Введение к работе
Актуальность темы. В диссертации изучается вариант задачи Турана на классе Gm непрерывных, положительно определенных функций с носителем в единичном шаре пространства Rm, нормированных в нуле единицей. Рассматриваемая в диссертации задача состоит в отыскании верхней грани интеграла по сфере заданного радиуса а, 0 < а < 1, с центром в начале координат пространства Rm на классе функций Gm. В качестве вспомогательной задачи, представляющей и самостоятельный интерес, исследуется структура положительно определенных радиальных функций с носителем в шаре; полученный в диссертации результат является обобщением известной теоремы Рудина [25] для бесконечно дифференцируемых функций из этого класса.
Задача Турана в ее классическом варианте заключается в следующем. Задано замкнутое, выпуклое, симметричное относительно начала координат тело D С Rm. Рассматривается класс Gm(D) непрерывных на Rm, положительно определенных функций f с носителем в D и с условием нормировки f (0) = 1. Задача заключается в отыскании величины sup f (x)dx на указанном классе.
Задача была названа в честь венгерского математика П. Турана, который в начале 70-х годов прошлого века предложил одномерный вариант указанной проблемы в частной беседе с С. Б. Стечкиным [7]. Однако, как оказалось, многие важные случаи задачи были исследованы ранее.
В 70-е г., примерно в то же время, когда П.Туран обсуждал данный вопрос с С. Б. Стечкиным, американские исследователи уже изучали L2-Bepcnro задачи о нахождении точной верхней грани L2- нормы функции на классе Gm(D) [13, 16, 23]. Такая задача возникла в области инженерной разработки радаров в "Jet Propulsion Laboratory" (NASA).
Один из первых вариантов задачи Турана возник в 30-е годы, когда К. Л. Зигель [27] рассмотрел случай шара и эллипсоида в Евклидовом пространстве Rm и нашел точное значение sup f (x)dx, рав-
ное ^Dn' Л. Зигель подошел к задаче Турана в результате попыток
усилить теорему Минковского о выпуклом теле, однако К. Л. Зигель пришел к выводу, что теорема Минковского не может быть улучшена путем решения этой экстремальной задачи. Тем не менее, К. Л. Зигель полностью решил задачу Турана для шара и установил несколько интересных приложений в теории чисел. В 2000 году с использованием других методов Д.В.Горбачев [3] переоткрыл результат К. Л. Зигеля.
В сороковые годы прошлого века вариант задачи, называемый в наши дни поточечной задачей Турана, появился в статье Р. Боаса и М.Каца [9]. Периодический аналог данной задачи, как частично установлено в [9] и более полно — только в [19], восходит еще ко временам К. Каратеодори [10] и Л.Фейера [15]. Поточечная задача Турана для пространства Rm была решена С. Ревесом и М. Колунцакисом [19].
В 1972 г. С. Б. Стечкин [7] решил исходную задачу Турана в классе положительно определенных периодических функций (одного переменного) с носителем на отрезке [—h, h] для h = 2n/N, N = 2,3,...; окончательное решение этой задачи получили В. И. Иванов, Д. В. Горбачев, Ю. Д. Рудомазина [4,5]. Решение классической задачи Турана для функций одного переменного па числовой оси (т =1) еще в 1945 г. получили P. Boac и М.Кац [9]. В 1997 г. задача для многомерного куба была решена Н.Н.Андреевым [1]; он также дал оценки величины экстремального значения задачи прит = 3, 4 для октаэдра D = {t Є Tm: ^1 \ + \t2\ + + \tm\ < h} на m-мерном торе Tm. В 2001 г. В. В. Арестов и Е. Е. Бердышева решили задачу Турана для правильного шестиугольника на плоскости [2], а в 2002 г. — для класса выпуклых центрально симметричных многогранников,
рана посвящено много работ С. Ревеса и М. Колунцакиса (см. [24] и приведенную там библиографию).
В 2003 году В.Эм, Т. Гнайтинг, Д. Ричарде [14] рассмотрели вариант задачи Турана, в котором требовалось найти точную верхнюю грань среднего значения функции на сфере. В этом варианте D — шар радиуса 1. Они привели ряд оценок экстремального значения для сфер с радиусом в полунтервале [1/2; 1). Оценки не являются точными. В диссертационной работе рассматривается именно этот вариант задачи Турана.
Существует ряд задач, близких задаче Турана. Н.Н.Андреев, С.В.Конягин, А.Ю.Попов [1] изучали аналог одномерной периодической задачи Турана на классе функций f (x) = ^^0 ak cos kx без предположения неотрицательности коэффициентов {ak}, но с условием YlT=O |ak | < 1. Ряд авторов рассматривали задачу Турана не на пространстве Rm, а на локально компактных абелевых группах; такая задача впервые упоминается в [16] и систематично изучается в [13]. Данный вопрос активно изучается М. Колун ни кисом и С. Ревесом в [20,24].
Задачи Турана и близкие им по постановкам и методам исследования задачи нашли применение в изучении сферических упаковок пространства Rm [3,11,12], в аддитивной теории чисел [17,18,22,26], в теории характеристик Дирихле, экспоненциальных сумм [21] и во множестве других областей математики.
Цель работы. Основными целями работы являются: изучение варианта задачи Турана о наибольшем значении интеграла по сферам заданного радиуса с центром в начале координат ш-мерпого евклидова пространства по классу положительно определенных функций с носителем в единичном шаре пространства, нормированных в нуле единицей; обоснование сужения рассматриваемого класса функций до класса радиальных функций; исследование структуры положительно определенных радиальных функций с носителем в шаре; сведение исходной задачи к задаче на классе самосверток функций с носителем в шаре половинного радиуса; точное решение задачи в конкретных случаях.
Методы исследования. В работе применяются методы вещественного и комплексного анализа, теории тригонометрических рядов, теории субгармонических функций.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории функции действительно переменного и функциональном анализе, а также в учебном процессе при чтении специальных курсов.
Апробация результатов работы. Результаты диссертации были представлены на летних Школах С.Б.Стечкина по теории функций (2010, 2011, 2012); международной конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», посвященной памяти В.К.Иванова (Екатеринбург, 2011); 42-й всероссийской молодежной школе-конференции «Современные проблемы математики» (Екатеринбург, 2011); международной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 2012); международной (44-й всероссийской) молодежной школ е-конференции «Современные проблемы математики» (Екатеринбург, 2013). Автор выступал с докладами по теме диссертации на следующих научных семинарах: под руководством профессора В.В.Арестова в Уральском
федеральном университете (2010-2012), под руководством профессора Золтана Сасвари в Техническом университете Дрездена (2012), под руководством члена-корреспондента РАН Ю. Н. Субботина и профессора Н. И. Черных в Институте математики и механики УрО РАН (2013).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ |28 33]. Из них статьи [28,29] опубликованы в издании из списка, рекомендованного ВАК. Работы [30-33] являются тезисами.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 79 страниц. Библиографический список содержит 55 наименований.
