Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Многозначные отображения, порождаемые равномерными гомеоморфизмами пространств непрерывных функций 12
1. Понята еносителя 12
2. Свойства носителя 16
Глава 2. Коммутативные семейства ретракций 20
1. Аналог спектральной теоремы Щепина 20
2. РПРЕ на компактах. Пространства D г и expD1 г 25
3. РПРЕ на пространствах Ср{Х) 28
Глава 3. Равномерно гомеоморфное разложение пространств функций в произведение 37
1. Декартовы ретракции 37
1.1. Конечная тихоновская степень 38
1.2. Пространство ехрпХ 41
2. Равномерно гомеоморфное разложение пространств функций в произведение 44
3. Пространства функций над аГ и его конечными степенями 62
Литература 74
- Свойства носителя
- РПРЕ на компактах. Пространства D г и expD1 г
- Равномерно гомеоморфное разложение пространств функций в произведение
- Пространства функций над аГ и его конечными степенями
Введение к работе
Предмет нашего рассмотрения — пространство Ср(Х) всех непрерывных вещественных
функций на топологическом пространстве X, наделённое топологией поточечной сходимости. Этот объект можно рассматривать либо как топологическое пространство, либо как равномерное топологическое пространство, либо как линейное топологическое пространство. Естественным образом возникает следующая задача.
Данные отношения являются отношениями эквивалентности, а свойства пространств X и Y, которые сохраняются отношением (-, I- или «-эквивалентности, будем называть соответственно /-, /- или «-инвариантами.
В данной терминологии вышеназванная задача формулируется следующим образом: какие свойства топологических пространствуй У являются t-, I- или «-инвариантами?
Свойства носителя
Перейдём теперь к доказательству свойств (І) и (її) носителя suppEx, приведённых на стр.13. Лемма 1,2.1. К(х) cz suppc;c для каждого є 0.
Доказательство. Возьмём точку х ё ker А. Зафиксируем элемент yQ е К(х) и 0. , Покажем, что у0 - є-существенная точка для х. Положим а = тах(є,а (х)), К = К(х) \ {у0 }. По свойству (К2) существуют функции g ,g" =B такие, что g \K. = g"A" и \h(g )(x)-h(g"){x)\ 2a. Возьмем произвольную, не пересекающуюся с К окрестность U точки у0 к функцию geB, такую, что g\ru=g \7vj и ВІУаІ = #"Оо)- ТогДа g \ к м = s"\ двд и ( fr A(g)(jc)-A(g")(A;) а(х) а. Из неравенства треугольника получаем, что і h(g)(x) - h(g )(x)\ а , и кроме того, g совпадает с g на множестве Y\U . Согласно определению это и означает, что о - є-существенная точка для х. Итак, из леммы 1.2.1 следует, что множество suppEx непусто для любого xgkcrA. (& Лемма 1.2.2. Множество snppEx конечно для каждого е 0. Доказательство. Возьмём точку х g ker А и є 0. Так как h - равномерный гомеоморфизм, то существуют 5 0 и конечное множество К с У , такие, что для всех g ,g" є В , таких, что g (j)-g"(y) 5 для всех у е К, выполняется неравенство \ h(g )(x) -h(g")(x)\ &. Покажем, что supptx с К. Зафиксируем точку yQ . К и её окрестность U, не пересекающуюся с К, и возьмём две произвольные функции g\g" є В, совпадающие на множестве Y\U. Тогда они совпадают на множестве , следовательно, \h{g ){x)-h(g")(x)\ s. Это по определению означает, что точка у0 - є-несущественная для х, то есть у0 suppex. Отсюда получаем, что (Свойство (і) носителя доказано. Для доказательства свойства (ii) определим для каждой точки хєХ ,хкегА и для каждого s 0 непустое конечное множество Ke(x)aY, удовлетворяющее условиям (Кєі) а(х,КДх)) е; ty (Кє2) Для каждого собственного подмножества К множества КЕ(х) выполнено неравенство а(х,К ) g. Такое множество можно получить из множества К из предыдущего доказательства, уменьшая его до тех пор, пока оно не перестанет удовлетворять пункту (Kel). Множеств, удовлетворяющих условиям (КєІ) и (КЕ2), может быть несколько, но нам достаточно взять за Кг (х) любое из них. Следующая лемма является аналогом результата, полученного О.Г.Окуневым [17] для случая /-эквивалентности. Лемма 1.2.3. Пусть xQ є X \ ker А , є 0, G - открытое подмножество пространства Y, такое, что suppEx0 г\ G Ф 0. Тогда существует окрестность U точки х0, такая, что КЕ (х) Г\ G 0 для всех х из U. v Доказательство. Можно считать, что suppex0 nG = {y0}, где у0 некоторая є-существенная точка для х0. Тогда, по определению, для окрестности G точки у0 существуют функции g ,g" е В, совпадающие на множестве Y\G, такие, что k(g )(x0) - / (g")(x0) s . г (У Определим U = {х =Х :\ h(g )(x)-h(g")(x)\ є} - искомую окрестность точки х0. Покажем, что для U выполняется утверждение теоремы. Предположим противное; пусть существует точка х G U, такая, что Kt (х) п G = 0 . Тогда g совпадает с g" на множестве ЯГЕ (х), поэтому Kgr)(x) - Ks")(x)\ є - получили противоречие с тем, что х е U и h(g ){x)-h(g"Kx)\ є. /. Из доказанного О.Г.Окуневым для случая /-эквивалентности следует, что отображение supp обладает некоторым более слабым вариантом свойства полунепрерывности снизу. В і» нашем случае это свойство отображения suppe влечёт обычную полунепрерывность снизу отображения supp. Для доказательства этого факта нам потребуется Лемма 1.2.4. Пусть хєХ\kcr А, є 0. Существует 5 0, такое, что КЕ(х) с suppйд:. Доказательство. Возьмем точку у0 еК(х). Положим К = КЕ(х)\{у0}. По определению множества Кй(х) существуют функции g ,g" еВ, совпадающие на множестве К , такие, что \h(g )(x) h(g")(x)\ - Найдётся число 50 0, такое, что Покажем, что у0 esupp8 х. Возьмем окрестность {Уточки у0, не пересекающуюся с К , и выберем функцию g = Bt совпадающую с g на множестве Y\U, такую, то g(y0) - g"(y0). Тогда g совпадает с g" на множестве Ке(х), и следовательно, h(g")(x)-h(g)(x)\ s. Отсюда и из неравенства (1) получаем, что \h(g )(x) — h{g)(x)\ &0. Но g совпадает с g на множестве Y\U, следовательно, у0 - So-существенная точка для х. Если пронумеровать все точки множества К(х) {у\,---,У„}, Для каждого yt подобрать 5; 0 так, чтобы у І была 5, существенноЙ точкой для х, и положить S = min{ 5,-: j и), то получим КЕ (х) с supp5x. Теорема 1.2.5. Многозначное отображение supp: X -» 2Г полунепрерывно снизу. Доказательство. Обозначим для краткости р(х) = supp л:. Нужно показать, что для любого 4 непустого открытого множества G с Y его прообраз р (G) \хє.Х: р{х)r\G Ф0) — открытое множество в X. Пусть G cY - открытое непустое множество, и пусть р (G) Ф 0 . Возьмем произвольную точку д; є р (G). Тогда существует є 0, такое, что suppEx \G Ф0 . По лемме 1.2.3 существует окрестность U точких, такая, что KE(z)r\G э±0 для любой точки z из СЛ По лемме 1.2.4 для каждого z є X и каждого е 0 найдётся 50 0 (зависящее от z и от Б), такое, что /LE(Z) с supps z csuppz, то есть suppznG 0, следовательно, р (G) открыто, и отображение supp х полунепрерывно снизу. Кроме доказанных выше свойств (і) и (И), supp х обладает также свойством минимальности в следующем смысле. Теорема 1.2.6. Пусть х е X. Справедливы следующие утверждения; (а) Если функции g ,g" є 5 совпадают на множестве suppx,то h(g )(x) = h(g")(x). (б) Если F — замкнутое подмножество из Y, такое, что для любых двух функций g ,g" є В, совпадающих на множестве F, выполняется равенство h(g )(x) - h(g")(x) t то suppx с F. Доказательство, (а) Возьмем произвольное є 0 и зафиксируем К (х). Возьмем функции gf,g" B, совпадающие на множестве suppx. По лемме 1.2.4 имеем Ks (х) с: suppx, следовательно, выполняется неравенство \h(g )(x) — h(g")(x)\ z. Так как є - произвольное, получаем h(g )(x) = h{g")(x). (б) Предположим противное. Пусть suppx \ F Ф 0. Тогда существует у0 є suppx, у0 g F . Найдётся є 0 такое, что у0 є suppEx. Возьмем окрестность U точки у0, не пересекающуюся с F . Тогда существуют функции g\g" aB, совпадающие на множестве Y\U, такие, что A(g )00-A(g")(jc) s. Но тогда g совпадает с g" на множестве F и h(g )(x) - h(g")(x). Получили противоречие.
РПРЕ на компактах. Пространства D г и expD1 г
Определение. Пусть Г = {ра : а ю(т); - разделяющее точки семейство ретракций на компакте X. Будем обозначать Са (X) = {/ є С(Х): ра /}, где а а(т). Са(X)- замкнутое подкольцо кольца С(Х). Заметим, что если а -р, то Са (X) с С (Х) . Лемма2.2.1. С(Х)= \JCa(X) . Доказательство. Обозначим С\Х)- \ СЛ(Х). Покажем, что С {Х) различает точки. се«»(т) Возьмём х(, х2 є X, х, х2 Существует ординал а со(т), такой, что ра (х5) Ф ра (х2) и существует функция h Cp(Ха), такая, что Нра(х!)) h{ра(х2)). Возьмём f = hpa- Тогда POL h Ра = / т0 ЄСТЬ / є Са (Х) и Лх\) = КРа (Х1)) КРа (Х2 )) = /( ) » СЛСДОВаТСЛЬНО, № Я і) /( 2). Итак, С (АГ) различает точки и, следовательно, в силу теоремы Стоуна-Вейерштрасса является всюду плотным подкольцом кольца С{Х), Пусть f є С(Х) , тогда / = Нт /„ для некоторой последовательности /а е С (Х). Пусть /„ е Са {X). Множество {ссл : и є N} счётно и потому не конфинально со(т), следовательно, существует ординал а ш(х), такой, что (л ал а для каждого и є N. Тогда /п є C„(JO для каждого п є JV, и так как СЙ(Х) замкнуто, то / = Ііш/И є С5(ЛГ), следовательно, С(Х) = C (Jf). И—МО Следствие 2.2.2. Для любой функции / є С(Х) существует ординал а a(x), такой, что pa f, иными словами, Г - сопряжённо покрывающее семейство ретракций. Следствие 2.23. Каждое разделяющее ПРЕ на компакте является РПРЕ. v Далее мы покажем, что на пространствах D 2 и ехр 3 существуют РПРЕ. Для каждого а а 2 положим Za = DH , Ха = Jjzp , X = ДZp, У = ехрX. Очевидно, что X Хг, 7sexpDNi и Ха = для всех а ш2 . Определим семейство ретракций Г — {га : а (о2} на пространстве X, Для каждого X = (jfp)p Cj є X положим Заметим, что га(Х) = Ха sZ Nl, поэтому nw(r„[x])=w( [x])=w(DNl)= i(cM. [11]). Семейство Г является коммутативным, сжимающим, поточечно непрерывным и разделяющим, поэтому по следствию 2.2.3 оно является РПРЕ. ,., Также определим семейство ретракций Г = { :а ш2} на пространстве ехрХ. Положим га = ехрга для каждого а и 2 Предложение 2.2.4. Пусть Г = {га : а ш(т)} - ПРЕ на компакте X. Тогда ехрГ = {ехр/-а :а ш(т)}- РПРЕ на компакте ехрХ. Доказательство. По следствию 2.2.3 достаточно проверить наличие свойств (Rl) — (R4) у tVy семейства ехрГ. (R1),(R2) и (R4) доказываются тривиально. (R3) Докажем, что iim(expr0l)(/r) = (expr„)CF ) для любого предельного ординала а со(т) и а— а для любого F є ехр X. Для этого нам потребуется вспомогательное ( Утверждение 2.2.5. Пусть F — замкнутое подмножество в X, а — предельный ординал, меньший w(x), и U — открытое подмножество в X, такое, что ra[F]c[/. Тогда найдётся ординал сс0 а,такой, что ra[F]СU ДЛЯ всех а сс0. Доказательство. Предположим, что утверждение неверно. Тогда существуют замкнутое множество F =Xt предельный ординал а о (г), открытое множество Uz rE[F], трансфинитная последовательность ординалов {Ра:а а}, сходящаяся к а, и множество tf \х : а а]с F, такие, что r (х$ )&U для каждого а а . Так как F—компакт, то, переходя к подпоследовательности, можно считать, что существует предел трансфинитной последовательности (хв )„ гг, принадлежащий F. Обозначим х= Іігплго , xtF. Далее, также переходя при необходимости к подпоследовательности, можно считать, что существует предел последовательности (г (х ))a s - Обозначим у - lim Гра (хРа). Так как limxR -х, то Hm%(;cn ) = гп(х), а так как lim г» ( )-у, то /j( )= 1іяі/-й од ( )=limr3 ( )-у, то есть гг(; ) = _у. Получаем следующую цепочку равенств rs(x) = limre (х) = lim «j (lim хе ) = lim litn rB ( ) = lim lim/ r6 (xb ) = Ii%rpv(lim b ()) = limЪ00 = ru(y) = у = l\mrp (xp ). Следовательно, lim r (дгр) = r- (x), и так как Гр (jcPa) і U для каждого a a , то / (x) Й С/, но r„ (JC) е Гц [F] С f/. Получили противоречие. Утверждение доказано. Перейдём к доказательству пункта (R3). Зафиксируем предельный ординал а ю(т), точку FeexpX и окрестность О точки (expr )(F) в пространстве ехрХ. Напомним, что множества вида (JJ) — {К є ехрХ: К с U) и [[/]= {К є ехрX : К C\U 0}, где U — открытое множество в X, образуют предбазу (В пространства ехрХ, поэтому достаточно рассмотреть случай, когда Ов(В. Если 0 = {и} для некоторого открытого U, то по утверждению 2.2.5 \/ найдётся ординал а0 а, такой, что ra[F\ d U для всех a a0, то есть (expra)(F) є (U) для всех a a0 . Если О = [и] для некоторого открытого U, то найдётся элемент х є F, такой, что г„(х) є U, а поскольку семейство ретракций {га:а со(т)} поточечно непрерывно, то найдётся ординал a0 a, такой, что ra(x)tU для всех a a0, то есть (expra)(F)e [[/] для всех a a0 . Свойство (R3) и предложение 2.2.4. доказаны. Теперь приведём фрагмент доказательства того, что компакты D 2 и expDN2 не гомеоморфны. Пусть это не так, и пусть h: X - Y - гомеоморфизм пространства X на Y, где X и Y - построенные выше пространства, гомеоморфные пространствам D 2 и ехр Dx 2, соответственно. Поскольку определённые выше семейства ретракций Г и Г являются РПРЕ, то по следствию 2.1.5 найдутся ординалы сс,р о(т), такие, что имеет место коммутативная диаграмма.
Равномерно гомеоморфное разложение пространств функций в произведение
Зафиксируем iel,n, X G Кі и рассмотрим множество .). Так как по условию ДДҐ(а) пЛг(я " 1)]= {О}, то для функции glw = Я( а)(/): X" 1 -» Л (где Я( Х) - двойственное отображение к отображению Я(г1)) выполнено условие g(,-ij.)[ ( n 1 n 2)J= {0/ следовательно, (І,І) є Ср(лГм_1 jf("-, " 2) j, поэтому по индуктивному предположению существует непустое, ие содержащее точку 0 конечное подмножество К eFinyX" \Х " " J, такое, что
Возьмём Кц у= Н(1К-)\К 2 \. Так как К Х)Г\Х " —0, то из (2) следует, что Ку k) г\ X " " l) = 0, то есть ЛГ(/ф .) є Fin Q,.д) \ Л " " 1 j, причем из условия (4) получаем, что Лхт Щш]=/\Р(ш\? 1 Jl t/l ""1 wbswok"-1 \ tw]cH.4 Положим К = U O A) є F nX" Тогда Индукция полная, следовательно, H yF fa C0(x). Докажем обратное включение. Б) Определим отображение GM : С0(х) Rx следующим образом: G(m)(g)(x) = О, если ЇЄІ(,И), (?c",fe)0 n) = g(a) для любого є jf" \jf("-"-1) =у « . Покажем, что G(m)(g) є Cp(jfJBArt,"J" 1 ) для любой функции g є С0(х). Возьмём g є С0( ), е 0 и обозначим f = Gi,")(g). Из непрерывности g следует, что найдётся непустое конечное множество К є Fin X, такое, что g[X\K]c(-s,s). Обозн ачим К ={уа :a =K} zXm\ X{m m-l). Тогда f[xn\K] = f[xim"-1)]vf[Yim)\K]={0}\Jg[X\K]c(-EtG). Если обозначить ,-=л,.[], /eU, то Дх\К1)х...х(х\Ктс:/[х" \к\с (-е,е), следовательно, функция / непрерывна на JT", а так как /[A "" -1 {О/, то /єСр(хт\х{т-т-1)). Итак, мы получили, что G(m)[C0(x)]cС/,(л""лГс",,,, )). Кроме того, #(ffll и Gt,4) - инъекции и #w о Gw = idq ), следовательно, отображение Я(и) - биекция и . Тот факт, что Н - гомеоморфизм, следует из линейности отображения Я - " и его ограниченности (так как //(m)(/) =[j/[ ДЛЯ любой функции f Cp[xm\x{m m-V))). ш Предложение 3.3.2. Для любого meN существует линейный гомеоморфизм 1 :{С0(Х)Г С0(Х), такой, что 1 (/.,-..,/,)1 = 1(/1,.-,/.)1, где(/і /я)в{С0{х)У. Доказательство. Возьмём топологическую копию Y пространства X: Y = {О} ! 1 : і el,m, ає [l,co(i;))j, где точки у объявляются изолированными, а окрестностями точки 0 являются множества вида Y \ К, где К є Fin Y, 0 К, Определим отображение L(m): (С0( ))" — й следующим образом: Нетрудно убедиться, что данное отображение является линейным гомеоморфизмом пространства {С0{Х)У на CQ(x). Обратное к нему отображение имеет вид ( 00 = (/1,...,.0, где /((0) = CO),/((a) = g( ). Теперь, опираясь на полученные результаты, мы докажем, что пространства аГ и (осГ)" и-эквивалентны, как и было обещано в начале параграфа 2. Одним из основных результатов этого параграфа является следующая Теорема 3.3.3- Для любого п є N и любого 5 0 существует равномерный гомеоморфизм Н):ф")- С0{Х), такой, что для любой функции f eC0\X"j выполняется неравенство о+8гчд4Щп)(л\\ Ы\- (6) Доказательство. По следствию 3.2.20, для любого 8 0 существует равномерный гомеоморфизм 5д(я) : Ср(хпЩ П(ср(лГтхКя,-]))) " , для которого выполняется неравенство (6). По предложению 3.3.1 пространство Ср уХт x(m,m_1) J можно без изменения нормы элементов линейно отождествить с пространством С0[Х). Таким образом, можно считать, что 53(и) — равномерный гомеоморфизм пространства CQ\X") на пространство f[(C0(x))c" =(С0{Х))&" =(С0(,Г))2М, но пространство (С0( ))2"4 по предложению 3.3.2 m=l Л 67 линейно гомеоморфно и без изменения нормы отображается на Са(х), откуда и получаем утверждение теоремы, Теорема 3.3.4. Для любого neiV и любого е 0 существует равномерный гомеоморфизм V , Щп):Ср{х") с0{г), такой, что для любой функции / є С \Х"J выполняется неравенство а+в)- 1/1 1 (/)1 1/1- 7 Ч І Доказательство. Очевидно, что CQ(x) и Лхс0(г) могут быть линейно топологически отождествлены с пространством с0(Г) без изменения норм элементов. Возьмём произвольное 0 и выберем 5 0 так, чтобы (l + б)2 (1 + Е) . По лемме 3.2.1 существует равномерный гомеоморфизм 5s: Ср \Х") - Rх Ср \Х"I {0 }), такой, что По теореме 3.3,2 существует равномерный гомеоморфизм Sff}: СДХ"! о})- с0(г), такой, что для любой функции / є СДА""П 0} J выполняется неравенство (6). Композиция S = dFxS 4)j& есть равномерный гомеоморфизм пространства Ср\Х") на пространство R хс0(г), отождествленное нами с с0[Г). Из формул (6) и (8) следует, что выполнено неравенство (1 + 5) "2]/ L?s"(/) /, / &Ср\Хп), которое, в свою очередь, влечёт неравенство (7).
Пространства функций над аГ и его конечными степенями
Доказательство. Очевидно, что CQ(x) и Лхс0(г) могут быть линейно топологически отождествлены с пространством с0(Г) без изменения норм элементов. Возьмём произвольное 0 и выберем 5 0 так, чтобы (l + б)2 (1 + Е) . По лемме 3.2.1 существует равномерный гомеоморфизм 5s: Ср \Х") - Rх Ср \Х"I {0 }), такой, что По теореме 3.3,2 существует равномерный гомеоморфизм Sff}: СДХ"! о})- с0(г), такой, что для любой функции / є СДА""П 0} J выполняется неравенство (6). Композиция S = dFxS 4)j& есть равномерный гомеоморфизм пространства Ср\Х") на пространство R хс0(г), отождествленное нами с с0[Г). Из формул (6) и (8) следует, что выполнено неравенство (1 + 5) "2]/ L?s"(/) /, / &Ср\Хп), которое, в свою очередь, влечёт неравенство (7). Сформулируем теперь главный результат данного параграфа. Будем рассматривать пространство а X" - одноточечную александровскую компактификацию прямой суммы всех конечных степеней пространства X = ссГ. В случае T=N пространство а Ф (аГ)" гомеоморфно отрезку ординалов [і,а ш]. В работе [14] С.П.Гулько установил, что отрезки ординалов [і,со] и [і, ош] w-эквивалснтны, что явилось ответом на вопрос о различении отношений /- и м-эквивалентности, поставленный А.В.Архангельским в [12] (поскольку эти отрезки ординалов не являются /-эквивалентными (Бессага и Пелчинский, [13]). Другими словами, при счётном Г пространства аГ и а ( хГ)" «-эквивалентны, но не / эквивалентны. Следующая теорема позволяет обобщить результат, полученный С.ПХулько, для случая произвольной мощности пространства Г, Теорема 3.3.5. Для любого є 0 существует равномерный гомеоморфизм выполняется неравенство такой, что для любой функции f єСр Доказательство. Обозначим Y = a \ Ф X" \ и положим {XQ} = У\\)Х" . Возьмём n=l J «=i произвольное є 0 и выберем 8 0 так, чтобы (і+ 8) (l + e). По лемме 3.2.1 существует равномерный гомеоморфизм S&: Cp(Y) — Rх Ср(у {х0}), такой, что о+бг Ц/ р.слЦ Ц/ц. f cp{Y). (ю) Легко видеть, что пространство Cp{v\ {х0}) может быть отождествлено (без изменения норм элементов) с с0-произведением (ср(Х)хСр(х2)х...хСр[Х")х.,.\ . По теореме 3.3.4 существует равномерный гомеоморфизм S :Ср\Х") —»с0(г), такой, что для любой функции f є С_\Х" ) выполняется неравенство ДДЯ / = (/і,Л "-./и»---)єС ( )хСр( 2)х"-хС ( ")х-"- Очевидно, что S5 есть биекция Cp(X)xCp[x2jx..,xCp[X")x... на с0(г)хс0(г)х... . В силу формулы (11) имеем равенство 55[(с/,(Х)хсДх2)х...хсД в)х...)Со]=(с0(г)хс0(г)х...)в. Кроме того, из формулы (11) следует, что выполнено неравенство Композиция 5, = {idJ!x5s)o5 5 есть равномерный гомеоморфизм пространства Ср(у) на пространство Дх(с0(г)хс0(г)х:,.. )с , Из формул (10) и (12) следует, что выполнено неравенство (1 + 5)"3/ 5Е(/) /[, /&Ср{ї), которое, в свою очередь, влечёт неравенство (9). Отождествив теперь Лх(с0(г)хс0(г)х...)с с с0(г) и полагая SE =S, получаем утверждение теоремы, Следствие ЗЛ.6. Пространства X = ссГ и Y = а Ф X" «-эквивалентны. Докажем теперь, что эти пространства не являются /-эквивалентными. По теореме Павловского [8] для полных по Дьедонне пространств X и Y из линейного гомеоморфизма С (Х) = С (Y) следует линейный гомеоморфизм C(X)=C(Y) при условии, что С(Х) и C(Y) наделены компактно-открытой топологией. Из этой теоремы следует, в частности, что если Хи і і Y - компакты, то из СJX) CJY) следует линейная гомеоморфность C(X) = C(Y) уже банаховых пространств, впрочем, это сразу же вытекает из теоремы Банаха о замкнутом графике. Учитывая это, достаточно доказать, что С(аГ) ф. С а Ф (аГ)" V ч-« J J Определение. Два банаховых пространства X и Y будем называть изоморфными (X У) тогда и только тогда, когда существует линейный гомеоморфизм X на У. Известно, что X Y тогда и только тогда, когда существует линейное отображение L пространства X на Y и константа К, такая, что Если условие (13) выполнено для некоторогоL, мы будем писать Х Y. В частности, Х У означает, что Хи Гизометричны. Будем говорить, что пространства X и Y имеют одинаковую линейную размерность (X = Y), если каждое из пространств А"и Y изоморфно некоторому подпространству другого. dim Мы говорим, что X имеет меньшую линейную размерность, чем У (X У), если существует dim подпространство в У, изоморфное Хи не существует подпространства в X, изоморфного Y. Данные определения и обозначения были использованы Бессагой и Лелчинским в [13]. Предложение 3.3.7. R" С„(аГ) для всех ие//. dim Доказательство. Очевидно, что R" изоморфно подпространству пространства Ср(аГ). С другой стороны, в R" не существует пространства, изоморфного С (аГ), поскольку R" конечномерно, а Ср(аГ) бесконечномерно.
