Содержание к диссертации
Введение
1 Некоторые сведения из теории векторных функций, теории линейных отношений и теории полугрупп операторов 24
1.1 Основные понятия и используемые результаты из теории векторных функций 24
1.2 Основные понятия из теории линейных отношений 28
1.3 Основные понятия и используемые результаты из теории по лугрупп операторов 30
2 Свойство замыкаемости и свойство замкнутости генераторов вырожденной полугруппы операторов 39
2.1 Условия замыкаемости и условия замкнутости генераторов вырожденной полугруппы операторов 39
2.2 Примеры 48
3 Теорема Герхарта - Прюсса для вырожденной полугруппы операторов 55
3.1 Экспоненциальная дихотомия для вырожденной полугруппы операторов 58
3.2 Теорема Герхарта - Прюсса 62
3.3 Пример 81
4 Свойства полугруппы операторов Сильченко класса А( р) 87
4.1 Определение и свойства полугруппы операторов Сильченко класса А(ф) 87
4.2 Примеры 93
- Основные понятия из теории линейных отношений
- Основные понятия и используемые результаты из теории по лугрупп операторов
- Условия замыкаемости и условия замкнутости генераторов вырожденной полугруппы операторов
- Теорема Герхарта - Прюсса
Введение к работе
Актуальность темы. Пусть X — комплексное банахово пространство и EndX — банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X. Всюду в диссертации через Т обозначена полугруппой операторов действующих в X, т. е. сильно непрерывная операторнозначная функция
Т : М+ = (0, оо) - EndX,
для которой T(t + s) = T(t)T(s) при всех t, s > 0. При исследовании столь общих полугрупп операторов традиционными являются требования:
1) ядро полугруппы операторов нулевое, т. е.
КегТ = {х Є X : T(t)x = 0 для всех t > 0} = {0};
2) образ полугруппы операторов ImT = (J ImT(t) плотен в X.
Однако, в приложениях к дифференциальным уравнениям с необратимым оператором при производной возникают так называемые вырожденные полугруппы операторов, т. е. полугруппы операторов с ненулевым ядром, и как правило, неплотным образом полугруппы операторов.
Актуальность темы также обусловлена важностью развития подхода, основанного на использовании линейных отношений в качестве генераторов полугруппы операторов. Используя данный подход 1 возможно определить генераторы полугруппы операторов без каких - либо априорных предположений относительно характера поведения полугруппы операторов в окрестности нуля. В результате расширяется арсенал методов исследования полугрупп операторов, а также сам класс полугрупп операторов,
баскаков А.Г. Линейные отношения как генераторы полугрупп операторов / А. Г. Баскаков // Матем. заметки- 2008.- Т.84.- №2.- С. 175-192.
исследование которых возможно проводить с помощью резольвенты генератора.
Рассмотрим задачу Копій
х(0) = х0 Є X (3)
для однородного дифференциального уравнения
Fx(t) =Gx(i),t>0, (4)
с парой линейных замкнутых операторов F, G, действующих в банаховом пространстве X, при условии, что KerF ^ {0}. Исследование задачи Копій (3), (4) может вестись с помощью вырожденной полугруппы операторов, одним из генераторов которой может являться отношение
Л = F~lG = {(хъх2) Є D(G) х D(F) : Gxx = Fx2] С X x X,
так как задача (3), (4) эквивалентна задаче (3) для дифференциального включения
х(і) Є Ax(t),t > 0.
Цель работы.
Описать условия не замыкаемости в классе операторов инфинитези-мального оператора А$ (и также ряда других генераторов) полугруппы операторов Т.
Описать условия замкнутости инфинитезимального оператора Aq (и также ряда других генераторов) полугруппы операторов Т.
Доказать аналог теоремы Герхарта - Прюсса для вырожденных полугрупп операторов в гильбертовом пространстве.
4. Исследовать полугруппу операторов с неплотным образом и сильно суммируемой особенностью в нуле, применяя подход, основанный на использовании линейных отношений в качестве генераторов полугруппы операторов.
Методика исследований. Основные результаты диссертации получены с использованием методов теории полугрупп операторов, теории линейных отношений, дифференциальных уравнений, методов функционального анализа, голоморфных функций.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:
Получены необходимые условия и достаточные условия для того, чтобы инфинитезимальный оператор Aq (и также ряд других генераторов) полугруппы операторов Т был не замыкаем в классе операторов.
Получены необходимые условия и достаточные условия для того, чтобы инфинитезимальный оператор Aq (и также ряд других генераторов) полугруппы операторов Т был замкнутым оператором.
Доказан аналог теоремы Герхарта - Прюсса для вырожденных полугрупп операторов в гильбертовом пространстве.
Установлен ряд свойств полугруппы операторов с неплотным образом и сильно суммируемой особенностью в нуле. Показано существование базового генератора и приведена формула резольвенты базового генератора полугруппы операторов данного класса.
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в
развитии теории полугрупп операторов, дифференциальных уравнений и дифференциальных включений.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Воронежских зимних математических школах 2010 и 2011, на 21 - й Крымской осенней математической школе - симпозиуме (КРОМШ) г. Севастополь, 2010 г., и семинарах А. Г. Баскакова.
Публикации работы. Результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[6]. Работа [5] соответствуют списку ВАК РФ для кандидатских диссертаций.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 96 источников. Общий объем диссертации составляет 111 страниц.
Основные понятия из теории линейных отношений
Отметим, что для общего банахова пространства условие (3.2) необходимо, но не достаточно для выполнения условия (3.1).
Л. Герхарт доказал теорему для сжимающихся 2 полугрупп операторов класса (Со) в гильбертовом пространстве. Прюсс распространил результат Герхарта на полугруппы операторов класса (Со). При этом Прюсс существенно упростил и улучшил само доказательство. За основу доказательства Прюсс взял тесную связь между спектром a(T(t)) операторов полугруппы и периодическими решениями неоднородного дифференциального уравнения в банаховом пространстве x(t)=A0x(t) + f(t),t Є [0,1], (5) с краевыми условиями х(0) = х{1). (6) А именно, имеет место
Теорема. [88] Пусть X — банахово пространство и пусть AQ — ин-финитезимальный оператор полугруппы операторов Т класса (Со). Условие 1 Є /э(Г(1)) имеет место тогда и только тогда, когда для функции f Є С([0,1],Х) уравнение (5) имеет единственное слабое периодическое решение, удовлетворяющее краевым условиям (6).
Для / Є 1/1([0,1],Х) функция х Є С([0,1],Х) называется [88] слабым решением (mild solution) уравнения (5) с начальным условием х(0) = хо, если для каждого Є [0,1] выполняется равенство x(t) = T{t)x0 + / T(t- s)f(s)ds. Jo 2Полугрушіа операторов Г класса (Со) называется сжимающейся, если T(t) 1 для любого t 0. Функция х для каждого t Є [0,1] удовлетворяет дифференциальному уравнению (5) с начальным условием ж(0) = Хо в том и только в том случае, когда является непрерывно - дифференцируемой, и в этом случае функция х называется [88] точным решением {strict solution).
Условие равномерной ограниченности резольвенты инфинитезималь-ного оператора было предложено Герхартом для случая сжимающейся полугруппы операторов класса (Со) в гильбертовом пространстве. Прюсс распространил данный результат на полугруппы операторов класса (Со) в гильбертовом пространстве. Поэтому логично называть теоремы об описании спектра a(T(t)) операторов полугруппы, в которых используется условие равномерной ограниченности резольвенты инфинитезимального оператора теоремами Герхарта - Прюсса.
Полугруппа операторов Т класса (Со) называется гиперболической или допускающей экспоненциальную дихотомию, если выполняется условие г(Г(1)) П Т = 0, где Т = {АєС:А = 1}. Теорема 3.1 содержит необходимые и достаточные условия на резольвенту инфинитезимального оператора для того, чтобы полугруппа операторов Т класса (Со) была гиперболической [13], [70], [88]. Каждое из условий теоремы 3.1 равносильно [88] существованию и единственности слабого решения х Є C&(R, X) задачи х(0) = XQ ДЛЯ дифференциального уравнения x{t) = A0x{t) + f(t),fe СЬ(Ш,Х). В статье [13] теорема 3.1 доказана путем установления равносильности каждого из условий (3.1) и (3.2) обратимости дифференциального оператора L0 : D(L0) С L2(R,X) - L2(E,X), который определяется следующим образом. Функция х Є L2(R, X) принадлежит области определения D(LQ) оператора L0, если существует функция / Є L2(K., X), удовлетворяющая для почти всех s t из Ш равенству x(t) = T(t - s)x(s) - f T(t- T)f{r)dr. Полагается LQX = f. В свою очередь, обратимость оператора LQ эквивалентна обратимости разностного оператора D0:l2{Z,X)-+l2{Z,X), {D0x)(n) = х(п) - Т(1)х(п - 1),п Є Z. В Главе 3 проводится обобщение теоремы 3.1 на более широкий класс полугрупп операторов действующих в гильбертовом пространстве. В рассматриваемом случае полугруппа операторов Т может быть вырожденной и удовлетворяет условию f \\T(t)\\2dt оо. (7) Jo В условии (3.2) инфинитезимальный оператор Ло заменяется на генератор Ас полугруппы операторов Т, так как генератор Ас является в этом случае базовым, а спектр а(Ло) инфинитезимального оператора AQ может заполнять всю комплексную плоскость, в связи с чем его использование невозможно. Соответствующий результат содержит
Основные понятия и используемые результаты из теории по лугрупп операторов
Так как СС(Ш, X) = L2(R, X), то оператор Vc можно единственным образом продолжить по непрерывности [49; с. 124] до ограниченного и определенного на всем пространстве Ь2(Ш,Х) оператора V такого, что Vf = Vcf для каждого / Є CC(R,X) и Яіг 2 = H IUndL2- Таким образом, имеет место
Лемма 3.5. Пусть полугруппа операторов Т удовлетворяет условию / \\T(t)\\dt оо. Jo Тогда существует единственный ограниченный оператор V :L2(R,X)- L2(R,X), имеющий на функциях из СС(Ш, X) следующее представление: /ОО (Vf)(t)= / T{r)f{t)dT = Jo = [ T(t-r)f(r)dr,teRjGCc(R,X). J—ос Замечание 3.1. Отметим, что оба интеграла из леммы 3.5 существуют одновременно и получаются друг из друга соответствующей заменой переменных. Как мы видим, оператор V Є EndL2(R, X) имеет интегральное представление только на плотном подпространстве. Аналогичный оператор рассмотрен в [92, с. 41 - 43], где оператор определялся интегралом (3.13) на плотном подпространстве простых суммируемых функций, и продолжался по непрерывности на все пространство L2(R, X).
В следующих двух теоремах устанавливается равносильность каждого из условий (3.3) и (3.4) непрерывной обратимости дифференциального отношения CQ. Теорема 3.3. Отношение JCQ непрерывно обратимо тогда и только тогда, когда выполнено условие (3.3). В этом случае, обратный оператор CQ1 Є Епо1Ь2(Ж,Х) имеет на функциях из CC(R, X) следующее представление / G(s)f(t - s)ds, t е R, / Є CC(R, X), (3.14) где через G обозначена функция (Грина) (3.9). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕОБХОДИМОСТИ. Пусть отношение 0 непрерывно обратимо. Тогда по лемме 3.3 обратим оператор Do- Из леммы 3.1 следует, что выполнено условие (3.3).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ДОСТАТОЧНОСТИ. Пусть выполнено условие (3.3). Тогда можно построить функцию (Грина) G с помощью равенств (3.9). Для полугрупп Г_Р_ : (0, оо) - EndX и Т+1Р+ : [0,оо) -» EndX операторы V- и V+, имеющие на функциях из CC(R, X) вид: /оо (Y-f)(t) = / T_(s)P_/(t - s)ds, t є R, /oo (V+/)(t) = / T-\s)P+f(t - s)ds, t Є R, ./o принадлежат (по лемме 3.5) EndL2(M.,X). Оператор В = —VI + V+ имеет на функциях из / Є CC(R, X) вид: (Bf)(t) = ((-v. + v+)f)(t) = -(v.f){t) + (v+/)(t) = roc fOO = -/ T_(s)P-f(t-s)ds+ T-l(s)P+f(t-s)ds = Jo Jo roo rO s = = -/ T-(s)P-f(t-s)ds+ T-1(-s)P+f{t + s)d JO J-oo / oo G(s)/(t-s)ds,tl. -00 Непосредственной подстановкой убеждаемся, что для / Є CC(R, X) пара (Bf,f) удовлетворяет равенствам (3.5). Следовательно, для каждого / є СС(Ж,Х) выполняется условие (Bf, /) Є CQ. Так как отношение Со за мкнуто и CC(R,X) = L2(R,X), то (Bf, f) є С0 для любого / є L2(M,X). Значит, оператор 5 является правым обратным для Со- В силу (3.3) из леммы 3.1 следует, что оператор DQ обратим. Из леммы 3.4 следует, что отношение Со непрерывно обратимо. Значит, CQ1 = В, т. е. имеет место представление (3.14). Теорема доказана.
Теорема 3.4. Отношение Со непрерывно обратимо тогда и только тогда, когда выполнено условие (3.4).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕОБХОДИМОСТИ. Пусть отношение Со непрерывно обратимо. Тогда по теореме 3.3 имеет место представление (3.14) оператора CQ1 Є ЕпоІЬ2(Ш, X) на функциях из CC(R,X), где функция (Грина) G имеет вид (3.9). Посчитаем преобразование Фурье G функции G. Для у Є X и А Є К. имеем:
Условия замыкаемости и условия замкнутости генераторов вырожденной полугруппы операторов
Приводимые ниже понятия из теории линейных отношений можно найти в монографиях [68], [72], а также в статьях [10], [11], [12]. Следует отметить, что определение спектра и первые результаты по теории линейных отношений были получены в статье Аренса [62].
Определение 1.5. Любое линейное подпространство А из декартова произведения X х X называется линейным отношением на пространстве X. Линейное отношение называется замкнутым, если А -замкнуто в X хХ. Областью определения отношения А на пространстве X называется подпространство D(A) = {х Є X: существует у є X : (х, у) Є А}. Через Ах,х Є D(A), обознается мноэюество {у Є X : (х,у) Є А}. Ядро отношения А, т. е. мноэюество {х Є D(A) : (х,0) Є А}: обозначим КегА. Мноэюество {у Є X : существует х Є D(A) : (ж, у) Є А} называется областью значений отношения А и обозначается через ІтА. Множество всех линейных отношений на X обозначим через LR(X), а множество замкнутых линейных отношений на X обозначим через LCR{X). Определение 1.6. Суммой двух отношений А, В Є LR(X) называется линейное отношение из LR(X) вида А + В = {{х, у) Є X х X : х Є D(A) П D{B), у = Ах + Вх}, где под Ах + Вх понимается алгебраическая сумма двух подмножеств Ах, Вх. Произведением линейных отношений А, В Є LR{X) называется линейное отношение из LR(X) вида АВ = {(х, z) Є X х X : существует у Є D(A) : (х, у) Є В, (у, z) Є А}. Обратным к линейному отношению А Є LR(X) называется линейное отношение А"1 = {(у,х) Є X х X : (х,у) Є А}. Отношение А Є LR{X) называется ипъективным, если КегА = {0}, и сюръективным, если ImA = X. Замкнутое линейное отношение А называется непрерывно обратимым, если А одновременно ииъективпо и сюрьективно, и тогда А 1 Є EndX.
Определение 1.7. Резольвентным, мноэюестеом замкнутого линейного отношения А называется множество р(А) всех Л Є С, для которых (А — Л/)-1 Є EndX. Спектром замкнутого линейного отношения А называется множество а (А) — С \ р(А). Отображение R(-,A) :р(А) EndX, Я(Л,Л) = (Л-Л/)-1 называется резольвентой замкнутого линейного отношения А. Определение 1.8. Отношение А Є LR(X) перестановочно с оператором В Є EndX, если (Вх, By) Є А для всех (х, у) Є А.
Определение 1.9. Если имеет место включение А С В для отношений А, В Є LR(X), то отношение В называется расширением, отношения А. 1.3 Основные понятия и используемые результаты из теории полугрупп операторов Всюду в диссертации полугруппа операторов понимается в смысле следующего определения.
Определение 1.10. Полугруппой операторов, действующих в пространстве X, называется сильно непрерывная операторпозначная функция Т : (0, оо) - EndX со свойством T(t + s) = T(t)T(s) для всех t,s 0. Всюду в диссертации, по умолчанию, через Т обозначена полугруппа операторов Т : (0, оо) -» EndX. Отметим, что свойство сильной непрерывности функции Т является не столь жёстким, ибо является следствием сильной измеримости функции Т [51, теорема 10.2.3].
Определение 1.11. [51; с. 316} Инфинитезималъным оператором полугруппы операторов Т называется оператор А0: D(A0) С X X, D(AQ) = {х Є X : существует lim }, . T(t)x - х AQx = lim —— . t-o+ t Инфинитезимальный оператор Ао, вообще говоря, неограничен и имеет неплотную в пространстве X область определения. Однако, его область определения D(AQ) плотна в образе полугруппы операторов ImT = [JlmT(t). Кроме того, инфинитезимальный оператор А$: вообще говоря, не замкнут. Наименьшее замыкание AQ оператора AQ, тогда, когда оно существует, называется [51, с 316] инфинитезималъным производящим оператором или инфинитезималъным генератором полугруппы операторов Т.
В случае полугруппы операторов класса (Со) [51; с. 335], т. е. если Г(0) = / и lim T{t)x = х для каждого х Є X, (1.1) оператор Ао имеет непустое резольвентное множество P(AQ) С С, а его резольвента удовлетворяет известному условию Хилле - Филиппса - Иосиды - Феллера - Миядеры [51], [70] из следующей теоремы. Теорема 1.4. [51; теорема 12.3.1 J Для того, чтобы замкнутый линейный оператор U : D(U) С X — X являлся инфинитезималъным оператором полугруппы операторов Т класса (Со), удовлетворяющей для каждого t 0 оценке \\T(t)\\ М, гдеМ 1, необходимо и достаточно, чтобы область определения D(U) оператора U была плотна в X и выполнялись оценки \\R(X,U)n\\ М\ п, при всех X 0 и всех п Є N.
Теорема Герхарта - Прюсса
Отметим, что для общего банахова пространства условие (3.2) необходимо, но не достаточно (см. [13], [70, примеры IV.3.4 и IV.2.7]) для выполнения условия (3.1).
В главе 3 проводится обобщение теоремы 3.1 на более широкий класс полугрупп операторов действующих в гильбертовом пространстве. В рассматриваемом случае полугруппа операторов Т может быть вырожденной и удовлетворяет условию
В условии (3.2) инфинитезимальный оператор Л0 заменяется на генератор Ас полугруппы операторов Т, так как генератор Ас является в этом случае базовым, а спектр а(Ао) инфинитезимального оператора AQ может заполнять всю комплексную плоскость, в связи с чем его использование невозможно. Соответствующий результат содержит Теорема 3.2. Пусть X — гильбертово пространство и пусть полугруппа операторов Т удовлетворяет условию [ T(t)2dt oo. Jo Тогда условие: а(Г(1))пТ = 0 (3.3) эквивалентно одновременному выполнению условий а(Ас)ПгЕ = 0 и 8wp\\R(i\,Ac)\\=Mi oo, (3.4) где сг(Т(1)) — спектр оператора Т(1), Т = {Л є С : Л = 1} и сг(Ас) — спектр генератора Ас Є Gen(T).
Доказательство теоремы 3.2 основано на установлении эквивалентности каждого из утверждений (3.3) и (3.4) непрерывной обратимости дифференциального отношения CQ ИЗ L2(1R, X) х Ь2(Ж, X), которое строится следующим образом. Функция х Є L2(IR, X) принадлежит области определения D(Q) отношения о если существует функция / Є Ь2(Ш,Х), удовлетворяющая для почти всех t s из К. равенству x(t) = T{t - s)x{s) - [ T{t- T)f(r)dT. (3.5) При этом, считается (x, f) Є CQ. Следует отметить, что равенства (3.5) понимаются на представителях класса.
Дифференциальное отношение Со рассматривалось в [63]. Для случая полугруппы класса (Со) оператор Со рассматривался в [13], [14], [15], [16].
Так как (0, /) Є CQ для функции / Є Ь2(Ш, X) со значениями в КегТ, то в случае когда полугруппа операторов Т является вырожденной, имеем линейное отношение Со. Заметим, что задача о непрерывной обратимости отношения Со равносильна задаче о разрешимости и единственности решения следующего дифференциального включения: х(і) Acx(t) + f{t),t s, x{s) =x0E D(Ac), для генератора Ac Є Gen(T) и функции / Є L2(M,X), удовлетворяющей условию (х, — /) Є Со.
В свою очередь, непрерывная обратимость дифференциального отношения Со эквивалентна обратимости разностного оператора 0:Z2(Z,X) Z2(Z,X), (D0x)(n) = x(n) - T{l)x{n - 1), n Є Z. (3.6) Для оператора DQ справедлива следующая Лемма 3.1. [16J Оператор DQ обратим тогда и только тогда, когда выполнено условие (3.3). В 3.1 рассматривается полугруппа операторов, допускающая экспоненциальную дихотомию. По спектральной компоненте строится проектор Рисса. Также строится функция Грина. Параграф 3.2 посвящен доказательству теоремы 3.2. В 3.3 приведён пример полугруппы операторов, соответствующей теореме 3.2.
