Введение к работе
Актуальность темы.
Классическая электродинамика является завершенной областью электротехники и полностью описывается уравнениями Максвелла, а наглядной иллюстрацией ее законов являются электрические машины. Однако то, что было простым и ясным,например, для одного проводника, движущегося в магнитном поле, или для отдельного витка с током, существенно усложняется в электрических машинах. Сложное пространственное расположение обмоток электрических машин и их взаимное перемещение, наличие стали магнитопроводов и присутствие вблизи обмоток проводящих элементов конструкции требуют создания новых и более точных методов анализа процессов в электрических машинах.
Усилиями ряда поколений отечественных и зарубежных ученых
к настоящему времени создана развитая научная база электро
техники. Важные теоретические основы в области электротехники
и в ее приложениях к электрическим машинам заложены работами:
Л.Р. Неймана, К.А. Круга, К.М. Поливанова, Г.А. Гринберга,
К.С. Демирчяна, О.В. Тозони, Э.В. Колесникова, А.В.Нетушила,
Ю.Я.Иосселя, Ю.А.Бахвалова, А.Г.Никитенко, В.И.Астахова,
М.П.Костенко, Л.М. Пиотровского, А.И. Вольдека, Г.Н. Петрова, И.П. Копнлова, Е.М. Синельникова, Я.Б. Даниловича, В.В. Дом-бровского, А.В. Иванова-Смоленского, В.М. Казанского, В.И.Бочарова, Б.Д.Сидельникова, Г.А.Сипайлова, А.И.Скороспешкина -ученых ведущих электротехнических центров России.
Быстрое развитие электроэнергетики требует совершенствования конструкции электрических машин, математических моделей процессов в электрических машинах и в иных электротехнических устройствах, применения при исследованиях ЭВМ.
Наличие совершенных вычислительных машин и накопленный опыт по расчету электромагнитных и тепловых полей в электрических машинах позволяют математически формулировть и рассчитывать с высокой точностью многие реальные физические процессы с небольшим числом допущений. Однако комплексные исследования процессов в электрической машине приводят к необходимости разбиения расчетной зоны машины на большое число элементов (3000-7000) и к увеличению времени счета на ЭВМ.
Поэтому актуальными являются следующие задачи: анализ и последующее уточнение основных допущений, положенных в основу теории расчета электрических машин; совершенствование мето-
дов расчета элэктрических машин; разработка аналитических и численных методов расчета электрических и магнитных полей сложных и неортогональных областей с высокой точностью.
Сложные области - это такие области, которые можно разбить на конечное число частей (подобластей). При этом, две соседние подобласти могут соприкасаться или иметь общую часть.
Ортогональными областями будем называть такие области, все границы которых на плоскости совпадают с координатными линиями какой-либо ортогональной системы координат Если же все границы (или часть границ) области на плоскости не совпадают, с координатными линиями ни в одной ортогональной системе координат, то такие области будем называть неортогональными.
. Сложные области могут состоять только из ортогональных подобластей или одни из подобластей можно отнести к ортогональному типу, а другие - к неортогональному.
Предполагается, что при решении уравнения Лапласа для ортогональных областей с граничными условиями любого типа всегда возможно применение метода разделения переменных.
Для неортогоналышх областей применяются чаще всего численные методы решения уравнения Лапласа (метод конечных разностей или метод конечных элементов). Аналитические же методы (например, вариационные) при решении таких задач из-за сложности выбора подходящей системы функций (базиса) применяются редко. Но достоинства аналитических методов делают целесообразным исследовать возможность применения двойных рядов Чебы-шева и Лежандра при расчете потенциальных полей для неортогональных областей.
Цель работы состоит в создании математических моделей по расчету полей в электронных линзах, экранах и электрических машинах. Указанные модели заранее ориентированы на применение аналитических и точных методов расчета или численных методов расчета с применением ЭВМ, где решение задачи всегда представлено в аналитической форме. Разработанные модели должны служить инструментом для проведения поверочных и проектно-конструкторских расчетов электротехнических устройств. Кроме разработки математических моделей поставленная цель предполагает: построение систем ортогональных многочленов группы Якоби (в частности, многочленов Чебышева первого и второго рода, многочленов Лежандра) на дискретном множестве то-
чек, лежащих на отрезке С -1,1] , и «следование рядов Чебышева и Лезкандра; применение рядов Чебышева и Лекандра при интерполировании и приближенном интегрировании функций, при решении уравнения Пуассона (в частности, Лапласа) для неортогональных областей и при решении линейных интегральных уравнений їред-гольма; создание алгоритмов расчета полей на ЭВМ, проведение значительного обьема численних расчетов и анализ полученных данных.
Методы исследований. В работе используются и развиваются идеи и метода классической теории потенциала, дифференциальных уравнений Лапласа и Пуассона, интегральных уравнений Фредгольма, ортогональных многочленов группы Якоби дискретной переменной и рядов Фурье, Бес-селя, Чебышева и Лежандра.
С использованием положений, строго доказанных в математике и теоретической электротехнике, рассматриваются математические модели двух типов: первый тип - слохная область допускает разбиение на ортогональные подобласти; второй тип-сре-ди подобластей есть хотя бы одна неортогональная.
В моделях первого типа частные решения уравнения Лапласа для ортогональных подобластей находятся методом разделения переменных. На общей границе двух подобластей применяются "известные условия согласования решений - приравниваются значения потенциалов подобластей и значения нормальных производных этих потенциалов.
При расчете полей электронных линз и экранов исследуется связь между конструкцией этих устройств, видом граничных условий и формой решения. Исследуются аспекты применения двух рядов Фурье при расчете полей электронных линз из плоских пластин и двух рядов Бесселя при расчете полей осе симметричных фокусирующих устройств.-
При расчете полей сложных областей, когда их подобласти имеют общую часть, исследуется теоретические основы альтернирующего метода Шварца и при расчете полей применяется его улучшенная модификация.
При расчете полей с помощью математических моделей, включающих неортогональные области, применяется специально разработанная теория многочленов и рядов группы Якоби (в частности, многочленов и рядов Чебышева и Лекандра). В основу теории многочленов группы Якоби положено само свойство их ортогональ-
4 ности на особом дискретном множестве точек в функциональном пространстве 1^(-1,1;«).
Аналитически и путем исследования решений уравнения Лапласа для области в виде круга и квадрата, для сложной области (состоящей из прямоугольника и квадрата) и для области в виде полигональной функции (замкнутого многоугольника, который вписан в квадрат при -і < х < і и-і & у < і) подробно рассмотрены особенности применения двойных рядов Чебышева и Лежандра при приближенном решении уравнений Пуассона и Лапласа и разработаны оригинальные метода их решения.
На основе двойных рядов Чебшева и Лэхандра построены и исследованы решения линейных интегральных уравнений їредгольма.
В основу предложенного метода электромагнитного расчета аксиальных электрических машин положены принцип разбиения магнитной цепи машины на расчетные модули и закон полного тока. Метод апробирован испытанием асинхронных двигателей разных мощностей.
Научная новизна.
В диссертации средствами математического моделирования проведены систематические исследования задач по расчету электрических полей в электронных линзах из плоских и цилиндрических, электродов и магнитных полей в электрических машинах с пазами разной формы (прямоугольными, в виде кругового прямоугольника, треугольными со скругленным дном, полукруглыми и арочными, конечной и бесконечной глубины).
Разработаные алгоритмы численно реализованы на ЭВМ и получена обширная информация о полях в воздушном зазоре машин.
Впервые получена аналитически оценка для учета влияния одного из геометрических параметров ортогональной области (например, длины электродов линз или глубины пазов электрических машин) на картину поля в устройстве. Указанные оценки упрощают алгоритмы расчета полей и полезны при конструировании электронных линз и электрических машин.
Для двух областей с общей частью предложен модифицированный метод Шварца, который отличается от известного альтернирующего метода Шварца и более удобен при расчете полей на ЭВМ.
Разработанный метод электромагнитного' расчета аксиальных электрических машин, защищенных авторскими свидетельствами, экспериментально проверен на торцовых асинхронных машинах мощностью от 100 Вт до 75 кВт.
Создана общая теория ортогональных многочленов группы Якоби на дискретном множестве точек, содержащем нули первой производной соответствующих многочленов и числа -I И і .
На базе этих многочленов разработана теория рядов Чебыше-ва и Лежандра одной, двух и трех переменных.
Ряды Чебышева и Лежандра применены при исследовании: методов интерполирования функции (функции и еэ производных, функции и интеграла от нее), решений интеї'ральннх уравнений Фредгольма с внровденным ядром, методов решения уравнений Лапласа и Пуассона.
Впервые для круга, квадрата и полигональной области (зак-нутого многоугольника) предложено несколько новых методов решения уравнений Лапласа и Пуассона с применением двойных рядов Чебышева и Лежандра при следующих условиях: заданы граничные условия и координата тех точек, где должно выполняться уравнение Лапласа; применяется вариационный метод Ритца; заданы граничные и внутренние условия задачи; минимизируется по способу наименьших квадратов невязка уравнения Пуассона (Лапласа) в двух сечениях (х = о и -і <у5і,у = ои-і s х і і ) .
Приведены примеры решения уравнений Лапласа и Фредгольма с применением рядов Чебышева и Лежандра.
Полученные результаты и разработанный аппарат рядов группы Якоби можно применить для исследования полей иной физической природа и в других отраслях математики. Основные положения, выносимые на защиту, формулируются следующим образом:
-
Математические модели для расчета электрических полей электронных линз из плоских или цилиндрических электродов, в которых применяются ряда Фурье и Бесселя двух видов, и два алгоритма решения каждой задачи.
-
Математические модели по расчету магнитного поля в плоском воздушном зазоре электрических машин с пазами разной формы: с параллельными стенками или в виде одной из девяти ортогональных областей из бицилиндрической системы координат (включая пазы полукруглые, арочные и шатровые, конечной и бесконечной глубины).
Алгоритмы решения задач и результаты численных расчетов полей на ЭВМ.
3. Математические модели и алгоритмы решения задач по расчету
магнитного поля в кольцевом воздушном зазоре электрических
6 машин с пазами в виде кругового прямоугольника (части кольца) или в виде криволинейной трапеции.
4. Математическая модель по расчету магнитного поля в плоском
воздушном зазоре электрических машин для треугольных пазов со
скругленным дном.
Алгоритм решения задачи, который .включает модификацию альтернирующего метода Шварца, и результаты численных расчетов полей на ЭВМ.
-
Универсальный метод оценки влияния одного из геометрических параметров областей (длины электродов линз или глубины пазов электрических машин) на картину юля в устройствах и рекомендации по конструированию электронных линз и электрических машин с учетом полученных для юа оценок.
-
Алгоритм решения задач по расчету потенциальных шлей для уравнений Зредгольма- с применением рядов Лежандра.
Результаты исследования решений линейных интегральных уравнений Фредгольма с внровденным ядром в виде интерполяционного полинома двух переменных, содержащего многочлены Чебышева первого рода или многочлены Лежандра, где показано,что применение рядов Лежандра существенно упрощает алгоритм решения задачи.
7. Математические модели по расчету потенциальных полей для
областей в виде круга, квадрата и полигональной функции.
Математическая модель по расчету магнитного поля в плоском воздушном зазоре электрических машин, где паз и часть воздушного зазора образуют полигональную область.
Методы решения уравнений Лапласа и Пуассона для круга, квадрата и полигональной области (замкнутого многоугольника), которая предварительно вписана в квадрат (-i
8. Метод электромагнитного расчета аксиальных электрических
машин, в основу которого положены принцип разбиения магнитной
цепи в радиальном направлении на расчетные модули и закон пол
ного тока, с учетом влияния зубцов на величину намагничивающей
7 силы ярма.
Э. Результаты экспериментальных исследований асинхронных торцовых двигателей, созданных для привода двухступенчатых и трех ступенчатых осевых вентиляторов и погружных насосов.
Теоретическое и практическое
значение работы.
На основе аналитических исследований и анализа результатов
численных расчетов полей на ЭВМ получена обширная информация о
полях в электронных линзах и электрических машинах.
Полученные аналитически оценки для учета влияния глубины пазов разных форм на картину поля в зазоре позволяют правильно сконструировать ротор синхронных реактивных двигателей и ротор индукторных машин, уменьшить число вариантов при проектных и поверочных расчетах этих маиин на ЭВМ.
Существенное упрощение алгоритма расчета полей многих электрических машин возможно за счет отказа от учета кривизны их воздушного зазора.
Учет влияния зубцов на картину поля в ярме аксиальных электрических машин позволяет при конструировании уменьшить их осевые размеры.
Предложенный метод электромагнитного расчета аксиальных электрических машин найдет применение при расчете и конструировании машин (асинхронных, синхронных и постоянного тока) разных мощностей, разного исполнения и разного назначения.
Построенная теория ортогональных многочленов группы Якоби ( в частности, многочленов Чебышева первого и второго рода и многочленов Лежандра) на дискретном множестве точек, содержащем нули первой производной соответствующих многочленов и числа -1 и і , имеет важное теоретическое и прикладное значение в математике.
Ряды по многочленам Чебышева и Лежандра имеют широкий спектр применения в математической физике при интерполировании и приближенном интегрировании функций, при решении дифференциальных уравнений Лапласа и Пуассона для крута, квадрата и полигональных областей и при рошений линейных интегральных уравнений Фредгольма.
Результаты выполненных исследований: решение задач по расчету полей в электронных линзах, оригинальный способ преобразования решений уравнения Лапласа в цилиндрической и сферической системах координат, особенности применения альтер-
нируодего и модифицированного методов Шварца, применение двойных рядов Чебыиева и Лежандра при расчете полей областей разных форм для уравнения Пуассона (Лапласа) и при решении линейных интегральных уравнений Фредгольма- найдут также применение при изучении студентами университетов курсов "Прикладная математика" и "Уравнения математической физики".
Обоснованность и достоверность научных выводов и рекомендаций диссертации подтверадается:
корректной постановкой задач и использованием положений, строго доказаних в математике и теоретической электротех;-нике;
доказательством в вида теорем;
работой с математическими моделями, адекватность которых подтверждена результатами теоретических и экспериментальных исследований;
численным экспериментом с применением ЭВМ;
хорошим согласованием полученных результатов с имеющимися в литературе данными других авторов.
Апробация работы.
Основные материалы работы докладывались и получили одобрение :на объединенном семинаре кафедр"Прикладная математика ", " Электрические машины " и " Теоретические основы электротехники "Новочеркасского государственного технического университета ( г. Новочеркасск ,1982 г.и 1983 г.); на кафедре "Электрические машины" Санкт-Петербургского государственного технического университета (г.Санкт-Петербург,1988 г.); на семинаре кафедр " Тепло - и электроэнергетики", " Физика " и " Высшая математика " Дальневосточного технологического института (г. Владивосток, 1980 - 90 г.); на объединенном научном семинаре " Математическая физика и вычислительная математика " Института прикладной математики ДВО РАН и Дальневосточного государственного университета (г. Владивосток, 1992г. и 1993г.).
Публикации. По теме двссертационной работы опубликованы 20 печатных работ, среди которых одна монография и три авторских свидетельства. Объем и структура диссертации.
Диссертационная работа состоит из введения, семи глав, заключения и списка литературы.
Диссертация содержит : текст, 49 рисунков, 28 таблиц и список использованной литературы из 145 наименований отечест-
9 .
венных и зарубежных авторов - всего 346 страниц.
диссертационная работа выполнялась в Новочеркасском государственном техническом университете, Дальневосточном технологическом институте (г. Владивосток! и Институте прикладной математики Дальневосточного отделения Российской Академии Наук (г. Владивосток).
