Содержание к диссертации
Введение
1 Некоторые семейства операторов, связанные с абстрактной задачей Коши 22
1.1 Связь абстрактной задачи Коши с теорией полугрупп 22
1.1.1 Полугруппа класса ( и равномерно корректные задачи. "Разреженные" условия равномерной корректности 24
1.1.2 Полугруппы класса (О, А): эквивалентные определения, связь с корректными задачами 30
1.1.3 Полугруппы класса (1,А). Существование проинтегрированного решения детерминированной задачи 40
1.2 if-конволюционная регуляризация 46
1.2.1 /С-конволюционная полугруппа 47
1.2.2 Неоднородная задача с генератором Л'-конволюционной полугруппы: ії'-конволюционное решение 48
1.2.3 Семейство операторов, сопряженных к операторам К-конволюционной полугруппы в гильбертовом пространстве 50
2 Абстрактная стохастическая задача Коши 54
2.1 Случайные величины со значениями в гильбертовом пространстве. Q-винеровские процессы 54
2.1.1 Определение случайных величин со значениями в гильбертовом пространстве 54
2.1.2 Моменты случайной величины и характеристический функционал. Взаимные моменты 56
2.1.3 Гауссовы случайные величины и случайные функции 58
2.1.4 Q-винеровские процессы 65
2.2 Стохастические интегралы по Q-винеровскому процессу 68
2.2.1 Стохастические интегралы от элементарных функций 68
2.2.2 Изометрия Ито. Расширение понятия стохастического интеграла 69
2.3 Абстрактная стохастическая задача Коши с генератором полугруппы класса (1,А) 73
2.3.1 Постановка задачи 73
2.3.2 Стохастическая свертка и ее свойства 75
2.3.3 Существование и единственность слабого решения, вероятностные характеристики 80
2.4 Абстрактная стохастическая задача Коши с генератором К-конволюционной полугруппы 86
2.4.1 Постановка задачи 86
2.4.2 if-конволюционная стохастическая свертка. Существование и единственность слабого К-конволюционного решения 87
Список литературы 94
- Полугруппы класса (О, А): эквивалентные определения, связь с корректными задачами
- Неоднородная задача с генератором Л'-конволюционной полугруппы: ії'-конволюционное решение
- Абстрактная стохастическая задача Коши с генератором полугруппы класса (1,А)
- Абстрактная стохастическая задача Коши с генератором К-конволюционной полугруппы
Введение к работе
При построении моделей реальных систем наряду с детерминированными факторами все чаще стремятся учитывать и воздействие различных случайных факторов. Это приводит к созданию стохастических моделей, а при обращении к абстрактной задаче Коши, основному объекту диссертационных исследований, — к стохастическим задачам со случайными процессами в бесконечномерных пространствах.
Пусть (fi,^7, Р) — вероятностное пространство, U, Н — (сепарабельные) гильбертовы пространства. Для конструкции стохастических интегралов в вероятностное пространство вводится система <т-алгебр {Tt \ t > 0} — фильтрация.
Рассматривается стохастическая неоднородная задача Коши:
У^ = АХ(і) + ВЩі),іє{0,т),т<оо Х(0)=, (1)
с замкнутым оператором A : D{A) С Н -> Я, помехами в виде композиции белого шума W(t) и оператора В Є L(U,H), — Н-значная случайная величина. Задача (1) пониматся как интегральное уравнение
X{t)=+ [ AX{s)ds + BW(t), te[0,r),r
где W(t) — Q-винеровский процесс со значениями в пространстве U (обобщение винеровского процесса на бесконечномерный случай).
Подход, используемый в исследовании уравнения (2), основан на полугрупповой технике: изучается абстрактная стохастическая задача Коши с генератором полугруппы класса (1,Л) и с генератором К-конволюционной полугруппы.
Таким образом, результаты, представленные в диссертации, находятся в пересечении следующих разделов анализа: теории абстрактных уравнений, стохастического анализа, теории полугрупп. Все разделы являются сравнительно молодыми. Кратко история их появления и взаимопроникновения выглядит следующим образом (по [7, 6, 31, 41, 22]).
Основы того направления, которое сейчас именуется стохастическим анализом, были заложены теоремой Колмогорова о существовании процесса с заданной системой конечномерных распределений, названной автором "основной теоремой" (впервые опубликована на немецком языке в 1933 г. в монографии "Основные понятия теории вероятностей"). До ее появления исследование случайных процессов, как семейств случайных величин, велось, главным образом, с точки зрения свойств их конечномерных распределений. Согласно теореме Колмогорова, отправляясь от системы согласованных конечномерных распределений вероятностей, можно построить случайную функцию с теми же конечномерными распределениями.
Пусть Y(t) — марковский процесс на действительной прямой (решения стохастических дифференциальных уравнений дают обширный класс марковских процессов). Для марковского процесса все конечномерные распределения однозначно определяются его двумерными распределениями. Обозначим F(y,t\ yo,to), где to < t, — условное распределение вероятностей процесса Y(t) для to Є Ж при заданном Y(to) = уо. Далее почти во всех интересных случаях можно предположить, что
}imF(y,t\yo,t0y[{t-to)~1] = Dyo,
где Dyo — некоторое распрэделение, [а] обозначает целую часть числа, *к — Аькратную свертку. Таким образом, Dy$ является безгранично делимым распределением. Случайная величина Т называется безгранично делимой, если для каждого п > 1 можно найти такие независимые одинаково распределенные случайные величины Ті,... ,Тп, что Т — Т\ + ... + Тп (или, что то же самое, Ft = Ftx * ... * FtJ, это равносильно тому, что случайная величина является пределом по распределению сверток вида Ft t * * -^г„„-К безгранично делимым распределениям принадлежат и гауссовское и пуассоновское распределения.
Проблема, поставленная Колмогоровым, формулируется следующим образом: для заданного семейства безгранично делимых распределений L(t,y) найти процесс Y(t) с заданным начальным
распределением, для которого
DY{t) = L{t,y). (3)
Колмогоров ([21]) и Феллер ([44]) получали марковские процессы путем решения дифференциальных уравнений для переходных вероятностей, эквивалентных поставленной задаче (впоследствии названных уравнениями Колмогорова). Тем самым в теорию вероятностей был введен аналитический метод, дальнейшее развитие которого связано с теорией полугрупп Хилле-Иосиды.
Случайная функция в теореме Колмогорова строится координатным способом:
Y = {Y(tiu)\Y(t1u) = ij(t)}1
то есть траекториями могут быть любые такие функции w = co(t). Открытым остается вопрос, насколько "хороши" траектории процесса, построенного по заданным конечномерным распределениям. В отличие от этого аналитического метода, вероятностный подход, предложенный Леви и строго обоснованный Ито, дает возможность непосредственного построения траекторий процесса Y(t). Если предположить, что L(t, у) = G(a(t, y),a(t, у)) — гауссовское распределение со средним a(t, у) и стандартным отклонением с(, ?/), то интуитивный смысл условия (3) состоит в следующем. Бесконечно малое изменение условного распределения при заданном Y(t) = у совпадает с G(a(t,y)dt,a(t,y)y/dt) так, как если бы dY(t) = Y'(t)dt, где Y'(t) — нормально распределенная случайная величина со средним E[Y'(t)] — a(t,y) и стандартным отклонением y/D[Y'(t)] = cr(t,y). С другой стороны, если W(t) — броуновское движение (винеровский процесс), то распределение "стохастического дифференциала" (это понятие рассматривал Леви, например в [59, 23], он использовал наводящее обозначение \иїї для dW(t), где — случайная величина с распределением G(0,1)) dW(t) = W(t + dt) — W(t) есть тогда можно записать, что
a(t, y)dt = a(t, y)dt + cr(t, y)E[dW(t)] = E[a(t, y)dt + a(t, y)dW(t)],
Из этих соображений получаем, что
dY(t) = a{t, Y(t))dt + a(t, Y(t))dW(t),
следовательно, Y(t) можно определять как решение интегрального уравнения
Y(t) = m+ [ a(s,Y(s))ds+ f a(s,Y(s))dW{s).
Jo Jo
Однако, Винер ([70]) к тому времени уже показал, что почти все траектории W(t) нигде не дифференцируемы, так что второй интеграл в уравнении нельзя определить в обычном смысле. Чтобы обойти эту трудность в 40-х годах прошлого века К. Ито ([55, 56]) ввел понятие "стохастического интеграла". Благодаря этому была получена возможность построения Y{t) как единственного решения интегрального уравнения при заданном начальном условии. Ито показал также, что так построенный процесс на самом деле удовлетворяет задаче Колмогорова с условием (3).
С. Бернштейн ([4, 35]) независимо ввел стохастическое разностное уравнение и показал, что предельное распределение случайной величины, которая определяется этим уравнением, совпадает с решением задачи Колмогорова. Гихман ([9, 10, И]) осуществил программу Бернштейна и независимо от Ито построил теорию стохастических дифференциальных уравнений.
Теорию Ито можно рассматривать как интегродифференциальное исчисление для случайных процессов, поэтому теория называется случайным анализом Ито или стохастическим исчислением.
Стохастические уравнения в бесконечномерных пространствах являются обобщением стохастических уравнений Ито. Первые результаты для уравнений в бесконечномерных пространствах появились в середине 60-х, их появление и развитие было обусловлено как потребностями самого математического анализа так и необходимостью описывать с позиций строгой теории феномен случайности, изучаемый в естественных науках: физике, химии, биологии. В частности, винеровские процессы со значениями в гильбертовом пространстве были введены Гроссом ([47]) и Далецким ([40]) при изучения задачи Дирихле. Теоретические исследования по
вопросам существования и единственности решений активизировались в 70-80-х годах. Наиболее ранние результаты принадлежат Бенсоуссан и Темам ([34]), Доусону ([43]), фундаментальные результаты по нелинейным уравнениям получены Парду ([64]), основные результаты по слабым решениям принадлежат Виоту ([68]). Сегодня эти вопросы по-прежнему вызывают большой интерес, в частности, в связи с приложениями в экономике.
Теория однопараметрических полугрупп преобразований берет свое начало, как полагают, в 1936 году в статье Хилле ([49]), где были рассмотрены некоторые специальные полугруппы. Впервые понятие полугруппы появилось в 1904 году в монографии Сеге по теории абстракных групп ([66]). В 1938 году Секефальви-Надь ([67]) и Хилле ([50]) независимо друг от друга получили результаты по представлению полугрупп ограниченных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Значительно раньше появилось понятие группы. В 1903 году Адамар заметил ([48]), что задача Коши для волнового уравнения приводит к некоторым группам преобразований. При этом из групповых свойств вытекают определенные теоремы сложения, которым подчиняются элементарные решения (функция Римана, функция Грина, т.д.), служащие для построения решения задачи Коши, и обратно, эти теоремы сложения в свою очередь обусловливают групповые свойства. В тех задачах, которые изучал Адамар, фигурировали уравнения гиперболического типа, описывающие явления обратимого характера, поэтому там возникали именно группы преобразований; в случае уравнений параболического типа, соответствующих необратимым явлениям, вместо групп появляются полугруппы. Адамар обнаружил, что групповые свойства являются следствием принципа научного детерминизма: "Зная состояние физической системы в момент времени to, можно определить ее состояние в более поздний момент ." Следствие же Адамар формулировал следующим образом: "Если, исходя из начального состояния системы, определить ее состояние в какой-нибудь промежуточный момент ^i и с его помощью — состояние в последующий момент t, то получим тот же результат, как если бы мы определили ее состояние в момент t прямо из начального
состояния".
К середине XX века аналитическая теория полугрупп и ее приложения в своем развитии достигли значительных успехов. В частности, как уже отмечалось, с теорией полугрупп связано развитие аналитического метода в теории вероятностей. Подход Иосиды ([54]) стал одним из первых применений новой в то время теории полугрупп. Связь теории полугрупп и стохастической теории устанавливается следующим образом. Если состояние некоторой изменяющейся во времени системы описывается процессом Y(t), то марковость процесса означает, что будущая эволюция системы зависит лишь от ее состояния в настоящий момент и не зависит от поведения в прошлом. Переходная функция P(to,yo;t,B) = P{Y(t) Є В I Y(to) = уо\ марковского процесса, заданная для to < t, должна удовлетворять условию согласованности, которое при известных требованиях измеримости находит свое выражение в функциональном уравнении Чэпмена-Колмогорова. Именно это уравнение связывает стохастическую теорию с теорией полугрупп. Для марковского процесса с дискретным пространством состояний — марковской цепи — переходная функция дается формулой
P(t0,i;t,B) = ^2pij{to,t),
где функции pij(to,t) - P{Y(t) = j I Y(t0) = %}, при t0 < t — переходные вероятности. Эти функции удовлетворяют требованиям вида:
Ры(*о, t) > 0, YlPi>i(to>*) = Х' Ри(г>*) = ^';
и уравнению Чэпмена-Колмогорова для переходных вероятностей:
Ри(*01*) = Х^Я*(*о,ф*,і(М).
Для однородной цепи (когда переходные вероятности не зависят от to, а только от t — to) последнее уравнение принимает вид
PiAs + t) = ^2PiAs)Pkj(t),
то есть матрица переходных вероятностей P(t) = {pij{t))i,j обладает полугрупповым свойством: P(s + t) = P(s)P(t). Таким образом, с каждой однородной марковской цепью можно связать стохастическую полугруппу матриц P(t) = {Pi,j{t))ij такую, что при всех t
РФ) > > XAjM = 1, PiA) = Shi"> j
последнее условие означает, что Р(0) = I — единичная матрица.
Начиная с 1949 года Хилле. под влиянием работ Иосиды ([54, 53]) стал заниматься задачей Коши, применяя методы теории полугрупп. Им были сформулированы первые теоремы существования решений задачи Коши и' = Аи с неограниченным оператором А в банаховом пространстве в терминах теории полугрупп операторов ([51, 52]). Возможности нового подхода заинтересовали Феллера. Совместно со своими учениками он внес большой вклад в теорию, в частности, ими были проведены глубокие исследования сингулярной краевой задачи для уравнения диффузии ([45]). Существенный шаг вперед в общей теории был сделан в работе Като [57], где была получена теорема о существовании решения задачи Коши для уравнения и' — A(t)u с переменным неограниченным оператором A{t). Параллельно с этими исследованиями Хилле, а затем Филлипс, начинают строить теорию абстрактной задачи Коши для уравнений в банаховом пространстве ([51, 52, 65]). Таким образом, полугруппы, появившись как некий результат изучения дифференциальных уравнений и став инструментом их исследования, затем, по мере накопления полугрупповой техники, способствовали появлению и развитию теории абстрактной задачи Коши.
Первые применения полугрупповой техники к абстрактным стохастическим уравнениям появились в работах Балакришнана [33], Куртайн и Фальб [39], Метивиер и Пистоне [63].
Наконец, результаты, непосредственным продолжением которых стали исследования диссертации, содержатся в работах [41, 42] Да Прато и Забчика и в работах [61, 25, 46] И.В. Мельниковой, А.И. Филинкова, У.А. Ануфриевой.
В [41, 42] изучается стохастическая задача Коши, в которой оператор А является генератором сильно непрерывной на [0,+со)
полугруппы операторов класса Со.
Однако для современной теории представляют интерес модели реальных систем, в которых оператор А абстрактной задачи Коши порождает семейство операторов, не обладающее всем набором "хороших" свойств полугрупп класса Cq. В теории детерминированной абстрактной задачи Коши накоплен обширный материал по работе с такими семействами операторов. И когда в модель реальной системы вводится учет стохастического фактора, совершенно оправдано стремление привлечь к рассмотрению уже наработанный материал. В [61, 25, 46] делается шаг в этом направлении: изучается стохастическая задача с генератором интегрированной полугруппы.
Полугруппы операторов класса (1,А) стоят следующими за полугруппами класса Со в ряду "классических" полугрупп в направлении возрастающей общности. Для полугрупп класса (1,А) ослаблено требование непрерывности в нуле. При этом, именно отсутствие сильной непрерывности в нуле у семейств операторов решения многих важных для приложения дифференциальных задач и создает трудности при их исследовании ([8]).
Интегрированные же полугруппы являются частным случаем К-конволюционных полугрупп, которые относятся к современным разделам теории полугрупп и появляются на пути применения к исследованию абстрактных задач, не являющихся равномерно корректными, подхода содержащего в своей основе построение определенным образом исправленного решения (в [26] такого рода построения условно названы регуляризацией задачи). Понятие А'-конволюционной полугруппы введено И. Чиоранеску и Г. Люмером в работах [37, 38, 36]. В названии этого класса полугрупп отражена идея построения исправленного решения в соответствующей ситуации (идея /Г-конволюционной "регуляризации", более подробно см. [26]): исправленное решение — как свертка решения (если бы оно существовало) с некоторой гладкой экспоненциально ограниченной вещественной функцией K(t), определенной на положительной полуоси. Для интегрированных полугрупп K(t) = t. При іГ-конволюционной "регуляризации", исправленное решение
называется ([26]) /С-конволюционным решением исходной задачи, соответствующая исправленному решению задача по отношению к исходной называется ІІГ-конволюционной. И хотя применительно к этим семействам операторов, термин «полугруппа» утрачивает свой первоначальный смысл, использование его не случайно. Семейство обладает неким свойством, аналогичным полугрупповому ([36, 26]), а его операторы являются операторами исправленного решения задачи.
Таким образом, сложились предпосылки, делающие тему диссертации актуальной на данном этапе развития теории.
Для абстрактной стохастической задачи с генератором полугруппы класса Со в [41, 42] построено решение в слабой форме, а для ограниченного оператора А — и сильное решение. В [61, 25, 46] для задачи с генератором интегрированной полугруппы построено обобщенное решение и слабое решение соответствующим образом "регуляризованной" стохастической задачи Коши.
Нужно отметить, что термины «слабое решение», «сильное решение» появились здесь из традиций теории гильбертовых пространств: решение слабое — означает, что равенство (2) справедливо на сопряженном пространстве в том смысле, что все операции в равенстве выполняются над функционалами из #*, примененными к операндам равенства (2), и справедливость имеет место для любого функционала. В теории стохастических уравнений эти термины используются в ином смысле ([6, 12, 5, 24]). А именно ([24], стр. 146), когда говорится о решении в сильном смысле, то подразумевается, чго уже заданы некоторое вероятностное пространство с фильтрацией и винеровский процесс. Когда речь идет о слабом решении, то предполагается, что должны найтись вероятностное пространство, фильтрация, винеровский процесс и процесс X(t), для которых Рп.н. выполняется равенство (2).
Прежде, чем сформулировать цель диссертационного исследования, дадим еще некоторые разъяснения по поводу терминологии, связанной с трактовкой понятия «решение». В работе над темой пришлось иметь дело с различными интерпретациями термина «решение», изучение этого вопроса — анализ трактовок в литературе, установление некоторых отношений между ними и с особенностями
семейств операторов, связанных с задачей — прояснило определенные моменты исследований.
Пусть в банаховом пространстве Е рассматривается неоднородная абстрактная задача Коши:
—S- = Au{t) + f(t), 0 < t < т (т < со), и(0) = х, lim \\u(t) - х\\ = 0.
at t—ti)
(4) Если оператор А порождает полугруппу класса Со, х Є D(A), функция f(t) непрерывно дифференцируема, то существует единственное решение u(t) задачи (4), как дифференцируемая на [0, +оо) функция, удовлетворяющая уравнению задачи на [0, +оо) и условию u(0) = х; при этом
u(t) = U(t)x + {U*№)t (5)
здесь U(t) — оператор решения однородной задачи.
Далее, если нужно брать х = и(0) вне D(A) или не являющуюся гладкой функцию /(і), то понятие решения расширяется.
В диссертации используются названия для интерпретаций термина «решение» абстрактной задачи Коши:
функция u(t), удовлетворяющая уравнению
u'(t) = Au(t) + f(t)na(0,T), (6)
непрерывная на [0,г) и непрерывно дифференцируемая на (0,т), называется (ослабленным) решением;
функция u(t), на (0, г) удовлетворяющая каждому уравнению
ft(u(t),y) = (u(t),A*y} + (f(t),y), yeD(A% (7)
для которой \imt->o{u(i), у) = (х,у), называется слабым решением;
функция и, удовлетворяющая уравнению в обобщенном смысле:
-{u,
Ф — некоторое пространство основных функций, называется обобщенным решением задачи Коши;
функция u(t), на [0, г) удовлетворяющая уравнению
u(t) = х+ Au(s)ds + / /(3)((3, (9)
Jo Jo
называется интегральным решением;
функция u(t), на [0, т) удовлетворяющая каждому уравнению
(«(О, у) = (х, у) + [ («(*), А*у) ds+j (/(*), у) ds, у Є D(A*)t
Jo Jo
(10)
называется слабым интегральным решением]
функция u(t), на [0, г) удовлетворяющая уравнению
i(t) = х + А [ u(s)ds + / f(s)ds, (И)
Jo Jo
называется проинтегрированным решением; функция u(t), на [0, г) удовлетворяющая каждому уравнению
(u(t),y) = {x,y) + {[ u{8)d8,A*y) + ([ f(s)ds,y), yeD(A%
Jo Jo
(12)
слабым проинтегрированным решением.
Отношение следования между последними задачами действует следующим образом: (9) =$ (11) => (12) => (10). Соответствующие «решения», в ряд по возрастанию общности выстраиваются в обратном порядке.
Слабым решением в работах [41, 42] и [61, 25, 46] называется слабое проинтегрированное решение. Свойства полугрупп класса (1,-А) и К-конволюционных полугрупп дают основания полагать, что не лишена смысла попытка построения решения того же характера в задачах с генераторами полугрупп указанных типов.
Поэтому в рамках темы диссертации целью работы явилось построение слабого проинтегрированного решения абстрактной стохастической задачи Коши с генератором полугруппы класса (1,-А) и Я"-конволюционной задачи по отношению к задаче с генератором ІГ-конволюционной полугруппы, а также изучение
вопроса единственности слабого проинтегрированного решения при условии его предсказуемости.
В соответствии с целью, были поставлены следующие задачи:
о изучить свойства указанных полугрупп, а также свойства сопряженных к полугруппам семейств на предмет их связи с абстрактной задачей Коши;
о при благоприятных результатах решения первой из поставленных задач найти условия существования и выполнить построение слабого проинтегрированного решения и слабого проинтегрированного if-конволюционного решения для стохастической абстрактной задачи Коши с генераторами соответствующих полугрупп указанных классов.
При решении поставленных задач автором диссертации получены новые результаты. А именно:
о Доказано, что полугруппа операторов класса (О, А) может быть эквивалентным образом определена через связь операторов полугруппы с абстрактной задачей Коши.
о Для детерминированной неоднородной абстрактной задачи Коши с генератором полугруппы класса (1,А) построено слабое проинтегрированное решение, для задачи с генератором Х-конволюционной полугруппы построено слабое проинтегрированное /f-конволюционное решение.
о Доказано, что семейство операторов, сопряженных к операторам і^-конволюционной полугруппы с плотно определенным генератором, также является ііГ-конволюционной полугруппой.
о Построено слабое проинтегрированное решение абстрактной стохастической задачи Коши с генератором полугруппы класса (1,-4)- Доказана единственность предсказуемого слабого проинтегрированного решения стохастической задачи с генератором полугруппы класса (1,-А).
о Построено слабое проинтегрированное Х-конволюционное решение абстрактной стохастической задачи Коши с генератором if-конволюционной полугруппы. Доказана единственность предсказуемого слабого проинтегрированного решения
стохастической задачи с генератором .^-конволюционной полугруппы.
Анализ структуры решения абстрактной задачи Коши в различных его трактовках приводит к выводу о ее единообразии. Решение неоднородной задачи во всех изученных случаях (при определенных условиях на неоднородность) представляется в виде (5), то есть в виде функции, которая в каждой точке совпадает с суммой оператора решения соответствующей однородной задачи на начальном условии и свертки этого же оператора с неоднородностью. В частности, в [41, 42] слабое проинтегрированное решение стохастической задачи (1) в гильбертовом пространстве Н, понимаемое как процесс, на [0, со) удовлетворяющий каждому уравнению
(X(t),y) = (t,y) + ([ X(s)ds,A*y) + ([ BdW(s),y), yeD(A*),
Jo Jo
(13)
получено в виде
X(t) = U(t) + f U(t- s)BdW{s), (14)
здесь процесс J0U(t — s)BdW(s) — стохастическая свертка, a U(t) — полугруппа класса Cq. Эта идея принята автором диссертации за основу при построении слабого проинтегрированного решения if-конволюционной задачи с генератором ііГ-конволюционной полугруппы и задачи с генератором полугруппы класса (1,-А). Таким образом, надлежало изучить операторы решения соответствующей однородной задачи, найти условия существования свертки и проверить, удовлетворяет ли построенная по указанной схеме функция задаче Коши.
Исследованию подлежали задачи, выделенные из общего числа по двум направлениям: связь с полугруппами и стохастическая неоднородность. Полу групповая специфика позволила в качестве основных методов исследования использовать методы теории полугрупп, а стохастическая специфика задач потребовала применения методов стохастического анализа.
Основная часть диссертации состоит из двух глав. Первая посвящена семействам операторов: полугруппам класса (О, А), (1, А), Со и if-конволюционным полугруппам, а также их связи с абстрактной задачей Коши. Вторая — стохастической теории и стохастической задаче. Главы разбиты на параграфы, разделенные на пункты. Нумерация формул сквозная. Нумерация предложений тройная и сообщает главу, параграф, номер предложения этого вида. Общий объем работы составляет 100 страниц. Список литературы содержит 70 наименований.
Далее приводится краткий обзор содержания диссертации по разделам с некоторыми пояснениями по поводу места и роли этого материала в исследовании.
Результаты по теории полугрупп операторов содержатся в первой главе. Глава состоит из двух параграфов.
1. Как уже было сказано выше, полугруппы обязаны своим появлением тому, что у операторов решения дифференциальных задач было выявлено полугрупповое свойство. Далее при рассмотрении абстрактной задачи
^- = Au{t), i>0, и{0) = х, lim||u(*)-z|| = 0, (15)
где оператор A : D(А) С Е -> Е замкнут и плотно определен в банаховом пространстве, обнаруживается, что с корректными задачами Коши связаны сильно непрерывные при t > 0 семейства ограниченных операторов, обладающие полугрупповым свойством. Кроме того, оператор А, порождающий корректную задачу, может быть расширен до производящего оператора семейства.
1.1.1 Полугруппы класса Со теснейшим образом связаны с самой сильной корректностью задачи — с равномерной. А именно, равномерная корректность задачи равносильна тому, что ее оператор порождает полугруппу класса Cq. Для последнего же есть четкий критерий, это свойство оператора А тесно связано с поведением его резольвенты Ra{X) "= (А/ — Л)-1, а именно: А является генератором полугруппы класса Cq тогда и только тогда, когда оператор Ra{^) определен в некоторой правой полуплоскости комплексной плоскости и удовлетворяет оценкам Миядеры-Феллера-Филлипса-Хилле-Иосиды
(МФФХИ):
3wR, С>0 :||i2j(A)||< С
(Re\-ujf ReX>uj, к = 0,1,2,...
В разделе 1.1.1 получены "разреженные" условия на резольвенту, эквивалентные условиям МФФХИ. Если плотно определенный в Е линейный оператор А имеет при достаточно больших Л > 0 резольвенту Ra{X), причем для некоторого шб!
З/ Є N, М > 0 : ||ЯЇ(А)|| < ^' , \/к Є N , Л > со,
то задача (15) для оператора А равномерно корректна.
1.1.2. В разделе приведены факты и результаты исследований
полугрупп класса (0, А). Этот класс является более широким, чем
класс (1,^4), и первоначально была сделана попытка выполнить
построения для этого класса полугрупп операторов, однако на
определенном этапе рассматриваемый класс пришлось сузить (см. п.
1.1.3). В п. 1.1.2 доказано, что наряду с классическим определением
Хилле и Филлипса класс (0, А) может быть эквивалентным образом
определен через связь с абстрактной задачей Коши (15), для которой
операторы полугруппы такого класса выступают в роли операторов
проинтегрированного решения. Таким образом, всякая полугруппа
класса (0,А), а значит, и (1,-А), уже по своей природе является
семейством операторов проинтегрированного решения однородной
задачи. Рассмотрен также вопрос о связи полугрупп класса (0,А) с
корректностью задачи.
1.1.3. В рассмотрение вводятся полугруппы класса (1, -А). Сужение
рассматриваемого класса полугрупп операторов до класса (1,А)
обусловлена следующим преимущественным свойством полугрупп
этого класса перед полугруппами класса (0, А). Семейства операторов,
сопряженных к операторам полугрупп (1,Л), также являются
полугруппами класса (1,А) (здесь мы ограничиваемся рассмотрением
операторов в гильбертовых пространствах), а про семейства,
сопряженные к полугруппам класса (0, А), этого сказать нельзя ([31]).
Таким образом, сужение класса полугрупп операторов до класса (1, -А)
позволяет сохранить возможность работы с проинтегрированным решением и на сопряженном пространстве.
Приведен пример Филлипса полугруппы класса (1,А), доказано, что эта полугруппа не является Co-полу группой.
Построено слабое проинтегрированное решение неоднородной детерминированной задачи с генератором полугруппы S — {S(t) | t > 0} класса (1,А), решением является функция
-t
u(t) = S(t)x+ [ S(t-s)f(s)ds Jo
где x Є E. В качестве неоднородности взята непрерывная функция / Є С([0,+оо) -> Е), хотя выкладки остаются справедливыми для интегрируемой функции.
2. В втором параграфе первой главы содержатся необходимые сведения и предварительные результаты, касающиеся задачи с оператором, порождающим if-конволюционную полугруппу. При К-конволюционной "регуляризации" для задачи
^- = Au(t), іє(0,т), и(0) = х, Um||u(0 — яг|| = 0, (16)
где A : D(A) С Е -> Е — замкнутый линейный оператор, х Є D(A), строится соответствующая «if-конволюционная» задача
^ = Av(t) + K(t)x, t(0,r), v(0) = 0, lim||v(t)|| = 0. (17)
1.2.1. В этом разделе приводится определение /С-конволюционных
полугрупп через их связь с задачей Коши, которое встречается
в литературе чаще, чем определение через свойство, аналогичное
полугрупповому. Сразу по определению, операторы полугруппы
оказываются операторами проинтегрированного решения К-
конволюционной однородной задачи. Приводится пример Филинкова
и Майзурны А"-конволюционной полугруппы.
1.2.2. Для неоднородной задачи с оператором, порождающим
/С-конволюционную полугруппу Ski в разделе 1.2.2 построено
проинтегрированное решение if-конволюционной задачи, а именно,
функция
v{t) = SK{t)x+ [ SK{t-s)f{s)ds, Jo
где / Є С([0, т) -ї Е),х Е, является решением уравнения
v(t) = А v(s) ds+ K(s)x ds+ I I K(s - r)f(r)dr ds.
Jo Jo Jo Jo
1.2.3. Для рассмотрения слабого проинтегрированного решения стохастической задачи необходимо было изучить свойства семейства операторов, сопряженных к операторам if-конволюционной полугруппы. Для случая, когда порождающий полугруппу оператор А плотно определен, в п. 1.2.3 доказано, что сопряженное семейство также является if-конволюционной полугруппой, а значит, на сопряженном пространстве сохраняется возможность работы с проинтегрированным решением.
Вторая глава содержит необходимые сведения по теории случайных величин и случайных процессов в гильбертовом пространстве, из стохастического анализа и результаты по стохастическим задачам. Глава состоит из четырех параграфов.
1,2. В этих параграфах введены понятия случайной величины со значениями в гильбертовом пространстве, ее вероятностных характеристик, описана связь с действительнозначными случайными величинами. Большое внимание уделено гауссовым случайным величинам и винеровским процессам со значениями в гильбертовом пространстве, так как стохастическое исчисление, рассматриваемое в работе строится на интегрировании по винеровским процессам. Кратко изложена схема построения стохастического интеграла в гильбертовом пространстве. В этой части нет собственных результатов автора.
3,4. Пусть (fi, Т, Р) — вероятностное пространство с заданной на нем фильтрацией {Tt\ t > 0}, U,H — (сепарабельные) гильбертовы пространства.
В параграфах рассматривается абстрактная стохастическая задача Коши, записанная в виде интегрального уравнения (2).
Построено слабое проинтегрированное решение абстрактной стохастической задачи Коши с генератором полугруппы класса (1, Л) и слабое проинтегрированное if-конволюционное решение абстрактной стохастической задачи Коши с генератором /Г-конволюционной полугруппы.
Для конструкции решения в обоих случаях построены соответствующие стохастические свертки
W(*) = [ S(t- s)B dW(s), WK{t) = f SK(t - s)B dW(s),
Jo Jo
где S,Sk — полугруппа класса {l, А) и А'-конволюционная полугруппа соответственно. Для существования сверток понадобились соответственно условия
/ \\S{r)BQb\\2GSdr < со, Г \\SK(t)BQmsdt < со,
Jo Jo
где для ортонормированного базиса {ej} С U
\\s(r)BQms = |№)БдЦ-||2, \\sK(t)BQt\\2GS = ||s*(W4ll2
i=i j=l
Существование свертки при указанном условии для случая К-конволюционной полугруппы обеспечено ее сильной непрерывностью на [0, т), а для случая полугруппы класса (1, А) — интегрируемостью на [0,1].
Решением задачи с генератором полугруппы класса (1,./4) является случайный процесс {X(t)\ t > 0}, такой что
X(t) = S(t) + [ S{t- s)B dW(s), t > 0. Jo
if-конволюционным решением задачи с генератором К-конволюционной полугруппы, то есть процессом, удовлетворяющим каждому уравнению
(X(t),y) = ( / K(s)t ds, у) + ([ X(s) ds, A*y)+
Jo Jo
+ ( f ['K(s-r)BdW{r)ds,y),t[0,T), Jo Jo
является процесс X = {X()| t Є [0, т)}, такой что
X(t) = SK(t)i + [ SK{t - s)B dW{s), t [0, r).
./0
Доказана единственность предсказуемого слабого
проинтегрированного решения стохастической задачи с генератором полугруппы класса (1,Л) и единственность предсказуемого слабого проинтегрированного if-конволюционного решения стохастической задачи с генератором if-конволюционной полугруппы.
Для доказательства потребовалось изучить свойства сверток. Показано, что каждая из стохастических сверток является среднеквадратически непрерывным процессом с предсказуемыми версиями.
Можно констатировать, что результаты [41] и [61] для задачи с генератором полугруппы класса Со и с генератором интегрированной полугруппы удалось распространить на задачи с генератором полугруппы класса (1,-А) и с генератором if-конволюционной полугруппы. Это оказалось возможным благодаря тому, что в рамках указанных более общих семейств сохраняются ключевые для построения теории характеристики: возможность работы с проинтегрированным решением на сопряженном пространстве и интегрируемость семейства на [0,т], т < оо.
Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинаре по дифференциально-операторным уравнениям кафедры математического анализа и теории функций УрГУ (руководитель — доктор физ.-мат. наук, профессор И.В. Мельникова) в 2003-2006 гг., на семинаре кафедры математического анализа и теории функций УрГУ (руководитель — доктор физ.-мат. наук, профессор В.В. Арестов) в 2006 г. Были сделаны доклады на XXVIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 2006), на Воронежской зимней математической школе С.Г. Крейна - 2006 (Воронеж, 2006), на 63-ей научно-технической конференции по итогам научно-исследовательских работ за 2003-2004 гг. (Магнитогорск, 2004).
Полугруппы класса (О, А): эквивалентные определения, связь с корректными задачами
Полугруппы класса (0, А) появились на пути расширения понятия полугруппы за счет ослабления требования непрерывности в нуле. Поэтому структура классического определения полугрупп класса (0, А) та же, что в классическом определении полугрупп класса Со- Определение 1.1.2 ([31]). Семейство U = {U(t) t 0} линейных ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве Е, сильно непрерывное при t 0, удовлетворяющее условиям: называется полугруппой класса (О, А). Определение 1.1.3 ([31]). Генератором полугруппы U класса (О, А) называется оператор А, являющийся замыканием оператора Ао, областью определения которого является множество D{AQ) — {х Є Е 31ітд_ о+ h }, действующего по правилу: А0х = 1ітЛ_ю+ и1 -х. Генератор полугруппы класса (О, А) обладает следующим важным для наших рассмотрений свойством. Утверждение 1.1.1 ([31]). Резольвента генератора полугруппы класса (О, А) является преобразованием Лапласа от полугруппы. Из этого следует, что эквивалентным определению 1.1.3 генератора полугруппы класса (О, А) является следующее
Определение 1.1.4. Оператор А = XI — Я-1 (Л), Л UQ, 0 Є R, где R(X) = JQ e xtU(t)dt, называется генератором полугруппы U класса (0,4). При изучении взаимосвязи полугрупп и абстрактной задачи Коши обнаруживаются свойства, определенная комбинация которых оказывается признаком полугруппы класса (О, А), а значит, составляет содержание определения, эквивалентного определению 1.1.2. Продемонстрируем сказанное. Определение 1.1.5. Семейство U = {U(t) t 0} линейных ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве Е, сильно непрерывное при t 0, удовлетворяющее условиям: назовем семейством, порожденным оператором А. Таким образом, определение 1.1.5 задает пару объектов: линейный оператор А и семейство U операторов, удовлетворяющую системе условий. Покажем, что семейство, названное выше полугруппой операторов класса (О, А), и генератор полугруппы удовлетворяют указанной системе условий. Доказательство. Полугруппа класса (О, Л) является семейством ограниченных операторов, действующих в Е, сильно непрерывным при t 0, по определению. Условия U(0) = I и /0 /();г dt оо также являются требованиями определения. Покажем, что U(t) растет на бесконечности не быстрее, чем экспонента. Функция 1п/() является полуаддитивной: Докажем выполнение условия (24). Покажем перестановочность операторов AQ И U(t) на Далее, оператор AQ плотно определен в Е. Действительно, для любого у Є Хо существует х Є Е такой, что у = U(a)x для некоторого а 0. Элементы вида f U(t)x dt принадлежат множеству D[AQ) И 1іт/г_ю+ \ fa U(t)x dt = U(a)x = у, то есть Хо С D(AQ),XQ С D(AQ). ПО определению, Хо = Е, тогда D(AQ) С ХО. Итак, D(AQ) = Х0 = Е. Из плотной определенности оператора AQ В пространстве Е следует, что для любого х Є D(A) существует последовательность {хп} элементов из D(Ao), сходящаяся к х.
Неоднородная задача с генератором Л'-конволюционной полугруппы: ії'-конволюционное решение
Доказательство. Непосредственно из определения К- конволюционной полугруппы следует, что функция 5#()# является решением уравнения и значит, то есть свертка удовлетворяет уравнению (36). Таким образом, функция, заданная соотношением (34) является решением уравнения (35). Определение 1.2.2. Решение уравнения (35) будем называть проинтегрированным if-конволюционным решением задачи (4). Итак, существует проинтегрированное if-конволюционное решение задачи (4) с оператором А, порождающим lf-конволюционную полугруппу, причем одним из решений является функция вида (5), где U(t) : = SK{t). 1.2.3 Семейство операторов, сопряженных к операторам К-конволюционной полугруппы в гильбертовом пространстве Для рассмотрения слабого проинтегрированного решения стохастической задачи необходимо изучить свойства семейства операторов, сопряженных к операторам if-конволюционной полугруппы. В случае, когда порождающий полугруппу оператор А плотно определен, удается доказать, что сопряженное семейство также является А -конволюционной полугруппой, а значит, при переходе в сопряженное пространство сохраняется возможность работать с проинтегрированным решением. Теорема 1.2.2. Пусть SK = {SKW t Є [0, г), г со} -К-конволюционная полугруппа в гильбертовом пространстве Н, порождающий ее оператор А плотно определен.
Тогда семейство операторов S K = {S K(t) t Є [0, г), г со} также является К-конволюционной полугруппой, при этом оператор А — генератор этой полугруппы. Доказательство. Операторы S (t) ограничены как сопряженные к ограниченным и коммутируют на D(A ) с оператором А , так как коммутируют на D(A) операторы Бк с оператором А. Докажем сильную непрерывность семейства S#. Для этого, во-первых, покажем существование слабой производной функции S K(t)y. По определению if-конволюционной полугруппы для х Є D(A) справедливо равенство Умножая его скалярно на элемент у . D(A ), получим откуда, пользуясь непрерывностью скалярного произведения по первому множителю, коммутируемостью операторов и определением сопряженного оператора, переходим к следующему верному равенству Последнее равенство, справедливое для каждого х Є D(A), означает совпадение ограниченных операторов на всюду плотном множестве D(A), а значит, может быть продолжено на все пространство Н. Наконец, существование производной по переменной t функции в правой части обеспечивает существование слабой производной функции S K(t)y. Во-вторых, из определения слабой производной: получаем слабую сходимость, а значит, ограниченность, последовательности {Фп} А ограниченность последовательности {Фп} означает, что для каждого у Є D(A ) существует константа М(у) такая, что выполняется неравенство тогда To есть последовательность операторов 5 ( +Дп) сильно сходится на множестве D{A ).
Множество D(A ) является всюду плотным в Я , так как оператор А плотно определен как сопряженный к плотно определенному оператору в гильбертовом пространстве Я. В-третьих, из равенства норм \\S K(t + Ant)\\ = 11 + Ant)\\ и ограниченности в совокупности норм операторов #(+Ant) получаем ограниченность в совокупности норм операторов S K{t + Ant). На основании теоремы Банаха-Штейнгауза, в установленных условиях имеет место сильная сходимость последовательности \\S (t + Ant)\\ на всем пространстве Я , что и означает сильную сходимость семейства операторов S K{t) на Я . Осталось показать выполнение соотношений (31,32). Из продолженного на Я равенства (37), воспользовавшись непрерывностью скалярного произведения по каждому аргументу и уже доказанной сильной непрерывностью семейства S K, получаем равенство
Абстрактная стохастическая задача Коши с генератором полугруппы класса (1,А)
Пусть (С1,Т,Р) — вероятностное пространство с заданной на нем фильтрацией {Ft\ t 0}, U,H — (сепарабельные) гильбертовы пространства. Рассматриваем абстрактную стохастическую задачу Коши (1), записанную в виде интегрального уравнения где оператор Л : D[A) С H - Н является генератором полугруппы S = {S(t) \ t 0} операторов в Н класса (1,.4), В Є L(U - Я), случайная функция W(t) — Q-винеровский процесс относительно фильтрации со значениями в U, = Х(0) — Я-значная, -"о-измеРимая случайная величина. Процессы, удовлетворяющие уравнению (42), по терминологии, принятой нами во введении, являются интегральными решениями задачи (1). В этом параграфе условимся называть их решениями. В силу стохастической специфики задачи, нужно сделать еще одно замечание относительно вероятностного смысла термина «решение».
Для прикладных задач наибольший интерес представляют так называемые решения в реализациях, то есть процессы, каждая реализация которых удовлетворяет соответствующей реализации задачи. В наших исследованиях с вероятностной точки зрения под «решением», следует понимать именно «решение в реализациях». Тогда определение решения задачи с указанием всех его признаков выглядит следующим образом. Определение 2.3.1. Решением (в реализациях) задачи (42) называется Я-значный процесс {Х() t 0} о со значениями в D(A) при почти всех t 0 Рп.н. , о с интегрируемыми Рп.н. траекториями процесса AX(t): Условимся также слабое проинтегрированное решение задачи (1) в этом параграфе называть слабым решением. Развернутое определение слабого решения выглядит следующим образом. Определение 2.3.2. Слабым решением (в реализациях) задачи (42) называется Я-значный процесс { () t 0} о с интегрируемыми Рп-Н. траекториями: Параграф посвящен исследованию слабого решения задачи (42) и содежит один из результатов, выносимых на защиту: процесс является единственным предсказуемым слабым решением задачи. Доказательство. Покажем, что интеграл, определяющий свертку, существует, то есть процесс {S(t — s)B\ 0 s t},t 0, является L(U — Я)-значным предсказуемым процессом и удовлетворяет условию Детерминированная функция S(t—s)Bh непрерывна по переменной h Є U, так как ограниченный оператор S(t — s)B непрерывен на U. Случайная величина AH (s) является -измеримой, поэтому величина S(t—s)BAW(s) также -измерима.
Кроме того, траектории процесса {S(t — s)BAW(s)\ 0 s t} непрерывны Рп.н. Предсказуемость, таким образом, имеет место. Покажем выполнение условия (43): Интеграл существует, следовательно, корректность определения стохастической свертки доказана. Ниже приведены свойства свертки, которые понадобятся нам для изучения слабого решения задачи (42). Свойство 1. Стохастическая свертка В третьем слагаемом, расписав по определению интегралы по винеровскому процессу и применяя свойства математического ожидания, получаем: В силу условия (43) возможно применение абстрактной изометрии Ито ко второму слагаемому : Из абсолютной непрерывности интеграла Бохнера для суммируемой функции 5(г)Б 5о получаем, что Наконец, рассмотрим первое слагаемое в правой части равенства (45): Второй интеграл в правой части равенства (46) стремится к нулю при t — s — 0 независимо от выбора 8. Так как подынтегральная функция в первом слагаемом в правой части равенства (46) суммируема на [0,6], то интеграл — абсолютно непрерывная функция множества, и за счет выбора 5 его можно сделать сколь угодно малым. Покажем, что предел суммы этих интегралов равен нулю. Зафиксируем є 0. Из сходимости к нулю второго слагаемого в (46), следует, что существует такое ц 0 что имеет предсказуемые версии. Доказательство. Для существования предсказуемых версий процесса достаточно, чтобы он был согласован с фильтрацией и стохастически непрерывен. Стохастическая непрерывность свертки следует из ее среднеквадратической непрерывности. Покажем согласованность. По определению интеграла по (J-винеровскому процессу, Обозначим AW{tkn):=W(tkn)-W(tk-hn). W(t) — ф-винеровский процесс относительно фильтрации, значит, случайная величина W(tkn) измерима относительно Ttkn, W(tk-i,n) измерима относительно Тц_1 п С Ttkn и AW(tkn) измерима относительно Ttkn. Детерминированная функция S(t — tk-\ n)Bh — непрерывна по переменной h, поэтому S(t — tk-itn)BAW(tkn) является Ttkn-измеримой. Сумма п-измеримых процессов (k = 1,...,п), где Ttln С Tt2n С ... С Tti является -измеримой величиной. Предел -измеримых величин также является -измеримой величиной. Выполнены достаточные условия предсказуемости процесса, свертка — предсказуемый процесс.
Абстрактная стохастическая задача Коши с генератором К-конволюционной полугруппы
Пусть (0,,Т,Р) — вероятностное пространство с заданной на нем фильтрацией {Tt\ t 0}, U,H — сепарабельные гильбертовы пространства. Рассматриваем абстрактную стохастическую задачу Коши, записанную в виде интегрального уравнения где оператор A : D(A) С Н — Н плотно определен и является генератором і -конволюционной полугруппы SK = { к{ї) 11 Є [0, г)}, В Є L(U,H), случайная функция W(t) — [/-значный Q-винеровский процесс относительно фильтрации, = Х(0) — Я-значная, Соизмеримая случайная величина. В этом параграфе вводится понятие слабого if-конволюционного проинтегрированного решения задачи (50) и доказывается, что процесс является единственным предсказуемым слабым А -конволюционным проинтегрированным решением задачи.
Условимся в рамках параграфа термин "проинтегрированное" опускать. Результаты параграфа выносятся на защиту. Как уже отмечалось, в наших исследованиях с вероятностной точки зрения под "решением" следует понимать "решение в реализациях". Определение 2.4.1. Слабым К-конволюционпым решением в (реализациях) задачи (50) называется Я-значный процесс X = {X(t)\te[0,r)} о с интегрируемыми Рп.н. траекториями: о для любого у Є D{A ) и некоторой непрерывной скалярной функции К{-) потраекторно Рп.н удовлетворяющий уравнению Стохастическая задача, записываемая интегральным уравнением по отношению к исходной задаче (50) называется К-конволющионной. Таким образом, if-конволюционное решение задачи (50) — это решение і -конволюционной задачи (51). тогда процесс WK = {WK(t) = SK(t - в)В dW(s)\ t Є [0, г)} -К-конволюционная стохастическая свертка — корректно определен. Доказательство. Покажем, что интеграл, определяющий свертку, существует, то есть процесс {#(-S)B\ 0 s t}, t Є [0, т), является L(U, #)-значным предсказуемым процессом и удовлетворяет условию Детерминированная функция 5#( - s)Bh, t — s Є [0, г), непрерывна по переменной h U, так как ограниченный оператор 8к(і—з)В непрерывен на U. Случайная величина AW(s) является Та-измеримой, поэтому величина 5#( — s)BAW(s) также . -измерима. Кроме того, траектории процесса {5#( — s)BAW(s)\ s Є [0,t]} непрерывны Рп-Н. Предсказуемость, таким образом, имеет место. Покажем выполнение условия (53): Интеграл существует, следовательно, корректность определения К- конволюционной стохастической свертки доказана. Свертка W#, определенная для операторов if-конволюционной полугруппы SKI также обладает свойствами, которые были доказаны в [41] для стохастической свертки с операторами полугруппы класса Со и в диссертации для свертки W с операторами полугруппы класса (1,-А), в частности, if-конволюционная стохастическая свертка имеет предсказуемые версии. Доказательства свойств почти повторяют доказательства соответствующих свойств свертки с операторами полугруппы класса Со- является слабым К-конволюционным решением задачи (50). Доказательство.
Покажем, что процесс SJK = { $А:( ) И 1Р Т)} является слабым if-конволюционным решением однородной задачи (50) (В = 0). Интегрируемость траекторий следует из определения if-конволюционной полугруппы. Зафиксируем у Є D(A ), t Є [0, г), Таким образом, процесс S# = {#() I Є ІР Г)} является слабым /f-конволюционным решением задачи (50) при В = 0. Рассмотрим Х-конволюционную стохастическую свертку W#. Траектории интегрируемы. Действительно, так как из условия (52) то Ф(і) — непрерывная на [0,т) функция как интеграл с переменным верхним пределом, значит, интегрируема на [0, т) : то есть свертка — слабое if-конволюционное решение задачи (50) при = 0 Р„.н. Доказали, что процесс X, заданный формулой (54) является слабым іі -конволюционньїм решением задачи (50). D Замечание. Условие (52) для if-конволюционной полугруппы не является ограничительным. Докажем единственность предсказуемого слабого К-конволюционного решения. Теорема 2.4.2. В условиях леммы 3 существует только один предсказуемый процесс, являющийся слабым К-конволюционным решением задачи (50). Доказательство. Процесс {X(t) = 5к() 4- W#() t Є [0,г)} является слабым if-конволюционным решением задачи (50) и при этом предсказуем. Действительно, предсказуемость А -конволюционной свертки имеет место. Величина SA:() является -измеримой как композиция непрерывной по переменной h детерминированной функции Sx(t)h и . -измеримой случайной величины . Траектории процесса SK(t) Рп.и. непрерывны на [0, г) в силу сильной непрывности семейства SK- Таким образом, процесс #() также предсказуем. Теперь достаточно доказать единственность слабого К-конволюционного решения задачи (50) с начальным условием = 0 Рп.н. Покажем, что любое такое решение X = {X(t)\ t Є [0, г)} представимо в виде if-конволюционной свертки. Введем в рассмотрение функцию y(s) = SK(t — s)yo, где уо Є D(A ). Так как семейство {SK(t)\ t Є [0, г)} — /С-конволюционная полугруппа, то для всех t Є [0,т) функция y(s) непрерывно дифференцируема на [0,і] и принимает значения в D(A ), то есть удовлетворяет условиям леммы, доказанной в [41]. Согласно этой лемме, для скалярного произведения непрерывно дифференцируемой на отрезке [0,t] функции y(s), принимающей значения в D(A ), и предсказуемого слабого проинтегрированного решения X(t) задачи (51), где = 0 Рп.н. (с нулевым начальным условием), верно соотношение
![О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями](/i/i/4377/303944.png "О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями Меленцов Александр Александрович")