Содержание к диссертации
Введение
1. Характеристическое многообразие двумерной гипергео метрической системы уравнений 29
1.1. Многомерные гипергеометрические системы 32
1.2. Некоторые свойства системы уравнений Горна 36
1.3. Биномиальные идеалы коразмерности 2 38
1.4. Л-гипергеометрические решения системы Горна 43
1.5. Решения гипергеометрических систем в классе многочленов Пюизо и решения разностных уравнений с конечным носителем 48
1.6. Решения гипергеометрических систем, определяемых решетками 56
1.7. Голономность и решения системы Нв(с) 62
1.8. Начальные идеалы, индексные идеалы и голономные ранги 70
1.9. Явная конструкция гипергеометрических функций с полным носителем 76
1.10. Голономность системы уравнений Horn {В, с) 79
1.11. Использование свойства Коэна-Маколея для вычисления голономного ранга и дальнейшие направления исследований 86
2. Интегральное представление для решений гипергеометри ческой системы уравнений 90
2.1. Система разностных уравнений для веса интегрального представления 91
2.2. Решение системы разностных уравнений 92
2.3. Условия трансляционной инвариантности контура интегрирования 101
2.4. Достаточное условие существования интегрального преобразования 103
2.5. Представление решений гипергеометрической системы в виде кратных рядов (случай простых особенностей) 106
3. Дифференциальный аналог теоремы Везу для числа голоморфных решений гипергеометрической системы 112
3.1. Условия разрешимости, гипергеометрические ряды и их носители 114
3.2. Р-модуль, ассоциированный с гипергеометрической системой уравнений 121
3.3. Базис в пространстве голоморфных решений гипергеометрической системы с коммутирующими операторами 131
4. Детские рисунки и дифференциальные уравнения 144
4.1. Дискретная проблема Римана-Гильберта 146
4.2. Случай трех особенностей. Детские рисунки 148
4.3. Построение явного решения проблемы Римана-Гильберта для деревьев 150
4.4. Аннулятор отображения, обратного к полиномиальному 154
4.5. Деревья Мебиуса 157
4.6. Деревья не более чем второго порядка 161
5. Произведение Адамара гипергеометрических рядов 165
5.1. Многоугольник коэффициента неконфлюэнтного гипергеометрического ряда 167
5.2. Мультипликативность произведения Адамара 172
5.3. Примеры 179
6. Особенности гипергеометрических функций многих комплексных переменных 182
6.1. Основные обозначения и определения 185
6.2. Решения гипергеометрической системы в классе рядов Пю-изо 187
6.3. Веер гипергеометрической системы уравнений 190
6.4. Минимальность особенностей гипергеометрических функций и дискриминантов 193
6.5. Рациональность мероморфных неконфлюэнтных гипергеометрических функций 203
6.6. Рациональные гипергеометрические функции, контигуально эквивалентные ядрам Бергмана 209
7. Алгебраичность решений системы уравнений Меллина и ее монодромия 220
7.1. Порождающие решения и удобные базисы в пространстве решений системы Меллина 222
7.2. А-гипергеометрические системы уравнений и их связь с системой Меллина 230
7.3. Решения системы Меллина в терминах корней алгебраического уравнения 234
7.4. Одномерный случай 243
Заключение 249
Указатель обозначений 250
Список литературы
- Л-гипергеометрические решения системы Горна
- Условия трансляционной инвариантности контура интегрирования
- Построение явного решения проблемы Римана-Гильберта для деревьев
- Веер гипергеометрической системы уравнений
Л-гипергеометрические решения системы Горна
Таким образом, класс гипергеометрических систем уравнений может рассматриваться как простейший класс систем уравнений в частных производных с непостоянными полиномиальными коэффициентами. В отличие от случая постоянных коэффициентов, немногое известно о глобальных свойствах общей системы уравнений гипергеометрического типа.
Во введении к работе [10] отмечается, что, по сравнению с рядами Горна и соответствующей им системой Горна, система Гельфанда-Капрано-ва-Зелевинского и ее формальные решения в виде рядов гипергеометрического типа имеют существенно более простую структуру. Поэтому, с учетом сказанного выше, задача исследования гипергеометрической системы Горна представляется весьма актуальной и непростой.
Цель настоящей диссертации заключается в детальном описании сингулярных множеств гипергеометрических функций многих комплексных переменных: нахождении условий их алгебраичности, характеризации их логарифмической проекции, построении многогранника Ньютона определяющего многочлена, изучении их поведения при выполнении различных операций над гипергеометрическими функциями, изучении свойств систем уравнений, которым эти функции удовлетворяют. Последнее подразумевает получение необходимых и достаточных условий голономности гипергеометрических систем уравнений, вычисление их го-лономного ранга (то есть размерности пространства голоморфных решений в окрестности неособой точки) и построение базисов в пространствах их решений в различных классах функций.
В одномерном случае система Горна совпадает с обыкновенным дифференциальным уравнением (0.0.2), которое играет важную роль в теории гипергеометрических функций одного комплексного переменного. Вкратце проиллюстрируем программу нашего исследования многомерной системы Горна на примере обыкновенного дифференциального уравнения (0.0.2). произвольная периодическая функция с периодом 1. Поэтому при построении решений уравнения (0.0.2) подбирается не только контур интегрирования С, но и функция ф(в). Возможности выбора контура сильно ограничиваются условием Л. Согласно этому условию, если один из полюсов функции r(s — ак) обходится контуром С, то им должны обходиться и остальные полюсы этой функции.
Опишем процесс построения фундаментальной системы решений уравнения (0.0.2) при некоторых ограничениях на величины ak,fik [16]. Например, рассмотрим случай, когда р — q и мнимые части всех этих величин попарно различны. Уравнение (0.0.2), удовлетворяющее условию р = q, называется неконфлюэнтным, а его решения - неконфлюэнтными гипергеометрическими функциями одного переменного. С точки зрения задачи изучения особенностей и монодромии интерес представляет именно неконфлюэнтный случай. Условие некон-флюэнтности связано также с показателями роста функции вблизи особых точек. Неконфлюэнтными являются функции (1 — х)х (для любого Л Є С) и In ж. Простейшими примерами конфлюэнтных функций гипергеометрического типа являются многочлены и экспоненциальная функция, не имеющие особенностей. Многомерный аналог понятия неконфлю-энтности дан в определении 5.1.2. Условие Im(a;fc — j3j) Ф 0 при к ф j означает, что параметры уравнения (0.0.2) являются нерезонансными.
Здесь Вк - некоторые постоянные. Функции yt(x),... ;Ур(х) также линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений уравнения (0.0.2).
Таким образом, в одномерном случае при указанных условиях на параметры уравнения (0.0.2) удается построить фундаментальную систему решений обобщенного гипергеометрического уравнения. В рассмотренном выше одномерном случае условие, согласно которому все величины си ;, Д/ имеют попарно различимые мнимые части, автоматически обеспечивает простые полюсы подынтегрального выражения в (0.0.8) и, кроме того, позволяет удобно сконструировать инвариантный относительно сдвига контур С в виде границы дЬ соответствующей полуполосы. Разумеется, контур dLk можно заменить на сумму окружностей малого радиуса с центрами в полюсах из этой полуполосы.
III. Вопрос об особенностях решений в одномерном случае также решается просто. Например, при р — q коэффициент при старшей производной в уравнении (0.0.2) равен xp(tx — 1), поэтому его решение может иметь особенности в трех точках: 0,1/t, оо. При р ф q особенностями могут быть лишь 0 и оо. Таким образом, сингулярное множество одномерного гипергеометрического уравнения является сплошным (см. 6.1). Отсюда следует, что все его решения допускают не более двух разложений в ряды (Пюизо) с центром в нуле.
Главы 2,3 и 6 настоящей диссертации находятся в соответствии с тремя приведенными выше разделами, в которых рассматривается обыкновенное обобщенное гипергеометрическое дифференциальное уравнение (0.0.2). В главе 2 приводится интегральное представление для решений системы Горна и изучается связанная с этим представлением система разностных уравнений. Согласно теореме Оре-Сато решения представляются кратными интегралами Меллина-Барнса. В главе 3 вычисляется размерность пространства голоморфных решений системы Горна и строится базис в этом пространстве. Для этого изучается Р-модуль системы Горна и используется алгебраический аппарат теории дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами. В главе 6 исследуется множество сингулярностей решений системы Горна. Подобно тому как в одномерном случае это множество задается нулями коэффициента при старшей производной, в многомерном случае это есть алгебраическая гиперповерхность, задаваемая нулями результанта главных символов дифференциальных операторов в системе Горна. Здесь свойства этой гиперповерхности оказалось удобным выразить при помощи понятия амебы.
Перейдем к описанию результатов диссертации. В главе 1 даются определения основных объектов изучения в диссертации и вводятся наиболее часто употребляемые в дальнейшем обозначения. Эффективным методом изучения особенностей специальной функции является получение всевозможных дифференциальных соотношений (по возможности простого вида), которым эта функция удовлетворяет. Знание такой (вообще говоря, бесконечной) системы уравнений позволяет перейти от задачи изучения особенностей функции к задаче изучения характеристического множества системы, для решения которой существуют мощные методы. Для специальной функции гипергеометрического типа оказывается возможным предъявить набор линейных дифференциальных соотношений с полиномиальными коэффициентами, которым эта функция удовлетворяет и которые определяют ее с точностью до слагаемого из некоторого конечномерного пространства. Эти соотношения порождают левый идеал в алгебре Вейля Т линейных дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами. Идеал этот может быть выбран несколькими способами в зависимости от свойств изучаемой функции и от специфики поставленной задачи. Алгебра Вейля является простой (в ней отсутствуют нетривиальные двусторонние идеалы). Всюду в дальнейшем, говоря об идеалах в алгебре Вейля и модулях над ней, мы будем подразумевать левые идеалы и модули.
Условия трансляционной инвариантности контура интегрирования
Из равенств Ph = Ph = 0 следует, что (Р — P)h = 0, а значит, 9ад/і = 0, поскольку Р — Р лишь ненулевым множителем отличается от 9Ш. Та ким образом, h есть то решение системы уравнений Ij + (А 9 — /5), которое оператор 9Ш отображает в нулевой элемент линейного простран ства решений системы Ij + (А в — (3 — А w). Используя предположение о том, что (3 принимает лишь достаточно общие значения, и предложе ние 1.6.24, мы заключаем, что h = 0. Таким образом, мы представили / в виде линейной комбинации решений систем уравнений 1Т + (А в — (3) и г Є J, что и завершает доказательство шага индукции.
Аналогичные рассуждения относительно идеала J — GJS показывают, что любое решение системы Т 1(1в + (А в — /?)) есть сумма решений систем уравнений вида 1р. Это утверждение в некотором смысле обращает теорему 1.4.15. Заметим, что оно не имеет места без предположения о том, что (3 принимает лишь достаточное общие значения. Действительно, для некоторых значений параметров (например, в случае /3 = 0, когда функция, тождественно равная 1, является решением) решения разных идеалов Нр(Р) могут быть линейно зависимыми.
В настоящем параграфе мы продолжим рассмотрение двумерного случая (га = 2). Нашей целью является нахождение условий, обеспечивающих голономность системы уравнений Дв(с), и установление вида ее решений. Докажем вначале, что система Дв(с) голономна для почти всех с.
При га = 2 гипергеометрическая система уравнений Нв(с) голономна для почти всех значений вектора параметров с. Доказательство. Представим идеал / в виде / = (ди+ — du ,dv+ — dv ), где и и v - столбцы матрицы В. Рассмотрим вначале случай, когда матрица В не содержит ни одной пары линейно зависимых строк, лежащих в открытых противоположных квадрантах Z . При этих условиях кольцо имеет размерность n (см. лемму 1.11.57). Так как кольцо многочленов, факторизованное по характеристическому идеалу системы Дв(с), является подкольцом данного кольца, мы заключаем, что система уравнений HJS{C) голономна для всех с G Cm.
Предположим теперь, что матрица В содержит линейно зависимые строки &г, bj, лежащие в открытых противоположных квадрантах решетки Z2. В этом случае идеал (zu+ — zu-,zv+ — zv ) + C 2aijxjzj 3 = 1,... ,n — m) имеет компоненту малой размерности, соответствующую координатным плоскостям zi = 0 и Zj = 0 (см. результаты 1.3 о при-марном разложении решеточных базисных идеалов коразмерности 2).
Для доказательства голономности -й#(с) для каждой пары линейно зависимых строк fy, bj матрицы В, лежащих в открытых противоположных квадрантах решетки Z2, предъявим элемент идеала Нв(с), который не содержит Х(, Xj, ді, dj, и который отличен от нуля для почти всех с. Главный символ такого элемента не будет зависеть ни от zi, ни от Zj.
Для упрощения обозначений предположим, что Ьі и 62 - линейно зависимые строки в противолежащих открытых квадрантах. Определитель дополнительной квадратной подматрицы матрицы А равен нулю, а значит, найдутся такие р, q Є Q, г Є С, что рв\ + q02 — г лежит в Дб(с). Числа р и q являются рациональными комбинациями некоторых из элементов aij матрицы А, в то время как число г есть линейная комбинация координат вектора с. Поскольку Ъ\ и &2 линейно зависимы, найдется ненулевой элемент w Є LB-, такой, что w\ = u = 0. Следовательно, существуют мономы mi, 777,2 в С[д] с непересекающимися носителями, которые не делятся ни на ді, ни на %, причем 9fmi(5u;+ — dw ) Є I для некоторого к 0 и dl2m2(dw+ — dw ) Є I для некоторого I 0. Последнее следует из тех же аргументов, которые использовались в доказательстве предложения 1.3.11. Обозначим /і — m,i{dw+ —dw ) и Л =, порожденный операторами р 9i+q 92—г, [9i]kt-i, [#г]/А. Этот идеал лежит в Нв{с). Заметим, что 0i, 92, А и fj, попарно коммутируют друг с другом в алгебре Вейля Т п. Следовательно, мы можем рассматривать (p9i 4- q02 — г, [9{\к , [0г]/А) как идеал в коммутативном подкольце С[0і, 92, 9з, .., дп] алгебры Vn. Более того, мы будем рассматривать г как независимое переменное, коммутирующее с 01, 92, д3,...,дп.
Задача построения искомого элемента в Нв(с) сводится, таким образом, к исключению 9і И 02 из Поскольку геометрическим аналогом исключения является проекция, для доказательства того, что идеал исключений (p9i + q92 — г, [0і] д, [02J/A) ҐІС[А,/І,Г] содержит ненулевые элементы, достаточно обосновать существование комплексных чисел дз,-..,дп и г, таких, что для всех значений 0і,02 Є С вектор (0і,02,$з, ідп,г) не есть решение (1.7.15). Для почти всех значений (дз,..., дп) многочлены /хи Ане обращаются в нуль в этой точке. Следовательно, [в\\к /- обращается в нуль лишь в том случае, когда Q\ принимает целые значения в диапазоне от 0 до к. Ана логичные рассуждения показывают, что 02 должно быть целым числом в диапазоне от 0 до /. Но в этом случае для почти всех значений г выра жения рв\ + q62 — т не равны нулю. Таким образом, проекция нулевого множества (1.7.15) на пространство неременных дз,. ., дп, г не является сюръективной. Это и означает, что идеал (1.7.15) содержит элемент Р, не зависящий ни от 0і, ни от 02- Заметим, что Р полиномиальным об разом зависит от переменного г, которое, в свою очередь, есть линейная комбинация координат вектора с. Следовательно, Р отличен от нуля для почти всех значений вектора параметров с. Таким образом, Р лежит в идеале Дв(с), не зависит от жі, х2, д\, д2, и не равен нулю для почти всех с. Теорема доказана.
Докажем, что система уравнений Нв(с) голономна для почти всех с. Для этого предъявим дифференциальный оператор из Дв(с), чей главный символ не обращается в тождественный нуль при z\ = z2 = 0. Мы будем следовать схеме доказательства предыдущей теоремы. В первую очередь нам нужен элемент решетки Ь%, две первые координаты которого равны нулю. В качестве такого элемента можно взять вектор (0,0,-1,1). Непосредственная проверка показывает, что операторы д\д1(дз — д±) и д2 ( Эз — с ) лежат в базисном решеточном идеале /. Мы можем также без ограничения общности считать, что вектор (2,1,0,0) является строкой матрицы А. Остается исключить 9\ и 92 из следующего идеала в кольце
Построение явного решения проблемы Римана-Гильберта для деревьев
Операторы Wi = Pi{D)Vi — Qi{D) не образуют, вообще говоря, коммутативного семейства, так как Di не коммутирует с V;. Однако данное семейство операторов является коммутативным при некоторых условиях на многочлены Qi(s) в случае, когда многочлены Pi(s), Qi(s) удовлетворяют условиям согласования (2.2.8). Имеет место следующая лемма.
Лемма 3.2.10. Операторы Wi = P;(-D)V; — Qi(D) коммутируют друг с другом в том и только том случае, когда многочлены Pi(s),Qi(s) удовлетворяют условиям согласования (2.2.8) и для любого г = 1,..., п многочлен Qi(si,..., sn) зависит лишь от переменного S;.
Доказательство. Из равенства Vf = z 1 + DiZ 1 следует, что V{D{ = Vj + DiVi и что Vj коммутирует с Dj при і ф j. Следовательно, для любого а = (скі,..., ап) Є Nn
Положим степень g{xaz@) элемента xaz кольца R[x] равной a — (3. Заметим, что g(Di(xaz Є Nn. Значение оператора в правой части равенства (3.2.20) на элементе хаz@ есть сумма трех слагаемых, имеющих степени а — (3 {. Следовательно, операторы Wi, Wj коммутируют в том и только том случае, когда
Условие (3.2.21) выполняется в том и только том случае, когда для любого і = 1,...,п многочлен Qi(s) зависит лишь от переменного s . В самом деле, многочлен может быть периодической по одному из своих аргументов функцией лишь в случае, когда он не зависит от данного аргумента. При этих предположениях относительно многочленов Qi(s) условия согласования (2.2.8) могут быть записаны в виде эквивалентном равенствам (3.2.22). Таким образом, семейство операторов {Wj-}"=1 коммутативно в том и только том случае, когда многочлены Pi(s), Qi(s) удовлетворяют условиям согласования (2.2.8) и для любого і = 1,... ,п многочлен Qi(s) зависит лишь от Sj. Лемма доказана. Зафиксируем точку х Є Сп и обозначим через Ох(о) левый Т -ыодулъ формальных степенных рядов с центром в точке х \ Обозначим через Сд.(о) множество комплексных чисел С, снабженное структурой С[жі, ..., жп]-модуля, которая индуцирована изоморфизмом С С[х\,..., хп]/ (х\— х\ ,..., хп—хп ). В дальнейшем мы будем использовать следующий изоморфизм (см. предложение 2.5.26 в [35] или [26], 4) между пространством формальных решений Х -модуля Л4 в точке х и пространством, двойственным к Сд,(о) 8 с[х] ЛЛ :
Данный изоморфизм имеет место для любого конечно порожденного V-модуля. Используя (3.2.16) и фиксируя точку х = х \ мы приходим к изоморфизму есть сужение оператора Wi, соответствующее Сопоставляя (3.2.23) и (3.2.24), приходим к изоморфизму
Лемма 3.2.11. Число линейно независимых формальных степенных рядов, удовлетворяющих системе Горна (2.0.1) в окрестности точки х — х \ равно dime Я/ Х)Г=і W w-ft Напомним, что, согласно определению, элементы ki,..., km кольца К образуют регулярную последовательность, если для любого і = 1,... , га элемент &І не является делителем нуля в фактор-кольце коммутативное семейство линейных операторов, таких, что существует регулярная последовательность однородных многочленов /і,..., /п в R, удовлетворяющих условию Li{u) = fiU+й, где deg й deg (fiU). Тогда R/ Y i=i R и R/(fi,..., fn) изоморфны как векторные пространства над полем комплексных чисел. Здесь (/і,..., fn) обозначает идеал, порожденный многочленами /і,..., fn.
Доказательство. Пусть { а}аєЛ - некоторый базис в векторном пространстве R/(/і,..., fn), состоящий из однородных многочленов. Пусть и Є R, deg и = к. Обозначим через X множество всех линейных комбинаций элементов множества {иа}аеА. Покажем при помощи индукции по к, что По индукции заключаем, что Х!)Г=і йі Є X + Y i=i LiR и, следовательно, w Є X + Y i=i LiR- Таким образом, множество {иа}аЄА порождает фактор-кольцо R/ Х)Г=і LiR.
Покажем, что элементы множества {иа}аА линейно независимы в R/ Y i=i L{R. Пусть w Є X. Предположим, что w = Y l=i L%Vi для некоторого Vi Є R. Мы используем индукцию по к = max deg(/ji {), что г=1,...,п бы доказать, что w = 0. Положим гі = г + vi, где deg (/гЧ) — к R deg (/ ) к. Обозначим через Wk однородную составляющую степени к элемента w. Так как элементы { а}аеЛ однородны, то Wk Є X. Используя равенство w = Y17=iLivi, получаем Wk = Y l=ifivi- Множество {wQ}aeA есть базис в фактор-кольце RОтсюда следует, что X П X)iL=i LiRi = {0} и, значит, Х)Г=1 fivi = 0. В силу регулярности последовательности (/i,--.,/n) существует кососимметричное множество {?7у}",=і однородных многочленов, таких, что v{ = Yl7j=iVijfj-Рассмотрим многочлены щ = Vi — X =i Lj(r}ij). Из коммутативности семейства операторов {Lj}"=1 следует равенство Y7ij=iLiLj(r)ij) = 0, и поэтому
Используя аргументы из [25] (см. стр. 148,146), мы приходим к выводу, что размерность (как векторного пространства над полем комплексных чисел) фактор-кольца R по идеалу, порожденному регулярной последовательностью однородных многочленов Н\{х \ z), ..., Нп(х(\ z), равна Y\=i deg Hi(x(\ z). Известно, что п однородных многочленов, зависящих от п переменных, образуют регулярную последовательность в том и только том случае, когда общим нулем данных многочленов является лишь начало координат. Поэтому из регулярности последовательности главных символов Hi{x \z)r .. ,Hn(x \z) следует, что х ф. UM- Применяя леммы 3.2.10, 3.2.11 и 3.2.12, получаем следующую теорему.
Теорема 3.2.13. Предположим, что многочлены Pi(s),Qi(s) удовлетворяют условиям согласования (2.2.8) и что для любого і = 1,. .. ,п многочлен Qi(s) зависит лишь от переменного Sj. Если главные символы Hi(x(\z),..., Нп{х \ z) операторов Gi,..., Gn образуют регулярную последовательность в точке х \ то размерность пространства голоморфных решений системы уравнений (2.0.1) в окрестности точки х равна ПГ=і deg Hi(x \ z).
Веер гипергеометрической системы уравнений
Базис в пространстве голоморфных решений системы Горна (5.3.13) образуют функции 1, Действительно, общим решением первого уравнения системы (5.3.13) является функция f(x2: rj), ще / -произвольная дифференцируемая функция. Так как второе уравнение в (5.3.13) имеет ту же форму, что и первое, то общим решением подсистемы (5.3.13), состоящей из первых двух уравнений, является функция F ( , _ , _хч J , где F - произвольная дифференцируемая функция. Подставляя эту функцию в третье уравнение, приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению tF (t)+F (t) = 0, чье общее решение имеет вид Сі + Сгіпі. То обстоятельство, что размерность пространства голоморфных решений системы (5.3.13) в окрестности точки общего положения равна 2, следует из теоремы 3.2.13.
Данный пример показывает, что, в отличие от двумерного случая, в более высоких размерностях вообще говоря нет равенства множества векторов в главном символе коэффициента Оре-Сато и множества внешних нормалей к граням многогранника Ньютона его результанта. Действительно, вектор (0,0,1) не входит в главный символ коэффициента Оре-Сато (5.3.12), однако многогранник Ньютона его результанта имеет грань с нормалью (0,0,1) (см. рис. 5.2).
Особенности гипергеометрических функций многих комплексных переменных В настоящей главе изучаются свойства сингулярных множеств гипергеометрических функций многих переменных. При выполнении некоторых условий невырожденности эти множества являются алгебраическими гиперповерхностями. В настоящей главе дается описание таких гиперповерхностей в терминах амеб и многогранников Ньютона их определяющих многочленов. В частности, доказывается, что амебы классических дискриминантных гиперповерхностей являются сплошными, то есть, что их дополнения состоят из наименьшего возможного количества связных компонент.
На протяжении настоящей главы мы будем исходить из классических определений гипергеометрических рядов, функций и систем уравнений, восходящих к Горну. Его первоначальное определение гипергеометрического ряда особенно привлекательно своей простотой. Согласно этому определению, кратный ряд Лорана называется гипергеометрическим, если отношения его смежных коэффициентов рациональным образом зависят от индексов суммирования.
В настоящей главе мы изучаем особенности гипергеометрических функций, которые определяются при помощи аналитического продолжения сумм гинергеометрических рядов вдоль всех возможных путей. Гипергеометрический ряд у(х) удовлетворяет системе дифференциальных уравнений (2.0.1). Этот ряд, равно как и система (2.0.1), называется некон
Эти условия могут быть сформулированы в терминах коэффициента Оре-Сато гипергеометрического ряда, удовлетворяющего системе уравнений (2.0.1) (см. определение 5.1.2). Одним из наиболее классических обыкновенных дифференциальных уравнений гипергеометрического типа является уравнение Гаусса (0.0.1), замечательное тем, что подходящей заменой переменных к нему может быть приведено любое обыкновенное линейное однородное уравнение второго порядка с тремя правильными особыми точками. Особенностями уравнения Гаусса являются точки 0,1 и сю. Обобщенным обыкновенным гипергеометрическим уравнением называется уравнение, получающееся из неконфлюэнтной системы (2.0.1) при п=1. Это уравнение также имеет три особенности, а именно, 0, t и оо, где t - отношение коэффициентов при старших степенях переменного в многочленах Р\ и Q\. Множество особенностей данного уравнения является минимальным в следующем смысле: существует ровно две круговые области, а именно, {0 \х\ \t\] и {\t\ \х\ со}, в каждой из которых любое решение уравнения может быть представлено в виде произведения монома и ряда Лорана с центром в нуле (в т.н. резонансном случае) или же в виде линейной комбинации произведений мономов, рядов Лорана и степеней In а; (в нерезонансном случае).
Оказывается, что алгебраические особенности системы дифференциальных уравнений (2.0.1) обладают многомерным аналогом этого минимального свойства. Это свойство удобнее всего формулировать с использованием понятия амебы, введенного Гельфандом, Капрановым и Зелевинским в [61]. Согласно их определению, амебой алгебраического множества 7Z = {R{x) = 0} называется его образ при отображении Log : (xi,... ,жп) н- (In жі,... ,1п жп). Дополнение к амебе состоит из конечного числа выпуклых связных компонент, соответствующих областям сходимости разложений рациональных функций со знаменателем R(x) в ряды Лорана с центром в начале координат. Число таких компонент не может быть меньше числа вершин многогранника Ньютона многочлена R(x). Если эти величины совпадают, то соответствующая амеба называется сплошной. В 6.4 мы доказываем следующую теорему.
Геометрическая интерпретация данного следствия может быть получена при помощи теоремы Горна-Капранова об униформизации (см. [71]). Согласно этой теореме, логарифмическое отображение Гаусса является взаимно-однозначным на произвольной А-дискриминантной гиперповерхности. Отсюда следует, что нормали к границе соответствующей амебы имеют разные направления в разных точках границы. Другими словами, никакие две различные касательные плоскости к границе амебы не могут быть параллельны. Однако если бы дополнение амебы содержало ограниченную связную компоненту, то касательные плоскости к границе этой компоненты были бы параллельны во многих точках.
Следствие 6.4.12 позволяет заключить, что амеба классического дискриминанта общего алгебраического уравнения с одним переменным является сплошной (следствие 6.4.13).
Отметим также следующие основные результаты настоящей главы. Теорема 6.5.20 утверждает, что любая мероморфная неконфлюэнтная гипергеометрическая функция является рациональной. Последний параграф данной главы посвящен задаче описания класса рациональных гипергеометрических функций. Решения гипергеометрической системы уравнений Гельфанда-Каиранова-Зелевинского рассматривались с этой точки зрения в работах [40] и [41]. Теорема 6.6.22 дает необходимое условие того, что система уравнений Горна имеет рациональное решение. Утверждение следствия 6.6.24 подчеркивает тот факт, что лишь очень немногие рациональные функции являются гипергеометрическими. Класс гипергеометрических функций, описанных в данном следствии, состоит из функций, контигуалыю эквивалентных ядрам Бергмана комплексных эллипсоидов.
Доказательства основных результатов настоящей главы используют понятия носителя и веера гипергеометрического ряда, некоторые факты торической геометрии и двустороннюю лемму Абеля, доказанную в 6.5. Напомним, что классическая («односторонняя») лемма Абеля (см. [13] или [82]) дает следующую связь между областью сходимости ряда Пю-изо и его носителем (то есть множеством, которое пробегают индексы суммирования).
![О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями](/i/i/4377/303944.png "О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями Меленцов Александр Александрович")
