекторов О , ч А. г 1-і Pm I максимальное число попарно различных. Лемма доказана. Пусть на цепочке ортопроекторов Э2 заданы функции F QP) и GQP) (Р "Р) » значения которых являются линейными ограниченными операторами, действующими в & Оператор л- называется интегралом от F(P) по GCP/ в смысле С.О.Шатуновского и обозначается символом , если для каждого О существует такое разбиение цепочки 3р , что для любого его продолже ния Р0 Pj Р ... р и для любых ортопроекто ров Q: Е i , удовлетворяющих условиям.
