Оценки линейных функционалов для ограниченных однолистных функций, близких к тождественной Григорьева Елена Валерьевна

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА I. Локальные оценки линейных функционалов 20

1. Общие сведения о параметрическом представлении классов однолистных функций и формализация экстремальной задачи 20

2. Качественные свойства оптимальных управлений 32

3. Необходимое условие экстремальности функций Пика 39

4. Ограниченность частных производных семейства управлении, удовлетворяющих принципу максимума 42

5. Теорема существования и дифференцируемости обратного отображения 55

6. Достаточное условие экстремальности функций Пика 59

ГЛАВА II. Исследование двупараметрического семейства линейных функционалов 68

7. Двупараметрическое семейство линейных функционалов, локально максимизируемых функциями Пика 69

8. Оценки матричных норм 79

9. Конструктивные характеристики достаточных условий экстремальности 86

Список литературы 100

• Общие сведения о параметрическом представлении классов однолистных функций и формализация экстремальной задачи
• Ограниченность частных производных семейства управлении, удовлетворяющих принципу максимума
• Двупараметрическое семейство линейных функционалов, локально максимизируемых функциями Пика
• Конструктивные характеристики достаточных условий экстремальности

Введение к работе

Геометрическая теория, функций комплексного переменного изучает свойства конформных отображений, главным образом, геометрическими средствами. Знаменитая теорема Римана о конформном соответствии двух произвольных односвязных гиперболических областей не дает конструктивных способов построения однолистной функции, осуществляющей взаимно однозначное отображение. Поэтому в начале XX века стали создаваться разнообразные методы решения экстремальных задач в классах однолистных функций, аналитических в канонических областях, например, в единичном круге D — {z : \z\ < 1}.

Свойство однолистности инвариантно относительно композиции функций. В частности, произвольную однолистную функцию можно подвергнуть линейному преобразованию и добиться нормировки, сохранив при этом ее существенные геометрические и аналитические качества. Таким образом, вполне естественно, что основным объектом исследования в теории однолистных функций стал следующий класс.

Определение 1. Класс всех аналитических и однолистных в D функций f, нормированных разложением

(1) f(z) = z + a₂z² + --- + a_nzⁿ + ..., z Є D,

обозначается через S.

Нетривиальный подкласс класса S состоит из ограниченных функций.

Определение 2. Будем обозначать через S(M) класс всех функций / Є S, удовлетворяющих в D условию \f(z)\ < М.

Экстремальные задачи в классе S и его подклассах заключаются в установлении оценок различных функционалов, среди которых доминируют однородные, то есть инвариантные относительно вращения f(z) —> е^га/(е~^госг). Линейные функционалы также вызывали значительный интерес. Напомним общий вид линейного непрерывного функ-

ционала L в классе аналитических в единичном круге функций /,

оо п=0

где параметры Ао,...,А_та удовлетворяют условиям, обеспечивающим
сходимость записанного ряда. В силу нормировки (1) класса 5 пара
метры До и Лі в общем представлении для него не существенны. Кро
ме того, будем исследовать линейные функционалы, задаваемые лишь
конечными суммами, определяемыми конечным набором комплексных
чисел Л2,...,Л_П, Л_п ф 0. Поскольку при решении экстремальных за
дач умножение функционала L(f) на положительное число не влияет
# на поиск решения, то можно нормировать L(f), например, условием

|Л„| = 1. Если воспользоваться инвариантностью класса S(M) относительно вращения, то можно положить Л_п = 1. Поэтому будем рассматривать линейные непрерывные функционалы

(2) Hf) = ^2x_ha_hl А„ = 1,

и сосредоточимся на экстремальной задаче о поиске максимума 9Ь,

(3) «(/) -» max, / Є S(M), К М < оо,

который достигается в силу компактности класса S(M).
Ф Задача (3) для функционала (2) содержит в частном случае при

Л₂ = = A_n_i =0 задачу об оценке Ша_п, равносильную оценке \а_п\. Подобные задачи вызывали повышенный интерес в теории однолистных функций особенно в связи с гипотезой Бибербаха [32] о том, что в классе S справедливы оценки

\а_п\ < n, п > 2,

со знаком равенства только для вращений функции Кебе .К",

(4) *W=7T^ ⁼ 5>*"' ^ZD'

*

которая отображает единичный круг D на плоскость с разрезом по лучу на отрицательном направлении вещественной оси с вершиной в точке — . Гипотеза Бибербаха была доказана де Бранжем [33], [34]. Подробный анализ и библиографию по проблеме коэффициентов в классе S и его подклассах см. в монографиях Г.М.Голузина [7] И.А.Александрова [1], Н.А.Лебедева [17], И.М. Милина [18], К.И.Бабенко [6], Дж.Дженкин-са [12], В.К.Хеймана [30], П.Дюрена [36], Х.Поммеренке [45], О.Тамми [53], [54], обзорных статьях Д.В.Прохорова [25], [26] и других. Ряд экстремальных задач по оценкам коэффициентов локально однолистных функций универсального линейно-инвариантного семейства решен В.В.Старковым [28], [29], Г.М.Димковым и В.В.Старковым [35], Я.Году-лей и В.В.Старковым [40].

Что касается класса S(M)₇ то роль функции Кебе в нем отводится функции Пика Рм [44], (5)

P_M(z) = MK'¹(^\=z + Y,Pn(M)z"eS(M), zeD, М>1,

^ ' п=2

которая отображает единичный круг D на круг радиуса М с центром в начале координат с разрезом вдоль отрезка [—М, — М(2М — 1 — у/М² — М)] на отрицательном направлении вещественной оси.

Тем не менее функция Пика Рм перестает быть экстремальной в задаче об оценке коэффициента \а_п\ в классе S(M) при некоторых п и М. Так, Северский [52] и Шиффер и Тамми [51] показали, что в задаче об оценке 5fta_n в классе S(M) при М, близких к 1, экстремальной функцией является (п—1)-симметричное преобразование функции Пика

РмА*) = [^-₁(^^п-¹)]^1/(п"¹⁾ S(M).

Результат Северского и Шиффера и Тамми пробудил острый интерес к исследованию экстремальных задач и, в частности, проблемы коэффициентов в классе S(M) при М, близких к 1. Заметим, что S(Mi) С S(M₂), если Mi < М₂, и тождественная функция f(z) = z

является единственной функцией, которая принадлежит всем классам S(M), М > 1,

Р) S{M) = {/(*) = z}.

М>1

Значит, класс S(M) является замкнутой окрестностью тождественной функции в классе однолистных функций, а число М > 1 может служить характеристикой радиуса этой окрестности.

Северский [52] доказал свою теорему вариационным методом, разработанным для нелинейного класса S и его подклассов, а Шиффер и Тамми [51] использовали для доказательства того же'вывода неравенства Грунского. Многие другие результаты о коэффициентах однолистных функций были доказаны параметрическим методом, основанным на представлении всюду плотных подклассов классов S или S(M) интегралами дифференциального уравнения Левнера. В частности, гипотеза Бибербаха доказана де Бранжем [33], [34] именно параметрическим методом. Более подробно уравнение Левнера и содержание параметрического метода будут описаны и обсуждены в 1.

Позднее в экстремальных задачах теории однолистных функций начали успешно применяться классические вариационные методы на множестве решений дифференциального уравнения Левнера. Особенно эффективно эти методы выглядели в современной форме метода максимума Понтрягина, который соединяет такие известные необходимые условия экстремума, как уравнение Эйлера-Лагранжа и неравенство Вейер-штрасса. Важны и геометрические интерпретации условий трансверсальности как свойств ортогональности или опорности сопряженного вектора граничным многообразиям.

Глубокое проникновение вариационных принципов в параметрический метод связано со взглядом на дифференциальное уравнение Левнера как на типичное управляемое уравнение для f(z) во всюду плотном подклассе класса 5. Дифференцируя уравнения Левнера по начальному данному , получаем управляемую систему относительно значений функции / и ее начальных производных в точке z. При z — 0 после деления на соответствующие факториалы и исключения двух начальных

фиксированных коэффициентов разложения (1) приходим к управляемой системе для начальных коэффициентов функции / Є S

После пионерских результатов А.Шеффера и Д.Спенсера [50] первую серьезную попытку применить методы оптимизации в теории однолистных функций предпринял Г.Гудман [41], а затем появились и другие работы, развивавшие новый подход и содержавшие решения конкретных экстремальных задач.

Свой вклад в применение методов теории оптимального управления к оценкам функционалов в классах однолистных функций внесла группа математиков под руководством И.А.Александрова. Отдельные положения теории вошли в монографию [1]. Общие проблемы оптимизации и трудности их решения были обсуждены И.А.Александровым и В.И.Поповым [3], [22]. Точные оценки функционала

Ще^іаа₂) + Ща_г - а|), 0 < а < тг/2,

в классе S были получены Й.А.Александровым, Б.Я.Крючковым и В.И. Поповым [2]. В статье И.А.Александрова и Г.А.Поповой [4] принцип максимума Понтрягина был применен к нахождению оценки функционала

Kldlog^+^log^], (с_ьс₂)С², zeE,

в классе Sr функций / 5, имеющих вещественные тейлоровские коэффициенты.

Позднее теория оптимального управления в применении к классу S и его подклассам стала активно разрабатываться Д.В.Прохоровым и его учениками [23]-[26], [46]-[48].

Иные направления развития методов оптимизации были предложены С.Фридландом, М.Шиффером [37], [38] и другими. О.Рот [49] посвятил свою диссертацию описанию и сравнению вариационных методов в классах однолистных функций с оптимизационными методами Д.В.Прохорова и С.Фридланда и М.Шиффера.

Настоящая диссертация посвящена задаче (3) об оценке линейных функционалов в классе S(M) при М, близких к 1. Найдены достаточные условия, при которых функция Пика Рм экстремальна в задаче об

оценке $tL(f) из (2). Показано, что достаточные условия весьма близки к необходимым. Результаты получены применением методов оптимизации в рамках параметрического представления Левнера, развитых Д.В.Прохоровым и его учениками.

Диссертация насчитывает 103 страницы, включая 1 рисунок, и состоит из введения, двух глав, разделенных на 9 параграфов, и списка литературы из 54 наименований. Принята сплошная нумерация теорем, лемм, предложений, следствий и замечаний внутри каждого параграфа и сплошная нумерация формул внутри каждой из двух глав.

Перейдем к изложению основных результатов диссертационной работы.

В первом параграфе приводятся основные сведения о параметрическом представлении классов однолистных функций и теоремах классического вариационного исчисления в форме принципа максимума Понт-рягина в задаче с закрепленным временем и свободным правым концом. Рассматрвается обыкновенное дифференциальное уравнение Левнера на полуоси [0, оо) с начальным условием w = z в начальный момент t = 0. Интегралы w(z,t) уравнения Левнера зависят от времени t > 0 и начального данного z Є D и представляют всюду плотные подклассы классов однолистных функций согласно следующей теореме.

Теорема А [7,с.95], [30,с.142], [1,с.24,69]. Пусть w — w(z,t) является решением обыкновенного дифференциального уравнения Левнера с кусочно непрерывной функцией и = и(і) в его правой части. Тогда функция

w{z,t) = e~\z + a₂{t)z² + + a_n(t)zⁿ + ...), z D, t > 0,

является аналитической и однолистной по z Є D при каждом фиксированном t>0. Кроме того, функции

f(z) = lim e^tw(z,t) Є 5

образуют всюду плотный подкласс класса S, а функции

f(z) = Mw(z,\ogM) Є S(M)

образуют всюду плотный подкласс класса S(M), 1 < М < оо.

Уравнение Левнера индуцирует систему обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов а%(),..., а_п(), а экстремальная задача (3) сводится к аналогичной задаче для (a₂(log М),..., a_n(log М)). По этой причине становится возможным применение методов классического вариационного исчисления к решениям управляемых систем дифференциальных уравнений, что сформулировано в следующей теореме.

Теорема Б [21,с.78]. Для того, чтобы управление u*(t), 0 < t < log М, и соответствующая ему траектория a* {i) = (a^t),..., 9a* (і)) фазовой системы давали решение оптимальной задачи с закрепленным левым концом (аз(0),..., 9Ra* (0)) = (0,..., 0) и свободным правым концом и заданными моментами времени 0 и log М, необходимо существование такой непрерывной вектор-функции Ф = {(flit), ч>2_П-і)> соответствующей функциям u*(t) и a*(t) согласно сопряженной системе, что для всех t, 0 < і < log М, функция Гамильтона Я переменного и достигает в точке и = и* (і) максимума,

(6) шахЯ(*,о*,Ф*,и) = Я(«,а*,Ф*,«*(0),
и

(7) (<^(logM),...,^_n_₁(logM)) = (0,...,0).

Условие (6) называется принципом максимума Понтрягина, а равенство (7) называется условиями трансверсальности.

Во втором параграфе доказаны три леммы 2.1-2.3, характеризующие ограниченный рост фазовых и сопряженных переменных, и лемма 2.4, выражающая функцию Гамильтона в начальный момент t = 0 как тригонометрический многочлен относительно и с коэффициентами, линейно зависящими от = Ф(0). Эти леммы позволили для М, близких к 1, найти условия, при которых оптимальное управление -w(i), соответствующее решению экстркмальной задачи (3), непрерывно дифференцируемо на [0,logM]. Результат приведен в теореме 2.5.

Теорема 2.5. Если для вектора A = (A2,...,A_n) , A_n = 1, тригонометрический многочлен

(8) #(0, а⁰, А, и) = -2 ^[ftA* cos(A; - 1)и - 3A_fc sin(fc - 1)и]

обладает свойством, что Н(0,а,\,и) достигает своего максимума по и на [0,27г) только в одной точке и, в которой

д² Н —

— =Н_ии(0,а,\,и)^0,

то оптимальное управление и*, соответствующее решению экстремальной задачи (3), непрерывно дифференцируемо на [0,logM] для М, достаточно близких к 1.

При условиях теоремы 2.5 оптимальное управление и = u(t, а, Ф) зависит от времени t, фазовой переменной а и сопряженной переменной Ф как неявная функция, заданная уравнением

Я_и(і,а,Ф,и) = 0.

В третьем параграфе установлены свойства функций Пика Рм в случае, если удовлетворяются условия теоремы 2.5. Показано, что при вещественных значениях Аг,..., A_n_i и условиях теоремы 2.5 для управления, порождающего функции Пика Рм, выполняются необходимые условия оптимальности: принцип максимума Понтрягина и условия трансверсальности при М, близких к 1.

Теорема 3.1. Пусть (А₂,..., А„_і) Є R^n_2. Если для вектора А = (А₂,..., A_n_i, 1)^т тригонометрический многочлен (8) относительно и обладает тем свойством, что он достигает своего максимума по и на [0,27г] только в точке и = ж и

#шД0,а,А,7г)^0,

то управление u(t) = ж удовлетворяет на [0,logM] принципу максимума Понтрягина (6) и условиям трансверсальности (7) для экстремальной задачи (3) при М, достаточно близких к 1.

В четвертом параграфе при условиях теоремы 2.5 исследовано поведение функции Гамильтона и частных производных управляющей функции и по t и . Доказаны следующие теоремы.

Теорема 4.3. Пусть для вектора А — (-^2> > А^—1> 1) тригонометрический многочлен (8) обладает тем свойством, что он достигает своего максимума по и на [0,27г) только в одной точке и, в которой

$ = -2#_ttU(0,a,A,u) >0,

и пусть и = u(t, ) - функция, локально определенная условием принципа максимума (6) и фазовой и сопряженной системами задачи (3). Положим

_{/ = t}

4(4Ai + 5J3!)'

где А\ и Bi определяются условием (1.27). Тогда для всех из I-окрестности точки А справедливо неравенство

|Я_в„(0,а,!,г*(0,!))|>Я.

Теорема 4.6. Пусть для вектора А = (А2,..., A_n_i, 1)^Т„тригонометрический многочлен (8) обладает тем свойством, что он достигает своего максимума по и на [0,2л") только в одной точке и, в которой

#„„(0,a,A,u)^0,

и пусть и = it(i, ) - функция, локально определенная условием принципа максимума (6) и фазовой и сопряженной системами задачи (3). Если для некоторого 5 > 0 существует I > 0 такое, что для всех из l-окрестности точки А справедливо неравенство

\Н_ии(0,а,1и{0,Щ>5,

то неравенство

l^_ttfl(*_fa(*,0.*(*»0»«(t,e))|>| выполняется для всех t Є [0,logM] и , || — Л|| < I, где

^leM=2(2A?+SB₂y

a Aи Вг определяются условием (1.32).

Доказано, что частные производные u_t(t,) и uj(t,$) локально ограничены и описаны конструктивные алгоритмы их вычисления.

Предложение 4.9. Пусть функции a{t,), Ф(,) и u(t,) определяются согласно замечанию 2.6 как решение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений (1.6) и (1.15) с управлением и, удовлетворяющим принципу максимума Понтрягина (6). Тогда частная производная Ut(t,) вычисляется по формуле (1.30), а частная производная uj(t,) определяется формулой (1.33), где aj{t,) и Фт(, ) являются решениями задачи Коши для систем дифференциальных уравнений (1.36) и (1.37) соответственно.

Пятый параграф имеет вспомогательный характер. В нем содержится конструктивное доказательство теоремы существования и диф-ференцируемости обратного отображения в конечномерном евклидовом пространстве, которое позволяет оценить снизу радиусы окрестностей заданных точек, являющихся множеством определения и множеством единственности значений обратного отображения. Доказательство основано на принципе сжатых отображений и его обобщении для отображений сжатия, непрерывно зависящих от параметра. Оно близко изложению в монографии Л. Шварца [31,с.294-297]. Наиболее важные для последующего выводы сделаны в замечании 5.3. Переформулируем его следующим образом.

Замечание 5.3. Доказательство теоремы 5.1 о существовании и дифференцируемости отображения х = f~¹(y), обратного для отображения у = f{x), х, у Є П^п, носит конструктивный характер. В нем не только установлено существование обратного отображения, но и оценены снизу размеры множества определения и множества единственности значений отображения /^-1. Действительно, пусть отображение /^-1 определено в окрестности U_y точки уо, а замкнутая шаровая окрестность U_x точки xq содержится в его множестве значений и имеет радиус /3. Число /3 характеризуется тем, что выполняется неравенство

[/'(*о)Г /'(*)- Е

< -, х Є U_x.

Кроме того, требуется, чтобы выполнялось неравенство

[ГЫГ (у-уо)

< у» У U₄.

Первое условие определяет число /3, тогда как второе условие определяет размер окрестности U_y точки у$. Отображение /^-1 определено в Uy и для каждого у Є U_y найдется ровно одно х Є U_x такое, что

x = r^l(v)-

В шестом параграфе доказано основное качественное утверждение первой главы о том, что при условиях теоремы 3.1 функция Пика удовлетворяет не только необходимым, но и достаточным условиям экстремальности в задаче (3) для М, близких к 1.

Теорема 6.1. Пусть (Аз,..., А_п-і) Є Rⁿ~² и линейный функционал L задается формулой (2). Если для вектора А = (А₂,..., A_n_i, 1)^т тригонометрический многочлен (8) относительно и обладает тем свойством, что он достигает своего максимума по и на [0,2ж\ только в точке и — ж и

Я_м„(0,а,А,7г)/0,

то существует М(Л) > 1 такое, что

max tRL(f) = ЦР_М), 1<М<М(Х),

fS(M)

причем для всех М Є (1, М(Х)) максимум 9RIr(/) в классе S(M) достигается только функцией Пика Рм.

Для сравнения необходимых и достаточных условий экстремальности функций Пика в задаче (3) в окрестности тождественной функции теорема 3.1 дополнена следующим утверждением.

Предложение 6.2. Пусть координаты вектора А = (Аг,..., А_п_х, 1)^г вещественны и существует Mq > 1 такое, что для всех М Є (1,Мо) функции Пика Рм являются экстремальными в задаче (3). Тогда тригонометрический многочлен (8) относительно и достигает своего максимума на [0,2ж] в точке и = 7г.

Сходство и отличия условий теоремы 6.1 и предложения 6.2 выражены в следующем замечании.

Замечание 6.4. Пусть вектор А = (А2,..., A_n_i, 1)^Т имеет вещественные координаты. Различие необходимых и достаточных условий экстремальности функций Пика в задаче (3) для М, достаточно близких к 1, по предложению 6.2 и теореме 6.1 выражается в том, что

(і) тригонометрический многочлен (1.22) относительно и достигает своего максимума на [0, 27г] в точке и = 7Г в случае необходимого условия и только в точке и = 7г в случае достаточного условия;

(п) значение Н_ии(0,аі\,тг) неположительно в случае необходимого условия и отрицательно в случае достаточного условия.

Таким образом, множество Л всех векторов А разбивается на два непересекающихся класса Лі и Лг, Лі иЛ2 = Л, где открытое множество Лі состоит из всех векторов, удовлетворяющих достаточным условиям экстремальности функций Пика Рм в задаче (3) для М, достаточно близких к 1. Множество всех векторов, удовлетворяющих необходимым условиям экстремальности функций Пика Рм в задаче

#

.. (3) для всех М, достаточно близких к 1, является замыканием мно-

жества Лі.

Во второй главе рассматривается задача определения тех линейных
функционалов, которые задаются формулой (2) с вещественными зна
чениями параметров Лг,..., A_n_i, Л_п = 1 и максимум которых в классе
S(M) доставляется функциями Пика Р_м для М, достаточно близких к
1. Сложность задачи увеличивается с ростом порядка п. Простейшая
задача при n = 2 решается тривиально, ее решение найдено Пиком [44]
для всех М > 1. Следующий случай п = 3 менее тривиален, полное
его исследование можно найти в монографиях Тамми [53], [54]. Случай
71 = 4 далек от тривиальности, решение этой задачи дано Прохоровым
1 и Васильевой [48].

Случай п > 4 ранее не рассматривался. Вторая глава посвящена исследованию двупараметрического семейства линейных функционалов в случае п = 5.

Пусть Л₄ = а, Л₃ = /3, Л₂ = За, (а,/3) Є R², и линейный функционал L задается формулой (2) при п = 5. В седьмом параграфе описано двупараметрическое семейство линейных функционалов, для которых функции Пика Рм являются экстремальными в задаче (3) для М, близких к 1.

Введем следующие обозначения для множеств на плоскости (а,/3). Положим

Е_г = {(а,/3) : /3 > 4, /3 < 2а, /3 < За - 4},

К = {(«»/5) : а > 0, /3 < -За - 4},

Е;= {(а,/3):/3< 4, |/3 + 4| < За},

Я* = {(а,/3) Є #2 9а² > 32/3 - 128, а(9а² - 32/3 + 128)^3/2 >

27а⁴ - 144а²/3 + 576а² + 128/3² - 4096а + 1024/3 + 2048},

Е₂ = Е₂ U _Е7₂, і? = jC/i U Ei. Множество Е открыто. Доказана следующая теорема.

*

Теорема 7.1. Для всякой точки (а, /3) Є Е существует M(ct,/3) > 1 такое, что для всех М (1,М(а,/3)) функции Пика Рм доставляют максимум

&(а, /3; /) = Ща₅ + аа₄ + (За₃ + Заа₂)

в классе 5(Af). ^слп (а,/3) нагодишся вне залсыкания множества Е, то функции Пика Рм не доставляют локального максимума 3(а, /3; /) в классе S(M) ни при каких М, достаточно близких к 1.

В следствии 7.2 дается симметричное теореме 7.1 утверждение о необходимых условиях и о достаточных условиях экстремальности функций —Рм{—^z) в задаче (3) для функционала L(—a,/3; /) при М, близких к 1. В следствии 7.3 описан частный случай теоремы 7.1 и следствия 7.2 для a = 0.

Следствие 7.3. Если (3 > —4, то функции Pm(^z) и —Pm(~^z) ^не доставляют локального максимума 3?(as + /Злз) в классе S(M) ни при каких М, достаточно близких к 1.

В восьмом параграфе в теоремах 8.3 и 8.5 указаны способы оценивания спектральных норм матриц А^-1 и А~¹В—Е через оценки элементов матриц А и В, а в замечаниях 8.4 и 8.6 эта задача связывается с конструктивной характеристикой достаточных условий экстремальности функций Пика.

Пусть множество Х\ состоит из точек х > 0, для которых

(1-я)⁶ >719г²(1 + я)⁴. Для х Є Xi положим

mi(x) = 1 —

(l-x)⁵-119z²(l + s)³

(1 + ж)^в + 719я²(1 + а:)⁴

( \- (l + g)⁵ + 719s²(l + s)³ , "WJ- (1-^6-719^(1 + ^)⁴ '

_л _ 120s(l + а?)⁴

^тз^- (1-я)⁶-719*2(1 +я)⁴' т(х) = тах{ті(а;), т₂(х), тз{х)}. Пусть Х₂ С Х\ - множество точек, для которых mi(x) > 0 и т₂(х) > 0.

Теорема 8.3. Пусть для некоторого х Є Х₂ элементы а₃к, 1 < І, & < 6, квадратной матрицы А размерности 6x6 удовлетворяют неравенствам

\a>jk - 5jk\ <х, 1 < j, к < 6,

где Jjjb - сг/и*вол Кронекера. Тогда для спектральной нормы обратной матрицы А^-1 справедливо неравенство

Р^-1|| < 1 + 6т(ж).

Замечание 8.4. В применении к задаче о конструктивных характеристиках достаточных условий экстремальности функций Пика теорема 8.3 предлагает способ оценивания правой части неравенства (1.44). Именно, в обозначениях теоремы 6.1 при п = 5 и х Є Х₂, если

\4>_jk(\ogM,t_P(M)) - S_jk\ < х, j,k = 3,... ,8, К М < М₀,

то неравенство (1.44) > выражающее конструктивный смысл теоремы 6.1, приобретает вид

^||г,-^Л||^4(1 + 6т(х))-

Теорема 8.5. Пусть для некоторого х Є Х₂ элементы ajk и bjk, 1 < Зі & < 6, соответственно квадратных матриц А и В размерности 6x6 удовлетворяют неравенствам

- 8_jk\ < ж, \b_jk - 6j_k\ <х, l

Тогда для спектральной матричной нормы справедливо неравенство

\\А~^ХВ - Е\\ < 36жт(х) + х + т(х),

где Е - единичная матрица.

Замечание 8.6. В применении к задаче о конструктивной характеристике достаточных условий экстремальности функций Пика теорема 8.5 предлагает алгоритм оценивания снизу радиуса односторонней окрестности точки М = 1, во всех точках которой матрица A(\ogM_y) не вырождена и выполняется неравенство (1.43). Именно, для обеспечения справедливости неравенства (1.^3), выражающего конструктивный смысл теоремы 6.1, при n = 5 достаточно потребовать выполнения условий

|Фу*(logМ^р(М)) - S_jk\ < х, |*_iA(log Af,Q - 5_jk\ < x,

3с x Є X2 и

36xm(x) + x + m(x) < —.

В девятом параграфе дан алгоритм получения конструктивных нижних оценок величин М(а,/3), определенных в теореме 7.1, таких, что

max UL(a,l3;f) = L(a,ftP_M)

feS(M)

дляМ Є (1,М(а,/?)).

Таким образом, в диссертации получены следующие основные результаты:

доказаны достаточные условия, при которых функции Пика Рм доставляют максимум вещественной части линейного функционала (2) в классе S(M) для М, достаточно близких к 1;

произведено сравнение необходимых и достаточных условий экстремальности функций Пика в задаче (3) для М, достаточно близких к 1;

описано подмножество двупараметрического семейства линейных функционалов, максимум вещественной части которых в классе S(M) доставляется функциями Пика Рм для М, достаточно близких к 1;

дана конструктивная характеристика окрестности тождественной функции, в которой функции Пика Рм доставляют максимум вещественной части линейных функционалов двупараметрического семейства.

Методика исследования включает применение методов теории функций комплексного переменного, обыкновенных дифференциальных уравнений, вариационного исчисления в форме принципа максимума Понт-рягина, функционального анализа и матричной алгебры.

Результаты диссертационной работы докладывались в Саратовском государственном университете на семинаре по геометрической теории функций комплексного переменного (научный руководитель профессор Прохоров Д.В.), на объединенном семинаре кафедр дифференциальных уравнений и прикладной математики, математического анализа, вычислительной математики и математической физики, теории функций и приближений, математической экономики (научный руководитель профессор Хромов А.П.), на ежегодных апрельских научных конференциях сотрудников механико-математического факультета СГУ в 2002-2003 гг., на 11-й Саратовской зимней школе по теории функций и приближений в 2002 г.

Часть результатов диссертации получена в рамках выполнения работ, поддержанных грантами Российского Фонда Фундаментальных Исследований, номера грантов 98-01-00842 и 01-01-00123.

Основные результаты диссертации опубликованы автором в работах

[8]-[И].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору ПРОХОРОВУ ДМИТРИЮ ВАЛЕНТИНОВИЧУ за постоянное внимание к работе и полезные советы.

Общие сведения о параметрическом представлении классов однолистных функций и формализация экстремальной задачи

Позднее в экстремальных задачах теории однолистных функций начали успешно применяться классические вариационные методы на множестве решений дифференциального уравнения Левнера. Особенно эффективно эти методы выглядели в современной форме метода максимума Понтрягина, который соединяет такие известные необходимые условия экстремума, как уравнение Эйлера-Лагранжа и неравенство Вейер-штрасса. Важны и геометрические интерпретации условий трансверсальности как свойств ортогональности или опорности сопряженного вектора граничным многообразиям.

Глубокое проникновение вариационных принципов в параметрический метод связано со взглядом на дифференциальное уравнение Левнера как на типичное управляемое уравнение для f(z) во всюду плотном подклассе класса 5. Дифференцируя уравнения Левнера по начальному данному , получаем управляемую систему относительно значений функции / и ее начальных производных в точке z. При z — 0 после деления на соответствующие факториалы и исключения двух начальных фиксированных коэффициентов разложения (1) приходим к управляемой системе для начальных коэффициентов функции / Є S

После пионерских результатов А.Шеффера и Д.Спенсера [50] первую серьезную попытку применить методы оптимизации в теории однолистных функций предпринял Г.Гудман [41], а затем появились и другие работы, развивавшие новый подход и содержавшие решения конкретных экстремальных задач.

Свой вклад в применение методов теории оптимального управления к оценкам функционалов в классах однолистных функций внесла группа математиков под руководством И.А.Александрова. Отдельные положения теории вошли в монографию [1]. Общие проблемы оптимизации и трудности их решения были обсуждены И.А.Александровым и В.И.Поповым [3], [22]. Точные оценки функционала в классе S были получены Й.А.Александровым, Б.Я.Крючковым и В.И. Поповым [2]. В статье И.А.Александрова и Г.А.Поповой [4] принцип максимума Понтрягина был применен к нахождению оценки функционала в классе SR функций / 5, имеющих вещественные тейлоровские коэффициенты.

Позднее теория оптимального управления в применении к классу S и его подклассам стала активно разрабатываться Д.В.Прохоровым и его учениками [23]-[26], [46]-[48].

Иные направления развития методов оптимизации были предложены С.Фридландом, М.Шиффером [37], [38] и другими. О.Рот [49] посвятил свою диссертацию описанию и сравнению вариационных методов в классах однолистных функций с оптимизационными методами Д.В.Прохорова и С.Фридланда и М.Шиффера.

Настоящая диссертация посвящена задаче (3) об оценке линейных функционалов в классе S(M) при М, близких к 1. Найдены достаточные условия, при которых функция Пика Рм экстремальна в задаче об оценке $tL(f) из (2). Показано, что достаточные условия весьма близки к необходимым. Результаты получены применением методов оптимизации в рамках параметрического представления Левнера, развитых Д.В.Прохоровым и его учениками.

Диссертация насчитывает 103 страницы, включая 1 рисунок, и состоит из введения, двух глав, разделенных на 9 параграфов, и списка литературы из 54 наименований. Принята сплошная нумерация теорем, лемм, предложений, следствий и замечаний внутри каждого параграфа и сплошная нумерация формул внутри каждой из двух глав.

В первом параграфе приводятся основные сведения о параметрическом представлении классов однолистных функций и теоремах классического вариационного исчисления в форме принципа максимума Понт-рягина в задаче с закрепленным временем и свободным правым концом. Рассматрвается обыкновенное дифференциальное уравнение Левнера на полуоси [0, оо) с начальным условием w = z в начальный момент t = 0. Интегралы w(z,t) уравнения Левнера зависят от времени t 0 и начального данного z Є D и представляют всюду плотные подклассы классов однолистных функций согласно следующей теореме.

образуют всюду плотный подкласс класса S(M), 1 М оо.

Уравнение Левнера индуцирует систему обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов а%(),..., ап(), а экстремальная задача (3) сводится к аналогичной задаче для (a2(log М),..., an(log М)). По этой причине становится возможным применение методов классического вариационного исчисления к решениям управляемых систем дифференциальных уравнений, что сформулировано в следующей теореме.

Теорема Б [21,с.78]. Для того, чтобы управление u (t), 0 t log М, и соответствующая ему траектория a {i) = (a t),..., 9a (і)) фазовой системы давали решение оптимальной задачи с закрепленным левым концом (аз(0),..., 9Ra (0)) = (0,..., 0) и свободным правым концом и заданными моментами времени 0 и log М, необходимо существование такой непрерывной вектор-функции Ф = {(flit), ч 2П-і) соответствующей функциям u (t) и a (t) согласно сопряженной системе, что для всех t, 0 і log М, функция Гамильтона Я переменного и достигает в точке и = и (і) максимума, Условие (6) называется принципом максимума Понтрягина, а равенство (7) называется условиями трансверсальности.

Во втором параграфе доказаны три леммы 2.1-2.3, характеризующие ограниченный рост фазовых и сопряженных переменных, и лемма 2.4, выражающая функцию Гамильтона в начальный момент t = 0 как тригонометрический многочлен относительно и с коэффициентами, линейно зависящими от = Ф(0). Эти леммы позволили для М, близких к 1, найти условия, при которых оптимальное управление -w(i), соответствующее решению экстркмальной задачи (3), непрерывно дифференцируемо на [0,logM]. Результат приведен в теореме 2.5.

Ограниченность частных производных семейства управлении, удовлетворяющих принципу максимума

Класс S и некоторые его подклассы имеют параметрическое представление с помощью интегралов дифференциального уравнения, в котором присутствуют управляющие параметры в виде функций или мер. Теории параметрических представлений посвящено немало статей и монографий, начиная от основополагающего труда К.Левнера [43]. Излагаемые в этом параграфе сведения заимствованы, главным образом, из книги И.А.Александрова [1].

Обыкновенное дифференциальное уравнение в котором функция и = u(i) кусочно непрерывна на [0, оо), называется уравнением Левнера. Пользуясь терминологией теории оптимального управления, произвольную кусочно непрерывную функцию и можно назвать управлением. Поскольку правая часть уравнения (1.1) анали-тична по гу, его решения аналитически зависят от начального данного w\t=o — z ъ единичном круге D. Поэтому интеграл w = w(z, t) уравнения Левнера (1.1) разлагается в степенной ряд Подставляя это разложение в (1.1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z, получим систему дифференциальных уравнений относительно an(t), п 0. В частности,

Дифференциальные уравнения для коэффициентов аг(),..., an(),..., как и само уравнение Левнера (1.1), в общем случае при произвольных управлениях и не интегрируются в квадратурах. Векторная форма системы дифференциальных уравнений относительно этих коэффициентов и явный вид интегралов уравнения Левнера при постоянных управлениях и будут приведены в настоящем параграфе позднее.

Так как при заданном управлении и траектории дифференциального уравнения (1.1) не пересекаются, то при каждом фиксированном 0 функции w = w(z,t) однолистны по z в D. Множество кусочно непрерывных управлений и индуцирует множество интегралов w(z, і) уравнения (1.1), при этом множество однолистных функций всюду плотно в классе 5.

Аналогичным образом параметризуется всюду плотное подмножество класса 5(М). Для этого следует рассматривать сужение интегралов w(z,t) уравнения Левнера (1.1) на отрезок [0,logM]. Именно, множество однолистных функций всюду плотно в классе S(M). Представление (1.3) является предельным случаем представления (1.4) при М — со.

Соединим все сведения в следующей теореме. Теорема А [7,с.95], [30,с.142], [1,с.24,69]. Пусть w = w(z,t) является решением обыкновенного дифференциального уравнения Левнера (1.1) с кусочно непрерывной функцией и = u(t). Тогда функция (1.2) является аналитической и однолистной по z Є D при каждом фиксированном t 0. Кроме того, функции (1.3) образуют всюду плотный подкласс класса S, а функции (1-4) образуют всюду плотный подкласс класса S(M), 1 М со.

Управления и имеют геометрический смысл при описании образа f(D) круга D при отображении w = f(z) по формуле (І.4). Остановимся только на связи качественных свойств управления и и образа

Если управление и = u{t) в уравнении Левнера (1.1) имеет непрерывную производную u (t) на отрезке [0,logM], то однолистная функция f(z) = Mw(z,logM) отображает круг D на область f(D), которая представляет собой круг радиуса М с центром в начале координат с разрезом вдоль простой непрерывной кривой, имеющей одну концевую точку внутри круга, а другую - на его граничной окружности.

Обратно, пусть область В, конформный радиус которой равен 1, представляет собой круг радиуса М с центром в начале координат с разрезом вдоль простой непрерывной кривой, не проходящей через центр и имеющей одну концевую точку внутри круга, а другую - на его граничной окружности. Тогда найдется непрерывное на отрезке [0,logM] управление и = u(t) такое, что интеграл w — w(z,t) уравнения Левнера (1.1) порождает функцию f(z) = Mw(г,logМ) Є S(M), для которой f(D) = В.

Поскольку любую односвязную область, содержащуюся в круге радиуса М, можно приблизить областями, представляющими собой круг радиуса М с разрезом вдоль простой кривой, то последнее свойство показывает, что множество функций /, задаваемых формулой (1.4), всюду плотно в классе S(M) даже при условии, что порождающие их управления и непрерывны на отрезке [0,logM].

Выделим важный случай интегрируемости уравнения Левнера (1.1) в квадратурах, соответствующий постоянным управлениям и. Дейст вительно, если u(t) = а тождественно на отрезке [0,logM], то уравнение (1.1) становится дмфференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Двупараметрическое семейство линейных функционалов, локально максимизируемых функциями Пика

Функция if (0, a,,w) переменного и по формуле (1.20) представляет собой тригонометрический многочлен степени (п — 1), поскольку согласно лемме 2.2 Фте = ,2n-i + &2n = 1. По лемме 2.3 Леммы 2.3 и 2.4 при М, близких к 1, позволяют рассматривать тригонометрический многочлен как приближение тригонометрического многочлена Н(0, а0, Ф(0), и), заданного формулой (1.20), где = Ф(0) находится в достаточно малой окрестности вектора Л. В следующей теореме и последующих параграфах покажем, что свойства тригонометрических многочленов (1.20) и (1.22) в существенном качественно одинаковы, что сведет изучение (1.20) к исследованию (1.22).

Теорема 2.5. Если для вектора А — (А2» j An) Ап — 1» тригоно метрический многочлен (1.22) обладает свойством, что Н(0,а,\,и) достигает своего максимума по и на [0,27г) только в одной точке и, в которой то оптимальное управление и , соответствующее решению экстремальной задачи (3), непрерывно дифференцируемо на [0,log М] для М, достаточно близких к 1. Доказательство. Предположим, что управление и соответствует решению экстремальной задачи (3). В этом случае и удовлетворяет необходимым условиям оптимальности: принципу максимума Понтря-гина (1.13) и условиям трансверсальности (1.16). Следовательно, и является корнем уравнения (1.18) с a = a(t) и Ф = Ф(), удовлетворяющими (1.6) и (1.15). За счет выбора М, близкого к 1, по лемме 2.3 вектор = Ф(0) должен оказаться настолько близко к А, что Н(0, а,,и) достигает своего максимума по и на [0,27г) только в одной точке и, в которой

Заметим, что последнее неравенство, как и неравенство в условии теоремы 2.5, означает отрицательность Нии, поскольку эта частная производная второго порядка вычисляется в точке максимума по и функции Гамильтона Н. Согласно леммам 2.1 и 2.2 правые части систем дифференциальных уравнений (1.6) и (1.15) ограничены, поэтому за счет выбора М, близкого к 1, можно добиться того, что а(), 0 t logM, достаточно близко к а0, а Ф(), 0 t logM, достаточно близко к Л. Степень близости (а(і),Ф(і)) к (а0, Л) определяется размером окрестности точки (а0, Л), который гарантирует, что для всех точек (а, Ф) из этой окрестности и всех , 0 t log М, функция iJ(i, а, Ф, и) как функция переменного и достигает своего максимума на [0,2-к) только в одной точке, в которой Нии ф 0.

Уравнение (1.18), необходимое для оптимального управления, можно рассматривать как способ неявного задания функции. Благодаря отрицательной производной Нии в окрестности точки (0, а0, Л) существует единственная неявная функция и = u(t, а, Ф), непрерывно дифференцируемая по каждому из переменных, порожденная начальным условием п(0, а,Л), соответствующим точке максимума функции Гамильтона (1.22). В достаточно малой окрестности точки (0, а,Л) значение u(t, а, Ф) доставляет максимум по и на [0,27г] функции H(t, а, Ф, -и), наследуя качественные свойства функции Н из условия теоремы 2.5.

Для соблюдения принципа максимума Понтрягина (1.13) в окрестности точки (0, а0, Л) следует в качестве управления и выбирать только u(t, а, Ф). Подставим это управление с обратной связью в управляемые системы дифференциальных уравнений (1.6) и (1.15) и получим детерминированную систему с непрерывно дифференцируемой правой частью. Такая система имеет единственное решение (a(t), Ф()), непрерывно дифференцируемое по начальным данным системы. Начальные данные а(0) = а0 системы (1.6) фиксированы, тогда как начальные данные Ф(0) = системы (1.15) могут интерпретироваться как переменные значения, если не требовать выполнения условий трансверсальности (1.16).

Обозначим решение (а, Ф) систем (1.6), (1.15) с и = ІІ(, а,Ф) в их правой части через (a(t, ), Ф(, )), а функцию и = u(t, а(і,),Ф(, )) -через и = u(t, ). Поскольку решение экстремальной задачи (3) существует на множестве значений решений системы (1.6) на правом конце д отрезка [0,logM], то согласно необходимым условиям оптимальности в окрестности точки Л найдется по крайней мере один вектор такой, что (logM, ) удовлетворяет условиям трансверсальности (1.16). Для каждого из таких функции и(, ), среди которых находится и оптимальное управление и = u (t), непрерывно дифференцируемы по t на [О, logM], что заканчивает доказательство теоремы 2.5.

Замечание_2.б. Сохраним для последующих параграфов обозначения &(,) Ф( )» u(tiQ примененные в ходе доказательства теоремы 2.5.

Конструктивные характеристики достаточных условий экстремальности

Если координаты вектора вещественны, = , то тригонометрический многочлен ІУ(, а(), Ф(),и) относительно гг остается, как и Я(0, а0, А,и), алгебраическим многочленом относительно cos п. Это означает, что положив у = cosu или u = arccosy и подставив в Я, получим алгебраический многочлен Я(, а (і), Ф (t), arccosy) = Q(t,y) степени п относительно у, который следует рассматривать на отрезке [—1,1]. Коэффициенты многочлена Q(t,y) непрерьшно зависят от t. Из условий теоремы 3.1 следует, что ф(0, у) достигает своего максимума по у на [—1,1] только в точке у = — 1. Поскольку и приобретает тот смысл, что многочлен Q(0, у) строго убывает в точке

Перечисленные свойства алгебраического многочлена устойчивы по отношению к малому изменению его коэффициентов. Таким образом, при достаточно малом logM для всех t Є [0,logM] алгебраически многочлен H(t,а(),Ф(),arccosy) по-прежнему достигает своего максимума по у на отрезке [—1,1] только в левой концевой точке отрезка, в которой он строго убывает. Значит, точка у = — 1 остается его единственной точкой максимума на [—1,1] для всех t [0, log М], а управление и = 7г остается единственной на [0,27г] точкой максимума тригонометрического многочлена H(t,а(),Ф(),п), что означает выполнение для него принципа максимума Понтрягина для всех t [0, log М].

Для доказательства теоремы осталось проверить выполнение условий трансверсальности (1.16). Для этого укажем способ подбора начальных данных = Ф(0) в (1.15). Если в правые части систем (1.6) и (1.15) подставить u(t) = 7г, то решение a(t) системы (1.6) определено однозначно, а решение Ф() системы (1.15) зависит от . Более точно, Ф() можно рассматривать как решение задачи Коши для системы (1.15) с начальными данными (1.16) на правом конце отрезка [0, log М]. В таком случае Ф() также становится определенным однозначно, а значение Ф(0) примем в качестве . После этого Ф() одновременно является решением задачи Коши с начальными данными Ф(0) = и удовлетворяет условиям трансверсальности (1.16) в точке t = logM, что заканчивает доказательство теоремы 3.1.

Замечание 3.2. Смысл теоремы 3.1 состоит в том, что функция Пика Рм) соответствующая управлению u(t) = тг в дифференциальном уравнении Левнера (1.1), при выполнении условий этой теоремы удовлетворяет необходимому условию экстремума в задаче (3) в окрестности тождественной функции.

При условиях теоремы 2.5 оптимальное управление и с обратной связью относительно а и Ф локально задается уравнением (1.18) и непрерывно дифференцируемо по всем переменным. Следовательно, в достаточно малой замкнутой окрестности начальной точки функция и имеет ограниченные частные производные. Этот факт будет использован при выводе локальных достаточных условий экстремальности функций Пика в задаче (3). Однако в настоящем параграфе ограниченность частных производных оптимального управления будет доказана конструктивно для того, чтобы впоследствии иметь возможность оценить радиус окрестности локального действия достаточных условий. Напомним, что в замечании 2.6 закреплены обозначения a(t, ), Ф(, ), Лемма 4.1. Пусть для вектора А = (А2,..., An_i, 1)т тригонометрический многочлен (1.22) обладает тем свойством, что он достигает своего максимума по и на [0,2ж) только в одной точке и, в которой и пусть и = u(t,) - функция, локально определенная уравнением (1-18) и системами (1.6) и (1.15). Тогда существует 5 0 такое, что для всех из некоторой окрестности точки А справедливо неравенство По условию леммы 4.1 тригонометрический многочлен ії(0, a, А, и) имеет глобальный максимум на [0,2ж) в точке и = tt(0, А) и Условия леммы 4.1 обеспечивают выполнение условий локального существования в окрестности точки А дифференциреумой неявной функции tt(0,) = и(0,а,), определяемой уравнением (1.18). Поэтому в некоторой окрестности точки Л функция г() дифференцируема и справедливо неравенство Если положить 28 = —го, то из последнего нераенства выводим что заканчивает доказательство леммы 4.1. Замечание 4.2. Лемма 4-1 сформулирована как утверждение о существовании l-окрестности точки А, но ее доказательство не носит конструктивного характера. Представляет интерес нахождение нижней оценки дляХ, которая обеспечивает в Х-окрестности точки А выполнение неравенства

Похожие диссертации на Оценки линейных функционалов для ограниченных однолистных функций, близких к тождественной

Оценки линейных функционалов в классе ограниченных функций, не принимающих нулевого значения Романова Светлана Владимировна

Оценка коэффициентов и функционала Милина для голоморфных ограниченных функций с симметрией вращенияКасаткина Татьяна Васильевна

Нелинейные непрерывные функционалы на топологических пространствах функцийЛазарев, Вадим Ремирович

Оптимальное восстановление линейных функционалов на классах аналитических функцийОсипенко, Константин Юрьевич

Свойства функций, заданных значениями их линейных функционаловОсколков, Владимир Александрович

Трансляционно непрерывные функционалы на пространстве непрерывных ограниченных функций на локально компактной группеСинайский Евгений Евгеньевич

Воспроизводящие ядра, преобразование Коши линейных непрерывных функционалов в весовых пространствах голоморфных функцийАнтоненкова Ольга Евгеньевна

Применение дискретных функционалов для гармонического анализа периодических и непериодических функцийБайтасова, Турсун

Приближение функций двух переменных и задачи восстановления значений линейных операторов и функционалов Шабозов Мирганд Шабозович

Субгармонические функции, допускающие оценку на последовательности точек вещественной оси Безуглая Людмила Ивановна