Введение к работе
Актуальность темы. Изучение распределений функционалов от диффузионных процессов, в частности от винеровского процесса или процесса броуновского движения, является важной темой, так как эти процессы естественным образом возникают во многих областях науки, особенно в экономике, физике, а также в теории вероятностей.
Л. Башелье впервые использовал идею случайного блуждания для описания эволюции цен. Анализируя экспериментальные данные цен, он заметил, что их приращения в пределе ведут себя как винеровский процесс.
Отправной точкой в работе Кендалла (1960) было желание выявить цикличность в поведении цен. Он не смог обнаружить ни ритмов, ни трендов, ни циклов, и, более того, пришел к заключению, что ряд наблюдаемых данных выглядит так, как если бы мы извлекали случайное число и добавляли бы его к текущему значению цены.
Наиболее простой моделью с дискретными значениями цен активов и с дискретным временем торговли является модель Кокса-Росса-Рубинштейна (КРР).
В 1976 году эти авторы предложили и исследовали модель, в которой цена акции изменяется по правилу «подъем-спад» на фиксированную величину, а что именно произойдет, подъем или спад, зависит от случая. Модель КРР и по сей день является основной дискретной моделью рынка ценных бумаг.
Блэк и Шоулз исследовали непрерывную модель, являющуюся предельным случаем КРР. Они провели блестящее наблюдение, состоящее в том, что инвесторы, в действительности, могут копировать эволюцию ценной бумаги с объявленной заранее премией, называемой опционом покупателя, управляя портфелями, которые содержат только облигации и акции - безрисковые и рисковые обеспечения. Владение подобным портфелем эквивалентно владением контракта на объявленную заранее премию.
Влэк и Шоулз вывели точную формулу для цены такого контракта.
Значение этой цены есть функционал от винеровского процесса с линейным сносом, входящего в формулу для геометрического или экономического броуновского движения.
Диффузионным процессам и вычислению различных функционалов от них посвящена обширная литература, как теоретического, так и прикладного характера. Классические результаты в этой области принадлежат математикам: Н. Винеру, П. Леви, А.Н. Колмогорову, экономистам: Башелье и Самуэльсону.
Сегодня этой темой занимаются математики: И.А. Ибрагимов, Ю.А. Давыдов, В.Б. Невзоров, А.Н. Бородин. Оценке параметров диффузионных процессов было посвящено несколько докладов Я.Ю. Никитина. Более 2000 формул содержатся в книге А.Н. Бородина и II. Салминена «Справочник по броуновскому движению».
Этой теме посвящена широко известная монография А.Н. Ширяева «Основы стохастической финансовой математики». В 2006 году вышла книга В.Н. Иголкина и А.Б. Ковригина «Финансовые потоки и их флуктуации».
Задачи, которым посвящена диссертация, относятся к актуальной и развивающейся области теории случайных процессов и финансовой математики.
Цель работы заключалась в разработке математического аппарата, позволяющего находить распределение функционалов от винеровского процесса с линейным сносом для наиболее общих моментов остановки, а также применение рассматриваемой теории к экономическим задачам.
Структура диссертации. Первая глава состоит из двух параграфов. В 1 излагаются общие методы вычисления функционалов от случайных процессов. В 2 изложены теоремы, позволяющие находить распределения функционалов от винеровского процесса с линейным сносом для момента первого выхода на границу, обратного к локальному времени, моменту, обратному ко времени пребывания, а также комбинации из максимумов и минимумов этих моментов. Также приведены примеры вычисления конкретных распределений.
Вторая глава посвящена неубывающим перестановкам и временам пребывания винеровского процесса с линейным сносом.
В 1 приведены общие свойства оператора неубывающей перестановки, а также связь между неубывающими перестановками и временами пребывания.
Во втором параграфе найдено преобразование Лапласа двумерного распределения времен пребывания винеровского процесса. Ответ получен в виде рядов, коэффициенты которых вычисляются по рекуррентным формулам.
Данный результат обобщен для винеровского процесса с линейным сносом.
В 3 получено следствие из 2 - найдено математическое ожидание совместного распределения времен пребывания винеровского процесса выше уровня и и уровня г.
В 4 найдено распределение неубывающей перестановки винеровского процесса с линейным сносом и получены формулы для математического ожидания и дисперсии.
Глава 3 посвящена приложениям рассматриваемой теории к экономическим задачам. Показано, как из общих доказанных автором теорем получаются, как частные случаи, ранее известные результаты, используемые для нахождения справедливой цены американского опциона и оптимального момента его продажи.
Рассматриваются «русские опционы», представляющие собой частный случай опционов с последействием. Получен результат относительно распределения оптимального момента продажи такого опциона.
Также найдена вероятность разорения страховой компании, если страховой капитал представляет собой сумму винеровского процесса с линейным сносом и пуассоновского процесса.
Методы исследования. Для решения поставленных в диссертационной работе задач используются методы теории дифференциальных уравнений, методы минимизации функций и теории управления, а также методы стохастического и математического анализа и теории вероятностей.
Научная новизна. Все научные результаты диссертации являются новыми. В работе впервые разработаны общие методы вычисления распределений функционалов от винеровского процесса с линейным сносом для наиболее общего момента остановки, а также комбинации этих моментов, включающие операции максимума и минимума. При этом были обобщены теоремы, доказанные для винеровского процесса. Так как винеровский процесс с линейным сносом существенно отличается по своим свойствам от винеровского процесса, в частности, он не является возвратным, доказательство этих теорем потребовало разработки новых подходов. Кроме того был предложен метод, позволяющий сводить вычисление распределений функционалов для моментов остановки, содержащих операцию максимума к моментам, содержащим только минимумы, что позволило значительно проще находить явные формулы для распределений. Впервые было изучено двумерное распределение времен пребывания винеровского процесса, что является технически очень сложной задачей, и потребовало оригинального решения с применением методов математического анализа, в частности, теории аналитических функций.
Найдено распределение неубывающей перестановки винеровского процесса с линейным сносом, получены формулы для математического ожидания и дисперсии этого процесса.
Найдено совместное распределение времени первого достижения винеровским процессом с линейным сносом определенного уровня и его значения в конце промежутка. С помощью этого распределения можно изучать характеристики оптимального момента продажи «русского опциона», являющегося частным случаем опциона с последействием.
Вычислена вероятность разорения страховой компании, если ее капитал описывается как сумма винеровского процесса с линейным сносом и пуассоновского процессов.
Практическая и теоретическая ценность, В работе изложены общие методы вычисления распределений функционалов
от винеровского процесса с линейным сносом. Они могут быть использованы специалистами по случайным процессам, финансовыми аналитиками, а также в учебном процессе.
Апробация работы. Результаты работы неоднократно докладывались на семинарах на факультете ПМ-ПУ СПбГУ. Также они докладывались в ПОМИ РАН, на семинарах кафедры высшей математики в ТЭТУ и на 34-й, 37-й и 39-й международных конференциях факультета ПМ-ПУ «Процессы управления и устойчивость» в 2004, 2006 и 2008 годах.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[б].
Организация текста и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на 7 параграфов, изложена на 98 страницах. Список литературы включает 47 наименований.
Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждается тем, что все основные результаты работы являются научными фактами, получившими в работе строгое математическое доказательство.
