Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Сингулярные интегральные уравнения и их свойства 37
1.1. Основные понятия и обозначения 37
1.2. Сингулярные интегральные уравнения с ядром Гильберта: одномерный случай 49
1.3. Одномерные псевдодифференциальные уравнения 52
1.4. Сингулярные интегральные уравнения с ядром Гильберта: многомерный случай 55
Глава II. Аналитический подход в построении квадратурно-разностных методов 61
2.1. Об общей теории приближенных методов 66
2.2. Квадратурно-разностный метод, основанный на сплайн-аппроксимации 68
2.3. Полиномиальный подход в построении квадратурно-разностного метода 85
Глава III. Численный подход в построении квадратурно-разностных методов 99
3.1. Регулярная, устойчивая и компактная сходимость операторов и приближенное решение операторных уравнений 101
3.2. Сходимость квадратурно-разностного метода в пространствах Гёльдера: линейный случай 111
3.3. Сходимость квадратурно-разностного метода в пространствах Гёльдера: нелинейный случай 119
3.4. Квадратурно-разностный метод для уравнений с разрывными коэффициентами 126
Глава IV. Приближенные методы решения псевдодифференциальных уравнений 142
4.1. Вспомогательные результаты 145
4.2. Сходимость метода коллокаций для сингулярных интегральных уравнений 149
4.3. Сходимость метода коллокаций для псевдодифференциальных уравнений 158
4.4. Сходимость метода коллокаций для систем псевдодифференциальных уравнений 160
Глава V. Кубатурно-разностный метод решения многомерных уравнений 164
Глава VI. Квадратурно-разностный метод решения уравнений на разомкнутом контуре 186
Заключение 210
Литература 222
Приложение 251
- Сингулярные интегральные уравнения с ядром Гильберта: одномерный случай
- Квадратурно-разностный метод, основанный на сплайн-аппроксимации
- Сходимость квадратурно-разностного метода в пространствах Гёльдера: линейный случай
- Сходимость метода коллокаций для сингулярных интегральных уравнений
Введение к работе
Диссертация посвящена разработке и обоснованию приближенных методов решения различных классов сингулярных интергодифференци-альных уравнений с ядрами Гильберта и Копій, в которых производные аппроксимируются конечными разностями, а интегралы, в том числе сингулярные, квадратурными суммами. Кроме того, в работе предложены и обоснованы полиномиальный метод коллокаций для полных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта, при этом приближенное решение, в отличие от известных результатов, ищется в виде интерполяционного полинома с кратными узлами, и полиномиальный метод коллокаций для приближенного решения периодических псевдодифференциальных уравнений, являющихся естественным обобщением сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта.
Актуальность темы. Сингулярные интегродифференциальные уравнения составляют широкий класс задач, которые, с одной стороны, являются обобщением сингулярных интегральных уравнений, а с другой - обыкновенных дифференциальных уравнений или, в многомерном случае, уравнений в частных производных. Как и сингулярные интегральные уравнения, сингулярные интегродифференциальные уравнения тесно связаны с краевыми задачами теории функций комплексной переменной. Как обобщение обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, сингулярные интегродифференциальные уравнения относятся к задачам математической физики. Таким образом, как теория, так и методы исследования сингулярных интегродифференциальных уравнений лежат на стыке теорий краевых задач и задач математической физики.
Обе эти тесно взаимосвязанные теории к настоящему времени хоро-
піо развиты в качественном плане, то есть вопросы существования и единственности решений и их принадлежность к определенным функциональным пространствам исследованы глубоко и полно. Однако многие вопросы нахождения самих этих решений как для конкретных уравнений, так и для классов уравнений, определяемых классами коэффициентов и правых частей, остаются открытыми до сих пор. Из теории известно, что сингулярные интегродифференциальные уравнения точно репіаются липіь в редких частных случаях. Поэтому актуальной задачей является разработка и теоретическое обоснование приближенных методов решения таких уравнений.
Общей теории приближенных методов решения операторных уравнений и ее приложениям к сингулярным интегральным и интегродиффе-ренциальным уравнениям посвящено значительное число работ. Первые значительные результаты в этой области получены С. Г. Михли-ным, В. В. Ивановым, Б. Г. Габдулхаевым; весомый вклад в развитие приближенных методов решения сингулярных уравнений внесли также А. А. Бабаев, С. М. Белоцерковский, И. Гохберг, М. Гольберг, В. А. Золотаревский, А. И. Каландия, И. К. Лифанов, Б. И. Мусаев, 3. Прёссдорф, Н. Я. Тихоненко, М. А. Шешко, Д. Эллиотт, а также их ученики и последователи.
На основании этих работ можно констатировать, что к настоящему времени предложено и обосновано большое число различных приближенных методов решения сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядрами Гильберта и Копій и в ряде случаев получены окончательные результаты, то есть для отдельных классов уравнений указаны методы, обладающие наивысшей (асимптотически или по порядку) скоростью сходимости приближенных решений к точному. Однако на практике предпочтение нередко отдается методам, обладаю-
щим простыми вычислительными схемами, даже если скорость их сходимости невелика. К таким методам относятся, например, разностный и квадратурно-разностный методы репіения регулярных дифференциальных и интегродифференциальных уравнений. Это привело нас к необходимости разработки и обоснования аналогичных приближенных методов для репіения различных классов сингулярных интегродифференциальных уравнений.
Данная работа посвящена разработке и обоснованию приближенных методов репіения различных классов сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядрами Гильберта и Копій, в которых производные аппроксимируются конечными разностями, а интегралы, в том числе сингулярные, квадратурными суммами. Как и в регулярном случае, такие методы будем называть квадратурно-разностными методами репіения сингулярных интегродифференциальных уравнений. Кроме того, в работе предложены и обоснованы полиномиальный метод коллокации для полных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта, при этом приближенное решение, в отличие от известных результатов, ищется в виде интерполяционного полинома с кратными узлами, и полиномиальный метод коллокации для приближенного репіения периодических псевдодифференциальных уравнений, являющихся естественным обобщением сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта.
Теоретическое значение и научная новизна работы определяются следующим:
разработан и обоснован квадратурно-разностный метод репіения линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта, основанный на аппроксимации точного репіения сплайнами;
разработаны и обоснованы метод полиномиальной коллокации и
квадратурно-разностный метод репіения линейных сингулярных ин-тегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта, основанные на аппроксимации точного репіения тригнометрическими полиномами с кратными узлами;
разработаны и обоснованы сеточные квадратурно-разностные методы репіения линейных и нелинейных сингулярных интегродифферен-циальных уравнений с ядром Гильберта, основанные на аппроксимации производных точного репіения произвольными сходящимися формулами численного дифференцирования, а интегралов - квадратурными суммами;
разработан и обоснован сеточный квадратурно-разностный метод репіения многомерных линейных сингулярных интегродифференциаль-ных уравнений с ядром Гильберта, основанный на аппроксимации производных точного репіения формулами численного дифференцирования, а интегралов - квадратурными суммами;
разработан и обоснован сеточный квадратурно-разностный метод репіения линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Копій на отрезке, основанный на аппроксимации производных точного репіения произвольными сходящимися формулами численного дифференцирования, а интегралов - квадратурными суммами;
разработан и обоснован полиномиальный метод коллокации репіения периодических псевдодифференциальных уравнений и систем псевдодифференциальных уравнений, а также разработана новая методика обоснования методов полиномиальной коллокации репіения операторных уравнений в пространствах Соболева;
получены оценки норм интерполяционных операторов Лагранжа в многомерных пространствах Соболева.
Методика исследований. Проведенные исследования опираются
на результаты общей теории приближенных методов решения операторных уравнений, основы которой заложены в работах Л. В. Канторовича, на результаты Б. Г. Габдулхаева по обоснованию приближенных методов решения сингулярных интегральных и интегродифференци-альных уравнений, результаты Г. М. Вайникко по обоснованию непроекционных приближенных методов решения операторных уравнений и методику Д. Арнольда и В. Вендланда обоснования метода коллока-ций путем сведения его к нестандартному методу Галеркина. При выводе и обосновании полученных результатов в диссертации существенным образом используются результаты теории функций, сингулярных интегральных и интегродифференциальных уравнений, краевых задач теории функций комплексного переменного и некоторые оценки теории приближенных методов.
Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечены строгими доказательствами содержащими подробные выкладки и вычисления автора диссертации, а также, где это необходимо, ссылки на результаты других авторов.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при дальнейшем развитии приближенных методов решения сингулярных интегродифференциальных и периодических псевдо-дифференциаьных уравнений. Они могут быть, кроме того, непосредственно применены при решении прикладных задач, сводящихся к уравнениям указанных типов.
Апробация работы. Основные результаты диссертации по мере их получения были доложены на Республиканской научно-технической конференции "Интегральные уравнения в прикладном моделировании" (г. Киев, 1983 г.), на V Всесоюзной школе "Теоретические основы и
конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики и теории приближений" (г. Казань, 1984 г.), на Всесоюзных симпозиумах "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики" (г. Харьков, 1987, 1989, 1993 гг., г. Одесса, 1991 г.), на Всесоюзной конференции "Методы решения сингулярных интегральных уравнений" (г. Тарту, 1989 г.), на Международной конференции "Алгебра и анализ", посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г.Чеботарева (г. Казань, 1994 г.), на Школе-конференции "Те-рия функций и ее приложения" (г. Казань, 1995 г.), на Втором европейском математическом конгрессе ЕСМ2 (г. Будапешт, 1996 г.), на Конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям EQUADIFF 9 (г. Брно, 1997 г.), на Международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" (г. Одесса, 2000 г.), на Международных конференциях "Dynamical systems modelling and stability investigation" (г. Киев, 2001, 2003 гг.), на Научной конференции, посвященной 125-летию Казанского педагогического университета (г. Казань, 2001 г.), на Международной конференции по вычислительной математике и приложениям ENUMATH 2003 (г. Прага, 2003 г.), на Международной конференции "Алгебра и анализ", посвященной 200-летию Казанского государственного университета (г. Казань, 2004 г.), а также на Итоговых научных конференциях Казанского государственного университета 1985-2003 гг. (г. Казань) и на научных семинарах "Теория аппроксимации и её приложения" при Казанском государственном университете (руководитель: профессор Б. Г. Габдулхаев) и "Геометрическая теория функций и краевые задачи" при НИИ механики и математики им. Н. Г. Чеботарева (руководитель: профессор Ф. Г. Авхадиев).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в
работах [1]—[36].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, каждая из которых разбита на параграфы, заключения, приложения и списка цитированной литературы из 199 наименований. Общий объем работы 248 страниц. Параграфы внутри каждой главы имеют независимую нумерацию. Определения, теоремы, леммы, следствия и замечания нумеруются независимо друг от друга с указанием номера главы и порядкового номера внутри главы. Номера формул состоят из номера главы, номера параграфа и непосредственно номера формулы внутри параграфа.
Сингулярные интегральные уравнения с ядром Гильберта: одномерный случай
Сингулярные интегродифференциальные уравнения составляют широкий класс задач, которые, с одной стороны, являются обобщением сингулярных интегральных уравнений, а с другой - обыкновенных дифференциальных уравнений или, в многомерном случае, уравнений в частных производных. Как и сингулярные интегральные уравнения, сингулярные интегродифференциальные уравнения тесно связаны с краевыми задачами теории функций комплексной переменной. Как обобщение обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, сингулярные интегродифференциальные уравнения относятся к задачам математической физики. Таким образом, как теория, так и методы исследования сингулярных интегродиффе-ренциальных уравнений лежат на стыке теорий краевых задач и задач математической физики.
Обе эти тесно взаимосвязанные теории к настоящему времени хорошо развиты в качественном плане, то есть вопросы существования и единственности решений и их принадлежность к определенным функциональным пространствам исследованы глубоко и полно. Однако многие вопросы нахождения самих этих решений как для конкретных уравнений, так и для классов уравнений, определяемых классами коэффициентов и правых частей, остаются открытыми до сих пор. Из теории известно, что сингулярные интегродифференциальные уравнения точно решаются лишь в редких частных случаях. Поэтому актуальной задачей является разработка и теоретическое обоснование приближенных методов решения таких уравнений.
Раздел математики, посвященный разработке и использованию методик обоснования приближенных методов решения различных уравнений, не имеет еще своего общепринятого названия. Это объясняется, по-видимому, сравнительно короткой еще историей развития этого направления, с одной стороны, и постоянно расширяющимся арсеналом используемых результатов смежных областей математики - с другой, что не позволило ему пока принять законченный вид и определить свое место среди других математических наук. При этом не вызывает сомнения тот факт, что базовым понятием этого направления является понятие сходимости и оно, таким образом, является частью математического анализа.
Сингулярные интегральные уравнения, содержащие производную искомой функции (то есть сингулярные интегродифференциальные уравнения), были рассмотрены впервые в работах А. Пуанкаре [196] в связи с теорией приливов и Д. Гильберта [184] в 1902 - 1904 гг. В 1918 г. Л. Прандтль (см. [197]), исследуя аэродинамические свойства поверхностей, получил сингулярное интегродифференциальное уравнение, которое носит имя своего первооткрывателя и до сих пор привлекает к себе внимание как специалистов по аэро- и гидродинамике, так и математиков (см., напр., [20, 94]). С этого времени сингулярные интегродифференциальные уравнения появляются в работах по аэро- и гидродинамике, теории упругости, электродинамике, теории дифракции и многих других прикладных дисциплинах.
С 1938 года начались планомерные исследования сингулярных ин-тегродифференциальных уравнений в рамках развития математической теории краевых задач теории функций комплексной переменной. Ф. Д. Гахов [41] в 1938 году, И. Н. Векуа [19] в 1942 году и Д. И. Шер-ман [159] в 1946 году представили три различные постановки задачи Гильберта, содержащей производные искомой функции, - в виде сингулярного интегродифференциального уравнения, в виде краевой задачи и в виде задачи гармонических функций. В монографии [42] Ф. Д. Гахов показал, что все три постановки в целом "равносильны как в отношении методов, которые могут быть применены для решения любой из них, так и в отношении результатов, которые при этом получаются".
Аналогичное обобщение задачи Римана было впервые сделано Л. Г. Магнарадзе [95, 96]. Впоследствии в работах Ю. М. Крикунова [87, 88, 89] и В. С. Рогожина [110] были получены представления, значительно упростившие исследования этой задачи. Р. С. Исаханов [68, 69] показал, что для таких уравнений справедливы теоремы, аналогичные теоремам Нётера, а также обобщил задачу на случай нескольких разомкнутых контуров и разрывных коэффициентов. Н. П. Векуа [21, 22] указал способ решения сингулярных интегродифференциальных уравнений путем сведения их к задаче Коши для сингулярных интегральных уравнений.
Квадратурно-разностный метод, основанный на сплайн-аппроксимации
Векуа позволяет сводить сингулярные интегродифференциальные уравнения к сингулярным интегральным уравнениям, проблема методов приближенного решения сингулярных интегродифференциальных уравнений, как самостоятельная, не снимается. В качестве основных причин этого обстоятельства можно указать следующие: во-первых, разработка и обоснование методов приближенного решения сингулярных интегродифференциальных уравнений без их сведения к сингулярным интегральным уравнениям нужны потому, что сам процесс сведения с вычислительной точки зрения может оказаться сложным и нежелательным, и, во-вторых, положительное решение указанной проблемы может позволить обосновать ряд методов в применении к более широким классам сингулярных интегродифференциальных уравнений, в частности, к тем разновидностям сингулярных интегродифференциальных уравнений, для которых сведение к сингулярным уравнениям пока неизвестно или невозможно в принципе.
Первым трудом, в котором со всей математической строгостью рассмотрен вопрос о приближенном решении сингулярных интегральных уравнений, является работа М. А. Лаврентьева [91], опубликованная в 1932 году. В монографии [103] Н. И. Мусхелишвили, подводящей итог многолетним исследованиям в области теории сингулярных интегральных уравнений и их приложений, по поводу этой работы М. А. Лаврентьева сказано: "Дальнейшая разработка этого и аналогичных методов приближенного решения сингулярных интегральных уравнений является, как мне кажется, одной из важнейших очередных задач теории этих уравнений".
Бурное развитие теории сингулярных интегральных уравнений и сингулярных интегродифференциальных уравнений в последующие годы, их связь с краевыми задачами и многочисленные приложения в теории упругости, гидромеханике и многих разделах математической физики усилили внимание математиков к методам приближенного решения этих уравнений и к проблемам обоснования этих методов. Общей теории приближенных методов решения операторных уравнений и ее приложениям к сингулярным интегральным и интегродиф-ференциальным уравнениям посвящено большое число работ. Первые значительные результаты в этой области получены С. Г. Михлиным, В. В. Ивановым, Б. Г. Габдулхаевым; весомый вклад в развитие приближенных методов решения сингулярных уравнений внесли также А. А. Бабаев, С. М. Белоцерковский, И. Гохберг, М. Гольберг, В. А. Зо-лотаревский, А. И. Каландия, В. И. Касьянов, И. К. Лифанов, Б. И. Му-саев, 3. Прёссдорф, Н. Я. Тихоненко, М. А. Шешко, Д. Эллиотт, а также их ученики и последователи. Подробный обзор исследований в этой области приводится в спе — 9 — циальных обзорных работах В. В. Иванова [65, 66], Б. Г. Габдулха-ева [36] и Г. М. Вайникко [16]. Обзор значительного числа результатов имеется в монографиях [10, 15, 37, 93, 106, 108] и диссертациях [1, 4, 7, 47, 56, 115,154] (см. также библиографию в работах [20, 28, 98]). На основании этих работ можно констатировать, что к настоящему времени предложено и обосновано большое число различных приближенных методов решения сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядрами Гильберта и Коши и в ряде случаев получены окончательные результаты, то есть для отдельных классов уравнений указаны методы, обладающие наивысшей (асимптотически или по порядку) скоростью сходимости приближенных решений к точному. Однако на практике предпочтение нередко отдается методам, обладающим простыми вычислительными схемами, даже если скорость их сходимости невелика. К таким методам относятся, например, разностный и квадратурно-разностный методы решения регулярных дифференциальных и интегродифференциальных уравнений. Это привело нас к необходимости разработки и обоснования аналогичных приближенных методов для решения сингулярных интегродифференциальных уравнений.
Сходимость квадратурно-разностного метода в пространствах Гёльдера: линейный случай
Как и в регулярном случае, такие методы будем называть квадратурно-разностными методами решения сингулярных интегродифференциальных уравнений. Кроме того, в работе предложены и обоснованы полиномиальный метод коллокаций для полных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта, при этом приближенное решение, в отличие от известных результатов, ищется в виде интерполяционного полинома с кратными узлами, и полиномиальный метод коллокации для приближенного решения периодических псевдодифференциальных уравнений, являющихся естественным обобщением сингулярных интег-родифференциальных уравнений с ядром Гильберта. Под теоретическим обоснованием приближенного метода в диссертации понимается следующий круг вопросов (см., напр., в [77]): а) установление осуществимости алгоритма метода; б) доказательство сходимости приближенных решений к точному ре шению и нахождение скорости сходимости; в) установление оценок погрешности. Обоснование опирается на результаты общей теории приближенных методов решения операторных уравнений, основы которой заложены в работах Л. В. Канторовича, а также на результаты Б. Г. Габ-дулхаева по обоснованию приближенных методов решения сингулярных интегральных и интегродифференциальных уравнений, результаты Г. М. Вайникко по обоснованию непроекционных приближенных методов решения операторных уравнений и методику Д. Арнольда и В. Вендланда обоснования метода коллокации путем сведения его к нестандартному методу Галеркина.
На основе названных теоретических результатов в диссертации построены и обоснованы: 1) квадратурно-разностный метод решения линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта, полученный приближением точного решения сплайнами; 2) полиномиальный метод коллокации решения линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта, полу — 11 — ченный приближением точного решения тригонометрическими полиномами с кратными узлами; 3) квадратурно-разностный метод решения линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта, полученный приближением точного решения тригонометрическими полиномами с кратными узлами; 4) квадратурно-разностный метод решения линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта, полученный приближением производных точного решения в узлах произвольными сходящимися формулами численного дифференцирования, а интегралов - квадратурными суммами; 5) квадратурно-разностный метод решения нелинейных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта, полученный приближением производных точного решения в узлах произвольными сходящимися формулами численного дифференцирования, а интегралов - квадратурными суммами; 6) квадратурно-разностный метод решения многомерных линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта, полученный приближением производных точного решения в узлах произвольными сходящимися формулами численного дифференцирования, а интегралов - квадратурными суммами; 7) полиномиальный метод коллокации решения периодических псевдодифференциальных уравнений; 8) квадратурно-разностный метод решения линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Коши, полученный приближением производных точного решения в узлах произвольными сходящимися формулами численного дифференцирования, а интегралов -квадратурными суммами.
Кроме того, для одного класса сингулярных интегродифференци-альных уравнений получены простые достаточные условия существования и единственности решения, при обосновании квадратурно-разностного метода для многомерных сингулярных интегродиффе-ренциальных уравнений получены, как вспомогательные результаты, оценки норм операторов Лагранжа в многомерных пространствах Соболева, а при обосновании метода коллокаций для псевдодифференциальных уравнений разработана методика, обоснования аналогичная методике работы [163] для методов сплайн-коллокаций.
Сходимость метода коллокаций для сингулярных интегральных уравнений
Первая группа результатов диссертации (глава 2) связана с построением и обоснованием аналитических методов, приводящих к квадратурно-разностным методам. Метод называется аналитическим, если приближенное решение ищется в виде какого-либо аналитического агрегата, в данном случае это сплайны и тригонометрические полиномы с кратными узлами. При этом в первом случае значения самих этих агрегатов и их производных в узлах оказываются конечными разностями, а интегралы от них (сплайны предварительно сглаживаются интерполяционными полиномами) - квадратурными суммами.
Для приближенного решения сингулярных интегральных, интегро-дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений сплайны использовались многими авторами. Но виды конечных разностей, получающихся при их дифференцировании, и квадратурных сумм, получающихся при нахождении сингулярных интегралов от них, обычно не рассматривались. Поэтому большинство имеющихся результатов носят теоретический характер, так как не учитывают существенных трудностей при построении вычислительных схем, связанных с диф ференцированием и интегрированием сплайнов.
В данной работе приводится обобщение результата Б. Г. Габдулхае-ва [30] на случай уравнений произвольного порядка. При этом квадратурные суммы получаются интегрированием производных от сплайнов, предварительно сглаженных интерполяционными полиномами. Поэтому используемые квадратурные суммы имеют более простой вид, что важно для практики, чем квадратурные суммы, получаемые при интегрировании непосредственно сплайнов.
Имеются существенные ограничения при использовании сплайнов для построения приближенных методов решения сингулярных интегральных и интегродифференциальных уравнений. А именно методы сплайн-коллокаций сходятся не для всех однозначно разрешимых сингулярных интегральных и интегродифференциальных уравнений. Этих ограничений нет у полиномиальных методов коллокаций с тригонометрическими полиномами с кратными узлами в качестве агрегатов аппроксимации точного решения. В отличие от сплайнов, тригонометрические полиномы с кратными узлами для приближенного решения сингулярных интегродифференциальных уравнений ранее не использовались. В данной работе построены и обоснованы метод коллокаций и квадратурно-разностный метод, в которых приближенное решение ищется в виде тригонометрического полинома с кратными узлами. При этом обоснование первого из этих методов является вспомогательным результатом при обосновании второго.
В эту группу результатов входят построение вычислительных схем и обоснование квадратурно-разностных методов для линейных и нелинейных одномерных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта в пространствах Гёльдера, линейных одномерных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта с разрывными коэффициентами и правой частью и линейных многомерных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта в пространствах Соболева.
Методы основаны на аппроксимации точного решения уравнения вектором приближенных значений искомой функции в узлах равномерной сетки. Значения производных искомой функции аппроксимируются конечными разностями, а интегралы - простыми квадратурными суммами. При этом построенные квадратурные суммы автоматически реагируют на увеличение гладкости точного решения (погрешность уменьшается с увеличением гладкости), а конечные разности таким свой ных разностей подходящей точности скорость сходимости предлагаемого метода будет иметь порядок гладкости точного решения.
Третья группа результатов диссертации (глава 4) связана с построением и обоснованием полиномиального метода коллокаций для решения одномерных псевдодифференциальных уравнений и систем одномерных псевдодифференциальных уравнений в пространствах Соболева. Одномерные псевдодифференциальные уравнения являются естественным обобщением сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта. Имеются, однако, два существенных отличия в постановках задач для сингулярных интегродифференциальных уравнений и псевдодифференциальных уравнений. В классической постановке сингулярные интегродифференциальные уравнения рассматриваются в пространствах Гёльдера и пространствах суммируемых функций. Псевдодифференциальные уравнения рассматриваются в пространствах Соболева. Сингулярные интегродифференциальные уравнения содержат производные искомой функции положительного целого порядка. Псевдодифференциальные уравнения могут содержать производные искомой функции произвольного действительного порядка. Это означает, что псевдодифференциальное уравнение нулевого порядка является сингулярным интегральным уравнением с ядром Гильберта в пространстве Соболева и для него справедливы все результаты, касающиеся приближенных методов решения последних. Поэтому в работе последовательно обосновывается метод коллокаций вначале для сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта, затем для псевдодифференциальных уравнений общего вида и, наконец, для систем одномерных псевдодифференциальных уравнений. Для обоснования используется методика сведения метода коллокаций к нестандартному методу Галеркина и обоснованию последнего путем сведения его к обычному методу Галеркина.
