Введение к работе
Актуальность темы. Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию допустимости различных пар пространств относительно линейных и нелинейных разностных уравнений. Такие уравнения являются дискретным аналогом интегральных уравнений Вольтерра.
Теория интегральных уравнений Вольтерра за последние десятилетия превратилась в хорошо развитую и далеко продвинутую теорию. В противоположность этому их дискретные аналоги изучены достаточно слабо, хотя, особенно с развитием численных методов, такие аналоги приобретают все большее значение ( А. Д. Эпплби, И. Гуори и Д. Рейнолдс, К. Кьюевас и Пинто, С. Илайди, С. Мукарами, Е. Камияма и др.).
Изучаемые в диссертации разностные уравнения являются естественным обобщением дискретных уравнений, ядра которых зависят от разности аргументов п — к . Глубокие результаты по теории таких уравнений были получены в работах Ф. Д. Гахова и Ю. И. Черского, Н. К. Карапетянца, С. Г. Самко, И. Б. Симо-ненко, В. Б. Дыбина и С. Б. Джиргаловой, Я. М. Ерусалимского, И. Л. Ойнас и других.
В данной диссертации исследуются асимптотические свойства решений разностных уравнений в пространстве 1^ ограниченных последовательностей векторов. Основная задача — выяснить свойства решения в зависимости от свойств свободного члена, а именно, получить условия, при которых решение обладает определенным свойством, если свободный член принадлежит некоторому классу F . Другими словами, требуется указать условия, при которых решение уравнения принадлежит некоторому множеству X , если свободный член лежит в F , т. е. условия допустимости пар пространств (F, X) ( F, X С Iqo ) относительно разностного уравнения Т(х) = f.
Подобные исследования ранее не проводились и потому представляются актуальной задачей.
Цели работы. Исследовать допустимость пар пространств относительно разностных уравнений.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Основные результаты работы:
критерии допустимости различных пар пространств относительно линейных разностных операторов;
связь допустимости пар пространств и устойчивости;
критерий допустимости пары (X , X) ( X С loo ) относительно линейных разностных уравнений с устойчивыми положительными ядрами;
в случае устойчивых ядер, не являющихся знакопостоянными, критерии допустимости пар (ско , ско ) и (Со , Со ) относительно линейных разностных уравнений;
допустимость различных пар подпространств относительно нелинейного разностного уравнения общего вида и уравнения типа Вольтерра - Гаммерштейна.
Методы исследования. В диссертационной работе используются методы математического и функционального анализа, методы теории разностных уравнений, а также методы теории интегральных уравнений.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты представляют интерес для теории разностных уравнений и теории допустимости пар пространств.
Апробация работы. Материал диссертации докладывался на Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» ( Воронеж;, 2001 г.); на международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики» (Казань, 2001 г.); на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения - XIII» (Воронеж;, 2002 г.); на VI и IX Казанских международных летних школах-конференциях «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 2003 и 2009 г.г.); на II международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж;, 2007 г.); на международной конференции «X Белорусская математическая конференция» (Минск, 2008 г.); на IV и V международных научных конференциях «Функционально - дифференциальные уравнения и их приложения» (Махачкала, 2009 и 2011 г.г.); на
Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные вопросы» (Воронеж;, 2011 г.).
С докладами о результатах диссертации автор выступал на международных научных конференциях «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения» в Южном федеральном университете (Ростов-на-Дону, 2011 и 2012 г.г.), а также многократно на семинарах кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Кубанского госуниверситета (руководитель — доктор физ. - мат. наук, проф. 3. Б. Цалюк).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[16]. Из совместных опубликованных работ [1,4] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору. Работы [1]-[3] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Ми-нобрнауки РФ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на 10 параграфов. Объем работы — 120 страниц. Библиография содержит 130 наименований.
