Введение к работе
Актуальность теми диссертации. 13 различных областях математики и физики широко используются и операторные метода, которые основаны на применении функционального, или операторного, исчисления. Термин "операторное исчисление" обычно употребляется Б следующем смысле: каждый метод вычисления оператора 74/) по голоморфной функции / и линейному оператору Т, который является гомоморфизмом, называется операторным, или функциональным, исчислением. Построение ФуШШИОНаЛЫтгп тчгалкч»» -_-_:т ГЛІС^й-іuU CilMfaujiOB.
сод-зрг:едоіо обобшеннин лункн^н, является вїшіой зядйч^й теории операторов.
Операторные методы, используемые в различных областях современной математики и физики, основываются на функциональном исчислении линейных операторов. В ряде случаев существует хорошо разработанная теория, которая позволяет задавать функции определенных классов от линейных операторов. Например, в случае, когда оператор А действует в конечномерном пространстве X размерности т, мы можем определить (р(А) для любой функции (р, принадлежащей классу С"'. Классическое функциональное исчисление Рисса-Данфорда для заданного ограниченного оператора А, действующего в банаховом пространстве X, каждой голоморфной в окрестности спектра оператора А функции / (которая и называется символом) ставит в соответствие ограниченный оператор по формуле:
где R{\;A) - резольвента оператора А в точке X. Это функциональное исчисление является основой спектральной теории. Однако множество символов данного операторного исчисления состоит только из голоморфных в окрестности спектра оператора А функций и продолжение его на более широкий класс символов связано с определенными трудностями.
Для построения более общей спектральной теории, включающей спектральную теорию несамосопряженных операторов, были введены понятия спектрального подпространства и спектрального оператора. Спектральные операторы характеризуются тем, что функциональное
исчисление от них определено'для множества символов, состоящего из функций, дифференцируемых на спектре оператора.
Для операторов, характеризуемых достаточно медленным ростом резольвенты при подходе к спектру, построены различные исчисления, символы которых ярпяются бесконечно дифференцируемыми неква-бианалитическши функциями, принадлежащими классам Карлемана. "
Однако для многих задач квантовой механики и квантовой теории поля такого множества символов оказывается недостаточно. Для решения этих- задач необходимо продолжить функциональное исчисление линейных операторов на алгебру символов, содержащую обобщенные функции. Важность такого рода проблем привела к разработке, различных методов задания обобщенных функций от линейных операторов. Например, в работах В.П.Маслова для достаточно широкого класса операторов была построена алгебра символов, содержащая б-функцию Дирака. Новый вариант операторного исчисления, множество символов которого содержит обобщенные функции, был предложен Я.В.Радано в работах.
Однако в рамках классической теории распределений задача продолжения множества символов до алгебры, содержащей обобщенные функции Шварца,, оказывается неразрешимой, поскольку при ее решении мы сталкиваемся с проблемой умножения обобщенных функций. В рамках классической теории распределений невозможно ввести ассоциативное умножение обобщенных функций. В связи с этим возникли новые теории обобщенных функций. -Общий подход к построению алгеб{ новых объектов был предложен А.Б.Антоневичем и Я.В.Радыно.Алгебр* мнемофункций определяются как множества классов эквивалентноста последовательностей гладких функций (в частности, по алгебре S(R,' строится пространство обобщенных элементов »(5(к))>. Задание обобщенной функции от оператора в виде класса эквивалентности последовательности ограниченных операторов дает решение задачи с продолжении множестве символов на пространство распределений. Новый подход к обобщенным функциям как к классам эквивалентное!! последовательностей гладких функций позволяет свести задачу умножения распределений к умножению бесконечно дифференцируемых функ ций. Новые теории Коломбо и Егорова, а также метод,, предложенные Антоневичем и Радано, основываются именно на этом подходе. По скольку для достаточно широкого класса операторов построено функ
циональное исчисление, множество символов которого содержит гладкие 'функции из пространства 5(к), естественно попытаться представить значение обобщенной функции от оператора А как нчкоторщ класс эквивалентности последовательности ограниченных операторов полученных применением к А гладких функций (если значение <р(Л определено, по крайней мере, для всех <р
пко ноьоо множество, которое содержало eti з ~5бэ пс еле дева-; иль -ности вида (<рп(Л)), где А - линейный оператор из X в К. ц>п - некоторые гладкие функции. Таким пространством и является алгебри обобщенных операторов, построенная в данной диссертационной работе.
Связь работы с^ научными программами, тамами. Исследования проводились в рамках госб.оджетной научно-исследовательской работа Белгосуниверситета по теме "Дифференциальные и операторные уравнения в топологических векторных пространствах" (№ гос. per. 01910055396).
Цель и задачи работы. Настоящая диссертация посвящена построению .алгебры обобщенных операторов, свойства которой схожи со свойствами множества линейных ограниченных операторов, действующих в нормированном пространстве, и продолжению функционального исчисления линейных операторов на множество символов, содержащее классические распределения Шварца.
Научная новизна полученных результатов заключается в следую -щем:
построена алгебра обобщенных операторов, включающая как ограниченные, так и неограниченные линейные операторы;
исследованы свойства алгебры обобщенных операторов;
доказан принцип равномерной ограниченности для множества обобщенных операторов;
построено функциональное исчисление, множество символов которого содержит все обобщетше функции.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту:
-
Метод построения и свойства алгебры обобщенных операторов.
-
Принцип равномерной ограниченности для обобщенных операторов.
-
Функциональное исчисление операторов для множества символов, содержащего обобщенные функции.
-
Теоремы о непустоте спектра и об открытости резольвентного множества обобщенного оператора.
Практическая значимость работы. Работа имеет теоретическое значение. Полученные результаты в дальнейшем могут быть применены в теории линейных операторов, а также использованы для составления новых специальных курсов по функциональному анализу. .
Личный вклад соискателя. Все приведенные в диссертации результаты получены лично соискателем и проанализированы с научным руководителем. В работе [7U выполненой совместно с Н.Я.Радыно, автором настоящей диссертационной работы были доказаны результаты и рассмотрены примеры, связанные непосредственно с алгеброй обобщенных операторов. Цель и задачи статьи [8] были поставлены научным руководителем Я.В.Радыно иразработаны соискателем.
Апробация и опубликованность результатов. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на конференции математиков Беларуси (г.Гродно, 1992), международной конференции по информатике и вычислительной технике (г.Минск, 1994), на научном семинаре кафедры функционального анализа БГУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора Я.В.Радыно. Основные результаты опубликованы в работах [1-а].
Структура и объем диссертации, диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, трех глав и выводов. Общий объем диссертации составляет 100 страниц, список использованных источников содержит 85 наименований.
