Содержание к диссертации
Введение
1 Бифуркационный анализ фредгольмовых функционалов 20
1.1 Общие сведения о фредгольмовых уравнениях 20
1.2 Леммы Морса 23
1.3 Фредгольмовы уравнения с параметрами 24
1.4 Схема Ляпунова - Шмидта (локальная). 26
1.5 Вариационная версия метода Ляпунова - Шмидта 27
1.6 Редукция Морса - Ботта 29
1.7 Обобщенная редукция 31
1.8 Приближенное вычисление ключевой функции 33
1.9 Угловые особенности гладких функций и функционалов 36
1.10 О модах бифуркации и вычислении ключевых функций, . 39
1.11 О топологическом сравнении ключевых функций и условиях конечной определенности 41
1.12 Инвариантность ключевой функции относительно гамиль-тонова и лагранжева формализмов 42
2 Бифуркации экстремалей из угловых особых точек . 45
2.1 Основные условия. Вывод ключевых уравнений 46
2.2 Одномерное вырождение 49
2.3 Омбилическая особенность гиперболического типа 59
2.3.1 Нахождение каустического множества 60
2.3.2 Случай омбилической точки гиперболического типа па вершине 2—гранного угла 62
2.3.3 Расклады бифурцирующих экстремалей 74
3 Бифуркационный анализ некоторых нелинейных задач математической физики . 86
3.1 Гамильтонова система с гамильтонианом в нормальной форме Биркгофа 86
3.2 Двухмодовые бифуркации равновесий упругой балки с квадратичной упругой силой 89
3.2.1 Сведение к операторному уравнению 90
3.2.2 Переход к ключевому уравнению 92
3.2.3 Изгибы упругой балки при наличии полуограничений. 95
3.3 Волны в нелинейных средах 99
3.3.1 О периодических волнах в нелинейных средах с одномерным параметром порядка 99
3.3.2 Редукция функционала энергии в случае резонанса 1:2 103
3.4 Бифуркации стабильных концентраций вещества в среде с нелинейной диффузией 106
Литература 109
- Вариационная версия метода Ляпунова - Шмидта
- Инвариантность ключевой функции относительно гамиль-тонова и лагранжева формализмов
- Случай омбилической точки гиперболического типа па вершине 2—гранного угла
- О периодических волнах в нелинейных средах с одномерным параметром порядка
Введение к работе
В аналитической механике, теории упругих систем, теории фазовых переходов, системостатике и других разделах современного естествознания естественным образом возникают нелинейные вариационные задачи с полуограничениями вида
V(x) — inf, дк{х) >0, жеМ, к= 1,2, ... ,т,
где V{x), gk(x) — гладкие функционалы на гладком банаховом многообразии М (см., например, [7], [11], [15], [33], [40] - [43], [51], [53], [71], [72], [76], [77]). Такие задачи приводят, в частности, к вопросу о бифуркациях экстремалей из угловой точки края банахова многообразия [57].
В теории особенностей гладких функций на конечномерных многообразиях получил развитие анализ так называемых краевых и угловых особенностей (В.И. Арнольд, Д.Сирсма, С.Т.С. Уолл, Д. Пит, Т. Постои и др.) [2], [56],[S3], [84]. В частности, В.И. Арнольдом был сформулирован принцип отождествления краевых особенностей с особенностями, инвариантными относительно действия элементарной инволюции (инволюция называется элементарной, если коразмерность ее зеркала равна единице). Этот принцип позволил перенести понятие краевой особенности на комплексный случай и развить соответствующую теорию [2]. Позже Д. Сирсмой [83] были введены и исследованы угловые особенности (1981) как обобщение краевых особенностей. Теория краевых и угловых особенностей гладких функций получила дальнейшее развитие в работах В.А. Васильева, А.А. Давыдова, В.И. Матова и др. [13], [14], [23] - [25], [46], [47]
Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов па банаховых многообразиях в классической ситуации (без полуограиичений) достаточно хорошо изучены на основе метода конечномерной редукции [7], [8], [35], [41], [58]. Сравнительно недавно Ю.И. Сапроновым, А.В. Гнездилс-
вым [18] - [20], О.Ю. Даниловой [26] - [28], О-В. Швыревой [67] -,[69], М.А. Хуссаином [63], [64] был проанализирован ряд случаев, связанных с анализом бифуркаций экстремалей из точек минимума, принадлежащих угловой части края банахова многообразия, и с приложениями к нелинейным краевым задачам математической физики.
Вместе с тем, до сих пор оставались неизученными задача о бифуркации экстремалей из пятикратной угловой точки минимума и задача о бифуркациях из угловой точки минимума, имеющей двумерное вырождение по типу омбилической особенности гиперболического типа, весьма часто встречаемой в приложениях. Последняя задача была частично исследована М.А. Хуссаином и Ю.И. Сапроновым для случая симметричного.угла [60].
В настоящей диссертации рассмотрены бифуркации экстремалей параметрического семейства гладких функционалов с двумя полуограничениями при одномерном и двумерном вырождениях второго дифференциала.
Опознание возникающих типов особенностей и изучение соответствующих раскладов бифурцирующих морсовских экстремалей проведены на основе модифицированной схемы редукции к ключевой функции от двух (ключевых) переменных.
Основное содержание рассматриваемой задачи — описание геометрической структуры каустики и исследование всех bif—раскладов (распадений) при всевозможных регуляризирующих гладких возмущениях. В диссертации рассмотрены также приложения к задаче о периодических решениях гамильтоновой системы, к задаче о бифуркации равновесий упругой балки с двумя ограничителями, к задаче о бифуркации периодических волн в нелинейной среде и к задаче о бифуркациях стационарных концентраций вещества.
Основная цель диссертационной работы — разработка и апробация методов изучения бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала в
5.
угловой особой точке с одномерным и двумерным вырождениями.
В математических конструкциях диссертации использованы методы нелинейного функционального анализа, общей теории бифуркаций решений нелинейных фредгольмовых уравнений, вариационного исчисления и современного анализа гладких функций многих переменных.
Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.
Развит метод изучения бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала в точке минимума с одномерным вырождением при наличии двух полуограничений.
Получена полная классификация раскладов морсовских экстремалей, бифурцирующих из пятикратной угловой точки минимума при наличии двух полуограничений.
Развит метод изучения бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала в точке минимума с двумерным вырождением при наличии двух полуограничений.
Получена классификация основных раскладов морсовских экстремалей, бифурцирующих из омбилической критической точки минимума гиперболического типа при наличии двух полуограничений.
Разработана численно-аналитическая процедура описания двухмо-довых бифуркаций
равновесных конфигураций упругой балки на упругом основании при наличии двух полуограничений;
периодических решений гамильтоновых систем;
периодических волн в бесконечной упругой балке на упругом основании:
стационарных концентраций вещества в среде с нелинейной диффузией.
Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование методу фредгольмовых функционалов в вариационном исчислении на гладких многообразиях и, в частности, дают обоснование и развитие методу конечномерных редукций для изучения бифуркаций экстремалей вблизи угловой точки края банахова многообразия.
Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях нелинейных проблем классической механики и математической физики, связанных с вариационным подходом.
Результаты диссертации докладывались на Воронежской зимней математической школе (2006 г.), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамических системам (г. Суздаль, 2004 г.), на конференции "Герценовские чтения" в РГПУ (Санкт-Петербург, 2006), на семинаре отдела нелинейного анализа НИИ математики ВГУ и на семинаре проф. Костина В.А. по математическому моделированию (математический факультет ВГУ).
Материал диссертации опубликован в 11 работах [85] ~ [95]. Из совместной работы [88] в диссертационную работу Белоглазова А.В. вошли результаты, полученные лично автором.
Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на 20 параграфов, и списка цитируемой литературы из 94 наименований. Общий объем диссертации — 120 стр.
Изложение проиллюстрировано компьютерной графикой (15 рисунков), выполненной в среде Maple.
В первой главе изложены основы бифуркационного анализа нелинейных краевых задач методами функционального анализа и теории особенностей гладких функций. Изложены основные редуцирующие схемы (Ляпунова - Шмидта, Морса - Ботта и их обобщения). Приведен алгоритм вычисления главной части ключевой функции, приведены основные све-
дения из теории угловых особенностей гладких функций. Доказана теорема об инвариантности ключевой функции относительно гамильтонова и лагранжева формализмов (теоремы 1, 2). Дан краткий обзор близких результатов других авторов.
Во второй главе приведены результаты исследования абстрактного фредгольмова функционала в особой точке с одномерным и двумерным вырождением второго дифференциала при наличии двух гладких полуограничений. Дано описание геометрического строения каустики и перечислены (основные) расклады бифурцирующих экстремалей.
В случае одномерного вырождения описаны условия, при которых ключевая функция имеет пятикратную угловую точку минимума. Главная часть ключевой функции (после соответствующих замен переменных и отбрасывания "лишних" мономов) может быть представлена в виде
^(*,у,А) = у + |- + &2 + діЖ + ад, X={5,quq2)T. (0.1)
Наличие полуограничений приводит к исследованию этой функции в угле
* + ед>0; (о2)
X + 0.2У > 0.
Для функции W(x,y,X) найдено каустическое множество Е. Данное множество является объединением компонент, каждая из которых "отвечает" за вырождение критических точек на соответствующих гранях угла:
S = S0,o U Я$ (J Eg (J S$ U Е$ U SU Здесь Ео,о — множество параметров, при которых вырождается, как критическая точка, вершина угла (0.2); Е^ — множество параметров, при которых сужение функции W(x,y) на грань угла х -f а\у = 0 имеет вырожденную критическую точку; множество Е1^ содержит параметры, при которых имеется вырожденный экстремум у сужения функции W(x, у) на грань угла х + а2у = 0; компоненты Ел и Efo отвечают за попадание
критической точки функции W(x, у) на соответствующие грани угла; если параметр принадлежит множеству Еід} то во внутренности угла (0.2)
имеется вырожденная критическая точка.
Каустика Е разбивает пространство параметров на компоненты связности (ячейки регулярности), в каждой из которых сохраняется постоянный расклад экстремумов функции \У{х,у}Х), бифурцярующих из рассмотренной особой точки. Найдены все возможные наборы экстремумов функции W(x,y,X), Данные наборы экстремумов представлены в виде матрицы;
/ її 1Л
Л /1 /1
Ч) н п
р. ;2 12
Здесь її — количество критических точек индекса г на j - мерных гранях. В диссертации найдены уравнения компонент каустики и найдены ограничения (запреты) на значения элементов Ц (теоремы 3 - 7). В итоге
получена
Теорема 8. Все возможные при условии (0.2) расклады бифурциру-ющих экстремалей для функции (0.1) описываются следующими матрицами:
0 0
1 о
( і о о \
о о о
/
1 о
о о 1 1 о
\
/
[о 1 о \ 1 о о о о о
( О 1 о \
1 о
о о
\
/
\
1 1 о у О О О j
/ 0 0 1 \
2 0
о о
Решение рассмотренной задачи включает, в частности, следующий важный факт: максимальное количество ответвляющихся критических точек (для рассмотренной особенности) меньше алгебраической кратности особенности,
В случае двумерного вырождения предполагается, что невозмущенная
ключевая функция имеет в нуле особенность типа "гиперболической ом-биликй". Это означает, что в некоторой системе координат эта функция имеет следующий вид:
Для функции 1#Ь(ъ6) в диссертации рассмотрена ограниченная мини-нереальная деформация
W{u &, А) = | + Ш + d(g - U) + / + / + ЄЙЙ-.
Здесь Л = ((i,/5i,/32,).
Редуцирующая схема выбрана "с учетом полуограничений". После редукции получается задача анализа функции W(,i, 2, А) в угле
Сі + Діб > ь 6 + ^26 > Ъ, аі > 0, a2 < 0.
Основные расклады соответствуют случаю = 0. Для упрощения вычислений сделана замена переменных, переводящая вершину угла в начало координат. В результате, получена задача исследования функции
и(г)ьщ, А) = -^ + гцгЦ + dxrjl + d2ri +-2dsmm +- чш + Ч2Ш '(0.3) в угле
' Ч1 + ai42 ^ - (0.4)
_ Пі + ^2 > 0.
Здесь Л = {d1,d2,ds:q1,q2).
Для функции J7(?7, А) найдено каустическое множество , разбивающее пространство параметров на компоненты связности (ячейки регулярности), в каждой из которых сохраняется постоянный расклад экстремумов функции [/(г/, Л). Найдены все возможные наборы экстремумов функции U(tj, А). Для этой функции также найдены уравнения компонент каустики и найдены ограничения (запреты) на значения элементов 1\ (теоремы 9 - 18). В итоге получена
Теорема 19. Если а\а% < 0, то все возмооісние при
расклады бифурцирующих экстремалей для функции (0.3) следующими матрицами:
условии /0.4) описываются
( \ о о \
о о о
В третьей главе описаны примеры задач, в которых могут быть применены результаты первой и второй главы. Рассматривается задача изучения периодических решений гамильтоиовых систем, проводится анализ бифуркаций прогибов упругой балки, изучается зарождение периодических волн и проводится исследование бифуркаций стационарных концентраций вещества.
Рассмотрена гамильтонова система с гамильтонианом в нормальной форме Биркгофа степени два:
Н(риР2, ft, g2) = Н{р\ + qbvl + <&) = оеіірї + ЧЇ)+ +а3(р| + q!) + Лі(р? + ql)2 + А2(р\ + q22)2 + +2В(р\ + <&){ + ?22)+
+Щр1 + ІМ + я!)2 + Щрі + ufiA + ей-
Задача отыскания экстремалей функционала
V{pi,P2,qhq2)= /(Ml Л-Р2І2- H{Vi,V2,4h42))dt, о заданного на пространстве (П^)4 — 4—мерных дважды непрерывно дифференцируемых 2-7Г—периодических функций, может быть сведена (с помощью метода конечномерных редукций) к изучению экстремумов функции [851
+щ$+em+в)++ci(#+ей3+2(й+й)3+
+2di(g + ЙХЙ + Ф2 + 2^(Й + Й)2(Й + Й). После замены переменных г і = Й + Й> г2 ~ з + й; получим функцию
Lf(n, r2) = 5in + й2г2 + Ліг? + А2г| + 2Вгіг2+ +СгтІ + С2г? + 2^іГ!7-| + 2d2rlr2 в области г; > 0, г2 > 0, которая заменой переменных сводится к одному из следующих видов:
Ui{х,у) = j + xy2 + d(xl - у2) + fax + fay,
Щ^У) = у - ху2 + ф2 - у2) + Аж + /?2ї/. Особенность в нуле первой функции является омбилической гиперболического типа, второй — эллиптического. Таким образом, изучение бифуркаций критичеких точек исходной функции сводится к анализу функций U\,U2 в подвижном угле:
х + а\у > сі,
% + СІ2У> Є2-
Следующий пример — бифуркации равновесий упругой балки, Колебания и волновые движения упругой балки на упругом основании изучали Митропольский Ю.А., Мосеенков Б.И., Thompson J.M.T., Stewart Н.В., Бардин B.C., Фу рта С. Д. и др. [49], [5], Простейшая нелинейная модель движений балки описывается уравнением
d2w d^w d2w ,
(сила упругой реакции квадратична), w ~ прогиб балки, ф — малый функциональный параметр несовершенства. Первый шаг в изучении такой задачи — отыскание равновесных (стационарных) состояний, определяемых уравнением
d4w
Если рассмотреть стандартные краевые условия
ш(0) = ш(1) = w"(0) = ш"(1) = 0, (0.6)
то, как известно [30], эта задача сводится (конечномерной редукцией) к задаче изучения экстремалей 3—параметрического семейства полиномов от двух переменных.
В случае наличия дополнительных ограничений (полуограничений} на изгиб балки в виде системы неравенств
w{x{) > єі , w(x2) > є2і (0.7)
где єі, Є2 — малые параметры, 0 < хі < хч < 1, возникает задача изучения экстремалей 3—параметрического семейства полиномов от двух переменных в угловой области [20], [63], [64].
В диссертации рассмотрен нелинейный оператор / : Е —> F, порожденный левой частью уравнения (0.5) и действующий из банахова пространства Е функций класса С4([0,1]Д), для которых выполняются краевые условия (0.6), в пространство F = О([0,1],М) всех непрерывных функций.
Для описания дискриминатного множества уравнения
/(ш,А)=^ \={а,Р). '(0.8)
вблизи критической точки с 2—модовым вырождением и описания раскладов бифурцирующих регулярных решений (bif—раскладов) применена модификация метода конечномерной редукции, разработанная О.Ю. Даниловой, Ю.Й. Сапроновым и О.В. Швыревой.
Уравнение (0.8) потенциально с потенциалом (функционалом действия)
V{w,X^) = j [±^-a^-+l3— + — -WTPJdx,
то есть f(w, A) = grad V(w, A, 0).
При a = 5тг2, /3 = 4тг4 в нуле имеет место двумерное вырождение [39], [63]. В случае локализации параметров а = 5тг2 + 6і, /5 = 4тг4 + ( анализ ветвления решений можно осуществить посредством редукции к ключевой функции Морса - Ботта:
Ф&\,ф)= , inf V(w,\,t).
Ключевая функция допускает представление, после соответствующих масштабирующих преобразований, в виде
где многоточием обозначено слагаемое ("хвост"), от которого можно избавиться заменой
(в силу 3-определенности омбилической особенности гладкой функции
М, [22])-
Учет полуограничений (0.7) (при выборе редуцирующей схемы) приводит к рассмотрению функции W в угловой области
& + а& >єі, й + ЬЬ >2.
В развитие результатов Б.М. Даринского, Е.В. Ладыкиной, Ю.И. Сапронова и М.Хуссаина [31], [60] в диссертации рассмотрена также задача о волновых движениях нелинейной балки при условии, что ее потенциальная энергия определяется (четным) функционалом
4і 4 \dxj 2Р \dx Отыскание периодической волны в виде
р = р(кх -f tot)
приводит к уравнению
dAp „ йгр п ч
К2т4 + «ітт + ар 4- 0ір6+
. fdp\2d2p „ (dpV __ J*p . п _ ,. определяющему экстремали эффективного функционала энергии
^)^/(1(0)4(1)2^
о ч
Дальнейшая задача состоит теперь в том, чтобы изучить бифуркации экстремалей функционала V. Одномодовые бифуркации приводят к рождению волны
w(x,t) = г s'm(y + (р) + о(г), у = kx + ujt
где т,к,и)>-ф — параметры волны (амплитуда, волновое число, частота, фазовый сдвиг). Выяснение характера зависимости гот закритического приращения 5 := k — Я, где к = (а, к-ь йг)1") й — (й, ftj., «г)Т — критическое значение "управляющего" вектора й, требует применения специальной вычислительной процедуры [31].
В случае резонансного взаимодействия двух мод бифурцирующая волна допускает представление в виде
р(х, t) = гг sin(ly + ifi) + r2sm{ny + щ) + o(n, r2),
j/ = b+wt, uez, . нод(г,п) = і.
В диссертации рассмотрен случай взаимодействия бифурцирующих волн с сильным резонансом 1 : 2. в котором необходим учет входящих в ключевую функцию мономов шестого порядка.
Исследование экстремалей эффективного функционала энергии проведено на основе редукции к ключевой функции
W{,$) = Ы &(р,к + 8), (0.9)
ві = \І2 cos (у), е2 = V2 sin(y), ег = л/2 cos(2y), е4 = V2 ип(2у),
= (Єі>6,з,&)т, <5 = (<МіЛ)т. Имеют место следующие утверждения [60]:
Утверждение 1. Ключевая функция (0.9) допускает представление в виде
- (aih + а212) 4- - (11? + є2і? -f 23Щ) + С1$+
+AJt + Л2ї! + BJlh + Baijlf + o(lf, її ij), где
/і=б + Й, /2 = Й + Й,
/з = (Є - Й)6 + ЦМь
С, Afc, Bj — вычисляемые константы.
"Утверждение 2. В случае 4—мерного вырождения с резонансом 1 : 2 ключевая функция (0.9) в полярных координатах
& = rlCoe(
допускает представление (после масштабирования и деления на нормирующую константу) в виде
\ійЛ + fori) + ~{51Г* + hA + 25гт\г1) + сг\т1 cos(2^)+
+4 + (цгЫ + a2rl4 + 4 -І- Цгі 4) + 44q(4, г2} ф)7
где с, ах, о,ч — вычисляемые константы, ф = <р2 — 2
oft,4) = о((4+г|)4), в(т1 п,ф) = о(4 + 4)-
Бифуркации полиостью определяются главной частью /(, <5). Функция U(}5) обладает симметрией относительно действия окружности в Ш4:
{ехр(їй),} h-j- (exp(is)z,exp(?2s)w)T, (0.10)
Z = l + &i, tU = 6 + &*
(вектор отождествляется с комплексным вектором (z,w)T). Множество ненулевых критических точек представляют собой набор одномерных подмногообразий (критических орбит действия (0.10)), диффеоморф-ных окружности. Условие стационарности орбиты по фазе ф = 2(fi — щ
дает следующие критические значения фазы:
Поиск точек, стационарных по амплитудам г і, гг, сводится, после замены т\ = щ т\ — и, к исследованию функции
-(Au + /) + -(5іиг +
+їі3 + ai«3-y + аіш;2 + г>3 + ...
в положительной четверти кооординатной плоскости и > 0, г; > 0.
Последний пример — задача о бифуркации стабильных концентраций вещества в среде с нелинейной диффузией. Динамика изменений концентрации вещества в нелинейной среде с нелинейной диффузией может быть описана уравнением
ди д Л_ ..ди\ , / ди\
с краевыми условиями
u'(0) = u'(l) = 0. (0.11)
Здесь T>(v) — коэффициент (нелинейной) диффузии, зависящий от концентрации и:
V{u) = D0 + D1u,
( ди\ й
9\и-,'^г\~ слагаемые более высокого порядка относительно и.
\ дх)
Предполагается, что выполняются ограничения на концентрацию вещества
/ u(x)dx = ео, 2 akju(x3) > к, к = 1..п.
Л j
Рассмотренная ситуация приводит нас в условия задачи о бифуркации
экстремалей в многогранном угле.
Стационарные уровни концентрации вещества в рассмотренной среде при краеввіх условиях (0.11) определяются уравнением
. IH)-f(S)'+*-^ «>.*>
которое является уравнением экстремалей функционала (энергии)
При переходе Л через собственное значение Dqtt2 дифференциального оператора в линейной части уравнения (0.12) происходит бифуркация из нуля.
Положив п = 2, мы попадаем в ситуацию 2—гранного угла. Действуя в соответствии с вычислительной схемой, описанной в [29], мы получим главную- часть ключевой функции (после соответствующих замен переменных) вида
^^ Т" II
W{x, у, А) = — + — -f 5х2 + сцх + q2y, X = (6, qh q2)T
в угле
{
х + а\у > 0; х + а2у > 0. В результате, вновь имеемзадачу, изученную во второй главе.
Автор выражает благодарность Ю.И. Сапронову, С.Л. Цареву. А.Ю. Борзакову, Е.В. Ладыкиной и О.В. Швыревой за обсуждение материалов диссертации и замечания.
Вариационная версия метода Ляпунова - Шмидта
В аналитической механике, теории упругих систем, теории фазовых переходов, системостатике и других разделах современного естествознания естественным образом возникают нелинейные вариационные задачи с полуограничениями вида
где V{x), gk(x) — гладкие функционалы на гладком банаховом многообразии М (см., например, [7], [11], [15], [33], [40] - [43], [51], [53], [71], [72], [76], [77]). Такие задачи приводят, в частности, к вопросу о бифуркациях экстремалей из угловой точки края банахова многообразия [57].
В теории особенностей гладких функций на конечномерных многообразиях получил развитие анализ так называемых краевых и угловых особенностей (В.И. Арнольд, Д.Сирсма, С.Т.С. Уолл, Д. Пит, Т. Постои и др.) [2], [56],[S3], [84]. В частности, В.И. Арнольдом был сформулирован принцип отождествления краевых особенностей с особенностями, инвариантными относительно действия элементарной инволюции (инволюция называется элементарной, если коразмерность ее зеркала равна единице). Этот принцип позволил перенести понятие краевой особенности на комплексный случай и развить соответствующую теорию [2]. Позже Д. Сирсмой [83] были введены и исследованы угловые особенности (1981) как обобщение краевых особенностей. Теория краевых и угловых особенностей гладких функций получила дальнейшее развитие в работах В.А. Васильева, А.А. Давыдова, В.И. Матова и др. [13], [14], [23] - [25], [46], [47]
Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов па банаховых многообразиях в классической ситуации (без полуограиичений) достаточно хорошо изучены на основе метода конечномерной редукции [7], [8], [35], [41], [58]. Сравнительно недавно Ю.И. Сапроновым, А.В. Гнездилсвым [18] - [20], О.Ю. Даниловой [26] - [28], О-В. Швыревой [67] -,[69], М.А. Хуссаином [63], [64] был проанализирован ряд случаев, связанных с анализом бифуркаций экстремалей из точек минимума, принадлежащих угловой части края банахова многообразия, и с приложениями к нелинейным краевым задачам математической физики.
Вместе с тем, до сих пор оставались неизученными задача о бифуркации экстремалей из пятикратной угловой точки минимума и задача о бифуркациях из угловой точки минимума, имеющей двумерное вырождение по типу омбилической особенности гиперболического типа, весьма часто встречаемой в приложениях. Последняя задача была частично исследована М.А. Хуссаином и Ю.И. Сапроновым для случая симметричного.угла [60].
В настоящей диссертации рассмотрены бифуркации экстремалей параметрического семейства гладких функционалов с двумя полуограничениями при одномерном и двумерном вырождениях второго дифференциала.
Опознание возникающих типов особенностей и изучение соответствующих раскладов бифурцирующих морсовских экстремалей проведены на основе модифицированной схемы редукции к ключевой функции от двух (ключевых) переменных.
Основное содержание рассматриваемой задачи — описание геометрической структуры каустики и исследование всех bif—раскладов (распадений) при всевозможных регуляризирующих гладких возмущениях. В диссертации рассмотрены также приложения к задаче о периодических решениях гамильтоновой системы, к задаче о бифуркации равновесий упругой балки с двумя ограничителями, к задаче о бифуркации периодических волн в нелинейной среде и к задаче о бифуркациях стационарных концентраций вещества.
Основная цель диссертационной работы — разработка и апробация методов изучения бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала в угловой особой точке с одномерным и двумерным вырождениями. В математических конструкциях диссертации использованы методы нелинейного функционального анализа, общей теории бифуркаций решений нелинейных фредгольмовых уравнений, вариационного исчисления и современного анализа гладких функций многих переменных. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми. 1. Развит метод изучения бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала в точке минимума с одномерным вырождением при наличии двух полуограничений. 2. Получена полная классификация раскладов морсовских экстремалей, бифурцирующих из пятикратной угловой точки минимума при наличии двух полуограничений. 3. Развит метод изучения бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала в точке минимума с двумерным вырождением при наличии двух полуограничений. 4. Получена классификация основных раскладов морсовских экстремалей, бифурцирующих из омбилической критической точки минимума гиперболического типа при наличии двух полуограничений. 5. Разработана численно-аналитическая процедура описания двухмо-довых бифуркаций.
Инвариантность ключевой функции относительно гамиль-тонова и лагранжева формализмов
К задаче изучения поведения гладких функционалов вблизи угловых особых точек края банахова многообразия приходится обращаться как в пределах "чистого анализа11 особенностей гладких функционалов, так и в смежных областях — теории управления, теории фазовых переходов, теории бифуркаций периодических волн и т.д. [33], [53]
Как уже отмечалось выше, один из подходов к изучению угловых особенностей основан на конечномерных редукциях, приспособленных для угловых особенностей [20]. Приспособление состоит в том, что ключевые параметры выбираются согласованными с ограничителями — неравенствами, задающими край в окрестности угловой точки. Простейший способ такого согласования — включение системы ограничителей в систему ключевых параметров.
Напомним, что угловые особенности функций на конечномерных многообразиях были введены Д. Сирсмой [83] как обобщение краевых, ранее введенных и изученных В.И. Арнольдом [2], [4]. Д. Сирсма получил ряд основополагающих результатов и, в частности, установил, что все простые угловые особенности получаются из краевых (обычным вложением).
Ряд геометрических и топологических вопросов теории вариационных задач на многообразиях с краем и углами исследовали А.А. Аграчев, С.А. Вахрамеев, О-В. Кунаковская, А.В. Гнездилов, О.Ю. Данилова, Ю.И. Сапрошв, Л.В. Стенюхин, О.В. Швырева [1J, [16], [18], [20], [57], [61], [67], [68], [75] и др.
Изучая некоторые внешне различные нелинейные краевые задачи, можно заметить, что эти задачи приводят в конечном итоге к одному и тому же вопросу о критических точках параметрического семейства многочленов от переменных j (ключевых параметров) положительном октанте j 0- Этот факт демонстрируется в статьях 0,Ю. Даниловой, Б.М. Даринского, Е.В. Ладыниной, Ю.И. Сапронова, О.В. Швыревой и М.А. Хуссаина на примере задач о прогибах упругой балки с двумя полуограничителями, о прогибах нелинейной оболочки и о рождении периодических волн в нелинейных средах [31]. Безусловно; список таких примеров можно существенно увеличить.
Конкретные задачи математической физики требуют не только доказательство возможности конечномерного редуцирования, но и конструктивной реализации той или иной редуцирующей схемы.
Здесь мы применим описанную ранее алгоритмическую конструкцию к анализу нелинейной краевой задачи с параметрами (в абстрактном виде), рассмотренной в случае омбилической угловой особой точки. Пусть / : Е —j F нелинейное фредгольмово отображение нулевого индекса, действующий из банахова пространства Е в банахова пространство F. Рассмотрим нелинейное уравнение где w Є E.t q{x) Є F — малый функциональный параметр несовершенства. Будем считать, что отображение f(w,X) является потенциальным, В этом случае каждое решение уравнения (2.1) является экстремумом функционала V(w, А). Рассмотрим поведение функционала V(w,X) при гладких ограничениях на основную переменную в виде двух неравенств, задающих две неособо пересекающиеся гладкие поверхности и выделяющих 2—гранный угол: Будем считать, что вершина угла С является min - особенностью функционала V(w, Л). Предположим, что вблизи нуля в каждом слое д 1{) существует единственная (морсовская) экстремаль Ш- Рассмотрим двумерное редуцирующее подмногообразие А/д, состоящее из значений маргинального отображения р(, Л). Ключевая функция представляет собой (с точностью до замены координат в пространстве ключевых параметров) сужение функционала V на редуцирующее подмногообразие М\. Переход (редукция) к конечномерной задаче осуществляется по описанной в первой главе схеме. Вид ключевой функции и методы ее нахождения зависят от размерности ядра второго дифференциала функционала V{w) А). Пусть Ао — некоторое (необязательно критическое) значение параметра и А = Ао + 5. Обозначим N = КегА(\о). Рассмотрим три случая: dimN = О, dimN = 1, dimN = 2. В первом случае (оператор A(XQ) обратим) исследование ключевой функции приводит к рассмотрению полурегулярной угловой особенности. После соответствующих замен ключевая функция может быть записана в виде: Наличие ограничений С приводит к изучению функции И і, ) в первой координатной четверти: 0, 0. Двумерные полурегулярные угловые особенности были полностью изучены в работах Ю.И. Сапронова, А.В. Гнездилова и других [33], [73]. Во втором случае (оператор 4(AQ) имеет одномерное вырождение) бифуркационный анализ функционала V(w,X) эквивалентен бифуркационному анализу семейства полиномов;
Случай омбилической точки гиперболического типа па вершине 2—гранного угла
Доказательство. 1) Первое равенство выполняется, так как вершина угла (2.3) всегда является точкой экстремума. В результате данной замены, функция W(x,y) преобразуется к виду Заметим, что в силу коэрцитивности функции W{x)y) будет коэрцитивна и функция W(u,v). Поэтому количество экстремумов функции W(u,v) подчинено соотношению Эйлера где 1$ количество минимумов, 1\ — количество седел, 1-і — количество максимумов. Установим связь между количеством экстремумов функции W(u, v) и числом экстремумов функции W(x:y) в угле (2.3). У функции W(x y) существуют критические точки трех типов: в вершине угла, на стороне угла и внутри угла. Экстремуму в вершине угла соответствует точка экстремума того же индекса функции W(u, v). Каждому экстремуму на стороне угла соответствует две точки экстремума того же типа функции W(u,v). Наконец, каждой точке внутреннего экстремума соответствует четыре экстремума функции W(u, v) того же индекса. Поэтому выполняются следующие равенства: Подставляя данные равенства в соотношение Эйлера и используя утверждение теоремы 4, получим второе утверждение теоремы. Теорема доказана. Теорема 6. Если Ц = 1 (вершина угла — точка минимума), то па сторонах угла нет критических точек: l\ = l\ = l\ = 0; если 1\ — 1 (вершина угла — седло), то на сторонах угла имеется единственная критическая точка, являющаяся минимумом или седлом/. если Ц = 1 (вершина угла — максимум), то возм.оэ!Сны два расклада: па сторонах угла находится минимум и седло (1$ = 1\ = 1, 1\= 0) или на сторонах угла имеется два седла {1\ = 11=0, l\ = 2).
Доказательство. Напомним, что мы рассматриваем только малые возмущения параметров (замечание 2). Поэтому па каждой стороне угла может появиться не более одного экстремума. Если вершина угла — точка минимума, то в силу коэрцитивности функции W(x,y) на сторонах угла нет критических точек. Если вершина угла — седловая точка, то на одной из сторон угла имеется критическая точка, являющаяся минимумом или седлом. Если вершина угла — точка максимума, то на каждой стороне угла имеется экстремум, являющийся минимумом или седловой точкой. Теорема доказана.
Доказательство. Для того чтобы вершина угла являлась точкой максимума необходимо, чтобы производные функции W(x, у) в нуле вдоль направляющих векторов сторон угла п\,щ, были отрицательны. То есть должны выполняться неравенства: Полученные неравенства задают в пространстве параметров область расположенную в полупространстве /i 0. При этом условии, согласно замечанию 3, во внутренности угла (2.3) не может находится два экстремума. Поэтому расклад, представленный в формулировке теоремы, не может быть реализован. Теорема доказана.
Ограничения, сформулированные в теоремах 4-7, позволяют выписать все матрицы возможных раскладов. Количество таких матриц равно 7. Были найдены зоны, ограниченные поверхностями каустики в пространстве параметров R5, в точках которых осуществляются данные расклады. В результате доказана теорема Пусть / : Е — F нелинейное фредгольмово отображение нулевого индекса, действующий из банахова пространства Е в банахова пространство F.
О периодических волнах в нелинейных средах с одномерным параметром порядка
В развитие результатов Б.М. Даринского, Е.В. Ладыкиной и Ю.И. Сапронова ([31]), рассмотрим нелинейную среду, для которой потенциальная энергия деформации определяется интегралом
Здесь p(x) — поле параметра порядка, заданное на оси х. Физическим смыслом параметра порядка может быть, например, вектор смещения точки средней линии упругой балки или вектор поляризации сегыетоэлектрического кристалла, испытывающего при подходящих условиях фазовый переход из высокотемпературной прафазы (р = 0) в несоразмерную фазу, характеризуемую стационарной периодической зависимостью р = р(х) (периода ) [74]. При достижении параметром а достаточно малых положительных значений происходит потеря устойчивости однородного состояния вещества р — 0 и образуется устойчивая периодическая структура = 0((Т — TQ)S) (JQ — критическое значение температуры Т). Уравнение равновесия, полученное из условия равенства нулю первой вариации (первого дифференциала) функционала (3.21), имеет следующий вид; Очевидно, что данное уравнение имеет1 тривиальное решение р(х) = 0 при всех значениях параметров. При больших значениях а это решение является устойчивым. Потеря устойчивости происходит при переходе через наименьшее собственное значение дифференциального оператора (в линейной части уравнения (3.23)) Отсюда получаем соотношение для волнового числа к: Ясно, что при больших значениях а решение вида (3.22) отсутствует. При достижении параметром а значения ат зарождается периодическое решение с волновым числом к = кт. При этом Дальнейшее уменьшение а приводит к увеличению амплитуды колебаний. Предположим, что рассмотрен кристалл, находящийся при достаточно высокой температуре в прафазе. Рассмотрим интеграл действия скоРость распространения волны), подставим (3.25) в (3.24), что приводит к уравнению (3.23), в котором вместо «і появляется эффективный коэффициент Соотношение (3.26) показывает, что с увеличением частоты увеличивается эффективный коэффициент йі, что приводит к бифуркации бегущих периодических волн. Итак, поиск бифурцирующих волн приводит к уравнению определяющему экстремали эффективного функционала энергии Дальнейшая задача состоит теперь в том, чтобы изучить бифуркации экстремалей функционала V. Как уже отмечалось выше, одномодовые бифуркации приводят1 к рождению волны где г, к, ш, ф — параметры волны (амплитуда, волновое число, частота, фазовый сдвиг). Выяснение характера зависимости г от закритического приращения 5 : к- її, где — критическое значение "управляющего" вектора к, требует применения специальной вычислительной процедуры (см. ниже). В случае же резонансного взаимодействия двух мод бифурцирующая волна допускает представление в виде
Ниже будет рассмотрен случай взаимодействия бифурцирующих волн с сильным резонансом 1 : 2, в котором необходим учет входящих в ключевую функцию мономов шестого порядка. Вновь обратимся к эффективному функционалу энергии (3.27). При этом (см. [31])
