Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Вспомогательные результаты 22
1. Конформное отображение на круговые многоугольники 22
2. Дифференциальные уравнения класса Фукса 25
3. Конформное отображение на многоугольники с границей из прямолинейных отрезков. Принцип симметрии 28
4. Эллиптические интегралы 30
Глава 2. Конформное отображение полуплоскости на круговой счетноугольник с симметрией переноса вдоль вещественной оси 32
1. Аналитическое продолжение отображения с симметрией переноса 32
2. Уравнение для отображения c симметрией переноса 34
3. Пример 38
Глава 3. Конформные отображения на области с двойной симметрией 45
1. Уравнение Шварца для отображения на круговой счетноугольник с двойной симметрией 45
2. Пример 49
3. Интеграл Кристоффеля-Шварца для отображения на счетно-угольник с двойной симметрией 52
4. Примеры 55
5. Конформное отображение единичного круга на круговой 2-угольник с -кратной симметрией вращения и с дополнительной зеркальной симметрией 60
Глава 4. Определение акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля-Шварца для отображения верхней полуплоскости на счетноугольник с симметрией переноса вдоль вещественной оси 65
1. О сходимости семейства отображений с граничной нормировкой 65
2. Конформное отображение полуплоскости на счетноугольник с симметрией переноса 70
3. Конформное отображение полуплоскости на счетноугольник с двойной симметрией 77
4. Пример 83
Литература
- Дифференциальные уравнения класса Фукса
- Уравнение для отображения c симметрией переноса
- Интеграл Кристоффеля-Шварца для отображения на счетно-угольник с двойной симметрией
- Конформное отображение полуплоскости на счетноугольник с симметрией переноса
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Основополагающей работой современной геометрической теории функций является диссертация Б. Римана. Наряду с прочими результатами в работе Б. Римана была сформулирована знаменитая теорема о конформном изоморфизме односвязных областей.
В 1867 г. Э. Кристоффелем и независимо в 1869 г. Г.А. Шварцем было получено интегральное представление отображений верхней полуплоскости на односвязные области, граница которых состоит из прямолинейных отрезков. В работах Г.А. Шварца содержится обобщение на случай многоугольников, граница которых состоит из дуг окружностей. Для многих задач математической физики, использующих технику конформных отображений, представляет интерес нахождение конформных отображений канонической области на многоугольники с дополнительными геометрическими свойствами. Формула Кри-стоффеля-Шварца получила распространение для отображения на двусвязные и многосвязные области, для отображений на Риманову поверхность, для отображения на многоугольники в изотермических сетках и др.
В последние десятилетия появился интерес1),,, в том числе у Томской математической школы,,, к отображениям верхней полуплоскости на счет-ноугольники с симметрией переноса типа полуплоскости и типа полосы (част-1) Menikof R., Zemach C. Rayleigh-Taylor instability and the use of conformal maps for ideal fuid fow // Journal of Computational Physics. 1983. Vol. 51. P. 28–64.
2) Floryan J. M. Schwarz-Christofel methods for conformal mapping of regions with a periodic boundary
// Journal of Computational and Applied Mathematics 1993. no. 46. P. 77–102.
3) Hassenpfug W. S. Elliptic integrals and the Schwarz-Christofel transformation // Computers Math.
Applic. 1997. Vol. 33, no. 12. P. 15–114.
4) Александров И. А. Конформные отображения полуплоскости на области с симметрией переноса //
Известия вузов. Математика. 1999. № 6(445). С. 15–18.
5) Александров И. А., Копанева Л. С. Левнеровские семейства отображений полуплоскости на области
с симметрией переноса // Вестник Томского ун-та. 2004. № 284. С. 5–7.
6) Копанев С. А., Копанева Л. С. Формула типа формулы Кристоффеля-Шварца для счетноугольника
// Вестник Томского ун-та. 2003. № 280. С. 52–54.
ные случаи полигональных областей со счетным множеством вершин). Конформные отображения на счетноугольники с симметрией переноса применяются в гидродинамике при изучении потока жидкости, в задачах о не вихревых потоках, задачах теплопроводности, электростатики, в СВЧ теории и др., а также применяются в смежных областях, например для построения периодических минимальных поверхностей, в теории дифференциальных уравнений с периодическими начальными и граничными условиями и др.
Применение интеграла Кристоффеля-Шварца на практике затрудняют входящие в него акцессорные параметры. Над задачей определения акцессорных параметров в классической формуле Кристоффеля-Шварца трудились многие известные математики7),,,,.
Решение задачи Сен-Венана о кручении стержня часто основывается на теории конформных отображений. Известны точные и приближенные решения задачи о кручении стержня для разнообразных сечений. Среди них можно выделить ряд работ посвященных задаче о кручении стержня с сечением, обладающим симметрией вращения,,
7) Голузин Г. М., Канторович Л. В., Крылов В. И. и др. Конформное отображение односвязных и
многосвязных областей. М.-Л.: Гостехиздат, 1937. – 126 c.
8) Куфарев П. П. Об одном методе численного определения параметров в интеграле Шварца-Кри-
стоффеля // ДАН СССР. 1947. Т. 57, № 6. С. 535–537.
9) Фильчаков П. Ф. Определение констант интеграла Кристоффеля-Шварца при помощи обобщенных
степенных рядов // В сб. Некоторые проблемы математики и механики. К шестидесятилетию академика
М.А. Лаврентьева. Новосибирск: Изд-во Сибирского отделения АН СССР, 1961. С. 236–252.
10) Davis R. T. Numerical methods for coordinate generation based on Schwarz-Christofel transformations
// In 4th AIAA Comput. Fluid Dynamics Conf., Williamsburg, Va. 1979. P. 1–15.
11) Lawrenson P. J., Gupta S. K. Conformal transformation employing direct-search techniques of
minimisation // Proceedings of the IEE. 1968. Vol. 115, no. 3. P. 427–431.
12) Александров И. А., Соболев В. В. Математические задачи теории упругости, задача Сен-Венана.
LAP Lambert Academic Publishing, 2011.
13) Hussenpfug W. S. Torsion of uniform bars with polygon cross-section // Computers and Mathematics
with Applications. 2003. Vol. 46. P. 313–392.
14) Lee K. Torsion of fbers of an N-sided regular polygonal cross-section // Textile Research Journal. 2007.
Vol. 77, no. 2. P. 111–115.
Цели и задачи диссертационной работы:
Обобщить дифференциальное уравнение Шварца для отображения на круговые многоугольники на случай круговых счетноугольников типа полуплоскости с симметрией переноса вдоль вещественной оси.
Обобщить дифференциальное уравнение Шварца для отображения на круговые многоугольники на случай круговых счетноугольников типа полуплоскости с симметрией переноса вдоль вещественной оси и симметрией относительно вертикальной прямой {w Є С : Rew = к}.
Обобщить формулу Кристоффеля-Шварца на случай счетноугольников типа полуплоскости с прямолинейной границей, с симметрией переноса вдоль вещественной оси и симметрией относительно вертикальной прямой {w Є С : Re и; = л}.
Получить конформное отображение единичного круга {z Є С : \z\ < 1} на круговой 2п-угольник с n-кратной симметрией вращения относительно начала координат и симметрией относительно прямой {w Є С : axgw = Ц}.
Распространить метод П.П. Куфарева определения акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля-Шварца на случай конформного отображения с граничной нормировкой верхней полуплоскости на счетноугольник с симметрией переноса вдоль вещественной оси.
Получить конформные отображения верхней полуплоскости на конкретно заданные счетноугольники с симметрией переноса вдоль вещественной оси.
Методология и методы исследования. В работе используются общие методы математического анализа, методы теории функций комплексного переменного, геометрической теории конформных отображений, теории дифференциальных уравнений, метод П.П. Куфарева определения акцессорных параметров, теория специальных функций.
Научная новизна. Основные результаты диссертационного исследования, полученные автором, являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты, изложенные в диссертации, могут использоваться при чтении спецкурсов для студентов, специализирующихся по теории функций комплексного переменного. Результаты и методы исследования данной работы могут быть полезны при решении задач геометрической теории конформных отображений, при изучении различных классов голоморфных однолистных отображений, при исследовании задач гидромеханики, теории упругости и т. п.
Положения, выносимые на защиту:
Конформное отображение верхней полуплоскости на круговой счетно-угольник с симметрией переноса вдоль вещественной оси представлено в виде дифференциального уравнения третьего порядка, типа дифференциального уравнения Шварца для круговых многоугольников. Конформное отображение на круговой счетноугольник с симметрией переноса и симметрией относительно вертикальной прямой представлено в виде дифференциального уравнения такого же типа.
Конформное отображение верхней полуплоскости на счетноугольник с симметрией переноса вдоль вещественной оси и симметрией относительно вертикальной прямой, граница которого состоит из прямолинейных отрезков и лучей, представлено интегралом типа интеграла Кристоффеля-Шварца.
Получено конформное отображение единичного круга {z Є С : \z\ < 1} на круговой 2п-угольник с n-кратной симметрией вращения относительно начала координат и симметрией относительно прямой {w Є С : axgw = Ц}.
Получена система дифференциальных уравнений для нахождения акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля-Шварца для отображения с гидродинамической нормировкой на счетноугольник с симметрией переноса вдоль вещественной оси и система дифференциальных уравнений для нахождения акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля-Шварца для отоб-
ражения с граничной нормировкой на счетноугольник с симметрией переноса вдоль вещественной оси и симметрией относительно вертикальной прямой.
Степень достоверности и апробация результатов. Все полученные в диссертации результаты имеют строгое математическое обоснование. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:
– I Всероссийская молодежная научная конференция «Современные проблемы математики и механики», Томск, 13-15 октября 2010 г.,
– II Всероссийская молодежная научная конференция «Современные проблемы математики и механики», Томск, 12-14 октября 2011 г.,
– VI Петрозаводская международная конференция «Комплексный анализ и приложения», 1-7 июля, 2012 г.,
– Международная молодежная конференция «Современные методы механики», Томск, 19-20 сентября 2012 г.,
– 51-я международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 12-18 апреля 2013 г.,
– XI Казанская международная школа-конференция «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы», 22-28 августа 2013 г.,
– Всероссийская конференция по математике и механике, посвященная 135-летию Томского государственного университета и 65-летию механико-математического факультета, Томск, 2-4 октября 2013 г.,
– XVII международная Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функций и их приложения», 27 января – 3 февраля 2014 г.
Публикации. Основные результаты диссертации, опубликованы в четырех статьях [1], [2], [3], [4], в том числе в трех статьях в журналах, рекомендованных ВАК, и семи тезисах [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, библиографии и двух приложений. Диссертация изложена на 106 страницах, и содержит 18 рисунков. Библиография включает 91 наименование.
Дифференциальные уравнения класса Фукса
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты, изложенные в диссертации, могут использоваться при чтении спецкурсов для студентов, специализирующихся по теории функций комплексного переменного. Результаты и методы исследования данной работы могут также быть полезны при решении задач геометрической теории конформных отображений, при изучении различных классов голоморфных однолистных отображений, при исследовании задач гидромеханики, теории упругости и т. п.
Степень достоверности и апробация результатов. Все полученные в диссертации результаты имеют строгое математическое обоснование. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: – I Всероссийская молодежная научная конференция «Современные проблемы математики и механики», Томск, 13-15 октября 2010 г., – II Всероссийская молодежная научная конференция «Современные проблемы математики и механики», Томск, 12-14 октября 2011 г., – VI Петрозаводская международная конференция «Комплексный анализ и приложения», 1-7 июля, 2012 г., – Международная молодежная конференция «Современные методы механики», Томск, 19-20 сентября 2012 г., – 51-я международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 12-18 апреля 2013 г., – XI Казанская международная школа-конференция «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы», 22-28 августа 2013 г., – Всероссийская конференция по математике и механике, посвященная 135-летию Томского государственного университета и 65-летию механико-математического факультета, Томск, 2-4 октября 2013 г., – XVII международная Саратовская зимняя школа «Современные пробле 16 мы теории функций и их приложения», 27 января – 3 февраля 2014 г.
Публикации. Основные результаты диссертации, опубликованы в трех статьях [24], [26], [27], в том числе в двух статьях в журналах, рекомендованных ВАК, и семи тезисах [21], [22], [23], [25], [28], [29], [30].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, библиографии и двух приложений. Диссертация изложена на 106 страницах, и содержит 18 рисунков. Библиография включает 91 наименование.
Первая глава содержит известные результаты, используемые в остальных главах диссертации. В S1 приведено определение производной Шварца и два ее свойства, приведена теорема, содержащая дифференциальное уравнение Шварца для конформного отображения полуплоскости на круговой многоугольник. Уравнение для случая, когда прообраз одной из вершин многоугольника находится в бесконечно удаленной точке, и уравнение для отображения полуплоскости на круговой треугольник (функции Шварца) записаны отдельно. Отмечено, что дифференциальное уравнение Шварца третьего порядка для отображения на круговые многоугольники сводится к дифференциальному уравнению второго порядка. В S2 дано определение дифференциального уравнения класса Фукса. Записано уравнение класса Фукса с тремя особыми точками в канонической форме (уравнение Римана), и интегралы этого уравнения представлены в форме -функций Римана. Приводится два свойства инвариантности уравнения Римана, позволяющие свести его к дифференциальному уравнению Гаусса. В S3 содержится интегральная формула Кристоффеля-Шварца для отображения верхней полуплоскости на многоугольник. Теорема В.Я. Гутлянского, А.О. Зайдана, содержащая систему дифференциальных уравнений для определения акцессорных параметров в отображении с граничной нормировкой, представленном интегралом Кристоффеля-Шварца, переформулирована в обозначениях, подготавливающих ее для использования в S3 главы 4. Сформулирован принцип симметрии Римана-Шварца. В S4 даны определения эллиптических интегралов первого и третьего родов, а также теорема для проверки интегралов эллиптического типа на псевдоэллиптичность.
Во второй главе дифференциальное уравнение Шварца для круговых многоугольников обобщается на случай круговых счетноугольников с симметрией переноса вдоль вещественной оси.
В 1 дается определение кругового счетноугольника с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2л — односвязной области типа полуплоскости, обладающей свойством симметрии переноса вдоль вещественной оси на 2л, граница которой от точки wo до точки wo + 2л состоит из конечного числа дуг окружностей. Устанавливается, что производная Шварца отображения /, переводящего верхнюю полуплоскость на круговой счетноугольник с симметрией переноса, является однозначной и голоморфной во всей плоскости за исключением прообразов вершин кругового счетноугольника отображения /.
В 2 получено дифференциальное уравнение для отображения / верхней полуплоскости на круговой счетноугольник с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2л типа дифференциального уравнения Шварца В 3 для отображения на конкретный круговой счетноугольник с вершинами в точках 2лт и углами \/л при этих вершинах записано дифференциальное уравнение, эквивалентное уравнению класса Фукса с тремя особыми точками, и сведено к уравнению Гаусса. Отображение с точностью до дробно-линейного преобразования представлено через гипергеометрические интегралы.
Третья глава посвящена построению конформных отображений на области, обладающие двумя симметриями. В 1 дано определение кругового счетноугольника с двойной симметри 18 ей — односвязной области типа полуплоскости, с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2л, с симметрией относительно вертикальной прямой {w Є С : Re и; = л}, граница которой от точки WQ до точки WQ + 2л состоит из конечного числа дуг окружностей. С помощью дифференциального уравнения Шварца для круговых многоугольников и принципа симметрии Римана-Шварца получено дифференциальное уравнение для отображения / верхней полуплоскости на круговой счетноугольник с двойной симметрией
Уравнение для отображения c симметрией переноса
В настоящей главе конформное отображение полуплоскости на счетно-угольник с двойной симметрией представлено интегралом типа интеграла Кри-стоффеля-Шварца. Случай, когда граница счетноугольника с двойной симметрией состоит из дуг окружностей, и случай, когда граница счетноугольника с двойной симметрией состоит из прямолинейных отрезков, рассмотрены отдельно. Найдено несколько отображений на конкретные области.
Найдено конформное отображение единичного круга на 2п-угольник с n-кратной симметрией вращения относительно начала координат и дополнительной зеркальной симметрией в интегральном виде.
Круговым счетноугольником с двойной симметрией будем называть односвязную область А типа полуплоскости, с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2л, с симметрией относительно прямой {w С : Re w = л} и такую, что часть границы области А от точки WQ до точки WQ + 2л состоит из конечного числа дуг окружностей.
1 эквивалентно следующему определению. Определение 3.2. Круговым счетноугольником с двойной симметрией будем называть односвязную область А типа полуплоскости, c симметрией относительно прямой {w С : Rew = 0}, с симметрией относительно прямой {w С : Hew = л}, и такую, что часть границы области А от точки WQ до точки WQ + 2л состоит из конечного числа дуг окружностей. Пусть А — круговой счетноугольник с двойной симметрией. Конечную точку ihi: где hi = max{w Є С : w = iv,v Є Ш} f]dA, будем считать вершиной кругового счетноугольника А, обозначим ее А. Если точка — іоо — единственная вершина кругового счетноугольника А на мнимой оси, то обозначим ее А. Аналогично поступим с прямой {w Є С : Re w = л} и выделим на ней вершину Ап. Если вершины А, Ап являются внутренними точками дуг окружностей границы счетноугольника 9Д, то угол при этих вершинах равен л, а касательные в этих точках параллельны вещественной оси.
Обозначим через А, А,..., А2П_2,А\, А\ = А + 2л, вершины кругового счетноугольника А, лежащие в полосе Р2% = {w Є С : 0 Hew 2л}, возрастание нижнего индекса соответствует движению вдоль границы кругового счетноугольника А в положительном направлении; пусть углы при этих вершинах равны соответственно а і л, о л,..., а2П_2л;, а і л, а є [0,2л], к Є Z. Остальные вершины А определяются сдвигом вершин А вдоль вещественной оси: А = А + 2лт, т Є Z, к = 1, 2п — 2. Ясно, что вершина An_s симметрична вершине A +SJ s = 1,п — 2, относительно прямой {w Є С : Rew = л}, Л + 2л = Л}, кроме того, un-s = otn+s, s = l,n — 2. Заметим, что некоторые из вершин А, к = 2, п — 1, т Є Z, могут находиться в бесконечно удаленной точке; некоторые дуги окружностей могут вырождаться в отрезки прямых или лучи.
Согласно теореме Римана существует однолистное и конформное отображение / верхней полуплоскости П+ на круговой счетноугольник А с двойной симметрией.
Будем полагать в дальнейшем, что отображение /, переводящее верхнюю полуплоскость П+ на круговой счетноугольник с двойной симметрией, удовлетворяет условию (2.1).
Для отображения / верхней полуплоскости П+ на круговой счетноугольник с двойной симметрией получен следующий результат. 2 o
Заметим, что точкам В, В2,..., В -плоскости при отображении t,(z) соответствуют некоторые точки z, z2,..., z z-плоскости, С( ) = -8 5 к = l,n, причем, z = 0, z = л, бесконечно удаленной точке 5 +1 соответствует бесконечно удаленная точка. Композиция f(t,(z) ) отображает область П+ f] Р л на область Af]P . В уравнении (3.2) выполним замену t, = t,(z), пользуясь соотношением 1.1, получим
Заметим, что если положить ф = 1, то счетноугольник совпадет со счет-ноугольником из примера 3, главы 2. При этом уравнение (3.4) совпадет с уравнением (2.6), если в уравнении (2.6) взять константу М равной нулю. 3. Интеграл Кристоффеля-Шварца для отображения на счетноугольник с двойной симметрией
Определение 3.3. Счетноугольником с двойной симметрией будем называть односвязную область А типа полуплоскости, обладающую свойством симметрии переноса вдоль вещественной оси на 2л, симметрией относительно прямой w = л + iv, v Є Ж, и такую, что часть границы области А от точки WQ до точки WQ + 2л состоит из конечного числа прямолинейных отрезков и лучей.
Пусть А — счетноугольник с двойной симметрией. Конечную точку ihi: где hi = max{w Є С : Rew = 0,w G дА}, будем считать вершиной счет-ноугольника А, обозначим ее А. Если точка — ioo — единственная вершина счетноугольника А на мнимой оси, то обозначим ее А. Аналогично выберем вершину на прямой {w Є С : Re w = л} и обозначим ее через А . Если вершины А, А п являются внутренними точками отрезков прямых границы счетноугольника 9Д, то угол при этих вершинах равен л.
Обозначим через А, А,..., А92п_2} А\, А\ = А + 2л, вершины счетноугольника А, лежащие в полосе Р2% = {w Є С : 0 Re и; 2л}, возрастание нижнего индекса соответствует движению вдоль границы счетноугольника А в положительном направлении; углы при этих вершинах обозначим соответственно аїл, СХ2Л,..., сх2П-2л;, аїл. Остальные вершины А определяются сдвигом вершин А вдоль вещественной оси А = А + 2лт, т Є Z, к = 1, 2п — 2. Ясно, что вершина An_s симметрична вершине An+SJ s = l,n — 2, относительно прямой {w Є С : Re и; = л}, кроме того an_s = cxn+s, s = l,n — 2. Некоторые из вершин А, к = 2,п — 1, т Є Z, могут находиться в бесконечно удаленной точке, значение угла при вершине в бесконечно удаленной точке равняется нулю и не может принимать других значений.
Интеграл Кристоффеля-Шварца для отображения на счетно-угольник с двойной симметрией
В настоящей главе метод П.П. Куфарева определения акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля-Шварца распространяется на случай отображения верхней полуплоскости на счетноугольник с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2л. Ситуация, когда счетноугольник обладает дополнительным свойством симметрии относительно прямой w = л; + iv, v Є К, рассмотрена отдельно.
О сходимости семейства отображений с граничной нормировкой Пусть отображение /, переводящее единичный круг на многоугольник М и удовлетворяющее условию внутренней нормировки /(0) = 0, / (0) 0, известно, т. е. известны акцессорные параметры в интеграле Кристоффеля-Шварца для этого отображения /. Зафиксируем на границе многоугольника М точку и проведем из этой точки внутрь области М прямолинейный разрез переменной длины, зависящий от вещественного параметра t, 0 t т. Обозначим многоугольник с разрезом через M(t) и выберем параметризацию разреза так, чтобы М(0) = М, а значения параметра t = х соответствовало полному разрезу. Пусть отображение /i, f\ = fi(z,t), /i(z,0) = /, переводит единичный круг на многоугольник M(t), /i(0,) = 0, f[(0,t) 0. Для определения акцессорных параметров отображения f\ для любых допустимых значений параметра t П.П. Куфаревым получена система ОДУ с начальными условиями Коши. В качестве начальных условий служат акцессорные параметры отображения /. При t стремящемся к х разрез замыкается на границу, семейство областей M(t) при этом сходится к многоугольнику М(х), получаемому из многоугольника М отсечением некоторого многоугольника, как к ядру относительно точки ноль. Согласно теореме Каратеодори о сходимости последовательности областей к ядру, семейство отображений fi(z,t) сходится при t стремящемся к х к отображению /I(Z,T), переводящему единичный круг на многоугольник М(х).
Далеко идущее обобщение теоремы Каратеодори на случай гомеоморф-ных отображений метрических пространств, а также теория простых концов последовательности областей, сходящейся к ядру, принадлежат Г.Д. Суворову [50], [51]. В работе СР. Насырова [40] теория получила обобщение для одно-связных римановых поверхностей. Теорема Каратеодори получила обобщение для различных ситуаций, в том числе для некоторых семейств отображений, удовлетворяющих граничной нормировке [51], [37], [40]. Следующая теорема о сходимости последовательности отображений с граничной нормировкой может быть получена с помощью [40, теорема 14.6], однако, доказана иным способом.
Теорема 4.1. Пусть {Dn}ne — последовательность односвязных областей, Dn С С. Все области Dn, п Є N; содержат точку WQ вместе с некоторой г-окрестностью, границе каждой области Dn, п Є N; принадлежат точки W\, W2, Ws- При п стремящемся к бесконечности последовательность областей Dn сходится к ядру D относительно точки WQ, причем границе области D принадлежат точки W\, W2, if з- Тогда последовательность отображений fn : П+ — С; /П(П+) = Dn, нормированных условиями /n(0) = W\, /n(l) = W2, fnipo) = W2,, сходится равномерно внутри П+ к отображению f : П+ — С; /(П+) = D, при п стремящемся к бесконечности, причем /(0) = w\, f(l) = W2, f{oo) = Ws 67
Доказательство. Пусть последовательность отображений дп : П+ — С, 9п = 9n{X )i 5 п(П+) = Dn: удовлетворяет условиям gn(t,o) = wo-, п( о) О, п Є N, где о П+. Согласно теореме Каратеодори о сходимости последовательности областей к ядру, последовательность отображений дп равномерно сходится к голоморфному однолистному отображению д: #(П+) = D, внутри верхней полуплоскости. Обозначим прообразы точек w\, it 2, Ws при отображении д через а, 6, с соответственно, пусть, для определенности, а Ъ с. Обозначим прообразы точек w\, it 2, Ws при отображении дп через ап = а + ап, bn = b + 3П, сп = с + Yn соответственно.
Построим последовательность дробно-линейных отображений t,n = t,n(z), удовлетворяющую условиям п(О) = ап, Сп(1) = &п, Сп(оо) = сп. Предположим сначала, что точки а, 6, с — конечные, тогда отображение t,n будет иметь вид
Покажем, что последовательность отображений t,n сходится равномерно внутри верхней полуплоскости к отображению , т. е. для всякого є 0 существует такой номер N: что \t,n{z) — t,(z)\ є при любом п N и для всякого z Є К: где К — компакт, содержащийся в верхней полуплоскости. Поскольку z принадлежит замкнутому, ограниченному множеству К, то существуют maxlzl и
Таким образом, последовательность отображений t,n сходится равномерно внутри П+ к отображению , (0) = а, (1) = 6, С(оо) = с.
Пусть точка z Є К: К — компакт, К С П+. Начиная с некоторого номера TVi, образ точки z при отображении t,n содержится в Ul(t,(z) ) — окрестности точки t,(z) радиуса Єї. Функция \д \ : t,(K) — К. непрерывна, задана на компакте, и, в силу теоремы Вейерштрасса, принимает в t,(K) наибольшее значение, ! /() I h оо для всех , Є t,{K). Следовательно, при достаточно малых Єї, окружность — t,(z)\ = Єї переходит в кривую, такую, что расстояние от любой ее точки до окружности \w — g(t,(z))\ = hex является малой высшего порядка относительно Єї, т. е. образ окрестности Ul(t,(z) ) содержится в окрестности точки q(t,(z) ) радиуса Єї (h + 1). Пусть Єї = пП е, л ч. Получаем, что
Определение 4.1. Cчетноугольником с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2л (или просто счетноугольником) называют [31] одно-связную область А типа полуплоскости, с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2л и такую, что часть границы области А от точки Q до точки Q + 2л состоит из конечного числа прямолинейных отрезков и лучей.
Пусть А — счетноугольник с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2л. Двигаясь по границе счетноугольника А от точки Q ДО ТОЧКИ Q + 2л в положительном направлении, обозначим последовательно встречающиеся угловые точки границы через , ,..., п, \, \ = + 2л, є N, а углы счетноугольника обозначим соответственно через аїл, а2л,..., апл, а і л. Для вершин k в конечной части плоскости а& Є (0,1) [J(l,2], если вершина находится в бесконечно удаленной точке, то а& = 0. Из геометрических соображений видим, что (Xi + СХ2 + ... + ап = . Остальные вершины определяются сдвигом вершин вдоль вещественной оси = + 2л, Є Z, = 1,. Отображение , конформно и однолистно переводящее верхнюю полуплоскость на счетноугольник с симметрией переноса вдоль вещественной оси, может быть представлено интегралом типа интеграла Кристоффеля-Шварца [31]
Пусть D есть односвязная область с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2л типа полуплоскости, представляющая собой плоскость С с разрезами по попарно не пересекающимся простым кривым уто, уходящим на бесконечность, уто = уо + 2лт, т Є Z, где уо имеет некоторую параметризацию Yo : [0,+оо) — С, уо = Yo(?). Часть кривой уо, когда "Е, Є [s,+oo) С [0,+оо) обозначим
Построим континуальное семейство областей D(t), 0 t оо, сходящееся к счетноугольнику А как к ядру относительно точки wo при t стремящемся к нулю, где Wo принадлежит области А. Соединим какую-нибудь вершину А, к Є 1,п, и вершины А = А + 2лт, т Є Z, счетноугольника А с бесконечно удаленной точкой параллельными лучами / , целиком лежащими вне А. Проведем переменные разрезы YcT( ), Ш Є Z, удлиняющиеся из бесконечно удаленной точки по лучам I до начала этих лучей, получим семейство областей D(to) = С\ [J у(і), 0 to t ос. Каждому разрезу может принадлежать несколько вершин счетноугольника А, выделим какие-нибудь из них с одинаковой мнимой координатой. Выпустим из выбранных вершин прямолинейные разрезы уГ( ) вдоль некоторых сторон I счетноугольника А примыкающих к лучам І в этих вершинах так, чтобы подвижные концы разрезов при изменении t от to до некоторого ti, 0 ti о, проходили путь равный длине стороны 1\ счетноугольника А. Можем считать, что на этом и последующих этапах построения, для отображения ty(z,t) : П+ — D(t) выполняется условие (4.4).
Конформное отображение полуплоскости на счетноугольник с симметрией переноса
Семейство отображений Ф : П+ — D(t) можем выбрать таким образом, чтобы выполнялось условие (4.4) и Ф(0,) = А для всех t Є [0, оо]. Равномерная сходимость внутри верхней полуплоскости семейства отображений ty(z,t) к отображению / следует из теоремы 4.1.
Таким образом, для отображения /, переводящего верхнюю полуплоскость П+ на счетноугольник А, существует производящая функция Ф( ,), совпадающая с отображением / при t = 0.
Зафиксируем на границе счетноугольника А точки А = А+2лт, т Є Z, где А — точка, принадлежащая части границы счетноугольника от точки А до точки А\ и А ф А, А ф А\. Из точек А проведем прямолинейные разрезы фт = ф + 2лт, т Є Z, переменной длины, зависящей от вещественного параметра ф = ср(), 0 t х , внутрь области А. С увеличением параметра t от 0 до некоторого х", 0 т" х , разрезы фт удлиняется соответственно до точек Л = Л (х") + 2лт, А = lim ф(). Обозначим прообраз конца разре-за A it) через "k(t), пусть 0 X(t) 2л при 0 t х . Углы, образованные разрезом фт() с границей области А, обозначим через an+iJt, an+2 . При t стремящемся к х , разрезы фт() могут замкнуться на границу счетноугольника А, в этом случае точка Л (х ) попадает на часть границы счетноугольника от точки А до точки А\ и Л (х ) Ф А, Л (х ) Ф А\. Обозначим через Д() область А с разрезами, A(t) является счетноугольником с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2л.
Обозначим через f(z,t) отображение, переводящее верхнюю полуплоскость П+ на счетноугольник с разрезами Д(), такое, что /(П+,0 ) = А, lim (f(z,t) — z) = 0 и f(0,t) = А. Отображение f(z,t) удовлетворяет диф Imz= +oo
Пусть А — счетноугольник с двойной симметрией (определение 3.3), сохраним обозначения введенные в 3 третьей главы для вершин и углов счетноугольника с двойной симметрией. Зафиксируем на границе счетноугольника А точки А = А + 2лт и А%1 = 2л (т + 1) — А , т Є Z, где А — точка, принадлежащая части границы счетноугольника от точки А до точки А и Aj ф А, А Ф А . Из точек А-Т и А-Т проведем прямолинейные разрезы переменной длины, зависящей от вещественного параметра t Є [О, Т], внутрь области А до точек А(х) = Л (х) + 2лт и Л(х) = 2л(т + 1) — ЛДх) соответственно, 0 х Т, т Є Z. Обозначим прообраз конца разреза Л () через А,(), пусть 0 X(t) л при 0 t Т. При t стремящемся к Т разрез может замкнуться на границу счетноугольника А, причем если ReA (T) = 0, или ReA (T) = л, то соответственно 1тЛ (Т) ІтЛ , или ІтЛ (Т) ImA . Обозначим через A(t) область А с разрезами, A(t) является счетноугольником с двойной симметрией.
Переобозначим вершины счетноугольника Д(), лежащие в полосе Р2я, через В, В,..., , Л (), -B?+i,..., B\r_2l {, { = -В? + 2л, 1 J г — 1. Возрастание нижнего индекса соответствует движению вдоль границы счетноугольника A(t) в положительном направлении. Пусть углы при этих вершинах равны соответственно (2(3i — 1)л, (З2Л, 3зл,..., л, л, (3 +іл,..., (Зг_іл, (2(3r — 1)л, 3r__iJt,..., (32г_2л;, (2(3i — 1)л. Вершины В и ?+i находятся в точке А. При t = 0 вершина Л () совпадает с вершинами , ?+i- Вершины В и Л совпадают при 1 к j. Если А ф 4/ 5 & = 1,п, то г = п + 2 и .В = _2, при j + 1 к г. Если Л = Л , к = 1,п, то г = п + 1 и ВЦ = -і? ПРИ j + 1 к г. Некоторые из вершин В: к = 1,г, к Ф j, к Ф j + 1, m Є Z, могут находиться в бесконечно удаленной точке.
Отображение f(z,t): переводящее верхнюю полуплоскость на счетноуголь-ник A(t) с разрезами, так, что f(0,t) = В, /(л;,) = В, f(z + 2л,t) = f{z,t) + 2л, согласно теореме 3.2 можем представить в интегральном виде
Пусть при t = 0 известны значения всех параметров, входящих в формулу (4.19), то есть известно конформное отображение / : П+ — А, / = f(z,0). Для определения акцессорных параметров b(t), kit), C\(t) отображения / : П+ — A(t), / = f(z,t): получен следующий результат. и отображение it (x,t) переводит верхнюю полуплоскость П+ на многоугольник Aft) Г) PL с углами (Вт — о ) л, Вол, , Зг-1 л, ( Вг — о ) л, 0 при вершинах В, В, ..., , Л , -B?+i,..., -В?, В +1 соответственно, В +1 — вершина в бесконечно удаленной точке, так, что it (oo,t) = В, it (0,t) = j?, it (l,t) = В+1 при 0 t Т.
Отображение и; о х : П+ f] Р ж — А Р) Р ю удовлетворяющее условиям граничной нормировки w(x(0),t) = _В , и;(х(л), t) = j?, w;(x(oo),t) = В+1, согласно теореме Римана при фиксированном t единственно. Продолжим отображение wi%iz),t) аналитически на всю верхнюю полуплоскость согласно принципу симметрии Римана-Шварца, получим отображение w о % : П+ — Д(), таким образом w(x(z) t) = f(z,t) и отображение / единственно.
Отображение w(%,t) удовлетворяет условиям теоремы 1.3, если положить D(t) = A(t)f)Pn, Ak = В, к = l,r, Ar+i = В%+1, сік = Р&, к = 2,г — 1, «і = 3і — ту, ar = 3r — 7j, аг+і = 0, следовательно, может быть представлено интегралом (1.16), акцессорные параметры Pk{t): ko(t): c2{t) которого удовлетворяют системе дифференциальных уравнений (1.17)—(1.19) с начальными условиями
В силу теоремы 4.1, теорему 4.2 можно применять и в том случае, когда разрезы, проводимые в счетноугольнике, замыкаются на его границу. Система уравнений (4.20) вместе с начальными условиями (4.21) позволяют для любого фиксированного , 0 t Т, путем интегрирования найти значения акцессорных параметров в интеграле (4.19) Кристоффеля-Шварца для отображения на счетноугольник с двойной симметрией. 4. Пример
