Введение к работе
Актуальность темы. В современной математике широко используются методы исследования операторных уравнений, основанные на геометрических идеях (метод неподвижных точек, топологические методы и др.).
В последние годы начались исследования операторных уравнений с сюръективными операторами. Такие уравнения, естественно, возникают в различных разделах математики. Первой работой, в которой изучались операторные уравнения вида
А(х) = /(ж),
где А — линейный ограниченный непрерывный сюръективный оператор, а / — компактное отображение, была работа Ricceri В. В ней не только доказывалось существование решений, но и изучалась топологическая размерность множества решений этого уравнения. В работах Гельмана Б.Д. были продолжены эти исследования, там была предложена новая схема изучений таких уравнений и ослаблены условия на отображение /. В дальнейшем им изучались операторные уравнения такого вида, в случае, когда А является замкнутым сюръективным оператором.
Настоящая работа продолжает исследования в этом направлении.
Цель работы. Исследовать операторные уравнения А(х) = f(x) с сюръективными, но не обязательно замкнутыми операторами и рассмотреть приложения этих теорем в анализе и теории дифференциальных уравнений.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Основные результаты:
-
Дано определение, приведены примеры и изучены свойства квазиобратимых операторов.
-
Доказаны теоремы существования решений операторных уравнений с квазиобратимыми операторами и получены оценки на топологическую размерность множества решений этих уравнений.
-
Рассмотрены приложения доказанных теорем к проблеме существования локальных решений вырожденных дифференциальных уравнений.
-
Доказан новый вариант бесконечномерной теоремы Борсука-Улама, в которой сюръективный оператор А является квазиобратимым.
-
Рассмотрены некоторые приложения теоремы Борсука-Улама в анализе и теории дифференциальных уравнений.
Методы исследования. В диссертационной работе используются методы функционального анализа и теории дифференциальных уравнений.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты представляют интерес для изучения новых классов операторных и дифференциальных уравнений.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на Воронежских зимних математических школах (Воронеж, 2011, 2012 и 2013 гг.); на Воронежских весенних математических школах (Воронеж, 2011, 2013 гг.); на международных конференциях "Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения "(Тамбов, 2011, 2013 гг.); на международной молодежной научной школе "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач"(Воронеж, 2012 г.); на международных научно-методических конференциях студентов, ас-
пирантов и преподавателей кафедры алгебры и геометрии ВШУ (Воронеж, 2012, 2013 гг.). Результаты диссертации докладывались на семинаре проф. Баскакова А.Г. (ВГУ, 2013).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[12]. Из совместных опубликованных работ [7], [10] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.
Работы [5], [6], [10] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех параграфов, разбитых на 17 пунктов. Объем работы 96 страниц. Библиография содержит 46 наименований.
