Содержание к диссертации
Введение
1 Представление однолистных функций с помощью композиций 18
1.1 Параметрический метод представления однолистных функций 18
1.2 Геометрическое условие плотности композиций 22
1.3 Необходимое и достаточное условие плотности композиции 31
2 Аппроксимация однолистных функций с помощью композиций 43
2.1 Формулировка основного результата второй главы . 43
2.2 Вспомогательные утверждения 44
2.3 Аппроксимация функции из класса S функцией из класса SM 47
2.4 Аппроксимация в окрестности единицы 50
2.5 Оценка скорости аппроксимации по полунормам . 64
2.6 Оценка скорости аппроксимации для функций, представимых с помощью уравнения Лёвнера 70
3 Смежные вопросы 76
3.1 Сходимости итеративных последовательностей . 76
3.2 Оценка времени существования решения в задаче Хеле-Шоу 89
Литература 97
- Геометрическое условие плотности композиций
- Необходимое и достаточное условие плотности композиции
- Аппроксимация функции из класса S функцией из класса SM
- Оценка времени существования решения в задаче Хеле-Шоу
Введение к работе
Различные классы голоморфных однолистных функций используются в геометрической теории функций комплексного переменного, математической физике и других разделах математики. Характеризующиеся простой и наглядной геометрической интерпретацией, данные классы имеют сложную аналитическую структуру. Одной из причин, вызывающих эту сложность, является нелинейность рассматриваемых классов. Однако многие из них замкнуты относительно операции композиции, что позволяет их рассматривать как топологическую полугруппу.
Наиболее простым классом, обладающим полугрупповым свойством относительно операции композиции, является класс Л4 голоморфных однолистных функций в единичном круге Ю) = {z : \z\ < 1}, отображающих Ю) в себя и нормированных условием /'(О) > О, /(0) = 0. Единицей в данной полугруппе служит тождественное отображение.
Класс Л4 имеет тесную связь с наиболее известным и хорошо изученным классом S однолистных функций в Ю>, с нормировкой /'(0) = 1, /(0) = 0. Из условий нормировки следует, что если g(z) Є М, то g(z)/g'(0) Є S. Кроме того, функции g{z)/g'(0) образуют плотное подмножество класса S, когда функция g(z) пробегает весь класс М..
Используя групповую структуру класса Лч, Лсвнеру [54] удалось получить представление всюду плотного подкласса класса S с помощью дифференциального уравнения. Это уравнение было обобщено П.П. Куфаревым [IS] и в дальнейшем В.Я. Гутлянским показано [11], что в его терминах описывается весь класс S,
Так же с успехом удалось применить групповой подход для получения параметрических представлении других классов голоморфных однолистных функций, имеющих более сложную структуру и нормировку. Так, в работах Г.М. Голузина [9] и Комацу [48] получело представление функций однолистных в кольце. Работы В.В. Го-ряйнова [6, 7] посвящены представлению функций, отображающих единичный круг в себя и имеющих граничную нормировку. Аналогичное представление для функций, отображающих полуплоскость и полосу, а также имеющих гидродинамическую нормировку, было получено в работах В.В. Горяйнова [6], П.П. Куфарева [21], Н.В. Поповой [23, 24].
Важно отметить, что параметрический метод позволил решить ряд классических задач теории конформных отображений, в частности, на нем основано доказательство де Брапжа [36] знаменитой гипотезы Бибербаха. Параметрический метод дал возможность использовать классическую схему оптимального управления для решения ряда экстремальных задач геометрической теории функций [26, 27, 60], он так же имеет ряд приложений в математической физике [65, 42, 45] и теории вероятностей [8]. Вполне объективное представление о применении данного метода дают монографии А.И. Александрова [1],Г.М. Голузина [10], Дюрена [38], Поммеренке [59], Д. В. Прохорова [60].
Дискретным аналогом представления однолистных функций при помощи дифференциальных уравнений является представление с помощью композиций. Одной из первых работ, где на это было об- ращено внимание, является статья В.В. Горяйнова [5], в которой показано, что функции вида аха2 ... anpl\ о РЦ о ...р, aj > 1,7j Є R, j = 1,..., га, (1) ще функция PZ(Z) = */<* + а2-г2 + ... отображает Б> на единичный круг с радиальным разрезом с концевой точкой в е17, образуют всюду плотный подкласс класса S.
Отличие представления однолистных функций с помощью композиций от представления при помощи решений дифференциальных уравнений заключается в том, что оно, давая описание только плотного семейства функций класса «S, требует лишь конечного или счетного числа параметров.
Целью настоящей диссертационной работы является развитие метода представления однолистных функций с помощью композиций канонических отображений.
Первая глава посвящена качественным аспектам данной проблемы. Как уже было отмечено, представление однолистных функций в виде композиций имеет тесную связь с их параметрическим методом представления. Исходя из этого, первый параграф первой главы, посвященный описанию параметрического метода, дает первое приложение данного метода к задаче представления однолистных функций в виде композиций.
Предпосылкой для результатов первой главы послужили работы [12, 56, 58]. Работа [5G] посвящена представлениям функций, отображающих ID на гиперболически выпуклые треугольники с внутренними углами, равными 7г/2п, п N в виде: f(z) = kZ:okZ-_\o...okl\(z), (2) kl{z) = е^ка{е~1Ъ), 0 < а ^ 1,7 Є R и *о(г = і ^ //і « , ГГ' 2 є В'
1 - г + VIі - Ч + 4а г
Функция &Q(z) отображает В на гиперболический двуугольник. В работе [58] получено представление для функций класса Шотки, подобное (2), однако использующее бесконечное число функций в композиции. В работе [12] рассмотрено представление для функций, отображающих Р на гиперболически выпуклый многоугольник со внутренними углами вида ^, га Є N, а так же для логарифмической функции и эллиптических интегралов первого рода, но уже с помощью композиций функции квадратного корня и дробно-линейного отображения.
Как продолжение идей, используемых в перечисленных работах, во втором параграфе первой главы найдено геометрическое условие на семейство функций, гарантирующее плотность композиций из этого семейства в классе Л4. А именно:
Теорема 1. Пусть дано семейство функций гр,0 Є К из класса Л4, удовлетворяющее следующим двум условиям: (і). г0 = z, 7-^(0) > г^(0) при / < /. (И). Пусть для любого а Є [0; 1] существует /? такое, что ка -< гр ф z.
Тогда композиции функций rl(z) = єі7г^(е %1z), 7 Є К плотны в классе М.
Нотация / Ч g означает, что функция / подчинена функции д. В случае однолистности подчинение f < д эквивалентно включению /(В) с д(Ш).
Необходимо отметить, что данное условие было получено без использования параметрического представления однолистных функций и основано только на геометрических свойствах конформных отображений. Таким образом, данный результат показывает относительную независимость представления однолистных функций с помощью композиций и параметрического метода Лёвнера.
Второй параграф первой главы посвящен условию на семейство функций гр,Р Є Е из класса М, необходимому и достаточному для того, чтобы композиции функций rZ(z) = etyr^(e~iyz), 7 Є R были плотны в классе Л4. Данное условие выражено в терминах параметрического метода представления однолистных функций. Хотя оно и сложнонримснимо па практике, однако методика получения данного результата служит идеологической основой для результатов второй главы и в некоторой степени затрагивает методы, используемые в третьей главе.
Результаты, полученные в первой главе, вместе с работами В.В. Го-ряйнова [4, 6] послужили отправной точкой для исследований, носящих уже количественный характер, проводимых во второй главе.
Заметим, что наиболее простое семейство функций, композиции которых плотны в классе S, составляют функции вида (1). Поэтому в качестве приближающих функций выбраны именно они. Так как класс S является подмножеством пространства всех аналитических функций в Р, естественно рассматривать приближения именно в этом пространстве, где топология задана с помощью полунорм ||/(2)||г = тах|/(г)|,0<г< 1. (3)
Во второй главе так же рассмотрена скорость приближения по полунормам вида \i = W)\, (4) где 1(.) - линейный функционал на пространстве всех аналитических функций в О. Приближения по данным полунормам представляют особенный интерес, так как с помощью линейных функционалов в качестве решения экстремальной задачи вида maxRe[l(f)], описываются опорные точки класса
Теорема 3. Для любой функции f Є S и любых двух натуральных чисел п, т, существуют cxj, 7j} j = 1,2,..., пт, такие, что ||/ - оца2 . ..аптР1\ орЦ о . ..pl\\r
Теорема 4. Для любого линейного функционала 1(.) существует константа Сі такая, что для любой функции f Є S и любого натурального п > 1 существуют (Xj,jj,j = 1,...,4п, такие, что справедливо неравенство ||/ - сад . ..ОпРІ\ орЦ о .. .ріі^ ^ G-^p.
Для доказательства данных теорем была выработана следующая схема построения приближения. Сначала функция / Є S аппроксимируется функцией /м Є «5Л/, /лгМ/М Є М. Затем используя полугрупповую структуру класса М представляем функцию /m{z)/M как композицию функций из окрестности тождественного отображения. Оказывается, данную окрестность можно рассматривать как "почти линейиое,|прострапство с "почти линейной"операцией композиции, что дает возможность использовать линейный аппарат приближения.
С помощью данной схемы хорошо удается объяснить роль каждого слагаемого в правой части (5). Так, первое слагаемое отражает нелинейность операции композиции в окрестности тождественного отображения, второе отвечает за погрешность линейного приближения, а последнее связано с аппроксимацией функции / Є S функцией /м Є «5мі Im(z)/M Є Лі. Отличие полунорм ||.||/ от |j.j|r заключается в том, что составляющая в оценке скорости аппроксимации, связанная с применением линейного аппарата, обращается в нуль. Поэтому две другие составляющие были объединены и оценка для полунорм ||.||/ содержит только одну составляющую.
Данная схема навязывает структуру второй главе. Второй пара граф второй главы посвящен формулировке и доказательству вспо могательных результатов, носящих технический характер. Решение вынести их в отдельный параграф было принято с целью умень шить различие в получении оценок скорости аппроксимации для полунорм ||.||г и ||.||(. Третий параграф второй главы посвящен при ближению функций / Є S функциями из класса в нем по лучена оценка для полунорм [|.|[г, и, как следствие из нее, оценка для jl-ll;. В четвертом параграфе рассматривается приближение в окрестности тождественного отображения, причем для обоих видов полунорм вычисления будут проводиться параллельно, показывая, таким образом, общие места и различия в схеме аппроксимации. В пятом параграфе, комбинируя результаты двух предыдущих, будут даны оценки скорости приближения по полунормам [|.||г и ]|.||f, причем рассмотрение будет вестись опять же параллельно, насколько это возможно. Важно отметить, что по полунормам ||.||; порядок приближения лучше, чем по полунормам вида ||.[|г.
Последний параграф второй главы посвящен приближению специального вида функций, а именно - представимых с помощью уравнения Лёвнера. В частности, к таким функциям относятся все функции, отображающие D на плоскость с одним или несколькими разрезами по жордановым дугам. Данные функции обычно возникают в экстремальных задачах, связанных с оценками коэффициентов однолистных функций [47, 46, 63, 64]. Хотя данный результат и использует рассуждения предыдущих параграфов, он имеет несколько отличную и более простую структуру и позволит применить теорию аппроксимации в линейных пространствах для получения оценок на скорость аппроксимации для функций, представимых с помощью уравнения Лёвнера.
В третьей главе рассматриваются две задачи, напрямую не относящиеся к первым двум главам. Связующим звеном, объединяющим работу в единое целое, является параметрический метод представления однолистных функций. В первом параграфе третьей главы он служит методом решения задачи. Во втором параграфе рассматривается задача математической физики, описываемая уравнением того же типа, что и уравнение Лёвнера-Куфарсва. Перейдем к более подробной формулировке результатов третьей главы.
Исследование свойств композиций различных функций не было характерно для геометрической теории функций комплексного пс- ременного. С другой стороны есть целый раздел комплексного анализа, а именно - комплексная динамика, посвященный данной проблематике. В последнее время в этой ветви комплексного анализа активно обсуждается следующая задача, которой и будет посвящен первый параграф третьей главы.
Пусть дана гиперболическая область D комплексной плоскости С и семейство Т функций / : D —» D. Назовем Fn итеративной последовательностью для семейства J-, если существует последовательность функций fn Є Т такая, что Fn — f\ о ... о fn. Нас будет интересовать следующая проблема: При каких условиях на семейство J- и область D последовательность Fn сходится к посгпоян-ной функции внутри области D?
Данная проблема имеет достаточно длинную историю. Так, классический результат Данжуа-Вольфа [39, 66], полученный в первой четверти двадцатого века, утверждает: если семейство J- состоит из одной функции и D совпадет с единичным кругом В = {z : \z\ < 1}, то последовательность Fn сходится к постоянной функции, чье значение лежит в В. В дальнейшем вопрос о сходимости последовательности Fn при различных условиях на семейство Т и область D изучался в работах [29, 30, 31, 32, 33, 40, 49, 52, 53, 62].
Например в работе [31] отмечена тесная связь сходимости последовательности Fn и структуры полугруппы Fa, образованной из всевозможных композиций функций, принадлежащих семейству J-'. Так, в ней было показано, что если ,7 не содержит постоянных функций со значениями, принадлежащими 3D, и тождественного отображения, то последовательность Fn сходится к постоянной функции, чье значение лежит в D. Это является распространением аналогичного результата, полученного в работе [29] для случая в котором D совпадает с единичным кругом В> = {z : \z\ < 1}.
Первый параграф последней главы посвящен случаю, когда !Fq не содержит постоянных функций со значениями, принадлежащими dD и допускает содержание тождественного отображения. В этом контексте дается необходимое и достаточное условие того, что последовательность Fn сходится к тождественному отображению.
Для того, чтобы сформулировать следующий результат, нам понадобится характеристика f+(z) функции f(z) в точке z, определенная следующим образом: пусть pd(z\, z%) - гиперболическое расстояние в области D между точками zi,Z2 Є D. Тогда положим r(,)=iimpD(/(f'/(f)), ,,,, є а
Сформулируем результат первого параграфа в следующей теореме:
Теорема 6. Если J-'q не содержит постоянных функций, чье значение леоюит в 3D и точка zq Є D, тогда для того, чтобы последовательность Fn сходилась к постоянной функции, необходимо и достаточно, чтобы ряд <х> п=1 расходился к бесконечности или хотя бы одна из fn была константой.
Данная теорема позволяет полностью исследовать случай, когда существует компактное множество Q С D, такое, что для любой функции / Є Т справедливо f(Q) С Q. Данное следствие имеет тесную связь с работами [33, 40, 49, 52], в которых проводилось исследование: при каких условиях на область Dq С D, такой, что f(D) С А),/ Є T, гарантируется, что последовательность Fn имеет среди своих предельных точек только постоянные функции. Наиболее общее условие на область Dq, известное в настоящее время, заключается в том, что она не должна содержать гиперболических кругов со сколь угодно большим радиусом.
Последний параграф третьей главы посвящен задаче о течении вязкой жидкости в ячейке Хеле-Шоу. Математическая модель этого явления имеет следующий вид: рассматривается двумерное потенциальное течение жидкости, описываемое с помощью поля скоростей v — (vx, vy). Потенциальность течения выражается тем, что скорость пропорциональна градиенту давления: v = — Vp.
Используя несжимаемость жидкости, получаем, что div v = 0 или Ар = О, за исключением особенностей поля скоростей.
Рассмотрим плоскую односвязную область Д), заполненную жидкостью со стоком мощности Q. Не уменьшая общности можно считать, что область Dq содержит нуль, являющийся стоком мощности Q — \, Нас будет интересовать поведение области с жидкостью во времени: D(t),D(Q) = D0,t^0.
Одним из удобных средств описания данного процесса являются конформные отображения. Пусть голоморфная функция f(z,t),f{o,t)>o1№t) = o отображает единичный круг В на область D{t). В случае, когда можно пренебречь поверхностным натяжением, функция f(z, ), как было показано в работах [3, 25], будет удовлетворять следующему граничному условию:
Данное граничное условие может быть сведено к уравнению того же типа, что и уравнение Лёвнера-Куфарева.
О трудности данной задачи говорит отсутствие до недавнего времени работ, посвященных оценкам времени существования решения в зависимости от начальных условий. Лишь недавно, в работе [42] было получено доказательство бесконечно долгого существования решения в случае источника и звездообразной начальной области с аналитической границей. Последний параграф третьей главы тоже посвящен нахождению оценок па время существования решения краевой задачи (7), в нем рассматривается случай стока и начальной области, заданной с помощью полиномиальной функции N f(zt 0) = cnzn.
Несмотря на сложность исследуемой задачи, для нее известен целый ряд законов сохранения [20, 41, 61]. Также имеется целый ряд работ, посвященных сохранению и изменению различных геометрических характеристик области D(t) [28, 43, 44, 45].
Определяющим для получения результата на оценку времени существования является сохранение во времени степени полиномиальной функции, описывающей изменение области D(t).
Для формулировки результата введем в рассмотрение следующие величины: max |У2(;г)| = Л/, max 11//5(^)1 = 1/m. |г|=1 |z|=l
Пусть „ Мт + 2irNM К 2 с=м(4+2^("!+м))- \т га6 /
Справедлива следующая
Теорема 7. Если начальное условие задано с помощью полиномиальной функции степени N, то решение краевой задачи (7) существует для всех і Є [0, 4/fc)-
Основные положения, выносимые на защиту:
Достаточное геометрическое условие плотности композиций из заданного семейства в классе М.
Критерий плотности композиций из заданного семейства в классе Ad в терминах параметрического метода представления однолистных функций.
Приближение функций из класса S с помощью композиций функций Пика по полунормам |[.|[г и |[.||;.
Приближение функций, представимых с помощью уравнения Лёвнера.
Задача о сходимости итеративных последовательностей.
Оценка времени существования решения в задаче Хеле-Шоу о течении вязкой жидкости.
Результаты диссертации являются новыми и получены полностью самостоятельно. Они были опубликованы в работах [13, 14, 15, 16, 17, 50, 51] и доложены на международной конференции "Complex Analysis and Potential Theory"(Киев, 2001 г.), 11-й и 12-й Саратовских зимних школах "Современные проблемы теории функций и их приложения "(Саратов, 2002 г., 2004 г.), международной школе-конференции "Геометрический анализ и его приложения "(Волгоград, 2004 г.).
Данная работа, в ходе которой получены результаты диссертации, была поддержана следующими грантами: грант INTAS - проект 99-00089; гранты РФФИ - проекты 01-01-00123 и 04-01-00083, грант федерального агентства министерства образования РФ - проект А04-2.8-386.
В работе используется следующая нумерация. Теоремы, леммы и предложения имеют сквозную нумерацию, параграфы и формулы — нумерацию по главам.
Автор считает своим долгом выразить благодарность научному руководителю Д. В. Прохорову и всем участникам Саратовского семинара по "Геометрической теории функций комплексного переменного" за ценные замечания и постоянное внимание в процессе выполнения диссертационной работы.
Геометрическое условие плотности композиций
С помощью данной схемы хорошо удается объяснить роль каждого слагаемого в правой части (5). Так, первое слагаемое отражает нелинейность операции композиции в окрестности тождественного отображения, второе отвечает за погрешность линейного приближения, а последнее связано с аппроксимацией функции / Є S функцией /м Є «5МІ IM(Z)/M Є Лі. Отличие полунорм ./ от j.jr заключается в том, что составляющая в оценке скорости аппроксимации, связанная с применением линейного аппарата, обращается в нуль. Поэтому две другие составляющие были объединены и оценка для полунорм ./ содержит только одну составляющую.
Данная схема навязывает структуру второй главе. Второй пара граф второй главы посвящен формулировке и доказательству вспо могательных результатов, носящих технический характер. Решение вынести их в отдельный параграф было принято с целью умень шить различие в получении оценок скорости аппроксимации для полунорм .г и .(. Третий параграф второй главы посвящен при ближению функций / Є S функциями из класса в нем по лучена оценка для полунорм [.[г, и, как следствие из нее, оценка для jl-ll;. В четвертом параграфе рассматривается приближение в окрестности тождественного отображения, причем для обоих видов полунорм вычисления будут проводиться параллельно, показывая, таким образом, общие места и различия в схеме аппроксимации. В пятом параграфе, комбинируя результаты двух предыдущих, будут даны оценки скорости приближения по полунормам [.г и ].f, причем рассмотрение будет вестись опять же параллельно, насколько это возможно. Важно отметить, что по полунормам .; порядок приближения лучше, чем по полунормам вида .[г.
Последний параграф второй главы посвящен приближению специального вида функций, а именно - представимых с помощью уравнения Лёвнера. В частности, к таким функциям относятся все функции, отображающие D на плоскость с одним или несколькими разрезами по жордановым дугам. Данные функции обычно возникают в экстремальных задачах, связанных с оценками коэффициентов однолистных функций [47, 46, 63, 64]. Хотя данный результат и использует рассуждения предыдущих параграфов, он имеет несколько отличную и более простую структуру и позволит применить теорию аппроксимации в линейных пространствах для получения оценок на скорость аппроксимации для функций, представимых с помощью уравнения Лёвнера.
В третьей главе рассматриваются две задачи, напрямую не относящиеся к первым двум главам. Связующим звеном, объединяющим работу в единое целое, является параметрический метод представления однолистных функций. В первом параграфе третьей главы он служит методом решения задачи. Во втором параграфе рассматривается задача математической физики, описываемая уравнением того же типа, что и уравнение Лёвнера-Куфарсва. Перейдем к более подробной формулировке результатов третьей главы.
Исследование свойств композиций различных функций не было характерно для геометрической теории функций комплексного псременного. С другой стороны есть целый раздел комплексного анализа, а именно - комплексная динамика, посвященный данной проблематике. В последнее время в этой ветви комплексного анализа активно обсуждается следующая задача, которой и будет посвящен первый параграф третьей главы.
Пусть дана гиперболическая область D комплексной плоскости С и семейство Т функций / : D —» D. Назовем Fn итеративной последовательностью для семейства J-, если существует последовательность функций fn Є Т такая, что Fn — f\ о ... о fn. Нас будет интересовать следующая проблема: При каких условиях на семейство J- и область D последовательность Fn сходится к посгпоян-ной функции внутри области D?
Данная проблема имеет достаточно длинную историю. Так, классический результат Данжуа-Вольфа [39, 66], полученный в первой четверти двадцатого века, утверждает: если семейство J- состоит из одной функции и D совпадет с единичным кругом В = {z : \z\ 1}, то последовательность Fn сходится к постоянной функции, чье значение лежит в В. В дальнейшем вопрос о сходимости последовательности Fn при различных условиях на семейство Т и область D изучался в работах [29, 30, 31, 32, 33, 40, 49, 52, 53, 62].
Например в работе [31] отмечена тесная связь сходимости последовательности Fn и структуры полугруппы Fa, образованной из всевозможных композиций функций, принадлежащих семейству J- . Так, в ней было показано, что если ,7 не содержит постоянных функций со значениями, принадлежащими 3D, и тождественного отображения, то последовательность Fn сходится к постоянной функции, чье значение лежит в D. Это является распространением аналогичного результата, полученного в работе [29] для случая в котором D совпадает с единичным кругом В = {z : \z\ 1}.
Первый параграф последней главы посвящен случаю, когда !FQ не содержит постоянных функций со значениями, принадлежащими dD и допускает содержание тождественного отображения. В этом контексте дается необходимое и достаточное условие того, что последовательность Fn сходится к тождественному отображению.
Для того, чтобы сформулировать следующий результат, нам понадобится характеристика f+(z) функции f(z) в точке z, определенная следующим образом: пусть PD(Z\, Z%) - гиперболическое расстояние в области D между точками zi,Z2 Є D. Тогда положим
Необходимое и достаточное условие плотности композиции
Данный параграф дает достаточное условие плотности композиций функций из заданного семейства функций в классе М.. Сформулируем данное условие в следующей теореме.
Теорема 1. Пусть дано семейство функций г@,/3 R из класса ЛІ, удовлетворяющее следующим двум условиям: (И). Пусть для любого а [0; 1] существует (3 такое, что ка - гр ф. Z. Тогда композиции функций rl{z) = е1" г {еГ1" z), 7 = R плотны в классе Л4. Для доказательства теоремы потребуется следующая лемма. Лемма 1. Пусть дана последовательность голоморфных в D функций fn(z) таких, что lim /n(z) = f{z), \fn{z)\ L. Кроме того, существует последовательность жордановых дуг \п с концевыми точками z\n и Z2n, Hm z\n = a, lim z\n = b,a ф b, \a\ = j6 = 1 непересекающихся с некоторой окрестностью пуля, и такая, что последовательность єп — max\f{z)\ сходит СЛ УС 0. Тогда f{z) = 0. Замечание 1. Лемма 1 является небольшим видоизменением леммы Кёбе и её доказательство практически полностью совпадает с доказательством леммы Кёбе в [10], за исключением небольших деталей. Доказательство леммы 1. Разделим единичный круг В на т секторов так, чтобы точки а и Ь лежали в разных секторах, ограниченных радиусами гаі,г02, и гы,гь2 соответственно и а не является концом радиусов rai,ra2, а точка b концом радиусов гы,гъ2- Кроме того га\, таі, Чъ Чг разбивают круг на четыре сектора. Пусть Гц и Г(2 делят пополам сектора, ограниченные га\,гы и а2)П 2 соответственно, и не содержащие точек а и Ъ. Если надо выбирая подпоследовательность мы можем утверждать, что все Ап пересекают либо га\, гы, Гц, либо ra2, г 1,2} 2- Пусть для определенности выполняется первый вариант. Так же, не уменьшая общности, можно положить, что направление Гц совпадает с направлением действительной оси. Пусть А , часть кривой А„ не пересекающая га\ и Гц за исключением своих концов, и \ п = {z, z Є А } — образ кривой AJj, симметричный относительно действительной оси. Тогда Отсюда получаем, что функция pn{z) fn{z)fn{z) на кривой A U Х п удовлетворяет неравенству ( п(г)[ = Ьєп. Рассмотрим функцию Пусть Л„ — кривая, составленная из кривой \ n\J \ п м кривых, по-лученных из нес при помощи вращения вокруг нуля на углы -, -, . .., ж(т -1. Нетрудно проверить, что По построению существует 5 0 такое, что круг D$ = {z : \z\ 6} содержится внутри кривых Ап- Из принципа максимума следует, что
Совершая предельный переход, мы получаем, что F(z) = О, z D$ или F(z) = О, где Доказательство теоремы 1. Рассмотрим последовательность функций ка такую, что an+i ап и lim ап — 1. Используя данную последовательность, построим последовательность функций г п следующим образом. Выберем гр0 так, чтобы kQQ - гд0 id. Остальные члены последовательности определим по индукции. Пусть l/ctjj max{fcan+1 (0),7 (0)}. Тогда kQn+l - к&п и ка п -fi гр. Воспользовавшись условием (їі) мы можем положить /?re+i таким, что кап+1 - грп+1 Ф . Обозначим данную последовательность через Q. Она снова удовлетворяет условиям теоремы 1.
Определим клеасс Q областей, лежащих в Ю), содержащих пуль, граница которых является замкнутой жордановой кривой, удовлетворяющей следующему условию: для любой точки z, принадлежащей ей, существует окрестность данной точки такая, что пересечение любой окружности, лежащей в данной окрестности, с центром в точке 2, имеет ровно две точки пересечения с данной кривой. Например, этому условию удовлетворяют ломаные без самопересечений с конечным числом звеньев. Следовательно, функции, отображающие Ш на область из Q, образуют плотное подмножество класса Л4. Так, нам достаточно показать, что любая функция из даного подмножества может быть представлена в виде бесконечной композиции функций rj. Для функции / є Л4,/(Щ Є Q приведем следующий алгоритм выбора {Зп и уп. Рассмотрим множество функций rZ, г@ є Q,rZ ф z, для которых справедливо отношение / - ті. Покажем, что если / ф г, то множество С, не пусто. Используя то, что граница множества /(Щ — жордаиова кривая, мы получаем, что существует точка z Є сШ с окрестностью, не содержащей точек множества /(В). Следовательно, существует функция к% такая, что / - к%. Используя свойство (іі), получаем непустоту множества С
Положим гУ равной некоторой функции ті Є , с максимальным 0. Такая функция существует в силу конечности множества функций г@,гр Є Q,ft к 0. Положим f = г о /ь Функция Д снова будет иметь своей границей жордановую кривую (см. например [10], гл.2, 3, стр.40).
Аппроксимация функции из класса S функцией из класса SM
Пусть D — гиперболическая область комплексной плоскости С и F — семейство аналитических функций / : D - D. Назовем Fn итеративной последовательностью для семейства J- , если существует последовательность функций /н Є Т такая, что Fn = /і о ... о /п. Нас будет интересовать следующий вопрос: при каких условиях последовательность Fn сходится к постоянной функции внутри области D Классический результат Данжуа-Вольфа утверждает, что если семейство Т состоит из одной функции и D совпадает с единичным кругом В = {г : JZ 1}, то последовательность Fn сходится к постоянной функции, чье значение лежит в В, В дальнейшем вопрос о сходимости последовательности Fn при различных условиях на семейство Т и область D изучался в работах [29, 30, 31, 32, 33, 40, 49, 52, 53, 62].
Сходимость последовательности Fn тесно связана со структурой полугруппы TQ) образованной из всевозможных композиций функций, принадлежащих семейству Т. В работе [31] показано, если J-Q не содержит постоянных функций со значениями, принадлежащими 3D и тождественного отображения, то последовательность Fn сходится к постоянной функции, чье значение лежит в D. Это является распространением аналогичного результата, полученного в работе [29] для случая, в котором область D совпадает с единичным кругом В = {z : \z\ 1}. Настоящий параграф продолжает эти исследования и посвящен случаю, при котором FQ допускает содержание тождественного отображения.
Пусть PD{ZUZ2) - гиперболическое расстояние в области D между точками Z\,Z2 Є D. Для функции / Є J7 введем в рассмотрение следующую величину: Если D = В, её легко выразить через значение функции / и ее производной: Принцип гиперболической метрики означает, что для любой точки z Є D справедливо неравенство /+(г) 1, причем равенство имеет место только тогда, когда f(z) является автоморфизмом области D. Теперь мы можем сформулировать основной результат в следующей теореме. Теорема 6. Если TQ не содержит постоянных функций, чье значение лежит в 0D, и точка ZQ Є D, тогда для того, чтобы последовательность Fn сходилась к постоянной функции, необходимо и достаточно, чтобы ряд расходился к бесконечности или хотя бы одна из fn была константой. Данная теорема позволяет полностью ответить на вопрос о сходимости последовательности Fn в случае, когда существует компактное множество Q С D, такое, что для любой функции / Є Т справедливо f(Q) С Q. Данное следствие имеет тесную связь с работами [33, 40, 49, 52], исследующими условия на область Do С D, такую, что f{D) С -Do,/ Є F, при которых гарантируется, что последовательность Fn имеет среди своих предельных точек только постоянные функции. Наиболее общее условие на область Do, известное автору, заключается в том, что DQ не должна содержать гиперболических кругов со сколь угодно большим радиусом. Для доказательства теоремы нам понадобится следующее предложение: Предложение 6. Для любого компактного мпооїсества Q С D и точки ZQ Q, существуют константы Ст,Сд/,є 0; такие, что для любых двух точек zi,Z2 Є Q и функции 1 — /+( о) 5 є справедливо Идея доказательства заключается в том, что функция f(z) будет однолистной па компактном множестве Q С D, если величина f+(z) достаточно близка к 1, что дает возможность воспользоваться параметрическим методом представления однолистных функций. Следующие две леммы подтверждают этот факт в случае, если D = В и /(0) = 0. Данная закономерность без труда распространяется на случай произвольной области и функции. Лемма 16. Для любых г,0 г 1 и є 0 существует 5 О такое, что для любой функции f : В —у Ш, /(0) = 0, 1 — / (0) S справедливо неравенство \\z — f(z)\\r є. Доказательство. Предположим противное. Тогда существует последовательность функций /п такая, что /п : Ю —У В, /n(0) = О, Ik fn{z)\\r я lim j/ (0)j = 1. Так как семейство функций П—+О0 f : В —У Ш нормально, то, выбирая сходящуюся подпоследовательность из функций /„, полупаем, что существует функция f (z) такая, что справедливо / (0) = 0, / (0) = 1 и / — z\\r є, что противоречит лемме Шварца. Лемма 17. ДЛЯ любого г, 0 г 1 существует S 0 такое, что любая функция / : В -» Ю , /(0) = 0, 1 — / (0) 5 однолистна в круге Br = {z : \z\ г}. Доказательство. По лемме Шварца \f{z)\ [z\. Таким образом, если мы докажем, что уравнение f(z) = а, а Є Вг имеет только один корень в круге Ю (1+г)/2 = {z : \z\ (1 + г)/2], то получим однолистность f(z) в Вг. По лемме 16 получаем, что существует 5 0 такое, что для всех f(z),l — / (0) $ справедливо неравенство j/ — (г+1)/2 f - Отсюда вытекает, что для всех z Є сШ(і+г)/2) справедливы следующие неравенства
Оценка времени существования решения в задаче Хеле-Шоу
Наиболее сложными и трудными для исследования с помощью математического аппарата являются процессы с подвижной границей. Например, к ним относится течение вязкой жидкости в ячейке Хеле-Шоу. Математическая модель этого явления имеет следующий вид:
Рассматривается двумерное потенциальное течение жидкости, описываемое с помощью поля скоростей v (yx,vv). Потенциальность течения выражается тем, что его скорость пропорциональна градиенту давления: за исключением особенностей поля скоростей.
Рассмотрим плоскую односвязную область DQ, заполненную жидкостью со стоком мощности Q. Не уменьшая общности, можно считать, что область DQ содержит нуль, являющийся стоком мощности Q = 1. Нас будет интересовать поведение области с жидкостью во времени:
Одним из удобных средств описания данного процесса являются конформные отображения. Пусть голоморфная функция отображает единичный круг Ю на область D(t). В случае, когда можно пренебречь поверхностным натяжением, функция /(z, і), как было показано в работах [3, 25], будет удовлетворять следующему граничному условию: или же уравнению
Отметим, что данное уравнение может быть сведено к уравнению (1.3) с помощью метода характеристик.
В работе [2] было показано, если начальное условие f(z, 0) является голоморфной функцией в Ю), то существует о 0 такое, что функция /(z, і), являющаяся решением уравнения (3.13), будет голоморфной в поликруге D(lyto) = {(-г, і) : [г 1, \t\ to}. Таким образом, при малых t справедливо разложение
О трудности рассматриваемой задачи говорит отсутствие до недавнего времени работ, посвященных оценкам времени существования решения в зависимости от начальных условий. Лишь недавно, в работе [42] было получено доказательство бесконечно долгого существования решения в случае источника и звездообразной начальной области с аналитической границей. Настоящий параграф посвящен нахождению оценок времени существования решения уравнения (3.13). В нем рассматривается случай стока и начальной области, заданной с помощью полиномиальной функции JV
Несмотря на сложность данной задачи, для нее известен целый ряд законов сохранения [20, 41, 61]. Также имеется целый ряд работ, посвященных сохранению и изменению различных геометрических характеристик области D{t) [28, 43, 44, 45].
Определяющим для получения результата об оценке времени существования является сохранение моментов Из данных законов сохранения следует [61], если начальная область задается с помощью полиномиальной функции степени не выше N, то область D(t) будет так же задаваться с помощью полинома степени не выше N. Нетрудно проверить, что все функции fn(z) в разложении (3.14) так же будут полиномами степени не выше N.
Пусть дан класс аналитических функций па единичной окружности. Введем для них следующую полунорму: Теорема 7. Если начальное условие задано с помощью полиномиальной функции степени N, то решение уравнения (3.13) существует для всех t [0, 4кт?) Для доказательства теоремы нам понадобится вспомогательное утверждение, которое удобно сформулировать в виде следующей леммы. Лемма 19. Пусть дана аналитическая функция на единичной окружности, удовлетворяющая неравенствам \\f(z)\\c Mi и \\f (z)\\c Мч- Тогда функция g(z) = Sf{z) определена и для неё справедлива оценка
