Введение к работе
Актуальность темы. Большинство результатов современной теории критических точек относится к заданным на банаховых пространствах (или банаховых многообразиях) функционалам класса С1. Известно однако, что функционалы ряда классических вариационных задач оказываются дифференцируемыми лишь относительно некоторых плотных подпространств исходного банахова пространства, а условие их гладкости либо приводит к жесткий пгрчниченя»;? ::г. г"Т пгліПїеЛіійиїай, либо вообшв нн выполняется. С пачпла 00-х годоа рядом авторов предпринимались попытки перенесения основных результатов теории критических точек на негладкие функционалы. Возникающие при этом трудности очевидны - само понятие критической точки, т.е. точки, в которой градиент функционала обращается в нуль, при переходе к негладким функционалам теряет привычный смысл и нуждается в определении. К настоящему времени в этой области можно выделить три основных направления исследования.
Первое направление, восходящее к классическим работам М.Морса Л.А.Люстерника 40-х годов занято построением "метрической" теории критических точек, т.е. теории критических точек для непрерывных и даже полунепрерывных снизу функционалов в метрических пространствах. Интенсивные исследования в этой области начали вестись лишь в самые последние годы.
Второе и, по-видимому, наиболее развитое к настоящему времени направление примыкает к многозначному анализу и связано с изучением различных классов локально-липшицевых функционалов, при исследовании которых может быть применено понятие субградиента.,
Наконец, третье направление, к которому может быть отнесена и настоящая диссертационная работа, связано с изучением функционалов, дифференцируемых (в том или ином смысле) по подпространствам исходного гильбертова пространства. В работах М.А.Красносельского, Н.А.Бобылева и др., посвященных исследованию вырожденных экстремалей многомерных вариационных задач было введено понятие (Е,И)-правильного функционала, эффективное при решении локальных задач теории критических точек. М.Струве рассматривались полунепрерывные снизу функционалы, дифференцируемые относительно, некоторого семейства подпространств исходного гильбертова простран-
ства (т.н. условие ,(А) ), что позволило получить ряд новых результатов о нетривиальных решениях полулинейных эллиптических уравнений, уравнения Шредингера и др.
П.П.Забрейко была предложена схема исследований вариационным
методом разрешимости нелинейных интегральных уравнений Гаммер-
штейна, при которой соответствующий исходному уравнения функционал
Голомба дифференцируем по подпространству исходного гильбертова
пространства Н в Следующем смысле. Пусть <р : И -» К и {+») -
функционал на Ь и V с М - подпространство К. Функционал ?
дифференцируем по подпространству V в точке х є Domiif), если
при т є R для всех v e.V функция т в точке х = О, т.е. существует конечный предел p(x+Tv) - »>(х) т-»0 который называется производной функционала tp' в точке х є Dom(q>) по направлению v е V. . Настоящая диссертационная работа посвящена развитию этого подхода. Связь работы с крупными научными программами, темами. Исследования проводились в рамках госбюджетной научной темы: "Линейные и нелинейные проблемы анализа и теории операторных уравнений и их приложения в теории управления и математической экономике", № 19941353 - 37.39 Белгосуниверситета. » Цель и задачи работы. Целью диссертационной работы является построение варианта теории критических точек для функционалов, дифференцируемых по подпространству и приложение полученных результатов к исследованию интегральных уравнений Гаммерштейна. Научная новизна полученных результатов: построен вариант теории критической точки для функционалов, дифференцируемых по подпространству; при помощи вводимого в работе понятия существенного критического значения доказаны новые теоремы о критических значениях функционалов, дифференцируемых по подпространству; доказаны новые теоремы о разрешимости и нетривиальных решениях интегральных уравнений Гаммерштейна с условиями типа односторонних оценок; - доказана новая теорема о нетривиальных решениях уравнений Гаммерштейна с суперквадратичными нелинейностями. Основные положения диссертации, выносимые на защиту. Вариант теории критических точек для функционалов, дифференцируемых по подпространству. Тзоремы о критических значениях функционалов, дифференцируемых по подпространству. Теоремы о разрешимости и нетривиальных решениях инте-"рт.тт,тт:.-тс ^з.д;:са.і." Ги^ми;;а1ййна с уодовинми типя ",»»и'"?торо;т?!ЯГ сценок. Теорема о нетривиальных решениях уравнений Гаммерштейна с суперквадратичными нелинейностями. Практическая значимость. Работа имеет теоретическое значение. Полученные результаты в дальнейшем могут быть применены при исследовании разрешимости различных классов нелинейных интегральных уравнений и уравнений с частными производными, а также использованы при чтении специальных курсов на механико-математическом факультете. Публикации,' апробация работы, личный вклад. По теме диссертационной работы опубликовано 6 печатных работ. Отдельные результаты диссертации докладывались на международной конференции "Функциональный анализ и уравнения с частными производными" (Минск ноябрь 1994 г.), на семинаре кафедры математических методов теория управления (руководитель - профессор П.П.Забрейко) и на семинаре кафедры функционального анализа (руководитель , - профессор Я.В.Радыно). Все основные результаты, приводимые в выносимой на защиту диссертационной работе, получены автором лично. Часть результатов получена в соавторстве, что отмечено в тексте работы. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка использованных источников, включающего 93 наименования. Общий объем работы составляет 95 страниц машинописного текста.
-2—a>(x+xv). lim = ,
Похожие диссертации на Критические точки функционалов, дифференцируемых по подпространству и уравнения Гаммерштейна
