Введение к работе
Работа посвящена развитию метола П.II. Куфарева об определении параметров в интеграле Шварца-Кристоффеля при конформном отображении полигональных областей в случае граничных нормировок.
Актуальность темы. Проблема построения конформных отображений канонических областей на полигоналные области остается актуальной до настоящего времени в связи с новыми приложениями теории комплексного потенциала в различных областях естествознания (см., например, R. Schmzin-ger, P. Laura, Con formal mapping: Melhcxts and Applications, Amsterdam-Oxford, Elsevier, 1991). В связи с известным интеграль-пым представлением таких отображений проблема, по существу, состоит в определении неизвестных параметров, входящих в формулу Шварца-Кристоффеля.
К настоящему времени в работах Л.В. Канторовича и В.И. Крылова, П.Ф. Фильчакопа, ГЛ. Положего, Д. Гайера, В. Коппенфсльца и II. Штальмана, II. Паламихаела, Р. Хеи-рігчи, Л. Трефесена, Л.Л. Чередниченко, и других разработаны различные методы численного определения этих параметров. Один из таких методов восходит к известной работе П.П.Куфарева (Об одном методі численного опредыаш параметров в интегра.ге Шварца-Крьстоффеля , Докл. АН СССР, 1947, 50, N б, с. 535-537.) (см., более подробно, И.А. Александров, Пара.цшрич(скис продолжения о mtopvn однолистных функций , Москва:, «Наука», 1976, с.296.), который, па основе сочетания пришшпа симметрии и известного параметрического метода К.Левнера, редуцировал проблему определения неизвестных параметров п формуле Шварца-Кристоффеля к задаче численного интегрирования системы обьїкновеїшьгх дифференциальных уравнений.
Развивая идеи работы П.П. Куфарева и комбинируя их с современными методами численного интегрирования обыкновенных диффереіщиальньгх уравнений, Т. Хопкинс и Д. Ро-
бертс достили ua этом пути новых глубоких результатов.
В ряде случаев требуется найти конформные отображения крута или полуплоскости, или другой односвязной канонической области, на многоугольн>то область при надлежащих граничных нормировках, например, типа «три точки - в три точки». Отметим, например, что если в качестве таких трех точек в области выбрать вершины многоугольника, то число подлежащих определению параметров уменьшается на три. Далее, если область неограничена, то включение в число таких точек надлежащих вершин многоугольника, расположенных в бесконечности, оказывается целесообразным с вычислительной точки зрения.
Ионная работа посвящена дальнейшему развитию метода П.П.Куфарева применительно к случаю конформного отображения верхней полуплоскости на полигональные области прн наличии граничных нормировок.
Цель работы; Развитие метода П.П. Куфарева определения параметров в интеграле Шварца-Кристоффеля при кои-формном отображении верхней полуплоскости.на полигональные области в случае граничных нормировок.
Методика исследования. Основными методами решения поставленной задачи являются принцип симметрии в теории конформного отображения, параметрический метод Левнера для однолистных аналитических функций и методы исследо-. вания качественных свойств решений систем обыкновешшх дифференциальных уравнений с особыми точками.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:
-выведено уравнение Левнера для однопараметрического семейства конформных отображений верхней полуплоскости иа односвязную область D с разрезом переменной длины при условии, что точки 0,1 и со переходит в три задашые точки границы 8D;
-проблема определения неизвестных парамегров в формуле Шварца-Кристоффеля, описывающей конформные отображения полуплоскости на полигональные области с учетом граничных нормировок, сведена к задаче Кошм для системы
обыкновенных дифференциальных уравнений с особыми точками;
-доказана теорема существования и единственности голоморфного решения этой системы;
-в случае конформпого отображения на области специального вида найдены первые интегралы.
Практическая ценность. Полученные в работе результаты имеют теоретическое значение. Оті могут быть применены на практике при численном определении конформных отображений канонических областей на полигональные одно-связпые области.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре отдела дифференциальных урав-ііений в частных производных Института прикладной математики и механики Академи Наук Украины и на Семестре по комплексному анализу в Международном Математическом Центре им. С. Банаха ( Варшава, 26. 10- б. 11, Ш2г.).
Публикации. По теме диссертации опубликована одпа работа в соавторстве с В.Я. Гутлянским.
Структура диссертации. Работа состоит из введения б параграфов, приложеівад и списка литературы из 56 наименований и содержит 85 страниц машинописного текста.
