Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Нелинейная жесткость
1. Емкость,индуцированная линейным положительным оператором 38
2. Вариационная емкость 57
3. Емкость в пространствах Соболева 68
4. Плотность экстремальных функций в пространствах Wp Устранимые особенности 80
ГЛАВА II. Оператор замены переменной. дифференциальные формы
I. Замена переменной в интеграле 108
2. Теорема о структурном изоморфизме 124
3. Дифференциальные формы на липшицевых многообразиях . 140
4. Интегрирование дифференциальных форм 156
5 . О теореме де Рама для липшицевых многообразий 182
ГЛАВА III. Продолжение дифференцируемых функций
1. Условие с диаметром дуги 195
2. Необходимые условия продолжения для полунормированных пространств 204
3. Необходимые условия продолжения для пространств Соболева 227
4. Необходимые условия продолжения для пространств Никольского-Бесова 246
5. Достаточные условия продолжения 271
Литература 282
- Плотность экстремальных функций в пространствах Wp Устранимые особенности
- Дифференциальные формы на липшицевых многообразиях
- . О теореме де Рама для липшицевых многообразий
- Необходимые условия продолжения для пространств Соболева
Введение к работе
Настоящая работа посвящена изучению взаимосвязи между пространствами дифференцируемых функций (в первую очередь пространствами Соболева), геометрическими классами отображений (квазиконформными и квазиизометрическими) и нелинейной ёмкостью. Нелинейная ёмкость выступает в основном как технический инструмент, позволяющий формулировать геометрически функционально-аналитические свойства и наоборот. Такой подход к теории пространств дифференцируемых функций приводит к кругу вопросов, который естественно называть геометрическими вопросами теории пространств дифференцируемых функций.
В первой главе вводитоя в рассмотрение и жзучается нелинейная ёмкость, связанная о положительным оператором и вариационная ёмкость. Получены необходимые для дальнейшего изучения оценки ёнкостж в пространствах Соболева. В терминах ёмкости полностью описаны множества устранимых особенноет ей для пространств Wp , квазиконформных и квазиизометрических отображений.
Во второй главе получено полное описание замен переменных, сохраняющих классы Соболева с первыми обобщёнными производными, вводятся в рассмотрение классы дифференциальных форм на липшицевых многообразиях, аналогичные функциональным классам Соболева. Для этих классов форм получен аналог теоремы вложения в пространстве непрерывных функций, теорема Стокса, теорема де Рама ...
В третьей главе метод нелинейной ёмкости и техника геометрических классов отображений используются для изучения вопроса о продолжении классов дифференцируемых функций через границу области определения при сохранении дифференциальных свойств функций. Выделен класс областей (области удовлетворяющие условию с диаметром дуги), в которых выполнены необходимые условия продолжения. В плоскости, в ряде случаев, получены необходимые и достаточные условия продолжения.
Плотность экстремальных функций в пространствах Wp Устранимые особенности
Квазиконформные отображения локально принадлежат клас су И//? и поэтому при их изучении применимы методы теории пространств Соболева, Однако связь между классами Соболева с одной стороны и квазиконформными и близким; к ним клас сом квазиизометрических отображенжй носит более глубокий характер. Квазиконформные гомеоморфизмы представляют из се бя полное описание замен переменных, сохраняющих классы і A (If)- -локально-суммируемых в области иС п функций, имеющих первые обобщенные производные, суммируе мые в степени /7 . При р Фґ) полное описание замен пере менных, сохраняющих классы задается квазиизометрическими отображениями. В дальнейшем будет уточнено в каком смысле описание замен переменных является полным. Отметим только, что такая жёсткая связь между клас сами функций и классами отображений должна проявить себя в широком круге вопросов. Инструментом, связывающим (в техническом смысле) геометрические классы отображений и классы Соболева, является нелинейная ёмкость. При помощи нелинейной ёмкости и геометрических классов отображений удаётся исследовать, кроме вопроса о замене переменной, вопросы об условиях продолжения функций с сохранением класса через границу области определения (в плоскости мы приходим к необходимым и достаточным условиям), вопрос об устранимых особенностях для классов Соболева, построить на лйпшицевых многообразиях классы дифференциальных форм, в определенном смысле аналогичные классам функций Соболева, и получить для дифференциальных форм аналог теорем вложения Wp в пространство непрерывных функций. Разработанная техника достаточно универсальна и может быть применена, кроме классов Соболева, к другим классам функций, дифференцируемых в обобщенном смысле. В качестве примера приводятся приложения этой техники для классов Еикольского-Бесова.
Предлагаемый метод исследования пространств дифференцируемых функций, основанный на использовании геометрических классов отображений и связанных с ними специфических ёмкостных оценок, является новым. Кроме результатов, касающихся пространств дифференцируемых функций получены новые результаты в теории квазиконформных и квазиизометрических отображений, вытекающие из связи этих классов отображений с изучаемыми классами функций.
Квазиконформные и квазиизометрические отображения являются не только полезным инструментом исследование классов дифференцируемых функций, но и представляют;(особенно В: рамках хорошо развитой плоской теории) удобный язык для изучения свойств этих классов функций. Например: условие Альфорса на границу плоской области, fl/D - множества, лшши-цевы многообразия. Нелинейная ёмкость во всем рассматриваемом круге вопросов используется как промежуточный язык одинаково удобный для истолкования свойств классов функций и классов отображений. Однако, надо иметь ввиду, что свойства, записанные при помощи ёмкости, часто допускают непосредственно геометрическое толкование (например, для необходимых условий продолжения).
Каждому из пространств дифференцируемых функций соответствует своя ёмкость. Естественно отклассифицировать свойства нелинейной ёмкости, выделив сначала ее общие свойства, и, постепенно детализируя их, добраться до свойств индивидуально характеризующих пространство. Поэтому изучение ёмкости должно начинаться с абстрактного представления о ёмкости, связанной с пространством функций.
Дальнейшее изложение материала требует привлечения предварительно понятий нелинейной ёмкости и нелинейной вариационной ёмкости. Глава начинается с построения понятия нелинейной ём кости, связанной с положительным оператором Т , действую щим из lofUj ъ/л/?ос(У/ ,тр&/-п -область, / с: ff - измеримое множество. Это понятие использу ется для характеризации множеств точек плотности в смысле Лебега функций из , более тонкой, чем в теории пространств Ар , и для получения на языке ёмкости теорем о сходимости (аналоги теорем Егорова, Лузина и т.п.). В этих и в ряде близких вопросов ёмкость играет роль, аналогичную роли меры для пространств суммируемых функций (Ёмкость совпадает с мерой, если Т - тождественный оператор) . Примерами классов функций, полученных из Лр при помощи действия положительного оператора являются классы Лиу-вилля (в частности, классы Соболева в/г ), классы Bjon(/?"J и т.д. Предлагаемая точка зрения на ёмкость восходит к работам Ю.Г.Решетняка/ 6б/ , В.Г.Мазьи, В.П.Хавина/47/, М.Г. Мейерса/ 104,105/ , в которых рассматривалась ёмкость, связанная со специальными типами интегральных операторов.
Немного об истории вопроса. Понятие ёмкости возникло в теории потенциала в связи с изучением овойств гармонических функций и аналитических функций одной комплексной переменной (см., например [И] ). Ъ рамках конструкции, излагаемой ниже, классический случай соответствует случаю прог странств . Нелинейная ёмкость, связанная с бес-селевым потенциалом, введена почти одновременно в работах Ю.Г.Решетняка /б5/и НІГЛІейероа/ Ю4/ . Систематическому изучению функций, представимых бесеелевыми потенциалами,посвящены работы Н.Ароншайна и К.Т.Смита [ 83/ , /84/ . В этих работах подробно изучаются множества нулевой ( )-ёмкости (в терминологии нелинейной ёмкости) и указываются их приложения к исследованию свойств бесселевых потенциалов.
Дифференциальные формы на липшицевых многообразиях
Приведем кратко основные этапы изучения вопроса о продолжении функций классов Соболева и классов Никольского-Бесова через границу области определения.
Для областей с достаточно гладкой границей теорема о продолжении установлена В.М.Бабичем[ъ] и СШ.Никольским / 55-5б7 , для областей удовлетворяющих сильному условию конуса в работах А.П.Кальдерона /88/ , 0.В.Бесова [5 , б/, О.В.Бесова и В.П.Ильина/ і] , для областей класса l ipf-В.Й.Буренкова/і4, 15/ . Уходя немного в сторону от пространств Соболева, напомним, что в работе Ю.Д.Бураго и В.Г. Мазьи , в которой были получены необходимые и достаточные условия продолжения для функций класса в У- , эти условия сформулированы в терминах изопериметрического неравенства. Широкий клася областей, для которых верна теорема о продолжении изучен П.А.Шварцманом/80, 81/и П. Джонсом/100./ К подробному описанию этого класса мы вернемся позднее.
Первоначальная идея продолжения, использующая теорему о структурном изоморрзме была очень проста: пусть / - -- ff квазиконформный гомеоморфизм, Г - какая-нибудь стандартная область в /г , например, шар. Построим оператор продолжения & следуя диаграмме Здесь структурные изоморфизмы пространств функций, индуцированные квазиконформными отображениями if и г в - любой из известных операторов продолжения. Для пространств Lp(U/p / можно использовать квазиизомет-рии. Возникает класс областей более широкий, чем Ы/ / Это области, границами которых являются, соответственно, квазиконформные и яипшицевы многообразия. Однако, даже в плоскости при р?2 , мы не получаем необходимых и достаточных условий продолжения. Примеры квазиконформных кривых, локально нигде не спрямляемых /9/показывают, что необходимые и достаточные условия продолжения должны носить геометрический или может быть ёмкостной характер.
Условие с диаметром дуги. Область и С/7? удовлетворяет условию с диаметром дуги, если для каждой пары точек выполнено неравенство по стоянной С не зависящей от выбора пары ВяесъиЮщХ и/ это минимум диаметров гладких кривых, соединяющих точки Открытое множество & удовлетворяет двустороннему условию с диаметром дуги, если оно само и каждая связная компонента множества Jnt(/P \uj - и удовлетворяют условию с диаметром дуги. Пусть плоская ограниченная односвязная область и , границей которой является жорданова кривая Y » удовлетворяет двустороннему условию с диаметром дуги. Тогда граница области является квазиокружностью, т.е. образом окружности-при квазиконформном отображении плоскости на себя. Если область и /п удовлетворяет двустороннему у с лез вию с диаметром дуги, то имеет топологическую размерность не выше, чем Л-2 Пример шара fi(Of /)cfi с выкинутым отрезком на оси иксов показывает, что топологическая размерность П-2 для в области, удовлетворяющей двустороннему условию с диаметром дуги, реализуется. Более того, если выкинуть из шара любое относительно замкнутое множество размерности П-2 , то полученная область удовлетворяет двустороннему условию с диаметром дуги. Это легко следует из того, что П-2 - мерное множество не разбивает никакой шар на две овязные компоненты. Необходимые условия продолжения легко формулируются на языке ёмкости. ТЕОРЕМА. 7 (2.1 гл. 3). Пусть & область в №, p((jj Р /полунормированные пространства функций. Если существует ограниченный оператор продолжения то для всякой пары замкнутых множеств справедливо неравенство Это ёмкостное условие приводит в ряде случаев к условию с диаметром дуги. Во втором параграфе сформулированы условия на полунормированные пространства и поведение связанной с ними ёмкости, при которых условие с диаметром дуги является необходимым условием продолжения. Приведем следствия этого результата для пространств Соболева. ТЕОРНЙА. 8 (2.8 гл. 3, 3.1 гл. 3). Пусть О" - область в n . Если существует оператор продолжения - 26 при Ср П , то область удовлетворяет условию с диамет ром дуги.
. О теореме де Рама для липшицевых многообразий
Для широкого класса пространств при необременительном дополнительном предположении на оператор Т , рассматриваемая нами /у- ёмкость является частным случаем понятия обобщенной ёмкости [Л] .
Определение и простейшие свойства обобщенной ёмкости. Цусть ЗС локально-компактное топологическое пространство, т - неотрицательная вещественная функция со значениями в п , определенная на совокупности всех подмножеств множества "X. . Функция г называется обобщенной ёмкостью, если она удовлетворяет следующим условиям: I) МОНОТОННОСТЬ ЕСЛИ AC А , То4 У t/(A ); 2) для всякой возрастающей последовательности множеств 3) для всякой убывающей последовательности компактных множеств (Аi/J l/ jJfj , і , Множество называется измеримым относительно обобщенной ёмкости f , если число 4 /является точной верхней границей значений 4г на всевозможных компактных подмножествах / множества А, Пусть X отделимое топологическое пространство. Множество называется множеством типа ЛЬ , ЄСЛИ А есть счетное объединение компактных множеотв. Множество А есть множество типа п$ $ если А есть счетное пересечение множеств типа /ҐІГ . Множество Ас л называется/Г -аналитическим множеством, если А есть непрерывный образ множества типа /Гб5 , лежащего в некотором компакте . в УС, --- ТЕОРБМА 1.7./її/. Пусть f обобщенная ёмкость на локально компактном топологическом пространстве X . Тогда всякое /f - аналитическое множество в X измеримо относительно обобщенной ёмкости. Замечание. Всякое борелевское множество измеримо относительно обобщенной ёмкости, так как оно является /Ґ -аналитическим. Положительный оператор назовем - 55 отделяющим, если для любого компакта Ес:У образ множества допустимых функций 7 С тР(У)) содержит хотя бы одну непрерывную положительную функцию. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.8. Если множество У компактно, а оператор 7 ZfifC/)- ,\4/(TPt/J отделяющий опе ратор, то Доказательство очевидно. Замечание. Операторы, рассмотренные в примерах 1-3 (пункт I.I) являются отделяющими. ПРВДЯОЖШИЕ 1.9. Пусть Г; AffUj U/(Tt Р, 1/) С - оператор. Рассмотрим множество d/ , имеющее конеч ную (Т,Р) - ёмкооть. Для всякого существует откры тое множество такое, что СоРтр (И, /) Сор.. (,Х)+ Доказательство легко следует из теоремы 1.6. Из предложений 1.8, 1.9 и простейших свойств ёмкости следует ТЕОРЖА 1.10. Если TiLpft/J-rW P,!/) (Р?/) отделяющий С- оператор, то(7 Р)- ёмкость является обобщенной ёмкостью. Доказательство. Условие I из определения обобщенной ёмкости выполнено в силу монотонности fT}Pj - ёмкости. Условие 3 следует из предложений 1.8, 1.9. В проверке нуждается только условие 2. Пусть [Ai) CV] произвольная возрастающая последовательность множеств, /4=(у А\/ . В силу монотонности //-/ - 56 (Т}Р)- ёмкости саРТіР (А] 1/)?4ир СарГ)Р(А?( I/) ( ), Если d = $ЦР СРтр (A V)co то условие 2 выполнено. Допустим, mo.yU(SpzW/7) конечен. Тогда каждое из множеств My Mfp{Ay l/J (М /%/ выпукло, не пусто и замкнуто. Фиксируем ?0 . Рассмотрим в пространстве /2// замкнутый шар . Пересечения /fy -МиП&, образуют монотонно убывающую последовательность ограниченных замкнутых выпуклых множеств в В силу рефлексивности каждое из этих множеств слабокомпакт но. Следовательно, их пересечение /-/"/?/Г// не пусто. Лю бая функция принадлежит / . г/// при всех У т.е. (TL/O)(K) % / (TfP) - квазивсюду на А і/ . Ъв&т9(Т/0)(Х)р/ (TtfiJ- квазивсюду на // в Д/ В силу произвольности в выборе и неравенства (х) условие 2 определения обобщенной ёмкости выполнено. Теорема доказана. Концепция ёмкости, связанной с положительным оператором, предполагает, что рассматриваемое нами пространство получено жър при помощи оператора специального типа. Уже для пространств Wp [СУ) ( С/ - область в такого типа представления известны только при специальных ограничениях на область. С другой стороны, локально функции класса [дД (Є) являются ограничениями функций из ]/{/л (/?л) Это означает, что для классов Соболева в областях евклидова пространства применение (J /0) - ёмкости ограничено локальными свойствами функций этих классов. В связи с этим введем в рассмотрение понятие вариационной ёмкости, лучше приспособленное для изучения граничного поведения пространств функций с "обобщенной гладкостью". Для прост-ранств \/[/р (С?) это понятие (в несколько ином технически варианте) рассматривалось в работе Ю.Г.Решетняка/бб/ и под названием "проводимость" в работах В.Г.Мазьи, В.П. Хавина/ 47 , 4э/.
Необходимые условия продолжения для пространств Соболева
Доказательство. Рассмотрим любую функцию L/Єр(uji С вещественным числом0&О/свяжем два множества\6rUMfl) и Vl/tf -Lf[Q, 2.J. Назовем функцию %?г/1 У равную числу связных компонент множества \/# нижней функцией связности функции U , а функцию / / /равную числу связных компонент множества Wo верхней функцией связности функции U . Так как Ufp(fr) , то Fqu-U (о)ъ fyu-L/ fy ) состоят из конечного числа связных компонент. Пусть для гDtf это число равно /Ґ0 , а для r /ftf это число равно /f/f Последовательно изучим свойства функций Т&,У "Ґ,У
При всех справедливы неравенст Предположим обратное: существует число О , для которого множество У О состоит из ІЇ0 связных компонент. Так как на каждой связной компоненте множества/ функция равна нулю (это следует из положительности( ,Р)..-емкости любой связной компоненты этого множества), ТО Э/Г?// Из нашего предположения следует, что существует связная компонента Vet множества /о , не пересекающаяся of c/. Для функции U =" / вне \/Q и U 7 на V имеем IIU. Ill (Ст) 4 ИL (С-) Б сил единственности экстремали и - и Полученное противоречие доказывает, что О Ё о U l o Неравенство для функции доказывается аналогично.
Функция Т0 и не возрастающая на интервале (0,1), а функция не убывающая на интервале (O i.), Докажем это свойство только для функции С о,и , так как для функции rC i и рассуждение такое же. Предположим обратное. Пусть 9 # #. Іи То, и Со,и(а). Тогда множество а± состоит из большего числа связных компонент, чем \/а . Значит из включения Vad Va следует существование связной компоненты V множества 1 , не пересекающейся с множеством Va . Полагая функцию и равной (А вне V и равной ХХ на V приходим к противоречию, так же, как и при доказательстве свойства I. Свойство 3. Если для функций T0jU и 6 выполнены неравенства О ТО0( 1 и О ІҐ и І то U Ер(Сг) Это свойство прямо следует из определения класса \Ь) Свойство 4. С 0 и — С±}-и . Вернемся к функции и . Предположим, что функция Т0 и не постоянна на интервале (Ofd) . Пусть 0= Хо oL .. . - ty Uj+x ее точки разрыва. Рассмотрим множества = и Р±,к ЩхК4 СИЛУ непрерывности функции и пересечения F"0 Ц Л F. к Л Сг пусты. Функция ик = (о-к-а-к-іУ rnin(n)ax(u,aK_t)}ccK)- непрерывна, принадлежит классу /_«р і W, равна нулю на о,к и единице на / к . Следовательно, функция ик допустима для пары о, у , к / .По построению функций U к имеем U — (ак ак-и ак . Докажем теперь, что функция U к является экстремальной для (1,р)- емкости пары (F0JK и К) Предположим обратное. Пусть существует допустимая функция ик для пары (Го, ) Fi,f ) я II "к И ± ( - Чик (.} Функция а к ч + Z (ае ae-i)at будет допустимой для пары U, (О) с к+± и и (і) . По построению функций ие и функции Uк по лучаем „і _р F Это неравенство противоречит экстремальности функции и . Мы доказали, что ик - экстремальные функции,для которых нижняя функция связности с0 и - постоянна на интервале (074-). Применяя предыдущее рассуждение к функции (і.-Цн) можно построить представление этой функции в виде линейной комбинации постоянных к функций 2J -/ , у которых нижняя функция связности постоянна на интервале (Os /) . Тогда по свойству 4 у функций /-2 /f / в разложении функции /# верхняя функция связности и нижняя функция связности будут постоянны одновременно на интервале // . Окончательно получим, что существуют экстремальные функции 2 , для которых Ttfp; и Xj у, постоянны и существуют такие числа Наша теорема доказана с точностью до следующего утверждения. ТЕОРЖА 4.4. Всякая непрерывная экстремальная функция /J , имеющая постоянными на (О /J верхнюю и нижнюю функцию связности, представима в виде L/= Z Ug , где L/g 0(6"J при всех е, Доказательство. Рассмотрим множество k/ U Щ Функция L/c/ - постоянна. Значит при каждом число компонент связности множества Wj одно и то же. Тогда fa/ имеет то же число компонент связности, что и каждое из мно жеств И/J . Обозначим эти компоненты через И//yi/i, ... pVg Рассмотрим функции С/с t L-f,.2.}... такие, что на Wc и равняется нулю во всех остальных точках области (г Рассуждение, аналогичное примененному в первой части дока зательства теоремы, показывает, что U/ экстремальная функ ция для napH(Zr\\/.; ]/l//f)U (4))
